Документ обсуждает принципы построения локальных систем управления и методы их регулирования, включая стабилизацию, программное регулирование и методы компенсации влияния внешних возмущений. Описываются различные подходы к регулированию, учитывающие запаздывание и стохастические возмущения, а также даются рекомендации по настройке регуляторов. Основное внимание уделяется синтезу оптимальных систем управления для объектов с различными характеристиками и условиями.

1. Не для школы,
а для жизни мы учимся.
Античный афоризм
1

2. Лекции
ЛОКАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ
Часть 2
авт. – проф. Валерий Александрович ТЕРЕХОВ
Санкт-Петербург, 2013
2

3. 3. ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ ЛСУ
• стабилизация
• программное регулирование
• слежение
• управление состоянием
→ функциональные цели ЛСУ →
объективное влияние на объект возмущений внешней среды
→ и собственных свойств в процессе функционирования во
времени и в пространстве
3

4. 3.1. Регулирование по отклонению при
возмущениях
p
( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 ( ) ( )
ff
f
u
W s
s f s s f s
W s W s
ee = =F
+
4

5. 3.2. Компенсация влияния возмущений
«Принцип компенсации нагрузки" для регулирования паровых
машин французского математика и инженера Ж. В. Понселе
(1830 г.).
3.2.1. Прямое измерение сигнальных возмущений
5

6. к( )( ( ) ( ) ( )) 0при ( ) 0f uf s W s W s W s f s+ = ¹Þ
y
f
Условие абсолютной инвариантности регулируемой переменной
относительно измеряемого сигнала возмущений
1
к ( ) ( ) ( ).f uW s W s W s-
=-
3.2.2. Косвенное измерение сигнальных возмущений
6

7. ( ) ( )
к м
к м к м
( ) 1 ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( )
u
u u
W s W s W s
y s s v s
W s W s W s W s W s W s
m
+
= +
+ - + -
( )к м( ) 1 ( ) ( ) 0, ( ) 0v s W s W s v s+ =Þ ¹ Þ
1
к м( ) ( )W s W s-
=
3.3. Комбинированные системы регулирования
Объединение:
1) принципа регулирования по отклонению и
2) методов компенсации влияния возмущений
(рисунок 3.5)
7
Для схемы на рис. 3.4 следуют

8. pк
p p
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) .
1 ( ) ( ) 1 ( ) ( )
u f u
u u
W s W s W s W s W s
y s g s f s
W s W s W s W s
+
= +
+ +
8

9. 3.3.2. Косвенное измерение возмущений
p м к
( ) ( ) 1 ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ,
( ) ( )
uW s W s W s W s
y s g s v s
s s
-
= +
D D
pк м к( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).u us W s W s W s W s W s W s= + + -D
9

10. 1
к м( ) ( )W s W s-
= Þ 1
pм( ) ( ) ( ) ( ) ( )u us W s W s W s W s-
= +D Þ
pм
pм
( ) ( )
( ) ( ) , ( ) 0.
1 ( ) ( )
W s W s
y s g s v s
W s W s
= ¹
+
1
к м
ˆ ( ) ( ) ( )W s W s sd-
= ÞТехническая реализация
( )pм( ) ( ) ( ) 1 ( )
( ) ( ) ( ) , mod 1 ( ) 1
( ) ( )
uW s W s W s s
y s g s v s j
s s
d
d w* *
-
= + -
D D
=
м p м м( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1 ( ) ( )).us W s W s W s W s W s sd*
= + + -D
При значении mod ( ) 1для 0jd w w= ¥££ Þ ( ) ( ).s s*
=D D
10

11. 3.3.3. Комбинированная следящая система
к 2
1 2
1 ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) .
1 ( ) ( )
W s W s
s g s s g s
W s W s
ee
-
= =F
+
( ) 0, 0t te = ³1
к 2Если ( ) ( ), тоW s W s-
= Þ
11

12. Метод расчета с использованием ЛЧХ и эквивалентирования
структуры
1 2к 2
э
1 2
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 ( ) ( )
W s W s W s W s
s
W s W s
+
= =F
+
к
1 2
1
( ) ( )
1 ( ) ( ).
( ) 1 ( )
W s W s
s s
W s W s
æ öæ ö÷ ÷ç ç÷= + = FF÷ç ç÷ ÷ç ç ÷÷ç +è øè ø
к
1э
э
э к 2
( )
( ) 1
( )( )
( ) .
1 ( ) 1 ( ) ( )
W s
W s
W ss
W s
s W s W s
æ ö÷ç ÷+ç ÷ç ÷çF è ø
= =
- -F
12

13. 3.3.4. Регулирование объектов с изменяющимися
параметрами
( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ),t B p t u t A p t y tj = -D D
( ), ( )i ja t b td d
( )
1
к 0( ) ( ) ( ),x t B p tj
-
= к( ) ( ) ( )u t t x tm= +
Модель обобщенного настраиваемого объекта
(ОНО):
( )
( )( )
( )
*
0 0
ОНО
*
0 0
0
( ) ( ) ( , )
( , ) ,где
( , )
( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , )
*( ) ( ) ( , ) .Если выполнить
B p B p B p t
W p t
р t
р t B p B p t A p A p t
A p B p B p t
+ D
=
D
= + + -D D
- + D
* *
*
0
( , ) ( , ); ( , ) ( , );
( , ) ( , )
A p t A p t B p t B p t
B p t B p t
D º D D º D
º Þ ОНО 0 0( ) ( ) ( ).W p B p A p=
13

14. 3.4. Регулирование объектов с запаздыванием
Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом,
дифференциально-разностные уравнения,
дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом вида
[ ]( ) ( ), ( ),x t f x t x t tt= -&
где x — неизвестная функция независимого аргумента t ; f : R3
→ R, а
t
— положительное число (запаздывание).
“Чистое” (транспортное) запаздывание:
( ) ,j
W j e wt
w -
= mod 1; .j
e wt
w-
= - ¥ ¥££
( )=lg mod 0,j
L e wt
w -
= ( ) arg .j
e wt
j w wt-
= =-
В линейных системах о( ) ( ) ,s
W s W s e t
t
-
=
1
0
о 1
0
( 1)
( ) .
( 1)
m
j
j
n
i
i
s
W s k
T s
t
-
=
-
=
+P
=
+P
14

15. { }о
э
Если , , 1,2, 1; 1,2, 1, тогда вводят
эквивалентное запаздывание :
i jT T i n j mt
t
- -Î Î? K K
э .i j
i j
Tt t= -å å
Типовые модели ТОУ:
э
;
s
ke
s
t- э
0
;
1
s
ke
T s
t-
+
э
2 2
.
2 1
s
ke
T s Ts
t
x
-
+ +
3.4.1. Учет влияния запаздывания на устойчивость замкнутого контура
c c cкр c( ) ( ) 0, ( ) 0,Lt j w j w w t w= - = >D D D
15

16. 3.4.2. Аппроксимация запаздывания рядом Падѐ
2 3
2 3
( ) ( )
1 ...
2! 6 2! 6 3!
( ) ( )
1 ...
2! 6 2! 6 3!
s
s s s
e
s s s
t
t t t
t t t
-
- + - +
× ×=
+ + + +
× ×
А – идеальное звено запаздывания;
Б – аппроксимации 2-го порядка;
В – аппроксимации 4-го порядка.
16

17. Примеры аппроксимации:
1 0,5
,
1 0,5
s s
e
s
t t
t
- -
+
; ( ) 2arctg(0,5 ),tj w wt=- *
1: ( ) .twt j w wt» -=
2
2
1 0,5 0,083( )
,
1 0,5 0,083( )
s s s
e
s s
t t t
t t
- - +
+ +
; *
2
6
( ) 2arctg .
12 ( )
t
wt
j w
wt
=-
-
*
При 1 имеем ( ) .twt j w wt< -;
17

18. Применение ряда Пад :ѐ
0 1 6.Tt £
В практическом плане использование ряда Падѐ ограничено
значениями
18

19. 3.4.3. Упредитель Смита
Цель ─ синтез одноконтурных систем регулирования объектов с
эквивалентным (транспортным) запаздыванием без его учета , но с
сохранением эффекта запаздывания в конечном результате синтеза.
( ) ( ) ( ) ; ( ) ( ) ( ) ; ( ) ( ) ( ) ,s s s
g g f fy s g s s e s g s s e y s f s s et t t
ee- - -
= = =F F F
где ( ), ( ) и ( ) ПФ системы без учета запаздывания.g fs s seF F F ®
19

20. 2 3
( ) ( ) ( )
(1 )при mod 1
2! 3! !
n
s s s s
e s s j
n
t t t t
t t wt wt-
- = + - + + + » = <L L
p o*
p o
( ) ( )
( ) ( ) 1 ( ) ,где ( ) .
1 ( ) ( )
s s
f f g g
W s W s
s s e s e s
W s W s
t t- -
= = - =F F F F
+
3.4.4. Настройка регуляторов на объект с запаздыванием
Рекомендации качественного характера по выбору закона
регулирования исходя из величины отношения величины запаздывания к
доминирующей по величине постоянной времени объекта и величины
отношения времени регулирования ко времени запаздывания.
1. Минимальное время регулирования в системе с запаздыванием
ограничено снизу значением для типовой модели
апериодического объекта первого порядка.
pmin o2t T=
20

21. 3.4.4. Настройка регуляторов на объект с запаздыванием
(окончание)
2. Для значений соотношения < 0,2 можно применять все
типовые релейные, непрерывные или цифровые регуляторы.
3. Если 0,2 < < 1, то необходим непрерывный или цифровой
ПИ-, ПД-, ПИД-регуляторы.
4. Для значений > 1 рекомендуется регулирование с
постоянной времени и применением упреждающих
(дифференцирующих) устройств, в том числе ПИД-регуляторов с
упредителем Смита.
Однако этот же регулятор рекомендуется применять и при меньших
значениях .
См.:
http://automation-system.ru
oTt
oTt
oTt
oTt
oT
21

22. 3.5. Регулирование объектов при случайных
возмущениях
Стохастическая теория управления основывается на теории
статистических решений задач идентификации и оценивания
параметров и состояния, статистической оптимизации, фильтрации и
прогнозирования.
Метод синтеза структуры и алгоритма оптимального
минимально-дисперсного регулятора
3.5.1. Постановка задачи для моделей объектов в виде уравнений
( ) ( ) ( ) ,k k kA z y zB z u C z x= +
2
1 2( ) 1 ;n
nA z a z a z a z= + + + +L 2
0 1 2( ) ;m
mB z b b z b z b z= + + + +L
2
1 2( ) 1 l
lC z c z c z c z= + + + +L ― устойчивые полиномы; t s
z e- ×D
= ― оператор
запаздывания. { } , 1, 2,k kx = K ― дискретный белый шум со свойствами:
0, 0;k kx "¹ ³ { }M 0;kmx x =@ { }2
2
0при 0;
M
при 0.
k k m
m
m
x
x
s x x
s
-
ì ¹ïï= =í
ï =ïî
22
где

23. Тогда эквивалентное возмущение, приведенное к выходу объекта:
совокупное влияние реальных возмущений.
2. Эталонная модель (ЭМ) поведения объекта по воспроизводимому
сигналу:
( ) ( ) ( )k k kv H z C z A zx x= = - гауссовский случайный процесс, имитирующий
ˆ ˆˆ( ) ( ) ,k kA z y zB z g=
ˆ ˆ( ), ( )A z B z ― гурвицевы полиномы.
3. Цель регулирования объекта: ˆ( )при .k k kmine min y y t= - ¥®
4. Регулятор: ku *
= ( ) ( ) .k kA z g B z y−
Пример 1. 1 1 1,k k k k ky ay u cx x− − −+ = + + использовать можно только
1 1, , , , , .k k k ky y u u− −K Kизмеряемые переменные
23

24. 3.5.2. Синтез минимально-дисперсного линейного регулятора
ˆˆ ( ) ( ) ( ),k k k g k ke y y z z g zxxé ù= - = - +F F Fê úë û
ˆ( ), ( )и ( )g z z zxF F F
Допустим состояние системы таким, что
ˆ( ) ( ) 0g z z-F F º Þ
( )
( ) ,где
( )
k k k
g
W z
e z
D z
x
x x x= =F
( )
( ) ,
( )
C z
W z
A z
x =
( )gD z ― полином знаменателя ( )?g zF
Взамен ошибки рассогласования системы
и эталонной модели введем
т.н. "профильтрованную ошибку"0
0 1 0 2
0
( )
, dim ( ) ,dim ( ) .
( )
k k
C z
e e C z D z
D z
n n= = =%
24

25. В качестве меры оптимальности, с учетом стохастической природы
возмущений, примем величину дисперсии профильтрованной ошибки:
2
20
0
( )
M .
( )
k e
C z
J e
D z
s
   
= =  
   
%
Оптимальное управление и необходимые для этого функциональная
структура регулятора удовлетворяют условию минимума
2* 1 2
0 0min minM ( ) ( ) .k
u u
J J D z C z e const−  = = = =   
xs
Оптимальный регулятор в силу условия минимума "выбеливает" ошибку
регулирования (см. пример), т.е. ошибка воспроизведения
задающего воздействия по отношению к воспроизводимому ЭМ
сигналу в среднеквадратичном смысле не может быть меньшей
значения дисперсии белого шума
ˆ ,k k ke y y= -
kg
ˆky
2
xs
25

26. Из условия оптимальности ― условия "выбеливания"
профильтрованной
ошибки, когда при
используемое в доказательстве теоремы о минимально-
дисперсном регуляторе.
k → ∞
0
0
( )
,
( )
k k k
C z
e e
D z
x= =%
следует тождество
0 0( ) ( ) ( ) ( ) ,k kC z C z e C z D z x=
26

27. 3.5.2. Теорема о минимально-дисперсном регуляторе
Для минимально-фазового объекта с приведенным ко входу
эквивалентным возмущением
( )
,
( )
k k
C z
v
A z
x= 1,2, , 0, 0,kk mxx= =¹K
2
0xs ¹
оптимальное управление u∗
, минимизирующее критерий
2
20
0
( )
M ,
( )
k e
C z
J e
D z
   
= =  
   
s%
определяется уравнениями в операторной форме:
0
0
1 2
0
0 0
) ( ) ( ) ( ) ;
ˆ) ( ) ( ) ( ) ( );
ˆ) ( ) ( ) ( ) ( );
ˆ) ( ) ( ) ( ),
( ) , :dim max( ) ( );
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).
k k k
r
i
i
i
a R z u S z g P z y
б R z D z B z A z
в S z C z C z B z
г P z Q z A z
Q z q z r Q l n
д C z C z D z A z zQ z
n n
*
=
üï= - ïïïï= ïïïï= ïïïý= ïïïïï= = + +Úå ïïïïï= + ïïþ
27

28. Для доказательства используем тождество
1. Вычисляются с последовательными подстановками:
0 0( ) ( ) ( ) ( ) .k kC z C z e C z D z x=
0( ) ( ) kC z C z e
0 0 0
0 0 0
0 0 0 1 1
0
ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ( ) ( ) ( ))( )
ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
ˆ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ]
( ) ( ) .
k k k k k
k k k k k
k k k k k
k
C z C z e C z C z y y A z D z Q z y y
A z D z y A z D z y Q z y Q z y A z A z y
Q z y C z C z y z B z D z u C k C k y Q z y
C z D z x
+ +
- = + - =
= - - + = +
+ - = - + +
+
@
2. Из равенства нулю выражения в квадратных скобках в силу тождества (см. выше)
получаем:
0 0 1ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .k k kD z B z u C z C z y Q z y*
+= -
Умножая обе его части на полином
ˆ( )A z и обращаясь к уравнению эталонной модели
получаем необходимое соотношение, из которого следуют структура уравнений
0 0
ˆ ˆˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k k kD z B z A z u C z C z B z g Q z A z y*
= -
минимально-дисперсного регулятора.
28
Доказательство теоремы

29. Структуры операторов А(z) и В (z) имеют вид
( )
( ) ;
( )
S z
A z
R z
=
( )
( ) .
( )
P z
B z
R z
= −
Их физическая реализуемость обусловлена допустимыми порядками полиномов
( ), ( ),S z P z ( ):R z
1 2
1 2
dim ( ) dim ( ) ;
ˆdim ( ) dim ( ) dim ( ) max[ , 2 ].
S z n l R z n m
P z Q z A z l n n
n n
n n
= + + ≤ = + +
= + = + + +
Введем профильтрованные сигналы на входах регулятора:
0
0
ˆ( ) ( )
,
ˆ( ) ( )
k k
C z B z
g g
D z A z
=%
0
1
.
( )
k ky y
D z
=%
Тогда оптимальный – минимально-дисперсный закон управления примет вид
( ) ( )
.
( ) ( )
k k k
C z Q z
u g y
B z B z
% %∗
= −
29

30. 3.6. Регулирование многомерных многосвязных объектов
Использован пример двухсвязного объекта:
1 1 1
p 1 2
2
1 1
p11 p121 2
p21 p222 2
1 2
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
.
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
u s
s s s
u s
u s u s
W s W ss s
W s W su s u s
s s
e e
e e
e e
W @ − − 
  =   
 
 
 
  = =   
   
  
Передаточная функция замкнутой системы ( )sФ по входу g и выходу y:
30

31. Запишем теперь подробно эту матричную передаточную функцию,
используя для этого передаточные функции МР и МОУ :
1 1
1 1 2 11 121 1
1 2
21 222 2 2
1 2
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) .
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
y s y s
y s g s g s s s
s g s g s
s sy s y s y s
g s g s
F F
F F
− −
 
       = = =          
 
 
Ф
o p 1
o p
o p
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ),
( ) ( )
s s
s s s s
s s
−
= =
+
W W
Ф W W A
I W W
I ― единичная матрица и матрица Так как ПМ
объекта
o p( ) ( ) ( )( ).s s s s= +A I W W
o11 o12
o
o21 o22
( ) ( )
( )
( ) ( )
W s W s
s
W s W s
W
 
= ⇒ 
  
o11 p11 o21 p21 o11 p12 o12 p22 11 12
o p
21 22o21 p11 o22 p21 o21 p12 o22 p22
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) .
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
W W s W W s W W s W W s W s W s
s s
W s W sW W s W W s W W s W W s
+ +   
⇒ = =   + +    
W W
31

32. 1. Для квадратной матрицы А вычисляется присоединенная матрица
T
11 12
21 22
,
a a
a a
 
 
 
A
% %
%@
% %
образованная из алгебраических дополнений элементовi ja% i ja
матрицы А с последующим её транспонированием.
2. Алгебраические дополнения вычисляются как , где -
миноры элементов .
( 1)i j
i j i ja D+
= −% i jD
i ja
3. Обратная матрица вычисляется как где -
определитель матрицы А .
Применение этих правил в нашем случае приводит к результату:
1 1
(det ) ,− −
=A A A% det A
11 1211 12
21 22 21 22
1 ( ) ( )
( ) ( ) ,
( ) 1 ( )
a aW s W s
s s
W s W s a a
A I W
 + 
= + = =   +   
32

33. 11 22 12 21det ( ) (1 ( ))(1 ( )) ( ) ( ),s W s W s W s W sA = + + −
22 211
12 11
1 ( ) ( )1
( ) .
( ) 1 ( )det
W s W s
s
W s W s
− + − 
=  − + 
A
A
Приведенные соотношения позволяют записать матричные
передаточные функции замкнутой многомерной системы (слайд 30) по
входу , по ошибке регулирования , проводить анализ и в некоторых
случаях выполнять синтез многомерного регулятора.
Для примера запишем ошибку стабилизации для этой схемы:
[ ]1 1 1 22 2 12T T
2 1 21 2 11
( ) ( )(1 ( )) ( ) ( )1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,
( ) ( ) ( ) ( )(1 ( ))det
s g s W s g s W s
s s s s s
s g s W s g s W se
e
e
ε gФ g I A
A
@
−  + − 
= = + =   − + +  
где вектор ошибки
11 121
2 21 22
( ) ( )( )
( )
( ) ( ) ( )
s ss
s
s s s
e ee
e e e
ε
−  
= = ⇒   − +    
33

34. 2 12
1 1 2 11 12
2 11
2 1 2 21 22
1 ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( );
det det
( ) 1 ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ).
det det
W s W s
s g s g s s s
W s W s
s g s g s s s
e e e
e e e
+
= − = −
+
=− + =− +
A A
A A
Условия, при которых обращается в нуль, например, приводит к
тому, что ошибка также обращается в нуль, для чего
необходимо:
12( ),W s
12e
12 o11 p12 o12 p22( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0W s W s W s W s W s= + = ⇒
o12 p22
р12
o11
( ) ( )
( ) .
( )
W s W s
W s
W s
=−
Передаточная функция может быть реализована, если
выбраны в классе типовых ПИ-, ПИД – регуляторов.
12( )W s 22( )W s ⇒
34

35. 3.6.1. Автономность в задачах синтеза многосвязных систем
Уравнения для регулирующих воздействий на входах МОУ (см. слайд
30):
1 1 p11 2 p21
2 1 p12 2 p22
( ) ( ) ( ) ( ) ( ),
( ) ( ) ( ) ( ) ( ).
u s s W s s W s
u s s W s s W s
e e
e e
= +
= +
1. Проф. И. Н. Вознесенский в ж. АиТ, 1938:
1 1
( ) ( ) ( ) ( ), 1, .
n n
i j j i j j
j j
q p y t r p u t i n
= =
= Îå å
( ) ( ) ( ) ( ) ,p t p t=Q y R u
1
( ) ( ) ( )p p pФ Q R−
= ⇒
1
( ),p-
Q ( )pΦ →( )иpR
― диагональные.
35

36. 2. А. Боксенбом и Р. Худ (Boksenbom A., Hood R.) (1950): условия
автономности при диагональной матрице при
недиагональных матрицах и
1
( ) ( ) ( )z z z−
=Ф Q R
1
( )zQ-
( )zR
лишь при нулевых начальных условиях для всех компонент вектора
выходных переменных . Это следует из простого факта: например, для
моментов времени и для диагональной матрицы
( )ty
решения
t k tD= ×
1
( ) ( ) ( )z z z−
=Ф Q R
{ }1
1
( ) ( ) ( ) ,
n
l l
j
l
j t z z lD ZyФ g c−
=
× = + ∑
где - символ обратного z-преобразования; - корни
характеристического уравнения системы являются решениями уравнения:
{ }1
Z−
×
l
jl
det ( ) 0;z =Q
l
c - вектор произвольных постоянных.
36