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![五次の置換群
α
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γ
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[αβγδε]
α
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[βγδεα]
73
・・・
１２０通り](https://image.slidesharecdn.com/maths4pg-3-150522121542-lva1-app6892/75/maths4pg-73-2048.jpg)
![G
=
{
[αβγδε],
[αβδεγ],
[αβεγδ],
[αγβεδ],
[αγδβε],
[αγεδβ],
[αδβγε],
[αδγεβ],
[αδεβγ],
[αεβδγ],
[αεγβδ],
[αεδγβ],
[βαγεδ],
[βαδγε],
[βαεδγ],
[βγαδε],
[βγδεα],
[βγεαδ],
[βδαεγ],
[βδγαε],
[βδεγα],
[βεαγδ],
[βεγδα],
[βεδαγ],
[γαβδε],
[γαδεβ],
[γαεβδ],
[γβαεδ],
[γβδαε],
[γβεδα],
[γδαβε],
[γδβεα],
[γδεαβ],
[γεαδβ],
[γεβαδ],
[γεδβα],
[δαβεγ],
[δαγβε],
[δαεγβ],
[δβαγε],
[δβγεα],
[δβεαγ],
[δγαεβ],
[δγβαε],
[δγεβα],
[δεαβγ],
[δεβγα],
[δεγαβ],
[εαβγδ],
[εαγδβ],
[εαδβγ],
[εβαδγ],
[εβγαδ],
[εβδγα],
[εγαβδ],
[εγβδα],
[εγδαβ],
[εδαγβ],
[εδβαγ],
[εδγβα],
[γβδεα],
[γβεαδ],
[γβαδε],
[γδβαε],
[γδεβα],
[γδαεβ],
[γεβδα],
[γεδαβ],
[γεαβδ],
[γαβεδ],
[γαδβε],
[γαεδβ],
[βγδαε],
[βγεδα],
[βγαεδ],
[βδγεα],
[βδεαγ],
[βδαγε],
[βεγαδ],
[βεδγα],
[βεαδγ],
[βαγδε],
[βαδεγ],
[βαεγδ],
[δγβεα],
[δγεαβ],
[δγαβε],
[δβγαε],
[δβεγα],
[δβαεγ],
[δεγβα],
[δεβαγ],
[δεαγβ],
[δαγεβ],
[δαβγε],
[δαεβγ],
[εγβαδ],
[εγδβα],
[εγαδβ],
[εβγδα],
[εβδαγ],
[εβαγδ],
[εδγαβ],
[εδβγα],
[εδαβγ],
[εαγβδ],
[εαβδγ],
[εαδγβ],
[αγβδε],
[αγδεβ],
[αγεβδ],
[αβγεδ],
[αβδγε],
[αβεδγ],
[αδγβε],
[αδβεγ],
[αδεγβ],
[αεγδβ],
[αεβγδ],
[αεδβγ]
}
H
=
{
[αβγδε],
[αβδεγ],
[αβεγδ],
[αγβεδ],
[αγδβε],
[αγεδβ],
[αδβγε],
[αδγεβ],
[αδεβγ],
[αεβδγ],
[αεγβδ],
[αεδγβ],
[βαγεδ],
[βαδγε],
[βαεδγ],
[βγαδε],
[βγδεα],
[βγεαδ],
[βδαεγ],
[βδγαε],
[βδεγα],
[βεαγδ],
[βεγδα],
[βεδαγ],
[γαβδε],
[γαδεβ],
[γαεβδ],
[γβαεδ],
[γβδαε],
[γβεδα],
[γδαβε],
[γδβεα],
[γδεαβ],
[γεαδβ],
[γεβαδ],
[γεδβα],
[δαβεγ],
[δαγβε],
[δαεγβ],
[δβαγε],
[δβγεα],
[δβεαγ],
[δγαεβ],
[δγβαε],
[δγεβα],
[δεαβγ],
[δεβγα],
[δεγαβ],
[εαβγδ],
[εαγδβ],
[εαδβγ],
[εβαδγ],
[εβγαδ],
[εβδγα],
[εγαβδ],
[εγβδα],
[εγδαβ],
[εδαγβ],
[εδβαγ],
[εδγβα]
}
E
=
{
[αβγδε]
}
五次方程式の群の正規列
74](https://image.slidesharecdn.com/maths4pg-3-150522121542-lva1-app6892/75/maths4pg-74-2048.jpg)
![おまけ
H
=
{
[αβγδε],
[αβδεγ],
[αβεγδ],
[αγβεδ],
[αγδβε],
[αγεδβ],
[αδβγε],
[αδγεβ],
[αδεβγ],
[αεβδγ],
[αεγβδ],
[αεδγβ],
[βαγεδ],
[βαδγε],
[βαεδγ],
[βγαδε],
[βγδεα],
[βγεαδ],
[βδαεγ],
[βδγαε],
[βδεγα],
[βεαγδ],
[βεγδα],
[βεδαγ],
[γαβδε],
[γαδεβ],
[γαεβδ],
[γβαεδ],
[γβδαε],
[γβεδα],
[γδαβε],
[γδβεα],
[γδεαβ],
[γεαδβ],
[γεβαδ],
[γεδβα],
[δαβεγ],
[δαγβε],
[δαεγβ],
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[δβγεα],
[δβεαγ],
[δγαεβ],
[δγβαε],
[δγεβα],
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[δεβγα],
[δεγαβ],
[εαβγδ],
[εαγδβ],
[εαδβγ],
[εβαδγ],
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[εβδγα],
[εγαβδ],
[εγβδα],
[εγδαβ],
[εδαγβ],
[εδβαγ],
[εδγβα]
}
'
同型
76](https://image.slidesharecdn.com/maths4pg-3-150522121542-lva1-app6892/75/maths4pg-76-2048.jpg)
Uploaded byJunpei Tsuji
「五次方程式が代数的に解けないわけ」第３回プログラマのための数学勉強会 #maths4pg
「第３回 プログラマのための数学勉強会」で @tsujimotter が発表したスライドです。 ガロアやばい。 勉強会のページはこちら-> http://maths4pg.connpass.com/event/14367/ 発表動画-> https://www.youtube.com/watch?v=qwYyXtttns0
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Similar to 「五次方程式が代数的に解けないわけ」第３回プログラマのための数学勉強会 #maths4pg
「五次方程式が代数的に解けないわけ」第３回プログラマのための数学勉強会 #maths4pg
- 1. 五次方程式が代数的に 解けないわけ 日曜数学者 辻 順平 @tsujimotter http://tsujimotter.info ax5 +bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0
- 2. 近況報告 日曜数学者 tsujimotter の 食べられるゼータ関数触れるゼータ関数 詳しくはhttp://tsujimotter.info にて 2
- 3.
- 4. エヴァリスト・ガロア 1811/10/25 – 1832/05/31 4
- 5.
- 6.
- 7.
- 8.
- 9. 五次方程式 9 ax5 + bx4 + cx3 +dx2 + ex + f = 0
- 10.
- 11. なぜ 解けない？ Why can'tthere be a quintic formula? 11
- 12.
- 13.
- 14. お品書き 解ける方程式 (1)：二次方程式（しっとり） 解ける方程式(2)：三次方程式（さくさく） 方程式が解ける条件・解けない条件（くらいまっくす） 五次方程式が解けないわけ（ごーる） 14
- 15.
- 16. 二次方程式 ax2 + bx +c = 0 の解 を求めよ↵, 16
- 17. ↵ = b + p b24ac 2a = b p b2 4ac 2a 頑張って変形すると・・・ 17
- 18.
- 19. ↵ = ↵ + 2 + ↵ 2 = ↵+ 2 ↵ 2 α,βを交換しても値が変わらない数 α,βを交換すると値が 変わってしまう数 STEP1: 解についての「恒等式」をつくる 19
- 20. ↵ + = b a ↵= c a STEP2: 「解と係数の関係」をつかって係数で表す 20
- 21. (x ↵)(x )= 0 より， x2 (↵ + )x + ↵ = 0 一方で， x2 + b a x + c a = 0 が成り立つ ↵ + = b a ↵ = c a 21 STEP2: 「解と係数の関係」をつかって係数で表す
- 22. 解 α, β を交換しても 不変な数 基本対称式 α+β, αβ の 四則演算 対称式の基本定理 (↵ + )2 2↵↵2 + 2 方程式の係数 a, b, c の 四則演算 解と係数の関係 ✓ b a ◆2 c a 22 「解を交換しても不変な数」は係数 の四則演算で書ける結論 a, b, c
- 23.
- 24. ↵ ↵ ↵ ↵ e e(↵) = ↵ e() = ⌧ ⌧(↵) = ⌧( ) = ↵ 解 の交換として，考えられるパターンを列挙する↵, S2 = {e, ⌧}ひとまとめにすると・・・ 二次の置換群 24
- 25. ↵ e ⌧ ⌧( ) =↵ ⌧(↵) = e(↵) = ↵ e( ) = 25
- 26. 二次の置換群に対して不変 方程式の係数 で表せる a,b, c ↵ + ⌧(↵ + ) = + ↵ e(↵ + ) = ↵ + 26 e ⌧
- 27.
- 28. 二次の置換群に対して不変 方程式の係数 で表せる (↵)2 a, b, c ２乗すると・・・ 28 e ⌧
- 29. = ✓ b a ◆2 + 4 ⇣ c a ⌘ (↵)2 = (↵ + )2 4↵ = b2 4ac a2 29 STEP2: 「解と係数の関係」をつかって係数で表す
- 30. とすれば↵ > STEP3: 「平方根」をとる ↵= p b2 4ac a ↵ = p b2 4ac a 30
- 31. ↵ = ↵ + 2 + ↵ 2 = b 2a + p b24ac 2a 二次方程式が解けた！ 先ほどの恒等式に代入すると・・・ 31
- 32.
- 33. ⌧ e {e} に対して 不変な数 ↵ 解き方のアウトライン すべての置換に対して 不変な数 ２乗／平方根 (↵ )2 a b c (↵ )↵ 恒等式 恒等式 解と係数の関係 33
- 34.
- 35.
- 36. ↵, , ax3 + bx2 +cx + d = 0 三次方程式 の解 を求めよ 36
- 37. {e} に対して 不変な数 すべての置換に対して 不変な数 ↵ 解き方のアウトライン？ ３乗／３乗根 a b c 恒等式 解と係数の関係 d (a b)3 37
- 38. 三次の置換群 ↵ ↵ e e(↵) = ↵ e() = e( ) = ↵ ↵ ⌧ ↵ ↵ (↵) = ( ) = ( ) = ↵ ⌧(↵) = ↵ ⌧( ) = ⌧( ) = 解 の交換として，考えられるパターンを列挙する↵, , 38
- 39. ↵ ↵ ↵ ⌧ ↵ ↵ ⌧ ⌧( (↵)) =⌧ (↵) 39
- 40. ↵ ↵ ↵ ↵ ↵ 2 ( (↵)) =2 (↵) 40
- 41. ↵ ↵ ↵ ⌧ ↵ ↵ ↵ ⌧( ( (↵)))= ⌧ 2 ⌧( ( (↵))) = ⌧ 2 41
- 42. ↵ ↵ e ↵ ↵ ⌧ ↵ ↵ ↵ ↵ 2 ↵ ↵ ↵ ↵ ⌧ ⌧ 2 三次の置換群: {e, , 2 , ⌧, ⌧ , ⌧ 2 } 42
- 43. = ↵ + 2 + (↵ ) 2 ↵= ↵ + 2 + ↵ 2 参考：二次方程式の場合 43
- 44. ↵ = ↵ ++ 3 + ↵ + ! + !2 3 + ↵ + !2 + ! 3 = ↵ + + 3 + !2 ↵ + + ! 3 + !↵ + + !2 3 = ↵ + + 3 + !↵ + !2 + 3 + !2 ↵ + ! + 3 R （三次の）ラグランジュ・リゾルベント L ただし ω は， ω3 = 1 を満たす 1 の原始三乗根 三次方程式の場合 44 ⇥!2 ⇥! ⇥! ⇥!2
- 45. = ↵ + + 3 + !L 3 + !2 R 3 = ↵+ + 3 + !2 L 3 + !R 3 ↵ = ↵ + + 3 + L 3 + R 3 45
- 46. e(L) = ↵+ ! + !2 = L (L) = + ! + !2 ↵ = !2 L 2 (L) = + !↵ + !2 = !L 不変 不変ではない 不変ではない 不変ではない 不変ではない 不変ではない⌧(L) = ↵ + ! + !2 = R ⌧ (L) = + ! + !2 ↵ = !2 R ⌧ 2 (L) = + !↵ + !2 = !R L に三次の置換群を作用させると・・・ 46
- 47. 不変 不変 不変 不変ではない 不変ではない 不変ではない e(L3 ) = (↵+ ! + !2 )3 = L3 (L3 ) = ( + ! + !2 ↵)3 = L3 2 (L3 ) = ( + !↵ + !2 )3 = L3 ⌧ 2 (L3 ) = ( + !↵ + !2 )3 = R3 ⌧ (L3 ) = ( + ! + !2 ↵)3 = R3 ⌧(L3 ) = (↵ + ! + !2 )3 = R3 L3 に三次の置換群を作用させると・・・ 47
- 48.
- 49. 2 e L3 R3 ⌧ ⌧ ⌧2 この形，どこかで見覚えがありませんか？ ３乗すると・・・ 49
- 50.
- 51.
- 52. (L3 R3 )2 三次の置換群に対し不変 方程式の係数 で表せる a, b, c, d ２乗すると・・・ 52 2 e ⌧ ⌧ ⌧ 2
- 53. L !L !2 L !2 R !R R 2 e ↵ 解き方のアウトライン ⌧ ⌧⌧ 2 {e} に対して 不変な数 恒等式 恒等式 53
- 54. L !L !2 L !2 R !R R ↵ 解き方のアウトライン 2 e ⌧ ⌧⌧ 2 L3 R3 ３乗 ３乗 (L3 R3 )L3 R3 恒等式 恒等式 {e} に対して 不変な数 {e, σ, σ2} に対して 不変な数 54
- 55. L !L !2 L !2 R !R R ↵ 解き方のアウトライン (L3 R3 )L3 R3 {e} に対して 不変な数 {e, σ, σ2} に対して 不変な数 (L3 R3 )2 a b c ２乗 ２乗 d 解と係数の関係 2 e ⌧ ⌧ ⌧ 2 すべての置換に対して 不変な数 L3 R3 55
- 56. H = {e,, 2 } {e} G = {e, , 2 , ⌧, ⌧ , ⌧ 2 }(L3 R3 )2a b c d L3 R3 L3 R3 L ↵R ２乗／平方根 ３乗／３乗根 ６/３＝２ ３/１＝３ 不変な数 不変な数 不変な数 「置換によって不変な数」 「置換群」 方程式の係数 方程式の解
- 57. ∼ ラグランジュ 「ラグランジュ・リゾルベント」という都合の良い数を 見つけることが出来れば，方程式は解ける ラグランジュ・リゾルベントをどうやって探すか 見つからなかったからといって 方程式が解けないとは言い切れない 57
- 58.
- 59.
- 60. 以下の公理を満たす集合を「群」と呼ぶ １．群の定義 2. 任意の元（要素）に対して，結合法則が成り立つ 1. 演算に対して閉じている 3. 単位元が存在する 4. 任意の元に対して，その元に対する逆元が存在する 「置換群」の場合 自動的に成り立つ 結城 浩 著「数学ガール／ガロア理論」より引用（一部改変） 60
- 61. G = {e,, 2 , ⌧, ⌧ , ⌧ 2 } × 1. 演算に対して閉じている3. 単位元が存在する 4. 任意の元に対してその元に対する 逆元が存在する × G が「群」であることの確認 61
- 62. H = {e,, 2 } G = {e, , 2 , ⌧, ⌧ , ⌧ 2 } 1. 演算に対して閉じている 3. 単位元が 存在する 4. 任意の元に対してその元に対する 逆元が存在する × × 部分集合 ２．部分群 ・・・G の部分集合で，それ自体群であるもの 62
- 63. H = {e,, 2 } G/H = e{e, , 2 }, ⌧{e, , 2 } = {eH, ⌧H} ６個 ３個 ６個/３個 ＝ ２個 G = {e, , 2 , ⌧, ⌧ , ⌧ 2 } ３．部分群による割り算 G/H 63
- 64. H = {e,, 2 } G/H = e{e, , 2 }, ⌧{e, , 2 } = {eH, ⌧H} G = {e, , 2 , ⌧, ⌧ , ⌧ 2 } ４．正規部分群 H この集合が群であるとき H を「G の正規部分群」という 64
- 65. が群であることの確認（一部）G/H = {eH,⌧H} eH · ⌧H = · ⌧e 2 e e · ⌧e e · ⌧e e · ⌧e 2 e · ⌧e · ⌧e · ⌧e 2 e · ⌧e · ⌧e 2 2 2 = e e e e e e e e e e e e 2 2 2 ( )⌧ e ( )⌧ ( )⌧ 2 ( )⌧ e ( )⌧ ( )⌧ 2 ( )⌧ e ( )⌧ ( )⌧ 2 ⌧ · e = = = = = = = = = = = = = = = = = ⌧ · 2 ⌧ · ⌧ · ⌧ · 2 ⌧ · ⌧ · e ⌧ · 2 ⌧ · e 2 ⌧H= と変形できることが正規部分群の条件τ HH τ 65
- 66. が群であることの確認（一部）G/H = {eH,⌧H} eH · ⌧H = · ⌧e 2 e e · ⌧e e · ⌧e e · ⌧e 2 e · ⌧e · ⌧e · ⌧e 2 e · ⌧e · ⌧e 2 2 2 = e e e e e e e e e e e e 2 2 2 ( )⌧ e ( )⌧ ( )⌧ 2 ( )⌧ e ( )⌧ ( )⌧ 2 ( )⌧ e ( )⌧ ( )⌧ 2 ⌧ · e = = = = = = = = = = = = = = = = = ⌧ · 2 ⌧ · ⌧ · ⌧ · 2 ⌧ · ⌧ · e ⌧ · 2 ⌧ · e 2 ⌧H= と変形できることが正規部分群の条件τ HH τ 時間がない 66
- 67. H = {e,, 2 } G = {e, , 2 , ⌧, ⌧ , ⌧ 2 } G/H = e{e, , 2 }, ⌧{e, , 2 } = {eH, ⌧H = e{e, , 2 }, ⌧{e, , 2 } = {eH, ⌧H} E = {e} H/E = {e, , 2 } 正規部分群の列 （正規列） 正規部分群で 割ってできた群 67
- 68. ・・・単一の元により生成される群 {e, ⌧} ={⌧, ⌧2 } = h⌧i {e, , 2 } = { , 2 , 3 } = ⌧(↵)↵ (↵) 2 (↵) ↵ ⌧ ⌧ ５．巡回群 68
- 69. H = {e,, 2 } G = {e, , 2 , ⌧, ⌧ , ○乗／○乗根 ○乗／○乗根 E = {e} G/H = e{e, , 2 }, H/E = {e, , 2 } 方程式が解ける条件 解で表せる数 係数で表せる数 ＝ 巡回群 ＝ 巡回群 正規部分群で割ってできた群がすべて巡回群 69
- 70. H = {e,, 2 } G = {e, , 2 , ⌧, ⌧ , ○乗／○乗根 ○乗／○乗根 E = {e} G/H = e{e, , 2 }, H/E = {e, , 2 } 方程式が解けない条件 解で表せる数 係数で表せる数 ＝ 巡回群 ＝ 巡回群 正規部分群で割ってできた群の中に 巡回群でない群が存在する 70
- 71.
- 72. ６０個の置換群 １２０個の置換群 ２乗／２乗根 ○乗／○乗根 E = {e} G/H= e{e, , 2 }, H/E = {e, , 2 } 五次方程式の場合 解で表せる数 係数で表せる数 ＝ 巡回群 ＝ 巡回群 正規部分群で割ってできた群の中に 巡回群でない群が存在する 72
- 73. 五次の置換群 α β γ δ ε α β γ δ ε [αβγδε] α β γ δ ε α β γ δ ε [βγδεα] 73 ・・・ １２０通り
- 74. G = { [αβγδε], [αβδεγ], [αβεγδ], [αγβεδ], [αγδβε], [αγεδβ], [αδβγε], [αδγεβ], [αδεβγ], [αεβδγ], [αεγβδ], [αεδγβ], [βαγεδ], [βαδγε], [βαεδγ], [βγαδε], [βγδεα], [βγεαδ], [βδαεγ], [βδγαε], [βδεγα], [βεαγδ], [βεγδα], [βεδαγ], [γαβδε], [γαδεβ], [γαεβδ], [γβαεδ], [γβδαε], [γβεδα], [γδαβε], [γδβεα], [γδεαβ], [γεαδβ], [γεβαδ], [γεδβα], [δαβεγ], [δαγβε], [δαεγβ], [δβαγε], [δβγεα], [δβεαγ], [δγαεβ], [δγβαε], [δγεβα], [δεαβγ], [δεβγα], [δεγαβ], [εαβγδ], [εαγδβ], [εαδβγ], [εβαδγ], [εβγαδ], [εβδγα], [εγαβδ], [εγβδα], [εγδαβ], [εδαγβ], [εδβαγ], [εδγβα], [γβδεα], [γβεαδ], [γβαδε], [γδβαε], [γδεβα], [γδαεβ], [γεβδα], [γεδαβ], [γεαβδ], [γαβεδ], [γαδβε], [γαεδβ], [βγδαε], [βγεδα], [βγαεδ], [βδγεα], [βδεαγ], [βδαγε], [βεγαδ], [βεδγα], [βεαδγ], [βαγδε], [βαδεγ], [βαεγδ], [δγβεα], [δγεαβ], [δγαβε], [δβγαε], [δβεγα], [δβαεγ], [δεγβα], [δεβαγ], [δεαγβ], [δαγεβ], [δαβγε], [δαεβγ], [εγβαδ], [εγδβα], [εγαδβ], [εβγδα], [εβδαγ], [εβαγδ], [εδγαβ], [εδβγα], [εδαβγ], [εαγβδ], [εαβδγ], [εαδγβ], [αγβδε], [αγδεβ], [αγεβδ], [αβγεδ], [αβδγε], [αβεδγ], [αδγβε], [αδβεγ], [αδεγβ], [αεγδβ], [αεβγδ], [αεδβγ] } H = { [αβγδε], [αβδεγ], [αβεγδ], [αγβεδ], [αγδβε], [αγεδβ], [αδβγε], [αδγεβ], [αδεβγ], [αεβδγ], [αεγβδ], [αεδγβ], [βαγεδ], [βαδγε], [βαεδγ], [βγαδε], [βγδεα], [βγεαδ], [βδαεγ], [βδγαε], [βδεγα], [βεαγδ], [βεγδα], [βεδαγ], [γαβδε], [γαδεβ], [γαεβδ], [γβαεδ], [γβδαε], [γβεδα], [γδαβε], [γδβεα], [γδεαβ], [γεαδβ], [γεβαδ], [γεδβα], [δαβεγ], [δαγβε], [δαεγβ], [δβαγε], [δβγεα], [δβεαγ], [δγαεβ], [δγβαε], [δγεβα], [δεαβγ], [δεβγα], [δεγαβ], [εαβγδ], [εαγδβ], [εαδβγ], [εβαδγ], [εβγαδ], [εβδγα], [εγαβδ], [εγβδα], [εγδαβ], [εδαγβ], [εδβαγ], [εδγβα] } E = { [αβγδε] } 五次方程式の群の正規列 74
- 75. まとめ Q. 五次方程式が代数的に解けないのはなぜ？ A. 五次の置換群の正規列に「これ以上分解できない巡回群ではない群」が 含まれるから 「方程式の解の置換群」 「不変な数の集合」 「方程式が解けるかどうか」を「群」に対応づけることで， 「無限の可能性」を「有限集合の数え上げ」に落とし込むことができた キーアイデア ガロア対応 75
- 76. おまけ H = { [αβγδε], [αβδεγ], [αβεγδ], [αγβεδ], [αγδβε], [αγεδβ], [αδβγε], [αδγεβ], [αδεβγ], [αεβδγ], [αεγβδ], [αεδγβ], [βαγεδ], [βαδγε], [βαεδγ], [βγαδε], [βγδεα], [βγεαδ], [βδαεγ], [βδγαε], [βδεγα], [βεαγδ], [βεγδα], [βεδαγ], [γαβδε], [γαδεβ], [γαεβδ], [γβαεδ], [γβδαε], [γβεδα], [γδαβε], [γδβεα], [γδεαβ], [γεαδβ], [γεβαδ], [γεδβα], [δαβεγ], [δαγβε], [δαεγβ], [δβαγε], [δβγεα], [δβεαγ], [δγαεβ], [δγβαε], [δγεβα], [δεαβγ], [δεβγα], [δεγαβ], [εαβγδ], [εαγδβ], [εαδβγ], [εβαδγ], [εβγαδ], [εβδγα], [εγαβδ], [εγβδα], [εγδαβ], [εδαγβ], [εδβαγ], [εδγβα] } ' 同型 76
- 77. Thank You!! 77 日曜数学者 辻 順平 @tsujimotter ウェブサイト：http://tsujimotter.info ブログ：http://tsujimotter.hatenablog.com
- 78. 参考文献 • 結城 浩著「数学ガール／ガロア理論」SoftBank Creative (1,900 円). • 小島 寛之 著「天才ガロアの発想力 対称性と群が明かす方程 式の秘密」技術評論社 (1,580 円). • デイヴィッド・コックス 著，梶原 健 訳「ガロワ理論（上・ 下）」日本評論社 (上 3,500 円／下 4,200 円). • 石井 俊全 著「ガロア理論の頂を踏む」ペレ出版 (3,000 円). 78
- 79.
- 80.
- 81. 三次方程式の解き方（概略） 方程式の係数 L3 R3 = p D (L3 R3 )2 = D L3 + R3 =A L3 = A 2 + p D 2 R3 = A 2 p D 2 R = 3 s A 2 p D 2 L = 3 s A 2 + p D 2 ↵ = ↵ + + 3 + L 3 + R 3 ,（ についても同様） a, b, c, d ３乗／立方根 ２乗／平方根
- 82. 「三次の置換群 G 」のすべての部分群 H= {e, , 2 } {e, ⌧ }{e, ⌧} {e, ⌧ 2 } {e} G の正規部分群 G = {e, , 2 , ⌧, ⌧ , ⌧ 2 } G の正規部分群ではない 82
- 83.
- 84. 巡回群とラグランジュ・リゾルベント G/H が巡回群であれば， ラグランジュ・リゾルベントが作れることを示す 84 • L2 = α – τH(α) • L3 = α + ωσH(α) + ω2σ2H(α) 二次の場合 三次の場合
- 85. G/H が 2次の巡回群 {eH, τH} 85 H に対して 不変な数 G に対して 不変な数 eH τH α τH(α) α – τH(α) – (α – τH(α)) (α – τH(α))2 ２乗／平方根
- 86. 巡回群 G/H = {eH, τH} を ２次のラグランジュ・リゾルベント L2 に作用させると・・・ 不変 ２乗 86 L2 = α – τH(α) τH(L2) = τH(α) – α = – (α – τH(α)) = – L2 τH τH(L22) = τH(α)2 = ( – L2)2 = L22 不変ではない
- 87. G/H が 3 次の巡回群 {eH, σH, σ2H} 87 H に対して 不変な数 G に対して 不変な数 eH σH α σH(α) L3 ωL3 L33 ３乗／立方根 σ2H(α) σ2H ω2L3
- 88. 巡回群 G/H = {eH, σH, σ2H} を ３次のラグランジュ・リゾルベント L3 に作用させると・・・ 不変 ３乗 88 L3 = α + ωσH(α) + ω2σ2H(α) σH(L3) = σH(α) + ωσ2H(α) + ω2α = ω2 L3 σH σH(L33) = σH(α)3 = ( ω2 L3 )3 = L33 不変ではない
- 89.
- 90. 正六面体の置換（１２通り） 180° 180° 180° 180°回転 × ３ 120°, 240° 120°, 240° 120°, 240° 120°,240° 120° 回転 × ４ 240° 回転 x ４ 動かさない × １ 90
- 91. “代数的でない” 五次方程式の解き方 91 • モジュラー方程式の解を用いる方法（エルミート） • 超幾何級数を用いる方法（クライン）