Jekstremumy funkcii

2. aa xxmaxmax
ПримерПример
xxmaxmax xxmaxmax xx
yy
00 bb

3. ЭтапыЭтапы
1. Найти1. Найти ff //
(x)(x)
2. Найти2. Найти
критические точкикритические точки
3. Проверить знаки3. Проверить знаки
производной,производной,
выполнитьвыполнить
графическуюграфическую
иллюстрацию.иллюстрацию.
Найдите точку минимума функции
y = x3
– 48x + 17
1) y /
= 3x2
– 48
2) y /
= 3x2
– 48 = 3(x2
– 16) = 3(x – 4)(x + 4)
44 -4-4
3 х
1 0 хВ 11 4
Выполнение этапов решенияВыполнение этапов решения
++++ ––
x
y
y -4 4
minmin
1.1.

4. Найдите точку минимума функции
y = 2х – ln(x+3) + 7
3 х
1 0 хВ 11
5- 2 ,
22..
minmin
( )/ 11
lnx =
xx
3
52
3
162
3
1
2/
+
+
=
+
−+
=
+
−=
х
х
х
х
х
у
3
03:)(
−>
>+
x
xyD
x
y
y
-2,5-2,5-3-3
–– ++++

5. Найдите точку минимума функции
3 х
1 0 хВ 11 2
3.3.
minmin
––
x
y
y
8822
++
( ) х
eххy −
+−= 62
88
)2)(8()1610(
)1610()8882(
)1()88()82(
))(88()88(
626
2626
626
/626/2/
−−−=+−−=
=−+−=−+−−=
=−+−+−=
=+−++−=
−−
−−
−−
−−
ххeххe
ххeхххe
eххeх
eххeхху
хх
хх
хх
хх
( ) ///
uvvuuv += RxyD ∈:)(
––

6. Найдите точку минимума функции
3 х
1 0 хВ 11 - 1 7
44..
minmin
–– ++
RxyD ∈:)(
x
y
y
-17-17
( ) 16
16 −
+= x
eхy
)17(
)161()16(1
))(16()16(
16
161616
/1616//
+=
=++=++⋅=
=+++=
−
−−−
−−
хe
хeeхe
eхeху
x
xxx
xx
( ) ///
uvvuuv +=

7. Найдите точку минимума функции
3 х
1 0 хВ 11 4
55..
minmin
–– ++
x
y
y
44
12
3
2 2
3
+−= xxy
222
1
/
−=−= хху
4
2
02
=
=
=−
х
х
х
0:)( ≥xyD
00

8. Найдите точку максимума функции
3 х
1 0 хВ 11 9
66..
maxmax
++ ––
x
y
y
99
0:)( ≥xyD
00
13
3
2
++−= xхxy
332
1
/
+−=+−= хху
9
3
03
=
=
=−
х
х
х

9. Найдите точку максимума функции
3 х
1 0 хВ 11 1 7
77..
maxmax
++ ––
0:)( ≠xyD
х
х
y
2892
+
−=
22
2
2
2
22
/
)17)(17(289
289289
1
1
2891
х
хх
х
х
х
х
хх
у
+−
=
−
=
=
+−
=+−=





−⋅−−=
22
//
1111
хххх
−−==





Запишем функцию в удобномЗапишем функцию в удобном
для дифференцирования видедля дифференцирования виде
х
хy
1
289⋅−−=
хх
х
y
2892
−−=
х
xy
1
289⋅−−=
x
y
y
171700-17-17
–– ++

10. Найдите точку максимума функции
y = ln(9x+10) – 9х
3 х
1 0 хВ 11 - 1
88..
maxmax
( )/ 11
lnx =
xx
109
)1(81
109
8181
109
90819
9
109
9
9)109(
109
1 //
+
+−
=
+
−−
=
=
+
−−
=−
+
=−+
+
=
х
х
х
х
х
х
х
х
х
у
9
10
0109:)(
−>
>+
x
xyD
x
y
y
-1-1
++ ––
99
1010
––

11. Найдите точку минимума функции
3 х
1 0 хВ 11 - 3
99..
minmin
––
x
y
y
-1-1-3-3
++
( ) х
eхy −
+= 22
3
)3)(1()34(
)34()9662(
)1()96()62(
))(96()96(
626
2222
222
/222/2/
++−=++−=
=−−−=−−−+=
=−++++=
=+++++=
−−
−−
−−
−−
ххeххe
ххeхххe
eххeх
eххeхху
хх
хх
хх
хх
( ) ///
uvvuuv +=
RxyD ∈:)(
––
Запишем функцию в удобномЗапишем функцию в удобном
для дифференцирования видедля дифференцирования виде
( ) х
eхх −
++= 22
96