Steenrod Square の紹介

1. “しかく”のお勉強
第 5 回日曜数学会 LT
s.t.@simizut22

2. 資格？？

3. 資格

4. 四角

5. Square

6. Steenrod Square??

7. (; ･`д･´)これだっ！！

8. Steenrod Square の話
第 5 回日曜数学会 LT
s.t.@simizut22

9. 内容
• homotopy
• Eilenberg MacLane 空間
• cohomology と (primary) cohomology operation
• Steenrod Square
• Steenrod 代数Milnor の構造定理
※適宜省略します

10. 1. Homotopy #とは
点付き位相空間の間の写像
𝑓𝑖: 𝑌,∗ → 𝑋,∗ , (𝑖 = 0,1)
が homotopic とは、写像空間の間の道があること。 i.e.
∃
𝜑: 𝑌,∗ × 𝐼 → 𝑋,∗
𝑠. 𝑡.
𝜑 ∙, 𝑖 = 𝑓𝑖, 𝑖 = 0,1
𝜑 ∗, 𝑡 =∗
これは同値関係になる。
同値関係による商集合をホモトピー集合といい、 𝑌, 𝑋 と書く。

11. 1. Homotopy #とは
Path の間の homotopy
(endpoint を保つ) Torus と マグカップの間の変形
＊Gif アニメは Homotopy(wiki) より拝借

12. 1. Homotopy #とは
特に、 𝑌 = 𝑆 𝑛 = 𝑥0, … , 𝑥 𝑛 𝑥𝑖
2 = 1 の時は特に
𝑆 𝑛, 𝑋 = 𝜋 𝑛 𝑋 と書き、n次ホモトピー”群” という (※)
※“道”をつなぐことで積が定まり、逆の”道”を考えると逆元が定まる
ちょい正確には
- 𝛻: 𝑆 𝑛 → 𝑆 𝑛 ∨ 𝑆 𝑛 を使用して写像を足す
- 北半球と南半球を反転して写像を反転する

13. 2. Eilenberg MacLane 空間
群 𝜋 と自然数 n に対し（𝑛 ≥ 2の時 𝜋 は可換）、Eileberg MacLane 空
間 𝐾 𝜋, 𝑛 空間が存在して以下が成立
1. 𝜋𝑖 𝐾 𝜋, 𝑛 = 0, (𝑖 ≠ 𝑛)
2. 𝜋 𝑛 𝐾 𝜋, 𝑛 = 𝜋
Eileberg MacLane 空間に対し次が示せる
1. 一意(up-to weak homotopy equiv.)
2. 𝐾 𝜋1 × 𝜋2, 𝑛 = 𝐾 𝜋1, 𝑛 × 𝐾 𝜋2, 𝑛
3. Ω𝐾 𝜋, 𝑛 = 𝑀𝑎𝑝∗ 𝑆1, 𝐾 𝜋, 𝑛 = 𝐾 𝜋, 𝑛 − 1

14. 2. Eilenberg MacLane 空間
例：
1. 𝐾 ℤ, 1 = 𝑆1: 円周
2. 𝐾 ℤ2, 1 = ℝ𝑃∞: 無限次元実射影空間
3. 𝐾 ℤ, 2 = ℂ𝑃∞: 無限次元複素射影空間
4. 𝐾 ℤ 𝑚, 1 = 𝐿 𝑚
∞ = 𝑆∞/ℤ 𝑚: 無限次元レンズ空間(2𝜋
𝑚
回転で作用)
5. 𝐶 𝑛ℂ = 𝐾 ∃
𝜋, 1 𝑤ℎ/𝐶 𝑛ℂ = 異なる𝑛点 ∈ ℂ :configuration space

15. 3. cohomology と cohomology operation
Def(コホモロジー)
可換群 𝐺 および自然数 n に対し次の関手
𝐻 𝑛
∙, 𝐺 : 𝑇𝑜𝑝∗ → 𝑐𝐺𝑟𝑝
𝑋 ↦ 𝑋, 𝐾 𝐺, 𝑛
をn次(特異)コホモロジー関手という ■
群構造は係数 𝐺 から induce されるもの

16. 3. cohomology と cohomology operation
Def(cohomology operation)
可換群 𝜋, 𝐺 および自然数 n, q に対し、自然変換
𝜑: 𝐻 𝑛
∙, 𝜋 → 𝐻 𝑞
∙, 𝐺
を 𝑛, 𝑞, 𝜋, 𝐺 型の cohomology 作用素という
𝑛, 𝑞, 𝜋, 𝐺 型の cohomology 作用素全体を ℴ 𝑛, 𝑞, 𝜋, 𝐺 で表す ■

17. 3. cohomology と cohomology operation
次の定理が成立する！！！！！！！！
定理
ℴ 𝑛, 𝑞, 𝜋, 𝐺 ≅ 𝐻 𝑞
𝐾 𝜋, 𝑛 , 𝐺
∵)米田の補題から次が分かる
「自然変換Φ: −, 𝑍 → −, 𝑍′ と 𝜙(= Φ 𝑍 𝑖𝑑 𝑍 ) ∈ 𝑍, 𝑍′ が1-to-1」
これを 𝑍 = 𝐾 𝜋, 𝑛 , 𝑍′
= 𝐾 𝐺, 𝑞 に使うだけ■

18. 4. Steenrod Square
𝑛 ≥ 0 に対し次を満たす安定 cohomology 作用素が存在する：
𝑆𝑞 𝑛
: 𝐻 𝑞
−; ℤ2 → 𝐻 𝑞+𝑛
−; ℤ2
1. 𝑆𝑞0
= 𝑖𝑑
2. 𝑆𝑞 𝑛
𝑥 =
𝑥2 (𝑛 = deg(𝑥))
0 (𝑛 > deg 𝑥 )
3. 𝑆𝑞 𝑛 𝑥𝑦 = 𝑖+𝑗=𝑛 𝑆𝑞 𝑖 𝑥 𝑆𝑞 𝑗 𝑥 (Cartan の公式)
上の安定 cohomology 作用素を Steenrod 作用素という

19. 4. Steenrod Square
Prop(Adem relation)
𝑆𝑞 𝑖 𝑆𝑞 𝑗 =
2𝑘≤𝑖
𝑗 − 𝑘 − 1
𝑖 − 2𝑘
𝑆𝑞 𝑖+𝑗−𝑘 𝑆𝑞 𝑘
Def(Steenrod 代数)
𝑆𝑞 𝑖 で生成される多項式環を Steenrod 代数と言う
加法としての基底は 𝑆𝑞 𝐼 𝑓𝑜𝑟 𝐼 = 𝑖1 … 𝑖 𝑟 𝑤 𝑖𝑗 ≥ 2𝑖𝑗+1 で与えられ
る

20. 4. Steenrod 代数と Milnor の構造定理
Thm(Steenrod 代数の構造に関する Milnor の定理)
1. Steenrod 代数は Hopf 代数の構造も持つ i.e.
𝜓: 𝒜 → 𝒜 ⊗ 𝒜: 𝑐𝑜𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡
𝜓 𝑆𝑞 𝑖
=
𝑗+𝑘=𝑖
𝑆𝑞 𝑗
⊗ 𝑆𝑞 𝑘
2.𝒜 の dual Hopf algebra 𝒜∗ は polynomial ring になる；
𝒜∗ = ℤ2 𝜉1, 𝜉2, …
wh/ 𝜉𝑖 𝑆𝑞 𝐼 =
1, 𝐼 = 2𝑖−1, 2𝑖−1, … , 1
0, 𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟𝑤𝑖𝑠𝑒

21. 5. 最後に
• 何がうれしいかというと
• 球面やリー群のコホモロジーの生成元なんかがこいつらを使ってが
ちゃがちゃ出てきたりする。
• けど、そのはなし泥臭いので省略します (´;ω;｀)

22. 𝜋3 𝑆2
= ℤ
(☝ ՞ਊ ՞）☝ｲｲｲｲｲｲｲｲｲｲｲｲｲｲｲｲｲｲｲｲｲｲｲｲｲｲｨﾈ!!!!!!!!!!!

23. Hopf 不変量はいいぞぉ(੭ु´･ω･`)੭ु⁾⁾
(Steenrod Algebra 関係なし)