Download to read offline
![Пакет изображений, полученных оптическими датчиками в
различных частотных диапазонах, называется гиперспектральным
изображением.
Математической моделью гиперспектрального изображения
является двумерный векторно-значный сигнал:
( , ):[0, 1] [0, 1] K
n m N M f R
2
1
1
2
( , )( , )
( , ) ( , )
( , )
... ...
( , ) ( , )K
K
f n mf n m
f n m f n m
n m
f n m f n m
f
Гиперспектральные изображения](https://image.slidesharecdn.com/random-150414091014-conversion-gate01/85/E-Ostheimer-V-G-Labunets-D-E-Komarov-T-S-Fedorova-and-V-V-Ganzha-Frechet-Filters-for-Color-and-Hyperspectral-Images-4-320.jpg)
Uploaded byAIST
E. Ostheimer, V. G. Labunets, D. E. Komarov, T. S. Fedorova and V. V. Ganzha - Fréchet Filters for Color and Hyperspectral Images
Документ посвящен фильтрации цветных и гиперспектральных изображений с использованием векторных фильтров фреше. Обсуждаются подходы к подавлению шума, минимизации искажений и повышению быстродействия алгоритмов фильтрации. Приведены математические модели и экспериментальные результаты, подтверждающие эффективность предложенных решений.
More Related Content
Similar to E. Ostheimer, V. G. Labunets, D. E. Komarov, T. S. Fedorova and V. V. Ganzha - Fréchet Filters for Color and Hyperspectral Images
E. Ostheimer, V. G. Labunets, D. E. Komarov, T. S. Fedorova and V. V. Ganzha - Fréchet Filters for Color and Hyperspectral Images
- 1. Fréchet Filters forColor and Hyperspectral Images Filtering E.Ostheimer1 , V.G. Labunets, D.E.Komarov, T.S.Fedorova , V.V.Ganzha Yekaterinburg , AIST-2015 Ural Federal University, pr. Mira, 19, Yekaterinburg, 620002, Russian Federation Capricat LLC 1340 S. Ocean Blvd., Suite 209 Pompano Beach 33062 Florida USA
- 2. 1. Введение 2. Постановка проблемы 4.Экспериментальные результаты 3. Предлагаемый подход 5. Выводы
- 3. S1 S2 S3 S4 S5 Основные требования,предъявляемые к алгоритмам фильтрации: 1) Эффективное подавление шума 2) Минимальные искажения полезного сигнала (в частности сохранение перепадов яркости) 3) Высокое быстродействие. СХЕМА Скалярные фильтры Оптимальный вектор Фреше Векторные фильтры Обобщенная стоимостная функция Метрика
- 4. Пакет изображений, полученныхоптическими датчиками в различных частотных диапазонах, называется гиперспектральным изображением. Математической моделью гиперспектрального изображения является двумерный векторно-значный сигнал: ( , ):[0, 1] [0, 1] K n m N M f R 2 1 1 2 ( , )( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ... ... ( , ) ( , )K K f n mf n m f n m f n m n m f n m f n m f Гиперспектральные изображения
- 5.
- 6. S1 S2 S3 S4 S5 Модель обрабатываемогоизображения Рассмотрим изображение следующей формы ( ) ( ) ( )f x s x η x где - оригинальное К-канальное изображение, - шум, воздействующий на - искаженное шумом изображение ( )η x ( )f x ( )s x ( )s x
- 8. Восстановление полезного сигнала Задача: максимально точно выделить полезное изображение и с максимальной степенью подавить помеху. Степень точности оценки (точности фильтрации) определяется некоторой мерой близости (мерой схожести) между и :( )s rˆ( )s r ˆ( ), ( ) s r s r Наилучшим фильтром будет такой, который минимизирует функционал . ( ) ( )ˆ( ) FILTER πs r s r r
- 9. S1 S2 S3 S4 S5 ( , (1, 1) ( 1, ) ( 1, 1) ( , 1) ( , 1) ( 1, 1) ( 1, ) ( 1, )ˆ( , 1 ) ) s i f i j f i j f i j f i j f i j f i j f i j f i j f i jj Filter Filter
- 11. Упрощающее предположение 1.Для простоты будем считать, что наблюдаемый сигнал является аддитивной смесью полезного сигнала и шума 2 ( ) ( ) ( ), f r s r r rπ Z
- 12. 1 1 22 1 2 1 2( | , ), 0, ( , ) ( , ) ( ) ( )p x i j m i j i j E i i j j ( ) ( , )t x y ( )t
- 13. Упрощающее предположение 2.Будем также предполагать, что полезный сигнал (изображение) представляет собой объединение областей, в которых сигнал принимает постоянные значения (изображение типа “лоскутного одеяла”) , ) 1 2( .( , ) , ,..., , ,...,m n Лоскут N Nm n s s s s
- 14. Упрощающее предположение 3.Будем предполагать, что совместная плотность распределения вероятностей наблюдаемых данных определяется совместной плотностью распределения шума, т.е. 1 2 1 2, ,..., , ,...,N Np x x x p x x x Более того, будем предполагать, что шум в во всех пикселях действует независимо друг от друга, т.е. 1 1 2, ,..., N i i Nx x xp p x
- 15. 1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 1 1 2 log log log log , ,..., , , ..., , ,..., max max экс экс экс N N N экс экс экс N opt N i i N экс i i N экс i i N Эксперимент f f f p x L x L x L x p x x x x x x L L x x x L L 1 N экс i i
- 16. 2 2 ( ) 2 X 2 1 (| , ) 2 x m x m e N 2 1 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 1 1 ( ) 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 log ( ) log ( ) , ,..., , ,..., max min i экс экс экс N N opt экс i xN N i i i xN i N N экс экс i i i i N const p x e e x x p x x x L L x x x L L 1 1 0log opt N экс i iN xL
- 17. 2 2 1 111 ˆ = ( )argmin argminэкс opt i N N i i i x R R (1) экс x (9) экс x(5) экс x(4) экс x(3) экс x(2) экс x (6) экс x (8) экс x(7) экс x (1) экс x (9) экс x(5) экс x(4) экс x(3) экс x (2) экс x (6) экс x (8) экс x(7) экс x 2 9 ( ) 2 8 ( ) 2 4 ( ) 2 7 ( ) 2 6 ( ) 2 1 ( ) 2 2 ( ) 2 3 ( ) 2 9 ( ) 2 8 ( ) 2 7 ( ) 2 6 ( ) 2 5 ( ) 2 3 ( ) 2 2 ( ) 2 1 ( ) 1 R 1 R 1 1 opt N экс i iN x + + + +
- 18. 1 2 2| | 1 1 2| | 1 1 1 1 2 2 2 log log , ,..., , ,..., max min N N экс экс экс N экс экс i opt i i экс i N N x i i i N x i N N i i N const x x p x e e p x x x L L x x x L L ?? ???log optL 2 | |2 ( | ) x p x e
- 19. 1 11 1 ˆ= ( )argmin argminэкс opt i N N i i i x R R (1) экс x (9) экс x(5) экс x(4) экс x(3) экс x(2) экс x (6) экс x (8) экс x(7) экс x (1) экс x (9) экс x(5) экс x(4) экс x(3) экс x(2) экс x (6) экс x (8) экс x(7) экс x 9 ( ) 8 ( ) 4 ( ) 7 ( ) 6 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 9 ( ) 8 ( ) 7 ( ) 6 ( ) 5 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 1 R 1 R+ + + +
- 20. 1 12 2, ,..., ˆ argmin экс quasiopt i N iэкс экс эксx x x x (1) экс x (9) экс x(5) экс x (4) экс x(3) экс x(2) экс x (8) экс x(7) экс x (1) экс x (9) экс x(5) экс x(4) экс x(3) экс x (2) экс x (6) экс x (8) экс x(7) экс x 9 ( ) 8 ( ) 4 ( ) 7 ( ) 6 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 9 ( ) 8 ( ) 7 ( ) 6 ( ) 5 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 1 2 2, ,...,quasiopt экс экс эксx x x = Med 1 2 2, ,...,экс экс эксx x x 1 2 2, ,...,экс экс эксx x x
- 22. Пусть - метрическоегиперспектральное пространство с метрикой . Пусть N нормированных весов и пусть - N экспериментальных данных ,K R 1 2, ,..., Nw w w 1 2 , ,..., N K x x x D R Определение 1. Оптимальным взвешенным вектором (медианой) Фреше, ассоциированным с метрикой , называется вектор который минимизирует функцию стоимости Фреше и формально определяется как ( )K K opt med c R c R 1 , N i i i w c x 1 2 1 , ,..., ,K N N i opt i i w Rc c FrechVec x x x argmin c x = 1 2 1 2 , ,..., 1 ˆ , ,..., , N N N i opt i i w x x xc c FrechMed x x x argmin c x=
- 23. 1x 2x 3x 4x 5x 6x R G B 1x 2x 3x 4x 5x 6x R G B 1 ˆ argmin ,k N opt i R i x + +
- 24. 1x 2x 3x 4x 5x 6x R G B 1x 2x 3x 4x 5x 6x R G B 1 2 1 ˆ arg min , , ,...,ˆ i N opt i N x i quasioptx Med x x xμ
- 25. Сити метрика: Евклидова (квадратичная) метрика: Lp - метрика: Расстояние по Колмогорову: Max метрика: Min метрика: 1 1 1 ( , ) ( , ) K i i i x y N x y x y x y 2 2 2 1 1 ( , ) ( , ) ( ) K i i i x y N x y x y x y 1 1 ( , ) ( , ) ( ) K pp p i ip i x y N x y x y x y 1 1 1 1 ( , ) ( , ) Kol (Kol( )) Kol ( Kol( )) K Kol i i i x y N x y x y x y 1 1max( ) max( ,..., )k kx y x y x y 1 1min( ) min( ,..., )k kx y x y x y
- 26. Медианная псевдо-метрика(агрегация координат): Ранговая псевдо-метрика (агрегация координат): Все известные метрики имеют агрегированный тип, поэтому мы предлагаем использовать агрегационное расстояние вместо классического расстояния . 1 1med( ) med( ,..., )med k kx y x y x y 1 1( ) ( ,..., )rank k krank rank x y x y x y Agg
- 27. 1 2 12 1 2 1 2 1 2 1 ... 1 2 ... 1 2 ( , ,..., ) 1 ( , ,..., ) ( , ,..., ) ( , ,..., ) ( , ,...,N k N N N N i i w w w N w w w x x x x x x x x x x N x x x x x x Aggreg M 1. Арифметическое среднее ean 2. Взвешенное ср Arithm Aggreg Mean еднее 1 2 ... 1 2 1 1 1 ) 1 ( , ,..., )k N N N iw w w N i i iN i i i i x x x w x w x w Arithm
- 28. 1 2 12 1 1 ( , ,..., ) ( , ,..., ) N pp p N p N i i x x x x x x x N Aggreg M 3. Степенные p -сре e n д a ние 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 ( , ,..., ) ( , ,..., ) 1 ( , ,..., ) ( , ,..., ) 1 ( N N Geo N Geo N i i Har k Har N N i i x x x x x x x x x x x x x x x 4. Геометрическое среднее 5. Гармоническое среднее 6. Min-, Max -средние Aggreg Mean Aggreg Mean Aggreg 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 , ,..., ) ( , ,..., ) ( , ,..., ) ( , ,..., ) ( , ,..., ) ( , ,..., ) ( , ,..., ) ( , ,..., ) N N N N Med N N N N x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Min Aggreg Max Aggreg Med Aggr 7. Mедиа x на eg Ma
- 29. 1 1 21 2 1 1 ( , ,..., ) ( , ,..., ) N iN NKol Kol i x x x x x x K K x N 9.Среднее по Колмогорову Aggreg Mean maxx ФизическаяшкалаФизическаяшкала maxK x Шкала Комогорова maxx minx minK x minx K 1 K
- 30. Agg Frechet Cost Function Metric Aggregation functionAggregation function cost Agg
- 31. ... ... ... ...... ... ... ... cos 1 t Agg ... cos 2 t Agg cost nAgg 1Agg 2Agg mAgg cos , 11 t Agg cos , 21 t Agg cos , 1 t nAgg cos , 12 t Agg cos , 22 t Agg cos , 2 t nAgg cos , 1 t mAgg cos , 2 t mAgg cos ,t nmAgg cost Agg Agg
- 32.
- 33. 0 1 2(, )p x x 1 9( , )p x x 0 0 1x 2x 9x 2x 9x ... ... ... ... ... ... 2 1( , )p x x 2 9( , )p x x 9 1( , )p x x 9 2( , )p x x ... ... ... 1x 9 1 1 ,q p i i x x 9 2 1 ,q p i i x x 9 2 1 ,q p i i x x 1 min , N q p i j i x x Векторные медианные фильтры, ассоциированные с метрикой Lp и усредняющей стоимостной функцией
- 34. 0 1 2(, )p x x 1 9( , )p x x 0 0 1x 2x 9x 2x 9x ... ... ... ... ... ... 2 1( , )p x x 2 9( , )p x x 9 1( , )p x x 9 2( , )p x x ... ... ... 1x 1,q p iMed x x min ,q p i jMed x x Векторные медианные фильтры, ассоциированные с метрикой Lp и медианной стоимостной функцией 2 ,q p iMed x x 9 ,q p iMed x x
- 35. 0 1 2(, )p x x 1 9( , )p x x 0 0 1x 2x 9x 2x 9x ... ... ... ... ... ... 2 1( , )p x x 2 9( , )p x x 9 1( , )p x x 9 2( , )p x x ... ... ... 1x 1,q p iMin x x Векторные медианные фильтры, ассоциированные с метрикой Lp и Min-стоимостной функцией 2 ,q p iMin x x 9 ,q p iMin x x min ,q p i jMin x x
- 36. Векторные медианные фильтры а)Original image b) Noised images, PSNR = 21.83 cos 2,t Agg Agg Mean PSNR = 32.524 cos 2,t Agg Agg Med PSNR = 31.788 cos 2,t Agg Agg Min PSNR = 28.293 cos 2,t Agg Agg Geo PSNR = 30.517 Fig. 1. Noise: “Salt-Peper”. Denoised images (c)-(f) c) d) e) f)
- 37. Векторные медианные фильтры а)Original image b) Noised images, PSNR = 28.24 cos 2,t Agg Agg Mean PSNR = 30.68 cos 2,t Agg Agg Med PSNR = 29.61 cos 2,t Agg Agg Min PSNR = 27.77 cos 2,t Agg Agg Geo PSNR = 30.14 Fig. 3. Noise: “Laplacian PDF”. Denoised images (c)-(f) c) d) e) f)
- 38. Векторные медианные фильтры а)Original image b) Noised images, PSNR = 17.18 cos 2,t Agg Agg Mean PSNR = 21.83 cos 2,t Agg Agg Med PSNR = 20.84 cos 2,t Agg Agg Min PSNR = 19.04 cos 2,t Agg Agg Geo PSNR = 20.50 Fig. 3. Noise: “Gaussian PDF”. Denoised images (c)-(f) c) d) e) f)
- 39. Векторные медианные фильтры b)Noised images, PSNR = 17.18 “Gaussian PDF” cos 2,t Agg Agg Mean PSNR = 21.83 Noised images, PSNR = 28.24 cos 2,t Agg Agg Mean PSNR = 30.68 “Laplacian PDF” Noised images, PSNR = 21.83 c) cos 2,t Agg Agg Mean PSNR = 32.524 “Salt-Peper”
- 41.
- 42. 1 2 1 ˆ arg min , , ,.. ,ˆ . N opt i N i quasioptx Med x xμ x 0 1 2( , )p x x 1 9( , )p x x 0 0 1x 2x 9x 2x 9x ... ... ... ... ... ... 2 1( , )p x x 2 9( , )p x x 9 1( , )p x x 9 2( , )p x x ... ... ... 1x 9 1 1 ,p i i x x 9 2 1 ,p i i x x 9 2 1 ,p i i x x 1 min , N p i j i x x Векторные медианные фильтры, ассоциированные с метрикой Lp и усредняющей стоимостной функцией
- 43. Что есть агрегационныйоператор? 1 2 1 2 1 1 1. = ( , ,..., ) ( , ,..., ) N N N i i x N x x x x x x x Arithm Mean 1 22. ( , ,..., )Nx x x x Med minx maxx Mean Med min maxx x x 1 2( , ,..., )Nx x x x 1 2( , ,..., )Nx x x y x Aggreg
- 44. Основные свойства АО 1)( ) 2) (0,...,0) 0 and (1,...,1) 1, 3) ( ,..., ) ( ,..., ), если ( ,..., ) ( ,..., ). l n l n l n l n y x x y y x x y y x x y y Aggreg Aggreg Aggreg Aggreg Aggreg Основные ограничения: 1 2 1 2 2 1 2 1 2 11) min( , ,..., ) ( , ,. ( , ,..., ) ( , ,.. .., ) max( , ,..., ) 2) ., ) n n n n nx m x m x m A x x x x x x x x m x x x x Aggreg A Aggreg ggreg Дополнительные ограничения:
- 45. 0 1 2(, )p x x 1 9( , )p x x 0 0 1x 2x 9x 2x 9x ... ... ... ... ... ... 2 1( , )p x x 2 9( , )p x x 9 1( , )p x x 9 2( , )p x x ... ... ... 1x 9 9 1 1 ,p i i x x Векторные медианные фильтры, ассоциированные с метрикой Lp и Geo-стоимостной функцией 9 9 1 min ,p i j i x x 9 9 2 1 ,p i i x x 9 9 9 1 ,p i i x x
- 46. Экспериментальная часть 𝑓 𝑀𝑐𝑜𝑙𝑥 = 𝑆 𝑀𝑐𝑜𝑙 𝑥 + 𝜂 𝑀𝑐𝑜𝑙(𝑥), где 𝑆 𝑀𝑐𝑜𝑙 𝑥 = 𝑠1 𝑥 , 𝑠2 𝑥 , … , 𝑠 𝑘 𝑥 - оригинал k- канального изображения, 𝜂 𝑀𝑐𝑜𝑙 𝑥 = (𝜂1 𝑥 , 𝜂2 𝑥 , … , 𝜂 𝑘(𝑥)) - k-канальный шум, 𝑓 𝑀𝑐𝑜𝑙 𝑥 = (𝑓1 𝑥 , 𝑓2 𝑥 , … , 𝑓𝑘 𝑥 ) – искаженное изображение, полученное воздействием шума 𝜂 𝑀𝑐𝑜𝑙 𝑥 на изображение 𝑆 𝑀𝑐𝑜𝑙 𝑥 . 𝑥 = (𝑖, 𝑗) ∈ 𝑍2 – это двухмерное пространство, которое принадлежит к области изображения и представляет собой местоположение пикселей.
- 47. Общая схема фильтрации 𝑀 𝑖,𝑗 (𝑚, 𝑛) 𝑚=−𝑟,𝑛=−𝑟 𝑚=+𝑟,𝑛=+𝑟 - квадратное окно размером N= 2 ∙ 𝑟 + 1 ∙ 2 ∙ 𝑟 + 1 . 𝑆 𝑀𝑐𝑜𝑙 𝑖, 𝑗 = 𝑀𝑒𝑎𝑛(𝑚,𝑛)∈𝑀(𝑖,𝑗) { 𝑓 𝑀𝑐𝑜𝑙(𝑚, 𝑛)}, где 𝑆 𝑀𝑐𝑜𝑙 𝑖, 𝑗 – это отфильтрованное изображение { 𝑓 𝑀𝑐𝑜𝑙(𝑚, 𝑛)}(𝑚,𝑛)∈𝑀(𝑖,𝑗) – это блок изображения фиксированного размера N, извлеченного из 𝑓 𝑀𝑐𝑜𝑙, перемещая окно M(i,j) в позицию (i,j)
Editor's Notes
- #2 Тема нашей презентации: «Фильтры Фрише и их применение для цветных и гиперспектральных изображений». Мои соавторы Лабунец Валерий Григорьевич, Федорова Татьяна Сергеевна, Ганжа Владислав из уральского федерального университета и Екатерина Остахаймер из USA из радиолокационной корпорации “Capricat”.
- #3 Содержание презентации: 1) Введение. 2) Постановка проблемы. 3) Предлагаемый подход 4) экспериментальные результаты 5) Выводы
- #4 Фильтрация изображений – одна из важнейших операций в обработке изображений. В настоящее время разработано большое количество алгоритмов фильтрации как линейных, так и нелинейных. Основные требования, предъявляемые к алгоритмам фильтрации: Эффективное подавление шума Минимальные искажения полезного сигнала (в частности сохранение перепадов яркости) Высокое быстродействие. На основе оптимального вектора Фреше мы предлагаем векторный аналог скалярной медианы, которая зависит от двух агрегационных функций. Первая представляет собой обобщенную стоимостную функцию. Вторая – обобщает понятие метрики в многоканальном мультицветовом пространстве. Каждая пара агрегационных функций порождает новый класс нелинейных фильтров.
- #5 Пакет изображений, полученных оптическими датчиками в различных частотных диапазонах, называется гиперспектральным изображением. Они состоят из серий изображений в различных участках оптического диапазона на длинах волн λ1, λ2,…, λк, называемых спектральными каналами, где К-количество каналов. Математической моделью гиперспектрального изображения является двумерный векторно-значный сигнал.
- #6 Частным случаем гиперспектральных изображений являются цветные изображения, имеющие три канала.
- #8 На этом слайде приведены два примера зашумленных изображений с различным уровнем шума. ?????????????
- #9 Главная задача системы обработки сигналов состоит в том, чтобы из зашумленного изображения с максимальной точностью выделить полезное изображение и с максимальной степенью подавить помеху, т.е. дать максимально правдоподобную оценку оригинальному изображению, где s с крышкой – восстановленное изображение. Степень точности оценки (точности фильтрации) определяется некоторой мерой близости (мерой схожести). Наилучшим фильтром будет такой, который минимизирует функционал ро.
- #10 В стандартном подходе, по зашумленному изображению скользит квадратное окно, которое выхватывает из изображения N пикселей. В нашем случае N=9. Пиксель, находящийся в центре окна называется редактируемым пикселем. Его новое значение s(i,j) с крышкой дает оценку редактируемому пикселю с учетов всех соседей, попавших внутрь окна. Таким образом оценка s(i,j) с крышкой является некоторой функцией от N переменных. Эта функция на слайде обозначена именем FILTER и представляет собой некоторую совокупность алгебро-логических операций. Эта совокупность операций зависит от многих факторов. Прежде всего, от статистических характеристик шума. В связи с этим перейдем К стандартной постановке проблемы синтеза оптимального фильтра.
- #13 Относительно помехи будем предполагать, что нам известна одномерная плотность распределения p(x,i,j), показывающая вероятность появления помехи pi с уровнем x в пикселе с координатами (i,j). Например, это может быть Лапласовское распределение, показанное на этом слайде или Гауссовское. Далее, мы будем предполагать, что помеха пространственно не только некоррелирована, но и в каждом пикселе она действует независимо от действия в других пикселей, что отражено последним равенством (дельта коррелированный шум). Также будем предполагать, что математическое ожидание равно нулю (среднее равенство)
- #14 Для простоты будем считать изображение серым (скалярно-значным). Поэтом внутри каждого лоскута будем считать яркость изображения постоянной и равной величине мю. Это предположение, естественно, нарушается в том случае, когда окно находится на границе двух лоскутов.
- #15 Т.е. N-мерная плотность распределения является произведение одномерных плотностей.
- #16 Тот факт, что маска в некоторой позиции выхватывает из зашумленного изображения N пикселей f_1,f_2,…,f_N означает, что мы провели эксперимент и получили N экспериментальных данных f_1=pi_1+мю, f_2=pi_2+мю,…,f_N=pi_N+мю . Используя эти экспериментальные данные мы должны дать наиболее правдоподобную оценку яркости мю изображения внутри окна (напоминаю, что она постоянная внутри окна и равна величине мю ). Подстановка экспериментальных данных в многомерную плотность дает так называемую функцию правдоподобия L, которая показывает вероятность того, что яркость фрагмента изображения внутри окна равна некоторой величине мю при полученных экспериментальных данных. Очевидно, что нужно выбрать такое значение мю, которое дает максимальную вероятность появления этого значения при полученных экспериментальных данных. Эта оценка мю называется максимально правдоподобной оценкой. Вместо поиска максимума у функции правдоподобия L обычно находят максимум у ее логарифма и говорят о максимизации логарифмической функции правдоподобия. Чтобы найти то значение мю, которое приносит максимум L или что то же самое функции log(L), последнюю нужно продифференцировать и производную приравнять нулю. Рассмотрим это на конкретном примере.
- #17 Пусть помеха распределена по Гауссу с нулевым математическим ожиданием. Тогда логарифмическая функция правдоподобия будет квадратичной функцией. Ее дифференцирование по мю дает линейное уравнение с одним неизвестным, решение которого дает наиболее правдоподобную оценку яркости фрагмента при полученных внутри окна данных и эта наиболее правдоподобная оценка равно среднему арифметическому значению всех пикселей (экспериментальных данных) внутри окна. Фильтр, вычисляющий среднее значение у всех пикселей, попавших внутрь маски называется простым усредняющим фильтром и он является оптимальным для некоррелированоого гауссовского шума С другой стороны мы замечаем, что поиск оптимума может быть сведен к поиску такого значения мю, которое минимизирует сумму квадратичных отклонений экспериментальных данных от мю. Именно это обстоятельство будет нами обобщено в дальнейшем.
- #18 На этом слайде мы иллюстрирует поиск наиболее правдоподобного значения мю путем передвижения красной точки по ВСЕЙ оси яркости. Необходимо найти такое ее положение при котором сумма квадратов всех малиновых расстояний принимает минимальное значение. Конечно, в данном случае, когда рассматривается гауссовский шум оптимальное значение находится аналитически путем вычисления среднего значения от эксперимннтальных данных. Однако, в более общем случае получить аналитические выражения получить не удается и приходится бегать по оси яркости, чтобы найти оптимальное значение. Примерно такая ситуация имеет место в том, случае, когда изображение искажается лапласовской помехой.
- #19 Пусть теперь помеха распределена по Лапласу с нулевым математическим ожиданием. Тогда логарифмическая функция правдоподобия будет ыыпуклой недифференцируемой функцией первой степени. Ее дифференцирование по мю невозможно. Поэтому и аналитического решения не существует. Но геометрически оптимальное значение найти можно.
- #20 Для этого мы передвигаем красную точку мю по ВСЕЙ ОСИ яркости (и это мы подчеркиваем, что по всей оси) и в каждой позиции вычисляем сумму расстояний (сумму абсолютных разностей) от красной мю до всех синих экспериментальных данных. Та позиция красной мю, в которой получается минимальное значения суммарного расстояния и дает оптимальное значение. (Заметим, что в предыдущем примере мы суммировали квадраты расстояний). Ясно, что протестировать на оптимальность бесконечное число точек оси яркости не представляется возможным. Поэтому исследовательский район, в котором ищется оптимальное значение красной мю ограничивают некоторым подмножеством оси яркости. Довольно часто в качестве такого подмножества выбирают множество экспериментальных точек. И каждая из них испытывается на оптимальность.
- #21 В этом случае мы заставляем красную точку мю бегать не по все оси яркости, а только по тем точкам, где расположены экспериментальные данные. (В этом случае красная точка обозначена у нас не красным квадратом, а красным кружочком). Та позиция мю, в которой достигается минимум называется квазиоптимальным значением. Можно доказать, что это значение совпадает с медианной экспериментальных данных. Фильтр, вычисляющий медиану у экспериментальных данных, попавших внутрь окна, называется медианным фильтром.
- #22 Перейдем к векторным медианным фильтрам.
- #23 Пусть у нас есть метрическое пространство с метрикой р, есть N нормированных (т. е. дающих в сумме 1) весов, а так же N экспериментальных данных. Оптимальным взвешенным вектором Фреше, связанным с метрикой р называется вектор Сопт, который минимизирует функцию затрат Фреше, которая определяется как взвешенная сумма расстояний от вектора Сопт до всех экспериментальных данных хi, и формально определяется так как показано на слайде. Обратите внимание, что argmin означает аргумент, по которому сумма минимизируется. В верхней формуле поисковым районом является все пространство, а во второй формуле поисковым районом является набор экспериментальных данных х1, х2, …, хN. Такой вектор, которому соответствует усеченная область, мы назовем Сопт с крышкой.
- #24 Этот слайд иллюстрирует поиск оптимального вектора Фреше, когда поисковым районом является все цветовое пространство.
- #25 Данный слайд иллюстрирует поиск оптимального вектора Фреше, когда поисковым районом является набор экспериментальных данных х1, х2, …, хN.
- #26 Существуют различные метрики, которые можно применять при создании фильтров, часть из них приведена на слайде: сити метрика, Евклидова (или квадратичная) метрика, Lp метрика, расстояние по Колмогорову, Макс, Мин метрика.
- #27 Так же для определения расстояний могут быть использованы медиана и ранг, это будет псевдо-метрика. Все известные метрики имеют агрегированный тип, поэтому мы предлагаем использовать агрегационное расстояние вместо классического расстояния .
- #28 В качестве стоимостной функции Фреше так же можно использовать различные функции: среднее арифметическое, взвешенное среднее (позволяет учесть различную степень доверия пикселям, попавшим в окно фильтра).
- #29 Так же используются: степенные средние, геометрическое среднее, гармоническое среднее, Мин, Макс среднее, Медиана.
- #30 Так же можно выделить среднее по Колмогорову. На экспериментальные данные мы воздействуем функцией Колмогоровского вида (непрерывная и монотонная функция на рассматриваемом отрезке) суммируем, усредняем и воздействуем обратной функцией.
- #31 Функция стоимости Фреше является простейшей агрегатной функцией до постоянного множителя. По этой причине мы можем использовать функцию стоимости в виде функции агрегирования, обозначенной меткой cost. Как было сказано выше, вместо классического расстояния мы предлагаем использовать агрегационное расстояние, обозначенное с меткой ро.
- #32 Таким образом, мы можем составить таблицу, которая описывает все возможные фильтры, полученные попарными сочетаниями агрегационных функций стоимости и агрегационных расстояний. По строкам стоят агрегационные функции стоимости, по столбцам агрегационные расстояния.
- #33 В своей работе мы рассмотрели 4 фильтра, которые определяются частью одного столбца, соответствующего квадратичной (Евклидовой) метрике. В качестве агрегационных функций стоимости мы использовали среднее арифметическое, медиану, минимум и среднее геометрическое.
- #34 При построении фильтров мы использовали двигающееся окно 3*3, поэтому мы получаем по 9 экспериментальных данных. Найдем все попарные расстояния как показано в таблице. Просуммируем расстояния по строкам, получим 9 сумм. Причем суммировать мы можем как просто расстояния, так и возведенные в некоторую степень. И полученных расстояний выберем минимум. Тогда в редактируемый пиксель ставится значение, соответствующее минимальной сумме. Таким образом мы получим фильтр с функцией агрегационной стоимости в виде среднего арифметического (суммы квадратичных расстояний).
- #35 Вместо суммы расстояний мы можем искать медиану и выбирать уже минимальную из медиан. Это фильтр с функцией агрегационной стоимости в виде медианы.
- #36 Так же вместо суммы мы можем находить минимум расстояний в строке. Так мы получим фильтр с функцией агрегационной стоимости в виде нахождения минимума.
- #37 Экспериментальные результаты для случая шума типа «Соль-перец». Первое изображение – оригинальное, второе – зашумленное с PSNR 21 дБ. Остальные четыре отфильтрованных изображения получены для различных Агрегационных Функций Стоимости: среднее арифметическое (рисунок с), медиана (рисунок d), минимум (рисунок e), среднее геометрическое (рисунок f). Метрика во всех случаях квадратичная. Наилучший результат получен при функции Агрегационной стоимости в виде среднего арифметического (суммы квадратичных расстояний в цветовом пространстве).
- #38 На этом слайде представлены экспериментальные результаты для случая шума типа «Лапласовского шума». Первое изображение – оригинальное, второе – зашумленное с PSNR 28 дБ. Остальные четыре отфильтрованных изображения получены при использовании тех же агрегационных функций стоимости. Метрика во всех случаях так же квадратичная. Наилучший результат получен при той же самой Агрегационной функции стоимости как и в случае шума «Соль-перец» (среднее арифметическое).
- #39 На этом слайде представлены экспериментальные результаты для случая шума типа «Гауссовского шума». Первое изображение – оригинальное, второе – зашумленное с PSNR 17 дБ. Остальные четыре отфильтрованных изображения получены при использовании тех же агрегационных Функций стоимости. Метрика во всех случаях так же квадратичная. Наилучший результат получен снова при той же самой Агрегационной функции стоимости (среднее арифметическое).
- #40 Анализ полученных результатов показывает, что: Все фильтры обладают достаточно хорошими фильтрующими свойствами, позволяющими В ПРИНЦИПЕ использовать их в качестве фильтров. 2) При использовании квадратичной метрики цветового пространства наилучший результаты дают фильтры с стоимостной функцией в виде среднего арифметического (суммы квадратичных метрик) по сравнению с другими стоимостными функциями. 3) Фильтр с такими характеристиками (квадратичная метрика, стоимостная функция в виде суммы метрик) лучше всего фильтрует шум типа «Соль-Перец». Использование других метрик и стоимостных функций приводит к другим фильтрам с другими характеристиками. Например, использование «сити-метрики» в цветовом пространстве и четырех рассмотренных функций стоимости приводит к другим окончательным результатам. Наилучшим фильтром становится фильтр с квадратичной стоимостной функцией среди всех остальных стоимостных функций и наиболее эффективно он фильтрует уже не шум типа «соль-перец», как в предыдущем случае, а лапласовские шумы.
- #42 Ваши вопросы.
- #46 Так же вместо суммы мы можем находить среднее геометрическое расстояний в строке. Так мы получим фильтр с функцией агрегационной стоимости в виде среднего геометрического.