Лекция 5. Метод конечных разностей (параллельные алгоритмы в стандарте MPI)Alexey Paznikov
ЛЕКЦИЯ 5. Метод конечных разностей (параллельные алгоритмы в стандарте MPI)
Курс "Параллельные вычислительные технологии" (ПВТ), осень 2015
Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики
Пазников Алексей Александрович
к.т.н., доцент кафедры вычислительных систем СибГУТИ
http://cpct.sibsutis.ru/~apaznikov
http://cpct.sibsutis.ru/~apaznikov/teaching
КОНТРОЛЬ ЗАТРАТ НА УПРАВЛЕНИЕ ПРИ ВОСПРОИЗВЕДЕНИИ ГАРМОНИЧЕСКИХ ЭКЗОГЕННЫХ ВО...ITMO University
Ставится задача контроля затрат управления при воспроизведении синтезируемой системой гармонических экзогенных воздействий с использованием грамианного подхода. Грамианный подход сформировался в рамках современной теории управления, опирающейся на векторно-матричный формализм метода пространства состояния. Подход аналитически устанавливает прямую связь установившейся составляющей движения технического объекта (ТО) в составе синтезируемой системы по выходу с вектором начального состояния источника гармонических экзогенных воздействий, причем эта связь осуществляется через матрицу подобия, являющуюся решением матричного уравнения Сильвестра. Задача получает прозрачное решение на сфере начальных состояний источника гармонических экзогенных воздействий в виде мажоранты и миноранты затрат управления как функции распределения мод, которое доставляется системе, образованной ТО и регулятором, при синтезе системы.
Лекция 5. Метод конечных разностей (параллельные алгоритмы в стандарте MPI)Alexey Paznikov
ЛЕКЦИЯ 5. Метод конечных разностей (параллельные алгоритмы в стандарте MPI)
Курс "Параллельные вычислительные технологии" (ПВТ), осень 2015
Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики
Пазников Алексей Александрович
к.т.н., доцент кафедры вычислительных систем СибГУТИ
http://cpct.sibsutis.ru/~apaznikov
http://cpct.sibsutis.ru/~apaznikov/teaching
КОНТРОЛЬ ЗАТРАТ НА УПРАВЛЕНИЕ ПРИ ВОСПРОИЗВЕДЕНИИ ГАРМОНИЧЕСКИХ ЭКЗОГЕННЫХ ВО...ITMO University
Ставится задача контроля затрат управления при воспроизведении синтезируемой системой гармонических экзогенных воздействий с использованием грамианного подхода. Грамианный подход сформировался в рамках современной теории управления, опирающейся на векторно-матричный формализм метода пространства состояния. Подход аналитически устанавливает прямую связь установившейся составляющей движения технического объекта (ТО) в составе синтезируемой системы по выходу с вектором начального состояния источника гармонических экзогенных воздействий, причем эта связь осуществляется через матрицу подобия, являющуюся решением матричного уравнения Сильвестра. Задача получает прозрачное решение на сфере начальных состояний источника гармонических экзогенных воздействий в виде мажоранты и миноранты затрат управления как функции распределения мод, которое доставляется системе, образованной ТО и регулятором, при синтезе системы.
ЛЕКЦИЯ 8. Расчёт функций потенциальной живучести распределённых вычислительных систем
Пазников Алексей Александрович
к.т.н., ст. преп. Кафедры вычислительных системСибирский государственный университеттелекоммуникаций и информатики
Рассматривается метод отдельных тел (метод А. Ф. Верещагина) для построения уравнений движения систем тел со структурой дерева. Приводится пример программы моделирования движения цепи n тел на языке MATLAB.
Метод искусственной пчелиной колонии, алгоритм пчёлKirill Netreba
A new population-based search algorithm called the Bees Algorithm (BA) is presented. The algorithm mimics the food foraging behaviour of swarms of honey bees. In its basic version, the algorithm performs a kind of neighbourhood search combined with random search and can be used for both combinatorial optimisation and functional optimisation.
Основы языка Питон: функции, элементы функционального программирования, списочные выражения, генераторы. Презентация к лекции курса "Технологии и языки программирования".
ЛЕКЦИЯ 4. Расчет показателей надежности ВС для стационарного режима
Пазников Алексей Александрович
к.т.н., ст. преп. Кафедры вычислительных системСибирский государственный университеттелекоммуникаций и информатики
ЛЕКЦИЯ 10. Осуществимость решения задач на вычислительных системах
Пазников Алексей Александрович
к.т.н., ст. преп. Кафедры вычислительных системСибирский государственный университеттелекоммуникаций и информатики
ЛЕКЦИЯ 8. Расчёт функций потенциальной живучести распределённых вычислительных систем
Пазников Алексей Александрович
к.т.н., ст. преп. Кафедры вычислительных системСибирский государственный университеттелекоммуникаций и информатики
Рассматривается метод отдельных тел (метод А. Ф. Верещагина) для построения уравнений движения систем тел со структурой дерева. Приводится пример программы моделирования движения цепи n тел на языке MATLAB.
Метод искусственной пчелиной колонии, алгоритм пчёлKirill Netreba
A new population-based search algorithm called the Bees Algorithm (BA) is presented. The algorithm mimics the food foraging behaviour of swarms of honey bees. In its basic version, the algorithm performs a kind of neighbourhood search combined with random search and can be used for both combinatorial optimisation and functional optimisation.
Основы языка Питон: функции, элементы функционального программирования, списочные выражения, генераторы. Презентация к лекции курса "Технологии и языки программирования".
ЛЕКЦИЯ 4. Расчет показателей надежности ВС для стационарного режима
Пазников Алексей Александрович
к.т.н., ст. преп. Кафедры вычислительных системСибирский государственный университеттелекоммуникаций и информатики
ЛЕКЦИЯ 10. Осуществимость решения задач на вычислительных системах
Пазников Алексей Александрович
к.т.н., ст. преп. Кафедры вычислительных системСибирский государственный университеттелекоммуникаций и информатики
ЛЕКЦИЯ 1. Актуальность параллельных вычислений. Анализ параллельных алгоритмов. Многоядерные вычислительные систем с общей памятью
Курс "Параллельные вычислительные технологии" (ПВТ), весна 2015
Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики
Пазников Алексей Александрович
к.т.н., доцент кафедры вычислительных систем СибГУТИ
http://cpct.sibsutis.ru/~apaznikov
Быстрые конструкции в Python - Олег Шидловский, Python Meetup 26.09.2014Python Meetup
В своем докладе Олег расскажет о замене стандартных функций на более быстрые и об ускорении работы python. Также продемонстрирует несколько примеров быстрых конструкций python.
TMPA-2015: Expanding the Meta-Generation of Correctness Conditions by Means o...Iosif Itkin
Expanding the Meta-Generation of Correctness Conditions by Means of Semantic Markup
Dmitry Kondratyev, A.P. Ershov Institute of Informatics Systems, Novosibirsk
12 - 14 November 2015
Tools and Methods of Program Analysis in St. Petersburg
3. 3. ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ ЛСУ
• стабилизация
• программное регулирование
• слежение
• управление состоянием
→ функциональные цели ЛСУ →
объективное влияние на объект возмущений внешней среды
→ и собственных свойств в процессе функционирования во
времени и в пространстве
3
4. 3.1. Регулирование по отклонению при
возмущениях
p
( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 ( ) ( )
ff
f
u
W s
s f s s f s
W s W s
ee = =F
+
4
5. 3.2. Компенсация влияния возмущений
«Принцип компенсации нагрузки" для регулирования паровых
машин французского математика и инженера Ж. В. Понселе
(1830 г.).
3.2.1. Прямое измерение сигнальных возмущений
5
6. к( )( ( ) ( ) ( )) 0при ( ) 0f uf s W s W s W s f s+ = ¹Þ
y
f
Условие абсолютной инвариантности регулируемой переменной
относительно измеряемого сигнала возмущений
1
к ( ) ( ) ( ).f uW s W s W s-
=-
3.2.2. Косвенное измерение сигнальных возмущений
6
7. ( ) ( )
к м
к м к м
( ) 1 ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( )
u
u u
W s W s W s
y s s v s
W s W s W s W s W s W s
m
+
= +
+ - + -
( )к м( ) 1 ( ) ( ) 0, ( ) 0v s W s W s v s+ =Þ ¹ Þ
1
к м( ) ( )W s W s-
=
3.3. Комбинированные системы регулирования
Объединение:
1) принципа регулирования по отклонению и
2) методов компенсации влияния возмущений
(рисунок 3.5)
7
Для схемы на рис. 3.4 следуют
8. pк
p p
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) .
1 ( ) ( ) 1 ( ) ( )
u f u
u u
W s W s W s W s W s
y s g s f s
W s W s W s W s
+
= +
+ +
8
9. 3.3.2. Косвенное измерение возмущений
p м к
( ) ( ) 1 ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ,
( ) ( )
uW s W s W s W s
y s g s v s
s s
-
= +
D D
pк м к( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).u us W s W s W s W s W s W s= + + -D
9
10. 1
к м( ) ( )W s W s-
= Þ 1
pм( ) ( ) ( ) ( ) ( )u us W s W s W s W s-
= +D Þ
pм
pм
( ) ( )
( ) ( ) , ( ) 0.
1 ( ) ( )
W s W s
y s g s v s
W s W s
= ¹
+
1
к м
ˆ ( ) ( ) ( )W s W s sd-
= ÞТехническая реализация
( )pм( ) ( ) ( ) 1 ( )
( ) ( ) ( ) , mod 1 ( ) 1
( ) ( )
uW s W s W s s
y s g s v s j
s s
d
d w* *
-
= + -
D D
=
м p м м( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1 ( ) ( )).us W s W s W s W s W s sd*
= + + -D
При значении mod ( ) 1для 0jd w w= ¥££ Þ ( ) ( ).s s*
=D D
10
11. 3.3.3. Комбинированная следящая система
к 2
1 2
1 ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) .
1 ( ) ( )
W s W s
s g s s g s
W s W s
ee
-
= =F
+
( ) 0, 0t te = ³1
к 2Если ( ) ( ), тоW s W s-
= Þ
11
12. Метод расчета с использованием ЛЧХ и эквивалентирования
структуры
1 2к 2
э
1 2
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 ( ) ( )
W s W s W s W s
s
W s W s
+
= =F
+
к
1 2
1
( ) ( )
1 ( ) ( ).
( ) 1 ( )
W s W s
s s
W s W s
æ öæ ö÷ ÷ç ç÷= + = FF÷ç ç÷ ÷ç ç ÷÷ç +è øè ø
к
1э
э
э к 2
( )
( ) 1
( )( )
( ) .
1 ( ) 1 ( ) ( )
W s
W s
W ss
W s
s W s W s
æ ö÷ç ÷+ç ÷ç ÷çF è ø
= =
- -F
12
13. 3.3.4. Регулирование объектов с изменяющимися
параметрами
( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ),t B p t u t A p t y tj = -D D
( ), ( )i ja t b td d
( )
1
к 0( ) ( ) ( ),x t B p tj
-
= к( ) ( ) ( )u t t x tm= +
Модель обобщенного настраиваемого объекта
(ОНО):
( )
( )( )
( )
*
0 0
ОНО
*
0 0
0
( ) ( ) ( , )
( , ) ,где
( , )
( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , )
*( ) ( ) ( , ) .Если выполнить
B p B p B p t
W p t
р t
р t B p B p t A p A p t
A p B p B p t
+ D
=
D
= + + -D D
- + D
* *
*
0
( , ) ( , ); ( , ) ( , );
( , ) ( , )
A p t A p t B p t B p t
B p t B p t
D º D D º D
º Þ ОНО 0 0( ) ( ) ( ).W p B p A p=
13
14. 3.4. Регулирование объектов с запаздыванием
Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом,
дифференциально-разностные уравнения,
дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом вида
[ ]( ) ( ), ( ),x t f x t x t tt= -&
где x — неизвестная функция независимого аргумента t ; f : R3
→ R, а
t
— положительное число (запаздывание).
“Чистое” (транспортное) запаздывание:
( ) ,j
W j e wt
w -
= mod 1; .j
e wt
w-
= - ¥ ¥££
( )=lg mod 0,j
L e wt
w -
= ( ) arg .j
e wt
j w wt-
= =-
В линейных системах о( ) ( ) ,s
W s W s e t
t
-
=
1
0
о 1
0
( 1)
( ) .
( 1)
m
j
j
n
i
i
s
W s k
T s
t
-
=
-
=
+P
=
+P
14
15. { }о
э
Если , , 1,2, 1; 1,2, 1, тогда вводят
эквивалентное запаздывание :
i jT T i n j mt
t
- -Î Î? K K
э .i j
i j
Tt t= -å å
Типовые модели ТОУ:
э
;
s
ke
s
t- э
0
;
1
s
ke
T s
t-
+
э
2 2
.
2 1
s
ke
T s Ts
t
x
-
+ +
3.4.1. Учет влияния запаздывания на устойчивость замкнутого контура
c c cкр c( ) ( ) 0, ( ) 0,Lt j w j w w t w= - = >D D D
15
16. 3.4.2. Аппроксимация запаздывания рядом Падѐ
2 3
2 3
( ) ( )
1 ...
2! 6 2! 6 3!
( ) ( )
1 ...
2! 6 2! 6 3!
s
s s s
e
s s s
t
t t t
t t t
-
- + - +
× ×=
+ + + +
× ×
А – идеальное звено запаздывания;
Б – аппроксимации 2-го порядка;
В – аппроксимации 4-го порядка.
16
17. Примеры аппроксимации:
1 0,5
,
1 0,5
s s
e
s
t t
t
- -
+
; ( ) 2arctg(0,5 ),tj w wt=- *
1: ( ) .twt j w wt» -=
2
2
1 0,5 0,083( )
,
1 0,5 0,083( )
s s s
e
s s
t t t
t t
- - +
+ +
; *
2
6
( ) 2arctg .
12 ( )
t
wt
j w
wt
=-
-
*
При 1 имеем ( ) .twt j w wt< -;
17
18. Применение ряда Пад :ѐ
0 1 6.Tt £
В практическом плане использование ряда Падѐ ограничено
значениями
18
19. 3.4.3. Упредитель Смита
Цель ─ синтез одноконтурных систем регулирования объектов с
эквивалентным (транспортным) запаздыванием без его учета , но с
сохранением эффекта запаздывания в конечном результате синтеза.
( ) ( ) ( ) ; ( ) ( ) ( ) ; ( ) ( ) ( ) ,s s s
g g f fy s g s s e s g s s e y s f s s et t t
ee- - -
= = =F F F
где ( ), ( ) и ( ) ПФ системы без учета запаздывания.g fs s seF F F ®
19
20. 2 3
( ) ( ) ( )
(1 )при mod 1
2! 3! !
n
s s s s
e s s j
n
t t t t
t t wt wt-
- = + - + + + » = <L L
p o*
p o
( ) ( )
( ) ( ) 1 ( ) ,где ( ) .
1 ( ) ( )
s s
f f g g
W s W s
s s e s e s
W s W s
t t- -
= = - =F F F F
+
3.4.4. Настройка регуляторов на объект с запаздыванием
Рекомендации качественного характера по выбору закона
регулирования исходя из величины отношения величины запаздывания к
доминирующей по величине постоянной времени объекта и величины
отношения времени регулирования ко времени запаздывания.
1. Минимальное время регулирования в системе с запаздыванием
ограничено снизу значением для типовой модели
апериодического объекта первого порядка.
pmin o2t T=
20
21. 3.4.4. Настройка регуляторов на объект с запаздыванием
(окончание)
2. Для значений соотношения < 0,2 можно применять все
типовые релейные, непрерывные или цифровые регуляторы.
3. Если 0,2 < < 1, то необходим непрерывный или цифровой
ПИ-, ПД-, ПИД-регуляторы.
4. Для значений > 1 рекомендуется регулирование с
постоянной времени и применением упреждающих
(дифференцирующих) устройств, в том числе ПИД-регуляторов с
упредителем Смита.
Однако этот же регулятор рекомендуется применять и при меньших
значениях .
См.:
http://automation-system.ru
oTt
oTt
oTt
oTt
oT
21
22. 3.5. Регулирование объектов при случайных
возмущениях
Стохастическая теория управления основывается на теории
статистических решений задач идентификации и оценивания
параметров и состояния, статистической оптимизации, фильтрации и
прогнозирования.
Метод синтеза структуры и алгоритма оптимального
минимально-дисперсного регулятора
3.5.1. Постановка задачи для моделей объектов в виде уравнений
( ) ( ) ( ) ,k k kA z y zB z u C z x= +
2
1 2( ) 1 ;n
nA z a z a z a z= + + + +L 2
0 1 2( ) ;m
mB z b b z b z b z= + + + +L
2
1 2( ) 1 l
lC z c z c z c z= + + + +L ― устойчивые полиномы; t s
z e- ×D
= ― оператор
запаздывания. { } , 1, 2,k kx = K ― дискретный белый шум со свойствами:
0, 0;k kx "¹ ³ { }M 0;kmx x =@ { }2
2
0при 0;
M
при 0.
k k m
m
m
x
x
s x x
s
-
ì ¹ïï= =í
ï =ïî
22
где
23. Тогда эквивалентное возмущение, приведенное к выходу объекта:
совокупное влияние реальных возмущений.
2. Эталонная модель (ЭМ) поведения объекта по воспроизводимому
сигналу:
( ) ( ) ( )k k kv H z C z A zx x= = - гауссовский случайный процесс, имитирующий
ˆ ˆˆ( ) ( ) ,k kA z y zB z g=
ˆ ˆ( ), ( )A z B z ― гурвицевы полиномы.
3. Цель регулирования объекта: ˆ( )при .k k kmine min y y t= - ¥®
4. Регулятор: ku *
= ( ) ( ) .k kA z g B z y−
Пример 1. 1 1 1,k k k k ky ay u cx x− − −+ = + + использовать можно только
1 1, , , , , .k k k ky y u u− −K Kизмеряемые переменные
23
24. 3.5.2. Синтез минимально-дисперсного линейного регулятора
ˆˆ ( ) ( ) ( ),k k k g k ke y y z z g zxxé ù= - = - +F F Fê úë û
ˆ( ), ( )и ( )g z z zxF F F
Допустим состояние системы таким, что
ˆ( ) ( ) 0g z z-F F º Þ
( )
( ) ,где
( )
k k k
g
W z
e z
D z
x
x x x= =F
( )
( ) ,
( )
C z
W z
A z
x =
( )gD z ― полином знаменателя ( )?g zF
Взамен ошибки рассогласования системы
и эталонной модели введем
т.н. "профильтрованную ошибку"0
0 1 0 2
0
( )
, dim ( ) ,dim ( ) .
( )
k k
C z
e e C z D z
D z
n n= = =%
24
25. В качестве меры оптимальности, с учетом стохастической природы
возмущений, примем величину дисперсии профильтрованной ошибки:
2
20
0
( )
M .
( )
k e
C z
J e
D z
s
= =
%
Оптимальное управление и необходимые для этого функциональная
структура регулятора удовлетворяют условию минимума
2* 1 2
0 0min minM ( ) ( ) .k
u u
J J D z C z e const− = = = =
xs
Оптимальный регулятор в силу условия минимума "выбеливает" ошибку
регулирования (см. пример), т.е. ошибка воспроизведения
задающего воздействия по отношению к воспроизводимому ЭМ
сигналу в среднеквадратичном смысле не может быть меньшей
значения дисперсии белого шума
ˆ ,k k ke y y= -
kg
ˆky
2
xs
25
26. Из условия оптимальности ― условия "выбеливания"
профильтрованной
ошибки, когда при
используемое в доказательстве теоремы о минимально-
дисперсном регуляторе.
k → ∞
0
0
( )
,
( )
k k k
C z
e e
D z
x= =%
следует тождество
0 0( ) ( ) ( ) ( ) ,k kC z C z e C z D z x=
26
27. 3.5.2. Теорема о минимально-дисперсном регуляторе
Для минимально-фазового объекта с приведенным ко входу
эквивалентным возмущением
( )
,
( )
k k
C z
v
A z
x= 1,2, , 0, 0,kk mxx= =¹K
2
0xs ¹
оптимальное управление u∗
, минимизирующее критерий
2
20
0
( )
M ,
( )
k e
C z
J e
D z
= =
s%
определяется уравнениями в операторной форме:
0
0
1 2
0
0 0
) ( ) ( ) ( ) ;
ˆ) ( ) ( ) ( ) ( );
ˆ) ( ) ( ) ( ) ( );
ˆ) ( ) ( ) ( ),
( ) , :dim max( ) ( );
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).
k k k
r
i
i
i
a R z u S z g P z y
б R z D z B z A z
в S z C z C z B z
г P z Q z A z
Q z q z r Q l n
д C z C z D z A z zQ z
n n
*
=
üï= - ïïïï= ïïïï= ïïïý= ïïïïï= = + +Úå ïïïïï= + ïïþ
27
28. Для доказательства используем тождество
1. Вычисляются с последовательными подстановками:
0 0( ) ( ) ( ) ( ) .k kC z C z e C z D z x=
0( ) ( ) kC z C z e
0 0 0
0 0 0
0 0 0 1 1
0
ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ( ) ( ) ( ))( )
ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
ˆ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ]
( ) ( ) .
k k k k k
k k k k k
k k k k k
k
C z C z e C z C z y y A z D z Q z y y
A z D z y A z D z y Q z y Q z y A z A z y
Q z y C z C z y z B z D z u C k C k y Q z y
C z D z x
+ +
- = + - =
= - - + = +
+ - = - + +
+
@
2. Из равенства нулю выражения в квадратных скобках в силу тождества (см. выше)
получаем:
0 0 1ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .k k kD z B z u C z C z y Q z y*
+= -
Умножая обе его части на полином
ˆ( )A z и обращаясь к уравнению эталонной модели
получаем необходимое соотношение, из которого следуют структура уравнений
0 0
ˆ ˆˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k k kD z B z A z u C z C z B z g Q z A z y*
= -
минимально-дисперсного регулятора.
28
Доказательство теоремы
29. Структуры операторов А(z) и В (z) имеют вид
( )
( ) ;
( )
S z
A z
R z
=
( )
( ) .
( )
P z
B z
R z
= −
Их физическая реализуемость обусловлена допустимыми порядками полиномов
( ), ( ),S z P z ( ):R z
1 2
1 2
dim ( ) dim ( ) ;
ˆdim ( ) dim ( ) dim ( ) max[ , 2 ].
S z n l R z n m
P z Q z A z l n n
n n
n n
= + + ≤ = + +
= + = + + +
Введем профильтрованные сигналы на входах регулятора:
0
0
ˆ( ) ( )
,
ˆ( ) ( )
k k
C z B z
g g
D z A z
=%
0
1
.
( )
k ky y
D z
=%
Тогда оптимальный – минимально-дисперсный закон управления примет вид
( ) ( )
.
( ) ( )
k k k
C z Q z
u g y
B z B z
% %∗
= −
29
30. 3.6. Регулирование многомерных многосвязных объектов
Использован пример двухсвязного объекта:
1 1 1
p 1 2
2
1 1
p11 p121 2
p21 p222 2
1 2
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
.
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
u s
s s s
u s
u s u s
W s W ss s
W s W su s u s
s s
e e
e e
e e
W @ − −
=
= =
Передаточная функция замкнутой системы ( )sФ по входу g и выходу y:
30
31. Запишем теперь подробно эту матричную передаточную функцию,
используя для этого передаточные функции МР и МОУ :
1 1
1 1 2 11 121 1
1 2
21 222 2 2
1 2
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) .
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
y s y s
y s g s g s s s
s g s g s
s sy s y s y s
g s g s
F F
F F
− −
= = =
Ф
o p 1
o p
o p
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ),
( ) ( )
s s
s s s s
s s
−
= =
+
W W
Ф W W A
I W W
I ― единичная матрица и матрица Так как ПМ
объекта
o p( ) ( ) ( )( ).s s s s= +A I W W
o11 o12
o
o21 o22
( ) ( )
( )
( ) ( )
W s W s
s
W s W s
W
= ⇒
o11 p11 o21 p21 o11 p12 o12 p22 11 12
o p
21 22o21 p11 o22 p21 o21 p12 o22 p22
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) .
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
W W s W W s W W s W W s W s W s
s s
W s W sW W s W W s W W s W W s
+ +
⇒ = = + +
W W
31
32. 1. Для квадратной матрицы А вычисляется присоединенная матрица
T
11 12
21 22
,
a a
a a
A
% %
%@
% %
образованная из алгебраических дополнений элементовi ja% i ja
матрицы А с последующим её транспонированием.
2. Алгебраические дополнения вычисляются как , где -
миноры элементов .
( 1)i j
i j i ja D+
= −% i jD
i ja
3. Обратная матрица вычисляется как где -
определитель матрицы А .
Применение этих правил в нашем случае приводит к результату:
1 1
(det ) ,− −
=A A A% det A
11 1211 12
21 22 21 22
1 ( ) ( )
( ) ( ) ,
( ) 1 ( )
a aW s W s
s s
W s W s a a
A I W
+
= + = = +
32
33. 11 22 12 21det ( ) (1 ( ))(1 ( )) ( ) ( ),s W s W s W s W sA = + + −
22 211
12 11
1 ( ) ( )1
( ) .
( ) 1 ( )det
W s W s
s
W s W s
− + −
= − +
A
A
Приведенные соотношения позволяют записать матричные
передаточные функции замкнутой многомерной системы (слайд 30) по
входу , по ошибке регулирования , проводить анализ и в некоторых
случаях выполнять синтез многомерного регулятора.
Для примера запишем ошибку стабилизации для этой схемы:
[ ]1 1 1 22 2 12T T
2 1 21 2 11
( ) ( )(1 ( )) ( ) ( )1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,
( ) ( ) ( ) ( )(1 ( ))det
s g s W s g s W s
s s s s s
s g s W s g s W se
e
e
ε gФ g I A
A
@
− + −
= = + = − + +
где вектор ошибки
11 121
2 21 22
( ) ( )( )
( )
( ) ( ) ( )
s ss
s
s s s
e ee
e e e
ε
−
= = ⇒ − +
33
34. 2 12
1 1 2 11 12
2 11
2 1 2 21 22
1 ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( );
det det
( ) 1 ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ).
det det
W s W s
s g s g s s s
W s W s
s g s g s s s
e e e
e e e
+
= − = −
+
=− + =− +
A A
A A
Условия, при которых обращается в нуль, например, приводит к
тому, что ошибка также обращается в нуль, для чего
необходимо:
12( ),W s
12e
12 o11 p12 o12 p22( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0W s W s W s W s W s= + = ⇒
o12 p22
р12
o11
( ) ( )
( ) .
( )
W s W s
W s
W s
=−
Передаточная функция может быть реализована, если
выбраны в классе типовых ПИ-, ПИД – регуляторов.
12( )W s 22( )W s ⇒
34
35. 3.6.1. Автономность в задачах синтеза многосвязных систем
Уравнения для регулирующих воздействий на входах МОУ (см. слайд
30):
1 1 p11 2 p21
2 1 p12 2 p22
( ) ( ) ( ) ( ) ( ),
( ) ( ) ( ) ( ) ( ).
u s s W s s W s
u s s W s s W s
e e
e e
= +
= +
1. Проф. И. Н. Вознесенский в ж. АиТ, 1938:
1 1
( ) ( ) ( ) ( ), 1, .
n n
i j j i j j
j j
q p y t r p u t i n
= =
= Îå å
( ) ( ) ( ) ( ) ,p t p t=Q y R u
1
( ) ( ) ( )p p pФ Q R−
= ⇒
1
( ),p-
Q ( )pΦ →( )иpR
― диагональные.
35
36. 2. А. Боксенбом и Р. Худ (Boksenbom A., Hood R.) (1950): условия
автономности при диагональной матрице при
недиагональных матрицах и
1
( ) ( ) ( )z z z−
=Ф Q R
1
( )zQ-
( )zR
лишь при нулевых начальных условиях для всех компонент вектора
выходных переменных . Это следует из простого факта: например, для
моментов времени и для диагональной матрицы
( )ty
решения
t k tD= ×
1
( ) ( ) ( )z z z−
=Ф Q R
{ }1
1
( ) ( ) ( ) ,
n
l l
j
l
j t z z lD ZyФ g c−
=
× = + ∑
где - символ обратного z-преобразования; - корни
характеристического уравнения системы являются решениями уравнения:
{ }1
Z−
×
l
jl
det ( ) 0;z =Q
l
c - вектор произвольных постоянных.
36
Editor's Notes
ошибки , соотношения (д) на предыдущем слайде, уравнения объекта (слайд 22):
Следующий шаг ― обращение матрицы A(z) Напомним действия при обращении квадратных неособых матриц.
Матрица называется неособой, если ее определитель не равен нулю