функция

1. Исследование функции.

2. Тригонометрия в
реальной жизни
Американские ученые
утверждают, что мозг оценивает
расстояние до объектов,
измеряя угол между плоскостью
земли и плоскостью зрения.
Также в биологии используется
такое понятие как синус
сонный, синус каротидный и
венозный или пещеристый
синус
При полёте птицы траектория взмаха крыльев образует синусоиды

3. Тригонометрия в
медицине
Тригонометрия играет важную
роль в медицине. С ее помощью
иранские ученые открыли
формулу сердца комплексное
алгебраически
тригонометрическое равенство,
состоящее из 8 выражений, 32
коэффициентов и 33 основных
параметров.
Модель биоритмов можно
построить с помощью графиков
тригонометрических функций.
Для этого необходимо ввести дату
рождения человека ( день, месяц,
год).

4. Тригонометрия в
живой природе
Движение рыб в воде
происходит по закону
синуса или косинуса, если
зафиксировать точку на
хвосте, а потом рассмотреть
траекторию движения.
При плавании тело рыбы
принимает форму кривой,
которая напоминает график
функции 𝑦 = tg 𝑥
𝒚 = 𝒕𝒈 𝒙

5. Схема исследования
• Область определения функции
• Область значения функции
• Периодичность
• Промежутки знак постоянства
• Четность и нечетность функций
• Возрастание и убывание функций
• Экстремумы

6. График функции у = sin 𝑥 называется синусоида

7. Свойства функции у = sin 𝑥
1. D(y) = R.
2. Е(у) = [ – 1; 1]
3. Функция периодическая; Т=2П
4. Функция нечетная.
5. sin 𝑥 = 0 при x = П𝑛, 𝑛ϵ𝑍.
6. Функция возрастает на [ −
П
2
+ 2П𝑛;
П
2
+ 2П𝑛], 𝑛ϵ𝑍 , убывает на
[
П
2
+ 2П𝑛;
3П
2
+ 2П𝑛], 𝑛ϵ𝑍.
7. sin 𝑥 > 0 при 2 П𝑛 < 𝑥 < П + 2П𝑛, 𝑛ϵ𝑍;
sin 𝑥 < 0 при П + 2П𝑛 < 𝑥 < 2П + 2Пn, 𝑛ϵ𝑍.
8. Наибольшее значение функции y = 1;
наименьшее значение функции y = – 1.

8. График функции у = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 называется косинусоида

9. Свойства функции у = 𝑐𝑜𝑠 𝑥
1. D(y) = R.
2. Е(у) = [ – 1; 1]
3. Функция периодическая; Т=2П
4. Функция четная
5. cos 𝑥 = 0 при 𝑥 =
П
2
+П𝑛, 𝑛ϵ𝑍
6. Функция возрастает на [ П + 2П𝑛; 2П + 2П𝑛], 𝑛ϵ𝑍 , убывает на
[2П𝑛; П + 2П𝑛], 𝑛ϵ𝑍.
7. cos 𝑥 > 0 при −
П
2
+ 2П𝑛 < 𝑥 <
П
2
+ 2П𝑛, 𝑛ϵ𝑍; 𝑐𝑜𝑠𝑥 < 0
при
П
2
+2П𝑛 < 𝑥 <
3П
2
+ 2П𝑛, 𝑛ϵ𝑍.
8. Наибольшее значение функции y = 1; наименьшее значение
функции y = – 1.

10. График функции у = 𝑡𝑔 𝑥 называется тангенсоида

11. Свойства функции у = 𝑡𝑔 𝑥
1. D(y) = (−
П
2
+ П𝑛;
П
2
+ П𝑛); 𝑛ϵ𝑍.
2. Е(у) = R
3. Функция периодическая; Т=П.
4. Функция нечетная.
5. tg 𝑥 = 0 при x = П𝑛, 𝑛ϵ𝑍
6. Функция возрастает на [ −
П
2
+ П𝑛;
П
2
+ П𝑛], 𝑛ϵ𝑍 ,
7. tg 𝑥 > 0 при П𝑛 < 𝑥 <
П
2
+ П𝑛], 𝑛ϵ𝑍. tg 𝑥 < 0 при −
П
2
+
П𝑛 < 𝑥 < П𝑛, 𝑛ϵ𝑍 .
8. Функция не достигает наибольшего и наименьшего значений.
9. Прямые
П
2
+ П𝑛, 𝑛ϵ𝑍, являются асимптотами графика функции.

12. График функции у = 𝑐𝑡𝑔 𝑥 называется котангенсоида

13. Свойства функции у = 𝑐𝑡𝑔 𝑥
1. D(y) = (П𝑛; П+П𝑛); 𝑛ϵ𝑍.
2. Е(у) = R.
3. Функция периодическая; Т=П.
4. Функция нечетная.
5. сtg 𝑥 = 0 при x =
П
2
+ П𝑛, 𝑛ϵ𝑍 .
6. Функция убывает на П𝑛; П + П𝑛], 𝑛ϵ𝑍 .
7. сtg 𝑥 > 0 при П𝑛 < 𝑥 <
П
2
+ П𝑛], 𝑛ϵ𝑍. сtg 𝑥 < 0
при
П
2
+ П𝑛 < 𝑥 < П + П𝑛, 𝑛ϵ𝑍 .
8. Функция не достигает наибольшего и наименьшего значений.
9. Прямые П𝑛, 𝑛ϵ𝑍, являются асимптотами графика функции.

14. Пример 1
Найдите область определения и область значений функции:
𝑓 𝑥 = 3 cos 2𝑥 − 1 .
Решение:
1) Область определения D 𝑓 = R
2) Область значения −1 ≤ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 ≤ 1
Умножим все части этого неравенства на положительное число 3,
при этом знак равенства сохраняется.
−3 ≤ 3 ∙ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 ≤ 3 и вычтем из всех частей неравенство число 1.
−3 −1 ≤ 3 ∙ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 1 ≤ 3 − 1
−4 ≤ 3 ∙ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 1 ≤ 2
Следовательно область значения Е 𝑓 = [ −4; 2 ]
Ответ: 1) D 𝑓 = R; 2) Е 𝑓 = [ −4; 2 ]

15. Задание 1
Постройте график функции
у = sin 𝑥 + 1; у = 2sin 𝑥

16. Проверяем 1 задание
график функции
у = sin 𝑥 + 1; у = 2sin 𝑥

17. Задание 2
Постройте график функции
у = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 1 ; у = 2 𝑐𝑜𝑠 𝑥

18. Проверяем 2 задание
график функции
у = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 1 ; у = 2 𝑐𝑜𝑠 𝑥

19. Закрепление материала
𝑓 𝑥 = 3 ∙ 𝑠𝑖𝑛 0,5 𝑥
1) D 𝑓 = R; Е 𝑓 = [ −3; 3 ].
2) sin 𝑥 нечетная.
3) Функция периодическая; Т = 2П : 0,5 = 4П
4) Нули функции; 𝑥 = 2П𝑛, 𝑛ϵ𝑍 .
5) Промежутки знак постоянство;
𝑓 𝑥 > 0 на (4П𝑛; 2П + 4П𝑛), 𝑛ϵ𝑍
𝑓 𝑥 < 0 на − 2П + 4П𝑛; 4П𝑛 , 𝑛ϵ𝑍
6) Функция убывает на (П + 4П𝑛; 3П + 4П𝑛), 𝑛ϵ𝑍
Функция возрастает на (− П + 4П𝑛; П + 4П𝑛), 𝑛ϵ𝑍
7) Точки минимума, минимум функции
𝑥 𝑚𝑖𝑛 = − П + 4П𝑛, 𝑛ϵ𝑍; 𝑦 min = −3
Точки максимума, максимум функции
𝑥 𝑚𝑎𝑥 = П + 4П𝑛, 𝑛ϵ𝑍; 𝑦 m𝑎𝑥 = 3

20. График функции𝑓 𝑥 = 3 ∙ 𝑠𝑖𝑛 0,5 𝑥