ฟิสิกสืยุคใหม่และทฤษฎีควอนตัม

ฟสิกสราชมงคล http://www.rit.ac.th/homepage-sc/physics/
253
หนวยที่ 8
ฟสิกสยุคใหมและทฤษฎีควอนตัม
ทฤษฎีสัมพันธภาพเปนรากฐานสําคัญของฟสิกสยุคใหม เรื่องราวสวนใหญของทฤษฎี
เกี่ยวกับการวัดเวลา ( time) และอวกาศ (spaces) เรียกรวมวา Space - time measurement
โดยผูคิดทฤษฎีสัมพัทธภาพ คือ ไอนสไตน กลศาสตรของนิวตันเปนวิชาที่อธิบายในระบบมหภาค
ขณะที่กลศาสตรยุคใหมเปนวิชาที่อธิบายในระบบจุลภาค และสามารถอธิบายในระบบมหภาคไดดวย
8.1 ทฤษฎีสัมพันธภาพ
8.1.1 สัจพจนของไอนสไตน
สัจพจนของไอนสไตน มี 2 ขอ ดังนี้
1.กฎตาง ๆ ของฟสิกสสามารถนํามาเขียนในรูปสมการที่มีลักษณะคงที่ในทุก “Inertial
Frame of Reference”
2.ความเร็วของแสง (รวมทั้งคลื่นแมเหล็กไฟฟาทุกชนิด) ในสุญญากาศเปนคาคงที่ (c) ไม
ขึ้นอยูกับสภาวะการเคลื่อนที่ใด ๆ ทั้งสิ้น
อธิบายสัจพจน ขอที่ 1
การแสดงกฎตาง ๆ ทางฟสิกสในรูปของสมการทางคณิตศาสตรชวยใหการวิเคราะหเรื่องราว
ตาง ๆ งายขึ้น กฎขอที่ 2 ของนิวตัน ( F = ma) สามารถนํามาใชได ก็ตอเมื่อเราระบุวากรอบใดเปน
กรอบอางอิง อยางเชน การเคลื่อนที่ของลูกบอล ซึ่งกลิ้งอยูบนพื้นรถไฟที่แลนดวยความเร็วคงที่ไปทาง
เหนือ โดยถือเอารถไฟเปนกรอบอางอิง และถาจะใชกฎของนิวตัน F = ma ก็ตอเมื่อกรอบอางอิงเปน
พื้นดิน หรือเครื่องบินซึ่งกําลังบินดวยความเร็วคงที่ก็ได การที่เราจะใชกรอบใดเปนกรอบอางอิง นั้น
กรอบอางอิงจะตองเคลื่อนที่ดวยความเร็วคงที่
อธิบายสัจพจนขอที่ 2
ผลการวัดความเร็วแสงในสุญญากาศจะเหมือนกันหมด ไมขึ้นอยูกับความเร็วของตนกําเนิด
หรือผูวัดเลย ซึ่งขัดแยงกับความรูสึกในชีวิตประจําวัน เชน ถาเราพิจารณาดูความเร็วของรถยนต 2
คัน แลนสวนทางกันความเร็วของรถคันที่ 1 เมื่อวัดเทียบกับพื้นดิน (สัมพัทธกับพื้นดิน) เทากับ 60
กม./ชม. และความเร็วของรถคันที่ 2 เมื่อวัดเทียบกับพื้นดิน (สัมพัทธกับพื้นดิน) เทากับ 80 กม./
ชม. คนบนรถคันใดคันหนึ่งจะวัดความเร็วของรถอีกคันหนึ่งได 80+60 = 140 กม./ชม. แตแสงกลับ

254
ไมเปนไปตามหลักฟสิกสในชีวิตประจําวันเลย ซึ่งสามารถพิสูจนไดจากการทดลองของ Michelson
กับ Morley
ขอสังเกตจากการทดลองของไมเคิลสันและมอรเลย สรุปไดวา
1.การทดลองนี้แสดงวา แสงเดินทางดวยความเร็วคงที่ในทุกทิศทุกทาง ( c คือความเร็วแสง
ในสูญญากาศ มีคาเทากับในอากาศ)
2.ความเร็วแสง c ไมขึ้นอยูกับการเคลื่อนที่ของผูวัดหรือการเคลื่อนที่ของตนกําเนิดแสง
3.Ether ซึ่งสมมุติเปนตัวกลางของแสงไมมีอยูจริง
4.Absolute Frame of Reference ไมมี คือไมมีอะไร “นิ่ง สัมบูรณ” การเคลื่อนที่ทุกชนิด
เปนเรื่องสัมพัทธ
Galilean Transformation
รูป 8.1
สมมุติให s/
เปนเครื่องบิน s เปนหอคอย v เปนความเร็วของ s/
ซึ่งทั้งสองเปน Inertial
Frame ถาตําแหนง p เปนแมลงตัวหนึ่งบินในเครื่องบิน เวลา t = t/
ตําแหนงวัตถุ p เมื่อเวลา t/
คือ
กรอบ (x/
, y/
, z/
) ไดจากการวัดของผูสังเกตการณ ใน s/
ในขณะเดียวกัน ผูสังเกตการณใน s จะ
วัดไดวาขณะนั้นเวลา = t ตําแหนงคือ (x, y, z) จากรูปจะเห็นไดวา ความสัมพันธระหวาง Spatial
Coordinated
x/
= x - vt
y/
= y
z/
= z

255
และ time Coordinates มีความสัมพันธดังนี้
t/
= t
ความสัมพันธระหวาง Coordinates ที่ใชบอกเหตุการณ เขียนในลักษณะสมการขางบน
เรียกวา Galilean Coordinate Transformation
vx
/
dt
xd ′
= =
dt
vtxd )( −
= vx – v ………….(8.1)
vy
/
dt
yd ′
= = vy ………… (8.2)
vz
/
dt
zd ′
= = vz ………….(8.3)
สมการทั้งสามคือ Galilean velocity transformation เห็นไดชัดวา Galilean transformation
มีผลเปนไปตามสามัญสํานึก และประสบการณ ในชีวิตประจําวันทุกประการ แตถา
(1) นําสมการทั้งสี่ของ Coordinate transformation มาใชเพื่อเปนผลการวัดตางๆ ใน
Frame หนึ่งไปเปนคาอยางเดียวกันในอีก Frame หนึ่ง แลวจะปรากฏวา สูตรตางๆ ใน
วิชาแมเหล็กไฟฟาจะลักษณะไมเหมือนกัน ใน Frame ทั้งสอง ซึ่งเรื่องนี้ไปขัดกับสัจพจน
ขอแรกของไอนสไตน
(2) นํา Velocity Transformation มาใชกับแสงโดยสมมุติวา vx = c ใน s-Frame เรา
ได vx
/
= c - v เปนความเร็วแสงใน s/
ซึ่งขัดกับผลการทดลองของ ไมเคิลสัน ซึ่งกลาว
วา “ความเร็วแสงเปนคาคงที่เปนที่แนนอนวา Galilean Transformation ใชไมไดในกรณีที่
ความเร็วสูง ทั้งที่ Galilean Transformation ใชไดที่ในความเร็วต่ํา เราจึงหา
Transformation ใหมมาใชแทน
8.1.2 การแปลงแบบลอเรนตซ (Lorentz Transformation)
ลักษณะของ Transformation ที่จะใชเปนหลักในกรณีความเร็วสูงนั้นจะตองมีสมบัติดังนี้
1.จะเปลี่ยนรูปเปน Galilean Transformation เมื่อความเร็วลดลงต่ํากวาความเร็วแสงมาก
2.จะตองเปนสมการกําลังหนึ่ง
3.จะตองมีรูปงายไมยุงยาก
เราสมมุติให Lorentz Transformation มีรูปสมการ
x/
= k( x – vt)

256
โดย k เปนคาคงที่ ไมขึ้นกับเวลาและตําแหนง แตจําเปนจะตองเปน function ของความเร็ว
และ k จะกลายเปน 1 เมื่อ v<<c
x/
= k(x - vt ) ………………………..(8.4)
y/
= y ……………………….. (8.5)
z/
= z ……………………….. (8.6)
สมการ (8.4), (8.5), (8.6) เรียกวา Lorentz Coordinate Transformation Equation
เมื่อพิจารณาในกรอบ s จะได
x = k(x/
- vt/
) ……………………….. (8.7)
y = y/
……………………….. (8.8)
z = z/
……………………….. (8.9)
โดยที่ k ก็คือคาคงที่ตัวเดิม แต t/
คือเวลาวัดใน s/
– Frame เครื่องหมาย v จําตองกลับกับกรณี
แรก เรียกสมการ (8.7), (8.8) และ (8.9) วาเปนInverse Lorentz Coordinate transformation equation
แทนคา (8.4) ลงใน (8.7)
x = k( k(x –vt) + vt/
)
หรือ x = k2
x – k2
vt + kvt/
t/
= kt + x(
kv
k 2
1−
) …………..(a)
สมการ (8.4) ถึง (8.9) ไดมาจากสัจพจนขอที่ 1 ของไอนสไตน กลาวคือ ลักษณะ
ของ Transformation เปนแบบเดียวกันใน s และ s/
โดยความแตกตางที่มีนั้นเปนเพียงเครื่องหมาย
ของความเร็วเทานั้น ตอไปจะเปนการหาคา k

257
รูป 8.2
จากรูป 8.2 ยานอวกาศสองลําสัมผัสกันที่เวลา t/
= t ขณะนั้น x = x/
เปนตําแหนงของ หนา
คลื่น ของแสงซึ่งเกิดจากการสัมผัสกันระหวางยานอวกาศทั้งสองลํา สัจพจนขอ 2 กลาววา ผูสังเกตใน
s และ s/
วัดความเร็วของแสงได c เทากัน
ในเวลาตอมา t ใน s ขณะนั้นเปนเวลา t/
ใน s/
ตําแหนงของ Wave front ใน s คือ x
และใน s/
คือ x/
ดังนั้น ใน s x = ct (8.10)
และ s/
x/
= ct/
(8.11)
แทนคา x/
จากสมการ (8.4) และ t/
จากสมการ (a) ลงในสมการ (8.11)
k( x – vt) = c( kt + x(
kv
k 2
1−
) )
จัดรูปสมการใหมจะไดเปน
x = 22
2
)(
ckcvk
vcvtk
+−
+
(8.12)

258
นําสมการ ( 8.10) ตั้งหารดวยสมการ (8.12) จะได
1 =
tvkvtck
ckcvkct
222
22
)(
+
+−
c2
k2
– k2
v2
= c2
k =
2
2
1
1
c
v
−
± (8.13)
k เปนคาคงที่ ไมขึ้นกับเวลา แตขึ้นกับความเร็วและเมื่อ v<<c จะได v2
/ c2
มีคาเขาใกลศูนย
แสดงวา Lorentz Transformation เปน Galilean transformation เมื่อความเร็วต่ํา
เมื่อแทนคา k ลงในสมการ (a) จะไดความสัมพันธระหวาง t/
และ t
t/
=
2
2
2
1
c
v
c
vx
t
−
−
(8.14)
ดังนั้น สมการ Lorentz Coordinate Transformation ที่สมบูรณทั่วไป สมการมีดังนี้
x/
=
2
2
1
c
v
vtx
−
−
(8.15)
y/
= y (8.16)
z/
= z (8.17)
t/
=
2
2
2
1
c
v
c
vx
t
−
−
(8.18)
Inverse Lorentz Coordinate Transformation
x =
2
2
1
c
v
tvx
−
′−′
(8.19)
y = y/
(8.20)
z = z/
(8.21)

259
t =
2
2
2
1
c
v
c
xv
t
−
′
−′
(8.22)
Relativistic Mechanics
เปนการพัฒนาทฤษฎีสัมพัทธภาพขึ้นมาจากสัจจพจนทั้งสองขอของไอนสไตน ทฤษฎีนี้
พัฒนาขึ้นมาวาดวย การวัดระยะของ, เวลา , ความเร็ว, มวล, พลังงานและโมเมนตัม ตามลําดับ ซึ่ง
เปนเรื่องราวทางกลศาสตร จึงเรียกวากลศาสตรสัมพัทธภาพ
Lorentz -Fitzgerald Contraction
ถาสิ่งที่ถูกวัดกับผูวัดไมไดเคลื่อนที่สัมพันธกัน เชน ไมเมตรวางอยูตอหนา เมื่อผูวัดนําไมเมตร
มาตรฐานมาเปรียบเทียบก็จะได 1 เมตร ไมวาเราจะวัดเมื่อใดก็ตาม ในทฤษฎีสัมพัทธภาพ เรียก
Frame of Reference ที่ไมเคลื่อนที่ เมื่อเทียบกับวัตถุ วา “Rest Frame of Reference ความยาวของ
วัตถุที่วัดไดโดยผูวัดอยูใน Frame เดียวกัน เรียกวา Rest Length สมมุติวาไมชิ้นหนึ่งมี Rest Length
เทากับ L0 วางไมดังรูปใน s/
Frame โดยปลายทั้งสองอยูที่ตําแหนง x1
/
และ x2
/
ตามลําดับ
รูป 8.3
L0 = x2
/
- x1
/
L = x2- x1
ถา s/
Frame เคลื่อนที่ดวยความเร็วคงที่ v เมื่อเทียบกับ s – Frame ดังรูป ผูสังเกตใน s –
Frame จะวัดปลายทั้งสองของไมอยูที่ตําแหนง x1 และ x2 ในขณะนั้น เวลาใน s – Frame คือ t
การจัดตําแหนงของปลายทั้งสองจะตองทําในเวลาเดียวกัน เพราะมิฉะนั้นความยาวจะผิดไป เพราะ

260
วัตถุเคลื่อนที่ตลอดเวลา เมื่อเทียบกับ s – Frame ดังนั้นความหมายที่วัดไดใน s – Frame เรียกวา
Relativistic Length คือ L
ความสัมพันธระหวาง x1 และ x2กับ x1
/
และ x2
/
ในขณะที่เวลาใน s – Frame คือ t หาได
จากสมการ Lorentz Transformation คือ
x/
1 =
2
2
1
1
c
v
vtx
−
−
x/
2 =
2
2
2
1
c
v
vtx
−
−
L0 = x2
/
- x1
/
=
2
2
12
1
c
v
xx
−
−
=
2
2
1
c
v
L
−
หรือ L = L0 2
2
1
c
v
− (8.23)
เปนความสัมพันธระหวางความยาวที่วัดไดจริงใน s และ s/
– Frame
เนื่องจาก v < c ดังนั้น 2
2
1
c
v
− จึงมีคานอยกวา 1 เสมอ นั่นคือ L < L0
วัตถุที่เคลื่อนที่จะวัดไดวาหดสั้นลง ในแนวการเคลื่อนที่นั้น (ความยาวในแนว y และ Z
ไมเปลี่ยนแปลง) เมื่อผูวัดกับวัตถุอยูตาง Frame กัน ปรากฏการณ เชนนี้เรียกวา Lorentz -
Fitzgerald Contraction
ตัวอยาง เชน ความเร็วของกรอบ s/
คือ 1000 ไมล / วินาที
0L
L
= 2
2
1
c
v
− = 2
2
)/186000(
)/1000(
1
smi
smi
−
= 99.985 %
ถาความเร็ว ของกรอบ s/
มีความเร็วเปน 90% ของความเร็วแสง
0L
L
= 2
2
)(
)9.0(
1
c
c
− = 43.6%

261
ตัวอยาง 8.1 สําหรับผูสังเกตที่อยูนิ่งในระบบ s/
สังเกตไมเมตร ความยาว 1 เมตร ทํามุม 450
กับ
แกน x/
ใหคํานวณหาความยาวของไมเมตรและมุมที่ไมเมตรทําแกน x เมื่อผูสังเกตอยูในระบบ s/
เมื่อระบบ s/
เคลื่อนที่ดวยความเร็ว v = c)2/3( สัมพันธกับ s ตามแกน xx/
วิธีทํา ใหความยาวของไมเมตรเมื่อหยุดนิ่งสัมพันธกับ s/
คือ L0 ตองหาองคประกอบ L0x และ L0y
ดังแสดง
รูป 8.4
L0x = L0 cos θ0
และ L0y = L0 sin θ0
องคประกอบของ L0 ในแนวเดียวกับ v จะหดสั้นลง เมื่อสังเกตจากระบบ s
Lx = L0x 2
2
1
c
v
− = L0 cos θ0 2
2
1
c
v
−
ดังนั้น ผูสังเกต s เห็นความยาวไมเมตรเปน L = 22
yx LL +
L = 2
00
2
2
2
00 )sin()1cos( θθ L
c
v
L +−

262
แทนคา L0 = 1 m, θ0 = 45 องศา และ v = c)2/3( จะได
L = 0.625 m
พิจารณา
tan θ =
x
y
L
L
=
2
2
0
0
1cos
sin
c
v
−θ
θ
= 2
จะได θ = 63 0
27/
8.1.4 การยืดของเวลา (Time Dilation)
รูป 8.5
สมมุติในเวลาตอมา ในขณะที่เขามองเห็นเวลาใน s/
เปน t1
/
นั้น นาฬิกามาตรฐาน s ชี้ที่ t1
ความสัมพันธระหวาง t1
/
กับ t1 คือ
t1 =
2
2
2
/
1
1
c
v
c
xv
t
−
′
−
ตอมาอีกชวงเวลาหนึ่ง สมมุติขณะนั้น เปนเวลา t2
/
ใน s/
และเปนเวลา t2 ใน S
t2 =
2
2
2
/
2
1
c
v
c
xv
t
−
′
−

263
ชวงในเวลา s/
– Frame คือ t2
/
- t1
/
เรียกวา Rest time ชวงเวลา t2 – t1 เรียกวา
Relativistic Time เพราะอยูตาง Frame กัน
t2 – t1 =
2
2
/
1
/
2
1
c
v
tt
−
−
(8.24)
v << c ดังนั้น t2 – t1 > t2
/
- t1
/
นาฬิกาใน s/
เดินชากวานาฬิกาใน s
ตัวอยาง 8.2 อนุภาค mu-meson เปนอนุภาคชนิดหนึ่ง ถาอยูกับที่วัดอายุได 2x10-6
วินาที
ถาวัดอนุภาคนี้เมื่อเคลื่อนที่เขามาในบรรยากาศของโลกไดความเร็วสัมพัทธกับโลก 2.999 x 108
เมตร/วินาที และอนุภาคชนิดนี้จะสลายตัวหมดอายุใน ระยะทางประมาณ 10 กิโลเมตร จงหา
(1) อายุของอนุภาคที่เคลื่อนที่
(2) ระยะทางบนพื้นโลกที่อนุภาคเคลื่อนที่ผาน
วิธีทํา
(1) อายุของอนุภาคที่เคลื่อนที่ t = t2 – t1 =
v
s
=
sm
m
/10999.2
1010
8
3
×
×
= 31.7 x 10-6
วินาที
อายุอยูนิ่ง คือ 2 x 10-6
วินาที (อายุที่วัดไดเมื่ออนุภาคนี้อยูนิ่งสัมพัทธกับผูวัดเรียกวา
t0= t2
/
- t1
/
)
t =
2
2
0
1
c
v
t
−
=
2
28
6
)10999.2(
1
102
c
×
−
× −
= 31.7 x 10-6
วินาที
(2) ในแงของระยะทางบนพื้นโลกที่อนุภาคเคลื่อนที่ผาน

264
ถา mu-meson สามารถวัดระยะทางได ระยะทางที่ mu-meson วัดได ใน Frame of
Reference ของตัวมันเองก็คือ ผลคูณของความเร็วสัมพัทธกับโลกกับอายุของ mu-meson ใน Frame
ของตนเอง
ระยะนี้ คือ Relativistic Length
L0 = v t0
= 2.999 x 108
x 2 x10-6
m
= 600 m โดยประมาณใน mu-meson Frame
แตในระยะทางนี้ คือระยะทางบนพื้นโลกประมาณ 10 กิโลเมตร (L0) ซึ่งเปน Rest Length
เพราะระยะทางนี้ เปนความยาวของพื้นดิน ซึ่งอยูนิ่งใน Frame ของโลก
L = L0 2
2
1
c
v
−
= 2
28
3 )10999.2(
11010
c
×
−×
= 600 เมตร โดยประมาณ
ตัวอยาง 8.3 ผูสังเกตบนโลกสังเกตเห็นรถยนตเคลื่อนที่ไปได 1 กิโลเมตรในเวลา 50 วินาที บน
ถนนสายตรง สําหรับผูสังเกตในยานอวกาศซึ่งเคลื่อนที่สัมพัทธกับโลกดวยอัตราเร็ว 0.95c จะเห็น
รถยนตเคลื่อนที่ไปไดระยะทางเทาใด เมื่อใชนาฬิกาของเขาจับเวลาการเคลื่อนที่ของรถยนต โดยที่
ความเร็วของยานอวกาศนี้ (ก) ตั้งฉากกับเสนทางการเคลื่อนที่ของรถยนตและ (ข) อยูในแนวเดียวกัน
กับการเคลื่อนที่ของรถยนต
วิธีทํา เวลา t0 คือ 50 วินาที
t =
2
2
0
1
c
v
t
−
= 2
)95.0(1
50
−
= 3.2 x 50 = 160 วินาที
(ก) ไมมีการหดของความยาวสําหรับระยะทางที่รถเคลื่อนที่ ถาความเร็วของยานอวกาศมี
ทิศ ตั้งฉากกับเสนทางการเคลื่อนที่ของรถยนต แตผูสังเกตในยานอวกาศจะเห็นวารถยนตตองใชเวลา
160 วินาที จึงจะเคลื่อนที่ไปได 1 km
(ข) ถายานอวกาศเคลื่อนที่ในแนวเดียวกันกับเสนทางการเคลื่อนของรถยนต จะมีการหดตัว
ของระยะทางที่รถเคลื่อนที่ไปได คือ

265
L = L0 2
2
1
c
v
−
= 1/3.2 = 0.31 km
ดังนั้น สําหับผูสังเกตในยานอวกาศ จะสังเกตเห็นรถยนตเคลื่อนที่ไดเพียง 0.31 กม. ในเวลา
160 วินาที กลาวคือ จะเคลื่อนที่ 1 km ในเวลา 517 วินาที
8.1.5 สมมูลยระหวางมวลและพลังงาน
มวลเปนปริมาณมูลฐานทางฟสิกส เชนเดียวกับระยะทางและเวลา การวัดมวลใน Rest
Frame กับการวัดใน Moving Frame ปรากฏวามีลักษณะเชนเดียวกับการวัดเวลา กลาวคือ
m =
2
2
0
1
c
v
m
−
เมื่อ m0 = rest mass คือ มวลที่วัดไดเมื่อผูวัดอยูใน Rest Frame of Reference
m = relativistic mass คือ มวลที่วัดไดเมื่อผูวัดอยูใน Moving Frame of Reference
m ≥ m0 สามารถแสดงสภาพการเปลี่ยนของมวลเมื่อความเร็วมีคาตางๆ ไดดังรูป ซึ่ง
แสดงวามวลเปน dependent variable ขึ้นอยูกับความเร็วซึ่งเปน independent variable
m /mo
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
รูป 8.6

266
การสังเกตจากกราฟ จะไดวา
1. มวลที่วัดไดไมคงที่ เปลี่ยนไปตามความเร็วสัมพัทธระหวางมวลกับผูวัด
2. ความสัมพัทธระหวางมวลกับความเร็วไมใช linear แตเปนเสนโคง
3. ในกรณีที่มวลมีความเร็วต่ํา m = m0
4. ในกรณีที่ v มีคาเขาใกลกับความเร็วแสง มวล m มีขนาดเขาสูอนันต
ถาเรานําผลที่ไดจากทฤษฎีสัมพัทธภาพมาใชกับกฎขอที่ 2 ของนิวตัน
F = )(mv
dt
d
= ma
c
v
m
dt
d
v +
−
)
1
(
2
2
0
จะเห็นไดวา F ไมเทากับ ma เพราะมวลจะเปลี่ยนไปไดเมื่อความเร็วเปลี่ยนแต F = ma ยังคง
ใชได ในกรณีความเร็วต่ําอยูตามเดิม เพราะในบริเวณที่ความเร็วต่ํานั้นคาของมวลเกือบคงที่
ตัวอยาง 8.4 วัตถุมวล 63 kg บนพื้นโลก ถายิงออกไปนอกโลกดวยความเร็วคงที่ = 0.998c คน
บนโลกจะวัดมวลของวัตถุชิ้นนี้ไดที่กิโลกรัม
วิธีทํา มวลบนพื้นโลกวัดได 63 kg เมื่อผูวัดอยูบนโลกจึงเรียกวา rest mass = m0 = 63 kg
m =
2
2
0
1
c
v
m
−
=
2
2
)998.0(
1
63
c
c
−
= 1000 kg
ตัวอยาง 8.5 โปรตอนเคลื่อนที่ดวยความเร็วเทาใด มวลของโปรตอนจึงเปนสองเทาของมวลนิ่ง
วิธีทํา กําหนดให m = 2 m0
m =
2
2
0
1
c
v
m
−
v = 0.866c

267
ในที่นี้จะศึกษาแตพลังงานจลนกับพลังงานรวม (Total Emery) เราจะพิจารณาพลังงานศักย
(ซึ่งขึ้นอยูกับตําแหนง)
การที่วัตถุมีพลังงานจลนเพิ่มขึ้นก็เพราะไดรับงานจากภายนอก งานนี้สมมุติวาเกิดมาจากแรง
F มากระทํากับวัตถุนั้น สมมุติวาในชวงระยะทางสั้น ๆ = ds มีแรง F มากระทํากับวัตถุในแนว ds งาน
ที่เกิดจากแรงนี้คือ Fds กลายไปเปนสวน ที่เพิ่มขึ้นของพลังงานจลน dEk ของวัตถุนั้น
dEk = Fds
สมมุติวาเมื่อเริ่มตนใน S วัตถุอยูที่ตําแหนง s = 0 มีความเร็ว v = 0 จึงมีพลังงานจลน EK =
0 แตตอมาหลังจากการกระทําของแรง F วัตถุเคลื่อนที่ถึงตําแหนง = s ความเร็ว = v และมี
พลังงานจลนขณะนั้นเปน EK
จากกฎขอที่สองของนิวตัน F = )(mv
dt
d
dEk = { )(mv
dt
d
}ds = )(mvd
dt
ds
= vd(mv) = v(vdm + mdv)
= v2
dm + mvdv …………( 1)
แต m =
2
2
0
1
c
v
m
−
mc2
= m2
v2
+ m0
2
c2
โดยคิดวา m และ v อาจเปลี่ยนแปลงได แต c = คงที่ จึงหา differentials ทั้งสองขางของ
สมการไดเปน
2mc2
dm = 2mv2
dm + 2m2
vdv
หารดวย 2m ได
c2
dm = v2
dm + mvdv .……….(2)
จะเห็นวาสมการ (1) และสมการ (2) มีดานขวามือเทากัน

268
dEk = c2
dm
เมื่อแรกเริ่มใน s วัตถุมี v=0 Ek = 0 และ m = m0 กอนเมื่อถูกแรง F กระทําจะมีความเร็ว
ใด ๆ v พลังงานจลน Ek และมวล m โดยวิธี Integrates สมการขางบนนี้อาจหาพลังงานจลนของ
วัตถุไดคือ
Ek = ∫
kE
kdE
0
= ∫
m
m
dmc
0
2
= c2
(m –m0)
mc2
= Ek + m0c2
………..(8.26)
สมการนี้เปนสมการพลังงาน ดังนั้น mc2
จึงเปนพลังงานทั้งหมดของวัตถุซึ่งประกอบดวย 2
สวน สวนแรกคือ พลังงานจลน Ek และสวนหลังคือ m0c2
ซึ่งหมายถึงพลังงานที่มีอยูในตัววัตถุอัน
เนื่องมาจากมวลสวนที่อยูกับที่นั่นเอง จึงเรียกชื่อวา “Rest Energy” ของวัตถุนั้น แสดงวามวล
สามารถเปลี่ยนเปนพลังงานได แมวาจะอยูนิ่ง ๆ ใน Frame นั้น ให E แทน Total Energy และ E0
แทน Rest Energy
E = Ek + E0
โดยที่ E = mc2
และ E0 = m0c2
เนื่องจาก m > m0 เสมอดังนั้น E > E0
ในกรณีความเร็วต่ํา v << c เทอม v / c จะมีคาเขาสูศูนย
Ek = mc2
- m0c2
=
2
2
0
1
c
v
m
−
c2
- m0c2
= m0c2
( ( 1)1( 2
1
2
2
−−
−
c
v
)
อาศัยทฤษฎีบททวินามกระจายอนุกรมเทอมที่ยกกําลัง –(1/2)จะได
= m0c2
( ( 1......)
2
1
1( 2
2
−++
c
v
)
= 2
0
2
1
vm

269
ตัวอยาง 8.6 จงคํานวณหา rest energy ของ electron เปนหนวย Joule และหนวย electron
Volt โดยกําหนด rest mass ของ electron เทากับ 9.11 x 10-31
kg
วิธีทํา E0 = m0c2
= (9.11 x 10-31
kg)( 3 x 108
)2
m2
/s2
= 8.2 x10-14
j
= 0.51 MeV
8.2 ทฤษฎีควอนตัมเบื้องตน
กอน ค.ศ. 1900 นักวิทยาศาสตรเชื่อวาความรูทางฟสิกสที่มีอยูสามารถนํามาใชอธิบาย
ปรากฏการณธรรมชาติไดครอบคลุมทั้งหมด ทั้งทางดานสสารและพลังงาน ทางดานสสารสามารถใช
กฎของนิวตันอธิบายการเคลื่อนที่ของอนุภาคตั้งแตระดับอิเล็กตรอนจนถึงดวงดาว ทางดาน
พลังงานมีทฤษฎีแมเหล็กไฟฟาของแมกซเวลล ซึ่งใชอธิบายสมบัติของสนามแมเหล็กไฟฟาไดครบถวน
ตอมาเมื่อนักวิทยาศาสตรไดศึกษาปรากฏการณตาง ๆ ลึกลงไปถึงระดับจุลภาค เชนระดับอะตอม
นิวเคลียสหรือเล็กกวานี้ พบวาความรูกฎเกณฑที่มีอยูไมสามารถอธิบายปรากฏการณเหลานั้นได
ครบถวนสมบูรณ จึงมีการตั้งกฎเกณฑใหม ๆ ขึ้นมา ทฤษฎีควอนตัมเปนทฤษฎีหนึ่งซึ่งตั้งขึ้นเพื่อใช
อธิบาย ทํานาย และแสดงความสัมพันธของปรากฏการณธรรมชาติในระดับเล็ก ๆ
8.2.1 การแผรังสีของวัตถุดํา (Black body radiation)
ปรากฏการณการแผรังสีของวัตถุดําเปนปรากฏการณหนึ่งซึ่งไมสามารถใชทฤษฎีหรือกฎ
ตางๆ ในฟสิกสยุคเกาอธิบายได วัตถุดําหมายถึงวัตถุที่สามารถแผหรือดูดกลืนรังสีไดทุกความถี่ ไดแก
วัตถุที่มีอุณหภูมิสูงมาก ๆ ดวงอาทิตยแผรังสีเกือบทุกความถี่ อนุโลมวาเปนวัตถุดําได
กฎเกี่ยวกับการแผรังสี
สมมติวาวัตถุดําชิ้นหนึ่งแผรังสีออกมาทุกความถี่ ตองการหาการกระจายของความถี่ใน
ชวงเวลาหนึ่ง ๆ วาวัตถุดําจะแผรังสีแตละความถี่ไดมากนอยเพียงใด ถาเรารูจํานวนแบบ (mode) การ
สั่นสะเทือนของคลื่นและพลังงานของการสั่นสะเทือนของแตละแบบ เราก็สามารถหาการ
กระจายของความถี่ (frequency distribution) ได
จากการศึกษาในวิชากลศาสตรสถิติพบวาความนาจะเปนของคาพลังงานซึ่งเกิดจากการ
สั่นสะเทือนจะมีคาอยูในชวง E ถึง E + dE จะเปนฟงกชันอยูในรูป e dEE k TB− /

270
พลังงานเฉลี่ยของการสั่นสะเทือนแตละแบบ คือ
E =
Ee dE
0
e dE
0
E
k
B
T
E k
B
T
−
−
∞
∫
∞
∫
อาศัยการอินทิเกรตบางสวน (Integrating by part) จะได
E = k TB .................... (8.27)
เมื่อ T คืออุณหภูมิมีหนวยเปนเคลวิน kB คือคาคงที่ของโบลซมานน
การหาจํานวนแบบของการสั่นสะเทือน พิจารณาจากการสมมติวามีกลองใบหนึ่งถูกทําให
รอน มีคลื่นแมเหล็กไฟฟาสะทอนแผออกมา กลองนี้จะอยูในภาวะสมดุลทางความรอน เมื่อคลื่น
แมเหล็กไฟฟาที่ถูกแผออกมาและถูกดูดกลืนเขาไปในกลองมีคาเทากัน อาจเปรียบเทียบไดวาคลื่นที่
สะทอนกลับไปกลับมาในกลองเปนคลื่นนิ่ง (Standing wave)
-จากการศึกษาสมบัติของคลื่นนิ่ง ความยาวคลื่น (λ)
¨จํานวนวงรอบของคลื่น(n)
ความยาวของกลอง(L) หาไดจาก
n = 2L/λ
กําหนดให k คือเลขคลื่น (Wave number)
k = 2πf/c
k = 2π/λ
L
รูป 8.7 การสะทอนของคลื่นในกลอง
รูป 8.8 การเกิดคลื่นนิ่ง n = 1
L

271
เมื่อ f คือความถี่ของคลื่น λ คือความยาวคลื่น
เงื่อนไขที่ทําใหเกิดคลื่นนิ่งในกรณีที่เปน 3 มิติคือ
2
2
2
π
π
π
n k L
n k L
n k L
x x
y y
z z
=
=
=
.................... (8.28)
ตรงจุด n จะได
n2
= n n nx y z
2 2 2
+ +
ปริมาตรที่อยูระหวางทรงกลมรัศมี n + dn คือ 4πn2
dn ซึ่งปริมาตรเทานี้จะมีคลื่น
แมเหล็กไฟฟาเทากับ 4πn2
dn คลื่นดวย จากสมการ (8.28) เมื่อยกกําลังสองทั้งสองขางแลวนํามา
รวมกันจะได
4π2
(n n nx y z
2 2 2
+ + ) = ( )k k k Lx y z
2 2 2 2
+ +
k =
2πn
L
dk =
2πdn
L
จํานวนคลื่นแมเหล็กไฟฟาในปริมาตรระหวาง n และ dn จะมีคาเปน
L k dk3 2
2
2π
คลื่น
เพราะคลื่นแมเหล็กไฟฟาเปนคลื่นตามขวาง ทิศทางการโพลาไรซจะมีอยู 2 ทิศทาง
จํานวนแบบ (mode) ของการสั่นสะเทือนในชวง k ถึง k + dk
mode =
2
2
3 2
2
L k dk
π
ในฟสิกสยุคเกา บอกวาการสั่นสะเทือนของแตละแบบจะมีพลังงานเทากับ kBT ดังนั้น
ในชวงความถี่ f ถึง f + df จะมีพลังงานเทากับ uf uf คือความหนาแนนพลังงาน/ปริมาตรในชวง
ความถี่ดังกลาว
z
n+dn
n
y
รูป 8.9 การหาจํานวนคลื่นในชวง
dn + n
x

272
ufdf =
(k T) k dkB 2
2
2
2
π
.................... (8.29)
แทนคา k = 2πf / c และ dk = 2πdf / c สมการ (6.3) จะเปลี่ยนรูปเปน
ufdf =
8 2
3
πf k Tdf
c
B
.................... (8.30)
เรียกสมการ (8.30) วาเปนกฎการแผรังสีของเรเลหและจีนส (Rayleigh - Jeans
radiation law) สมการนี้ชี้ใหเห็นวาที่อุณหภูมิคงที่คาหนึ่ง พลังงานที่ไดจากการแผรังสีจะมากหรือนอย
ขึ้นอยูกับความถี่ของคลื่นแมเหล็กไฟฟา ถาคลื่นมีความถี่สูง พลังงานตอหนึ่งหนวยปริมาตรที่แผ
ออกมาจะมีคามาก ถาวัตถุดําแผรังสีออกมาทุกคาความถี่ พลังงานทั้งหมดตอหนึ่งหนวยปริมาตรที่แผ
ออกมาจะมีคามหาศาล จนประมาณมิไดดังสมการ
u dff
0
∞
∫ = ∞ ................... (8.31)
แตผลจากการทดลองพบวาเสนกราฟของพลังงานตอหนึ่งหนวยปริมาตรที่ทุกๆ ความถี่ที่
วัตถุดําแผออกมาตรงบริเวณความถี่ของรังสีเหนือมวงจะไมสอดคลองกับกฎของเรเลหและจีนส
ทํานายไว ดังรูป 8.10
ผลการทดลองที่ขัดแยงกับคําทํานายนี้เรียกวา ความผิดพลาดตรงบริเวณรังสีเหนือมวง
(Ultraviolet Catastrophe) นั่นคือ กฎของเรเลหและจีนส ใชอธิบายปรากฏการณการแผรังสีของวัตถุ
ดําไดเฉพาะตรงบริเวณที่อุณหภูมิต่ําและความถี่ซึ่งต่ํากวาความถี่ของรังสีอุลตราไวโอเลต
นักวิทยาศาสตรสมัยนั้นไมสามารถหาคําตอบไดวาความผิดพลาดนี้เกิดมาจากขอบกพรองตรงจุดใด
นอกจากนี้ยังมีกฎอื่น ๆ ที่กลาวถึงการแผรังสีของวัตถุดํา ไดแก
กฎของสตีฟาน (Stefan’s law) ซึ่งกลาวไววา พลังงานตอหนวยหนวยปริมาตรของทุก ๆ
ความถี่ที่แผออกมาจากวัตถุดําจะแปรผันตรงกับกําลังสี่ของอุณหภูมิ
รูป 8.10 ความไมสอดคลองกันของผลการทดลอง และกฎของเรเลหและจีนส

273
u = eσT4
.................... (8.32)
เมื่อ σ คือคาคงที่ของสตีฟาน = 5.67 × 10-8
วัตต/เมตร2
⋅เคลวิน4
)
e คือความสามารถในการแผรังสี ถาเปนวัตถุดําจะมีคาเทากับ 1
กฎของวีน (Wein’s law) กลาววาวัตถุทุกชิ้นที่มีอุณหภูมิสูงกวาองศาสมบูรณจะมีการแผ
คลื่นแมเหล็กไฟฟาออกมาเสมอเมื่อวัตถุมีอุณหภูมิต่ํา รังสีสวนใหญที่แผออกมามีความถี่อยูในยานที่
ตามนุษยมองไมเห็น เมื่อวัตถุนั้นมีอุณหภูมิสูงขึ้นคลื่นแมเหล็กไฟฟาที่แผออกมาไดมากที่สุดจะมี
ความถี่สูงขึ้นและความถี่จะสูงขึ้นเรื่อย ๆ ถาเพิ่มอุณหภูมิขึ้นไปอีก ให λmax เปนความยาวคลื่น
แมเหล็กไฟฟาที่แผออกมาไดมากที่สุด ณ ที่อุณหภูมิหนึ่ง ๆ T คืออุณหภูมิของวัตถุเปนองศาสมบูรณ
กฎของวีนเขียนเปนสมการไดดังนี้
λmaxT = 2.898 ×10-3
เมตร⋅เคลวิน.................... (8.33)
เสนกราฟแสดงความสัมพันธระหวางความยาวคลื่นแมเหล็กไฟฟาที่แผออกมาได และ
ปริมาณที่แผออกมาจะเปนดังรูป 6.5
8.2.2 สมมติฐานของพลังค
ในป ค.ศ. 1901 แม็กซ พลังค (Max Planck) ไดศึกษาการแผรังสีของวัตถุดําและ
พยายามหาสาเหตุของความผิดพลาดที่เกิดขึ้นในกฎเรเลหและจีนส พลังคไดเสนอวาอนุภาค
รูป 8.12 เมื่ออุณหภูมิสูงขึ้น ความถี่ที่วัตถุดําแผออกมาไดมากที่สุด
จะเลื่อนไปสูคาความยาวคลื่นนอยลง

274
ไฟฟาที่สั่นสะเทือนสงคลื่นแมเหล็กไฟฟาออกมานั้น พลังงานที่สงออกมาจะมีคาเพียงบางคา มี
ลักษณะไมตอเนื่อง เปนกอนพลังงาน (quantum of energy) พลังงานของคลื่นแมเหล็กไฟฟาที่แผ
ออกมาแตละความถี่คือ
∈ = hf .................... (8.34)
เมื่อ h คือคาคงที่ของพลังค = 6.63 × 10-34
จูล⋅วินาที
f คือความถี่ของคลื่นแมเหล็กไฟฟาที่แผออกมา
เมื่อพลังงานมีคาไมตอเนื่อง พลังงานเฉลี่ยของการสั่นสะเทือนแตละแบบคือ
E =
n e
e
n /kBT
n /kBT
n 0
n 0
∈
− ∈
− ∈
=
∞
=
∞
∑
∑
.................... (8.35)
เมื่อ n มีคามาก ๆ ∈ จะอยูชิดกันมากจนถือไดวามีคาเกือบตอเนื่อง อาศัยการกระจาย
ของอนุกรม เมื่อกําหนดให x e
n
kBT
=
−
ε
xn
n=
∑0
= 1 + x + x2
+ ...
=
1
1( )− x
∑n ∈xn
= ∈x (1 + 2x +3x2
+ ...)
=
∈
−
x
x( )1 2
แทนคา x =
∈
−
∈
e
kBT/
1
กระจายเทอมเอ็กซโพเนนเชียลใหอยูในรูปอนุกรม
≈
∈
+
∈
+ −( )1 1
k TB
K
สมการ (6.9) จะกลายเปน
E ≅ kBT
สอดคลองกับที่หาไดจากสมมติฐานเดิมที่พลังงานที่แผออกมามีคาตอเนื่อง

275
ความหนาแนนของพลังงานตอหนึ่งหนวยปริมาตร เมื่อใชสมมติฐานของพลังคพบวามีคา
เปน
ufdf =
8 1
1
3
3
πhf
c e
dfnf kBT/
−
.................... (8.36)
เมื่อนําไปพล็อตกราฟระหวาง uf และ f เสนกราฟที่ไดจะสอดคลองกับผลการทดลองพอดี
u dff
0
∞
∫ =
8 h
c
f df
e 1
3
3
0
hf /kBT
π
−
∞
∫
= σT4
เมื่อ σ =
8
15
5 4
3 3
π k
h c
B
ซึ่งตรงกับกฎของสตีฟานไดทํานายไว
เมื่อใหอุณหภูมิคงที่ หาความถี่ของคลื่นแมเหล็กไฟฟาที่แผออกมาไดมากที่สุด นั่นคือ
du
df
f
= 0 จะได
T = 0.2131
h
k
f
B
m
ซึ่งสอดคลองกับกฎของวีนที่วาผลคูณของอุณหภูมิสมบูรณกับความยาวคลื่นที่แผออกมา
ไดมากที่สุดมีคาคงที่
จะเห็นวาสมมติฐานของพลังคที่กลาวถึงพลังงานในลักษณะที่มีคาไมตอเนื่องนี้สามารถ
ใชอธิบายปรากฏการณแผรังสีไดสอดคลองกับผลการทดลอง และสอดคลองกับกฎตาง ๆ ในฟสิกสยุค
เกา เปนสมมติฐานที่เปดศักราชของฟสิกสยุคใหม และเปนที่มาของวิชากลศาสตรควอนตัม
ตัวอยาง 8.6 ความหนาแนนพลังงานตอปริมาตรที่ไดจากสมมติฐานของพลังค (uf) คือ
uf =
8 hf
c
1
e 1
3
3 nf /kBT
π
−
จงแสดงวาเมื่อ
hf
k TB
มีคานอยกวาหนึ่งมาก ๆ สมการนี้จะสอดคลองกับกฎของเรเลห
และจีนส
วิธีทํา เมื่อกระจาย ex
เปนอนุกรมจะได
ex
= 1 + x +
x2
2!
+
x3
3!
+ ...
จากสมการความหนาแนนพลังงานตอปริมาตร กระจายเทอม ehf k TB/
ใหอยูในรูปอนุกรม

276
uf (T) =
8 1
1
1
2
1
3
3 2
πhf
c hf
k T
hf
k TB B
+ +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
...
เพราะ
hf
k TB
มีคานอยมาก เทอมยกกําลังสองจึงตัดทิ้งได จะได
uf =
8 3
3
πhf
c
k TB
เหมือนกับสมการของเรเลหและจีนส สมการที่ (8.30)
ตัวอยาง 8.7 จากตัวอยาง 8.6 จงแสดงวาความหนาแนนพลังงานที่แผออกมาจากวัตถุดําที่ทุก
คาความถี่จะเปนไปตามกฎของสตีฟาน
วิธีทํา วัตถุดําแผรังสีทุกความถี่ตั้งแต 0 ถึง ∞
ความหนาแนนของพลังงานที่ไดจากทุกความถี่
U = u dff
0
∞
∫
=
( )
8 hf
c
df
e 1
3
3
0
hf /k TB
π∞
∫ −
เปลี่ยนตัวแปร โดยให x =
hf
k TB
dx =
h
k T
df
B
สมการจะกลายเปน
u =
8
1
4 4
3 3
3
0
πk T
h c
x dx
e
B
x
−
∞
∫
=
8
1
1
4 4
3 3
3
0
πk T
h c
x e
e
dxB
x
x
−∞
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
∫
จากอนุกรมเลขคณิต
1
1− n
= 1 + n +n2
+ n3
+ ...
u =
8 T
h c
x3e x (1 e x e 2x ...)dx
0
4
3 3
πk
B
4
− + − + − +
∞
∫
u =
8 4 4
3 3
3
10
πk T
h c
x e dx
B sx
s
−
=
∞∞
∑∫

277
จากสูตรของ Gamma function
e x dxx n− −
∞
∫ 1
0
= Γ( )n
= (n-1)!
หรือ
1 1
0s
e sx dxn
sx n− −
∞
∫ ( ) =
( )!n
sn
− 1
=
3
4
!
s
n = 4 เพราะเมื่อเทียบกับตัวแปรในสมการจะได
(sx)3
= (sx)n-1
จึงได n = 4
ผลลัพธของการอินทิเกรตจะได
U =
8 34 4
3 3 4
0
πk T
h c s
B
n
!
=
∞
∑
แต
1
4
s
∑ = 1 +
1
2
1
3 904 4
4
+ + =...
π
แทนคา
1
4
s
∑ จะได
U =
8
15
4
3 3
4
πk
h c
T
B
ตรงกับสูตรซึ่งสตีฟานหาไวในสมการ (8.36)
สมมติฐานของพลังคสามารถนําไปใชอธิบายปรากฏการณอื่นๆ ซึ่งทฤษฎีฟสิกสยุคเกาไม
สามารถอธิบายไดถูกตองอีกหลายปรากฏการณดังที่จะกลาวตอไปนี้
8.3 ปรากฏการณโฟโตอิเล็กตริก (Photoelectic effect)
ค.ศ. 1887 เฮิรตซ (Hertz) ไดทดลองฉายรังสีอุลตราไวโอเล็ตไปกระทบบนผิวโลหะ พบวา
เกิดอิเล็กตรอนอิสระที่โลหะนั้น เรียกอิเล็กตรอนนี้วา โฟโตอิเล็กตรอน เมื่อเฮิรตซเปลี่ยนความถี่ของ
แสงที่ฉายตกกระทบบนโลหะพบวา เมื่อลดความถี่ของรังสีใหนอยลงถึงคาคาหนึ่งซึ่งพอดีที่จะทําให
อิเล็กตรอนในอะตอมหลุดเปนอิสระได ถาความถี่นอยกวาคาคานี้จะไมเกิดโฟโตอิเล็กตรอนขึ้น
ความถี่นี้เรียกวาความถี่ขีดเริ่ม (threshold frequency) เมื่อเพิ่มความถี่ใหสูงขึ้น พบวาโฟโต
อิเล็กตรอนจะมีพลังงานมากขึ้น ถาเพิ่มปริมาณความเขมของรังสีจะมีผลตอจํานวนโฟโตอิเล็กตรอน
ซึ่งจะมีจํานวนมากขึ้น

278
ทฤษฎีฟสิกสยุคเกากลาววาเมื่อคลื่นแมเหล็กไฟฟาตกกระทบโลหะ จะทําใหอะตอมมีการ
สั่นสะเทือนแบบซิมเปลฮารมอนิก ถาความเขมของคลื่นมีคามากขึ้น นั่นคือขนาดของสนาม
แมเหล็กไฟฟาจะมากขึ้น ทําใหแรงที่ทําใหเกิดการสั่นมีคามาก อิเล็กตรอนจะหลุดจากผิวโลหะดวย
พลังงานที่มีคามาก ถาเพิ่มความถี่แสงพลังงานของโฟโตอิเล็กตรอนจะมีคาลดลง เพราะผลของความ
เฉื่อยของมวลของอิเล็กตรอน จะเห็นวาคําทํานายที่ทฤษฎีฟสิกสยุกเกากลาวไวขัดแยงกับผลการ
ทดลอง
8.3.1 สมการทั่วไปของปรากฏการณโฟโตอิเล็กตริก
ค.ศ. 1905 ไอนสไตนไดอธิบายปรากฏการณโฟโตอิเล็กตริกไดเปนผลสําเร็จ ทําใหเขา
ไดรับรางวัลโนเบลในเวลาตอมา ไอนสไตนเสนอวาแสงเปนกลุมพลังงานเล็ก ๆ เปรียบไดดังอนุภาค มี
มวล มีโมเมนตัม และพลังงาน เรียกวาโฟตอน (photon) เมื่อโฟตอนชนกับอิเล็กตรอนจะเหมือนกับ
อนุภาค 2 อนุภาคชนกัน จะมีการถายเทพลังงานใหแกอิเล็กตรอนทั้งหมด ถา
พลังงานที่ถายเทใหนี้มีคาเทากับพลังงานที่ยึดอิเล็กตรอนไวในนิวเคลียส เราเรียกคาพลังงานนี้วา เวิรก
ฟงกชัน ถาพลังงานที่ถายเทใหมีคามากกวาเวิรกฟงกชัน พลังงานที่เหลือจะกลายเปน
พลังงานจลนของโฟโตอิเล็กตรอน สามารถเขียนเปนสมการโฟโตอิเล็กตริกของไอนสไตน ดังนี้
hf = W + K .................... (8.37)
เมื่อให hf เปนพลังงานของโฟตอนที่ตกกระทบ
W คือ Work function หนวยปนอิเล็กตรอนโวลต (eV)
K คือพลังงานจลนคาสูงสุดของโฟโตอิเล็กตรอน
เมื่อเขียนกราฟระหวางพลังงานจลนของโฟโตอิเล็กตรอนกับความถี่ของแสงที่
ตกกระทบจะมีลักษณะดังนี้
รูป 8.14 แสดงความสัมพันธระหวางพลังงานจลนและความถี่
K
Kmax
hf
ff0
W f

279
กราฟที่ไดเปนกราฟเสนตรง มีความชันเทากับคาคงที่ของพลังค จุดที่ตัดกับแกน f ที่
ตําแหนง f0 จุดนี้คือความถี่ขีดเริ่ม เวิรกฟงกชัน (W) จึงหาไดจาก W = hf0 ตรงจุด f0 นี้พลังงานจลน
ของอิเล็กตรอนจะเปนศูนย
ตารางตอไปนี้เปนเวิรกฟงกชันของโลหะชนิดตาง ๆ
ตาราง 8.1 แสดงคาเวิรกฟงกชันของโลหะ
โลหะ W (eV)
แบเรียม 2.5
ซีเซียม 1.9
ทองแดง 4.5
โปแตสเซียม 2.2
เงิน 4.6
โซเดียม 2.3
ทังสเตน 4.5
การวัดคาพลังงานจลนของอิเล็กตรอนจะตองรูคาความเร็วของอิเล็กตรอน ซึ่งในทาง
ปฏิบัติวัดไดลําบาก เราจึงวัดพลังงานจลนของอิเล็กตรอนในรูปของศักยหยุดยั้ง(Stopping Potential)
มิลลิแคน (Millikan) ไดเสนอวิธีการวัดคาศักยหยุดยั้งไวเมื่อ ค.ศ. 1916
อุปกรณประกอบดวยหลอดสูญญากาศ มีขั้วลบเปนแผนโลหะ (C) รับแสงที่ตกกระทบ
อีกปลายดานหนึ่งของหลอดเปนขั้วบวก (A) ตอขั้วทั้งสองเขากับแหลงจายไฟตรงที่สามารถปรับ
รูป 6.7 การหาคาศักยหยุดยั้ง
B
V
A
C A

280
แรงเคลื่อนไฟฟาได สามารถวัดกระแสและความตางศักยไฟฟาที่ขั้วทั้งสองของหลอดไดจาก
แอมมิเตอรและโวลตมิเตอร
จากรูปเมื่อใหแสงตกกระทบบนโลหะจะเกิดโฟโตอิเล็กตรอนเคลื่อนที่จากขั้วลบมายัง
ขั้วบวก ถาความตางศักยที่ขั้ว AC มากเทาใดจะยิ่งชวยเสริมรวมกับพลังงานจลนของอิเล็กตรอน ทํา
ใหวิ่งมาถึงแผนบวกไดเร็วและมากขึ้น ถากลับขั้วแหลงจายไฟตรงเสียใหม ใหขั้ว A เปนลบเมื่อเทียบ
กับ C เริ่มตนปรับคาความตางศักยจากศูนยโวลตขึ้นไป จะมีสนามไฟฟาซึ่งทําใหเกิดแรงตานในทิศที่
สวนกับการเคลื่อนที่ของอิเล็กตรอน ความตางศักยที่ขั้ว A เปนลบมากขึ้นเทาใด อิเล็กตรอนจะวิ่งถึง
ขั้ว A ไดยากขึ้นเพียงนั้น จนถึงคาความตางศักยคาหนึ่งเทากับ V0 จะไมมีอิเล็กตรอนตัวใดวิ่งถึงขั้ว A
เลย ซึ่งสังเกตไดจากกระแสที่ไหลผานแอมมิเตอรเปนศูนย เรียกวา V0 วาเปนศักยหยุดยั้ง ตรงคา V0
นี้แสดงวาพลังงานไฟฟาที่ใชตานการเคลื่อนที่ของอิเล็กตรอนมีคาเทากับพลังงานจลนของอิเล็กตรอน
พอดี นั่นคือ
K = qV0 .................... (8.38)
แทนคา K ลงในสมการ (8.37)
hf = W + qV0 .................... (8.39)
สมการ (8.38) ถูกนําไปใชในทางปฏิบัติมากกวาสมการ (8.36) เพราะสามารถวัด
พลังงานจลนไดจากความตางศักยไดโดยตรง
8.3.2 การคํานวณหาเวิรกฟงกชัน ความถี่ขีดเริ่ม และศักยหยุดยั้ง
ตัวอยาง 8.8 โลหะโซเดียมมีคาเวิรกฟงกชัน = 2.3 eV เมื่อฉายแสงสีเขียวความยาวคลื่น 5,000 แอง
สตรอม จะเกิดปรากฏการณโฟโตอิเล็กตริกหรือไม
วิธีทํา จากคาเวิรกฟงกชัน ทําใหรูความถี่ขีดต่ําสุดของโลหะโซเดียมได
W = hf0 =
hc
λ0
หรือ λ0 =
hc
W
h = 6.625 × 10-34
c = 3 × 108
เมตร/วินาที
w = 2.3 × 1.6 × 10-19
จูล
จะได λ0 = 5394.9 แองสตรอม
ความยาวคลื่นของแสงสีเขียวนอยกวาความยาวคลื่นขีดต่ําสุด จึงเกิดปรากฏการณ
โฟโตอิเล็กตริกได

281
ตัวอยาง 8.9 ฉายแสงจากหลอดปรอทซึ่งใหแสงความยาวคลื่น 2537 แองสตรอม บนแผนโลหะ
ซีเซียมซึ่งมีคาเวิรกฟงกชันเทากับ 19 eV จงคํานวณหา
ก. ความเร็วสูงสุดของโฟโตอิเล็กตรอน
ข. ศักยหยุดยั้ง
วิธีทํา ก. จาก K = hf - W
=
hc
λ0
- W
เมื่อ c = 3 × 108
เมตร/วินาที h = 6.625 × 10-34
จูล.วินาที
λ = 2537 ×10-10
เมตร W = 1.9 × 1.6 × 10-19
จูล
K = 4.67 × 10-19
จูล
คาพลังงานจลนนี้ถือวาเปนคาสูงสุด เพราะเกิดจากโฟโตอิเล็กตรอนหลุดเปน
อิเล็กตรอนอิสระโดยตรง ไมเสียพลังงานใหกับการชนกับอิเล็กตรอนตัวอื่นๆ ความเร็วสูงสุดของ
อิเล็กตรอนคือ
v2
=
2K
m
v = 1.02 × 106
เมตร/วินาที
ข. คํานวณหาคาศักยหยุดยั้ง
K = qV0
=
coulomb
J
19
19
106.1
1067.4
−
−
×
×
= 2.99 volt
8.4 ปรากฏการณคอมปตัน (The Compton effect)
ปรากฏการณคอมปตัน เปนปรากฏการณที่แสดงใหเห็นอยางชัดเจนวาคลื่นแมเหล็ก
ไฟฟาสามารถประพฤติตัวเปนอนุภาคไรมวลที่เรียกวาโฟตอนได คอมปตันไดทําการทดลองไวเมื่อ
ค.ศ. 1923 โดยฉายรังสีเอ็กซไปยังแทงกราไฟต รังสีเอ็กซที่ผานแทงกราไฟตจะมีการกระเจิงออกมา
ความถี่ของรังสีเอ็กซที่กระเจิงนี้จะมีคาลดลงกวาเดิมและขึ้นอยูกับมุมกระเจิงเทานั้น
จากทฤษฎีสัมพัทธภาพ สมการพลังงานของอนุภาคที่มีมวลนิ่งเทากับ m0 มีโมเมนตัม
เทากับ p คือ
E2
= (m0c2
)2
+ (pc)2
= (mc2
)2

282
โฟตอนของรังสีเอ็กซที่มีความถี่ f เปนอนุภาคไรมวล m0 = 0 ดังนั้น
E = pc
หรือ p =
E
c
=
hf
c
h
=
λ
.................... (8.39)
จากรูป 8.16 โฟตอนของรังสีเอ็กซมีพลังงาน E1 = hf1 มีโมเมนตัม p1 = h/λ1 วิ่งชน
อิเล็กตรอนของแทงกราไฟต ทําใหอิเล็กตรอนเบี่ยงเบนไปจากแนวเดิมเทากับ θ โมเมนตัมของ
อิเล็กตรอนหลังการชนคือ P พลังงานทั้งหมดของอิเล็กตรอนหลังชนคือ E โดยที่ E
= ( )m c P c0
2 2 2 2
+ โฟตอนกระเจิงไปจากแนวเดิมเปนมุม φ ความถี่ของโฟตอนหลัง
ชนเทากับ f2
จากกฎการอนุรักษโมเมนตัม
ผลบวกของโมเมนตัมกอนชน = ผลบวกของโมเมนตัมหลังชนในแนวแกน x
hf
c
1
0+ =
hf
c
P2
cos cosφ θ+ .................... (8.40)
ในแนวแกน y
0 + 0 =
hf
c
P2
sin sinφ θ+ .................... (8.41)
จากสมการ (8.40)
hf1 - hf2 cosφ = Pc cos θ .................... (8.42)
E2=hf2
E1=hf1
φ
p2=hf2 / c
θเปาอิเล็กตรอนp1=hf1 / c
P, E
กอนชน หลังชน
รูป 8.16 แสดงการชนของโฟตอนกับอิเล็กตรอนในแทงกราไฟต

283
จากสมการ (8.41)
hf2 sin φ = Pc sin θ .................... (8.43)
นําสมการ (8.42) และสมการ 8.43) ยกกําลังสองแลวบวกกัน
(hf1)2
-2 (hf1)(hf2) cosφ+ (hf2)2
= P2
c2
.................... (8.44)
จากสมการอนุรักษพลังงาน
ผลบวกของพลังงานกอนชน = ผลบวกของพลังงานหลังชน
hf1+ m0c2
= hf2 + mc2
.................... (8.45)
เมื่อ m0 และ m คือมวลนิ่งและมวลขณะเคลื่อนที่ของอิเล็กตรอนตามลําดับ
จากสมการ (6.20) ยายขางจะได
hf1 - hf2 = (m - m0)c2
.................... (8.46)
จากสมการ (8.46) จะเห็นวาพลังงานของโฟตอนที่ลดลงจะกลายเปนพลังงานจลนของ
อิเล็กตรอนที่เพิ่มขึ้น (K)
นั่นคือ พลังงานจลนของอิเล็กตรอน
K = hf1- hf2
= mc2
-m0c2
แต m = m
v
c
0
2
21−
...................(8.47)
หรือ m2
(c2
-v2
) = m c0
2 2
จัดรูปสมการ(8.44)ใหม แลวยกกําลังสองทั้งสองขาง
(hf1-hf2+ m0c2
)2
= (mc2
)2
แทนคา m2
c2
จากสมการ (8.47) จะกลายเปน
(hf1 -hf2+ m0c2
) = ( )c m c m v2
0
2 2 2 2
+
แต mv = P ซึ่งเปนโมเมนตัมของอิเล็กตรอน
(hf1 -hf2+ m0c2
) = (m0c2
)2
+ P2
c2
.................... (8.48)

284
แทนคา P2
c2
จากสมการ (8.44) จัดรูปสมการเสียใหมจะได
2m0c2
(hf1-hf2) - 2h2
f1f2(1 -cosφ) = 0
เปลี่ยนคาความถี่ใหอยูในรูปความยาวคลื่นจะได
λ2-λ1 =
h
m c0
1( cos )− φ .................... (8.49)
กําหนดให λc =
h
m c0
เรียกวาความยาวคลื่นของคอมปตัน
สําหรับอิเล็กตรอน λc จะมีคาเทากับ 0.02426 แองสตรอม
จากสมการ (8.49) จะเห็นวาความยาวคลื่นของรังสีเอ็กซที่เปลี่ยนไปไมไดขึ้นอยูกับความ
ยาวคลื่นเดิมหรือพลังงานกอนชน แตขึ้นอยูกับมุมที่กระเจิงไปเทานั้น สอดคลองกับผลการทดลองที่ได
สมการ (68.49) นี้ไดมาจากสมมติฐานที่วารังสีเอ็กซเปนโฟตอนที่ปราศจากมวล
ตัวอยาง 8.10 ฉายรังสีเอ็กซความยาวคลื่น 1 แองสตรอมผานแทงคารบอน รังสีเอ็กซกระเจิง
ทํามุม 180o
กับแนวเดิม จงคํานวณ
ก. ความยาวคลื่นของรังสีเอ็กซที่กระจายออกมา
ข. พลังงานจลนสูงสุดของอิเล็กตรอนซึ่งถูกชน
วิธีทํา ก. จากสมการ (8.49)
λ2 - λ1 = λ0 (1 - cosφ)
ในที่นี้ λ1 = 1 แองสตรอม
λ0 = 0.002426 แองสตรอม
φ = 180o
จะได λ2 - 1 = 0.02426 (1 - cos 180)
λ2 = 1.0485 แองสตรอม
ข. พลังงานจลนสูงสุดของอิเล็กตรอน
K = hf1 - hf2
= hc
1 1
1 2λ λ
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
= 574.38 อิเล็กตรอนโวลต

285
8.5 สมบัติคลื่นของอนุภาค
ค.ศ.1924 หลุยส วิกเตอร เดอบรอยล ไดเสนอวาเมื่อคลื่นแมเหล็กไฟฟาสามารถมี
สมบัติของอนุภาคได อนุภาคมีสมบัติความเปนคลื่นไดเชนกัน เรียกคลื่นของอนุภาคนี้วา คลื่น
เดอบรอยล ความยาวคลื่นและโมเมนตัมของอนุภาคมีความสัมพันธกันดังนี้
P =
h
λ
= mv
λ =
h
mv
.................... (8.50)
ถาความเร็วของอนุภาคมีคานอยกวาความเร็วแสงมาก ๆ ถือไดวา m = m0 เมื่อ m0 คือ
มวลของอนุภาคขณะหยุดนิ่ง แตถาความเร็วของอนุภาคเขาใกลความเร็วแสงตองใชความสัมพันธของ
m และ m0 ในสมการ(8.47) มาคํานวณดวย
ในชีวิตประจําวันคลื่นของอนุภาคมีอิทธิพลตอปรากฏการณที่สังเกตนอยมาก
ตัวอยางเชน ลูกบอลมวล 1 กิโลกรัม เคลื่อนที่ดวยความเร็ว 1 เมตร/วินาที คลื่นเดอบรอยลของลูก
บอลมีคาเทากับ 6.625 ×10-34
เมตร ความยาวคลื่นคานี้มีคานอยมากยากที่จะตรวจวัดได
ผลการทดลองที่แสดงใหเห็นวาอิเล็กตรอนแสดงสมบัติความเปนคลื่นไดคือการทดลอง
ของเดวิดสันและเจอเมอร (Davidson and Germer) ในป ค.ศ. 1927 โดยปลอยลําอิเล็กตรอนผาน
เขาไปในผลึกของนิเกิล อิเล็กตรอนจะเกิดการเลี้ยวเบนในผลึกทําใหทางเดินของ
ลําอิเล็กตรอนที่ผานระนาบของผลึกที่อยูติดกันมีคาตางกันทําใหเกิดการแทรกสอดของคลื่นอนุภาค
จากรูปคลื่นอิเล็กตรอนผานระนาบที่ตางกันของผลึกซึ่งมีความกวาง = a เสนทางของ
คลื่น ABC และ DEFG จะมีความยาวไมเทากันโดยมีผลตางของทางเดิน (path difference)
เทากับ EFG
รูป 8.17 คลื่นอิเล็กตรอนผานระนาบที่ตางกันของผลึกนิเกิล
F
CA
D H
B
E Gθ a

286
EFG = 2a sinθ
การแทรกสอดของคลื่นอนุภาคจะเสริมกันก็ตอเมื่อผลตางของทางเดินของคลื่นเปน
จํานวนเทาของความยาวคลื่น
2a sin θ = n λ .................... (8.51)
เมื่อ n =1, 2,3 ....
ตัวอยาง 8.11 นิวตรอนมีพลังงานจลน 0.0082 eV จงหาความยาวคลื่นเดอบรอยลของนิวตรอนนี้
วิธีทํา จาก λ =
h
P
h
m K
=
2 0
เมื่อ K คือพลังงานจลนของนิวตรอน = 0.082 × 1.602 × 10-19
จูล
m0 คือมวลนิ่งของนิวตรอน = 1.675 × 10-27
กิโลกรัม
h คาคงที่ของพลังค = 6.625 × 10-34
แทนคาจะได λ = 1.412 × 10-10
เมตร
ตัวอยาง 8.12 โลกมีมวล 6 × 1024
กิโลกรัม รัศมีวงโคจร 1.5 × 1011
เมตร ความเร็วในแนวเสน
สัมผัสเสนรอบวงคือ 3 × 104
เมตร/วินาที จงคํานวณหาความยาวคลื่นเดอบรอยลของโลก
วิธีทํา λ =
h
mv
เมื่อ m คือมวลของโลก และ v คือความเร็วของโลก
= 424
34
103106
10625.6
×××
× −
= 0.368 × 10-62
เมตร
อนุภาคที่มวลมากคลื่นเดอบรอยลจะมีคานอยมากจนไมสามารถวัดได คลื่นเดอบรอยล
ของอนุภาคที่มีมวลนอย ๆ เชน อิเล็กตรอนจะสังเกตเห็นไดงายกวา

287
8.3 หลักความไมแนนอนของไฮเซนเบิรก-ฟงกชันคลื่น
รูป 8.18 แสดงใหเห็นการจัดตัวของความยาวคลื่นอิเล็กตรอนเปนจํานวนเต็มหนวยรอบเสนรอบวงโคจรของ
บอร (Bohr orbit) รัศมี r
พิจารณาดูอิเลกตรอนที่โคจรรอบนิวเคลียส มันสามารถวิ่งโคจรรอบนิวเคลียสได โดยไมถูกดูด
ลงไปเขาหานิวเคลียส นั่นแสดงวา ขณะที่มันโคจรอยูมันไมไดสูญเสียพลังงานเลย ตามสมมุติฐาน
ของเดอบรอยล การเคลื่อนที่ของมันรอบนิวเคลียสนาจะเปนลักษณะคลื่นนิ่ง โดย ความยาวของวง
โคจร เทากับผลคูณเลขจํานวนเต็มกับความยาวคลื่น
พิจารณา 2π r = n λ
แต λ = h / P
ฉะนั้น 2π r = n h / P
จะได 2π r(mv) = nh
mvr =
π2
nh
ซึ่งสอดคลองกับสมมุติฐานขอที่หนึ่งของนิลส บอหร
รูป 8.19 (ก.) เชือกยาว L ถูกตรึงปลายทั้งสอง ( ข )อนุภาคมวล m ความเร็ว v เคลื่อนที่ระหวางผนังแข็งระยะ L

288
wave disturbance เปนการมองตัวกลางซึ่งถูกรบกวนโดยคลื่น การรบกวนที่เกิดขึ้นก็คือ
คลื่นนั่นเอง สําหรับ คลื่นวัตถุ ψ เปนตัวบอก wave disturbance ในเรื่องคลื่นเสียง wave
disturbance คือ การแปรของความกดอากาศ P ในเรื่องคลื่นแมเหล็กไฟฟา wave disturbance ก็
คือ ความเขมสนามไฟฟา นั่นเอง
พิจารณาฟงกชันคลื่น ψ(x,r) ของเชือกยาวL ที่ถูกตรึงปลายทั้งสองในรูปถาเชือกเสนนี้เกิด
คลื่นนิ่งและมีบัพ (node) ที่ปลายทั้งสอง ความยาวคลื่นหาไดจาก
λ =
n
L2
เมื่อ n เปนจํานวนเต็ม = 1,2,3, …
และเขียน wave disturbance ไดดังนี้
y = ym sin kx cos ωt
ซึ่ง ω = 2πf เปนความถี่เชิงมุมของคลื่นและ k =
λ
π2
=
L
nπ
เปนเลขคลื่น
ดังนั้นสมการคลื่นนิ่งจะเปน
Y = ym sin
L
nπ
x cos ωt
ถาเรานําสมการ 1 มา plot โดยให n = 1, 2 และ 3 จะไดรูป 8.20 ซึ่งที่ x = 0 และ
x = L จะได y = 0 เปนบัพที่ปลายทั้งสอง พิจารณาอนุภาคมวล m ที่เคลื่อนที่อยูระหวางกําแพง
แข็งสองขางหางกัน L ดังรูป ความยาวคลื่นของอนุภาคคือ
λ =
n
L2
เมื่อ n เปนจํานวนเต็ม = 1,2,3,
แทนคา λ = h / P จะได P = nh / 2L
จากสมการ P = mE2
จาก 2 สมการขางตน แทนคา P เราจะได
L
nh
2
= mE2
E = 2
22
8mL
hn
เมื่อ n = 1,2,3,…

289
รูป 8.20
พลังงานของอนุภาค มิใชมีคาเทาไรก็ได แตจะมีคาตามสมการขางตน สมการคลื่นของ
อนุภาคนี้ เมื่อเปรียบเทียบกับสมการคลื่นนิ่งในเสนเชือก จึงเขียนไดดังนี้
ψ = ψm sin
L
nπ
x cos ωt
ตัวอยาง 8.12 อิเลครอนมวล 9 × 10-31
kg เคลื่อนที่อยูระหวางผนังแข็งหางกัน 1.0 × 10-9
m
(ประมาณ 5 เทา ของเสนผาศูนยกลางของอะตอม) จงหาพลังงานควัน-ไตซของอิเลคตรอนเมื่อ n
= 1, 2 และ 3
วิธีทํา จากสมการ เมื่อ n = 1 จะได
E = 2
22
8mL
hn
=
)101)(101.9(8
)106.6(
1 931
234
2
mkg
sJ
−−
−
××
−×
= 6.0 × 10-20
J = 0.38 eV
เมื่อ n = 2 E = 22
(0.38) = 1.5 eV
เมื่อ n = 3 E = 32
(0.38) = 3.4 eV

290
ตัวอยาง 8.13 ผงฝุนมวล 1 ไมโครกรัม หรือ 10-9
kg เคลื่อนที่อยูระหวางผนังแข็งหางกัน 0.1 mm
หรือ 10-4
m ดวยความเร็ว10-6
m/s ถามันใชเวลา 100 s ในการเคลื่อนที่จากผนังดานหนึ่งไปอีกดาน
หนึ่ง จงหาเลขควันตัมของการเคลื่อนที่นี้
วิธีทํา
หาพลังงานของผงฝุน mE2 =
L
nh
2
E = 2
2
1
mv
= 0.5 × 10-9
kg ×(10-6
m/s)2
= 5 ×1022
J
จากสมการ n =
h
L
mE8
= 3 × 1014
ผลการคํานวณชี้ใหเห็นวา ในการพิจารณาวัตถุมีขนาดที่เรารูสึกมองเห็นนั้น (เชนผงฝุน) จะ
สังเกตเห็นธรรมชาติของควันไตเซชั่นไดยาก เพราะเราไมสามารถจะแยกความแตกตางระหวาง
n = 3 × 1014
และ 3 × 1014
+ 1 ได ฉะนั้นฟสิกสแบบเกาไมสามารถอธิบายตัวอยาง (8.13) ได แต
จะสามารถอธิบายตัวอยาง(8.12) ได อยางดี
ความหมายของ ψ
แมกซบอรน (Max Born) ไดแนะวา ปริมาณ ψ
2
ที่จุดใดจุดหนึ่ง คือ ความเปนไปได
(Probability) ที่จะพบอนุภาคใกลจุดนั้น ถาเราสรางปริมาตรเล็กๆ dV ลอมรอบจุดนั้น ความเปนไป
ไดที่เราจะพบอนุภาค ขณะใดขณะหนึ่งจะเทากับ ψ
2
dV สําหรับอนุภาคที่วิ่งอยูระหวางผนังหรือ
กําแพงที่กลาวมาแลว ความ เปนไปไดที่จะพบอนุภาคระหวางระนาบ x และ x + dx จากปลายขาง
หนึ่งของผนังคือ
ψ
2
dx = ψ
2
m sin2
L
nπ
x cos2
ωt dx
ถาแทนคา cos2
ωt ดวย ½ ซึ่งเปนคาเฉลี่ยของ cos เราจะได ψ
2
เฉลี่ยดังนี้
ψ
2
=
2
1
ψ
2
m sin2
L
nπ
x (8.52)

291
รูป 8.21 แสดงความเปนไปไดที่จะพบอนุภาคเมื่อ n =1, 2 และ 3
เชนเมื่อ n = 1 ความเปนไปไดทีเราจะพบอนุภาคที่กึ่งกลางจะมากกวาที่ผนังทั้งสองขาง
ผลลัพธดังกลาวนี้ขัดกับความคิดแบบเกามาก ซึ่งกลาววา ความเปนไปไดในการพบอนุภาคตามที่
ตาง ๆ ระหวางผนังทั้งสองมีคาเทาๆ กัน
ถาลองเอาวิชากลศาสตรแหงคลื่นของชโรดิงเจอร มาใชกับอะตอมของไฮโดรเจน และอาศัย
คณิตศาสตร ชั้นสูง เราจะไดฟงกชั่นคลื่นของอะตอมไฮโดรแจนที่ ground state ดังนี้
ψ = α
πα
r
e
−
3
2
cos ωt
ซึ่ง α = 2
2
me
h
π
ถามีที่วางระหวางทรงกลมสองลูกศูนยกลางอยูที่นิวเคลียสของอะตอมของไฮไดรเจน รัศมีของ
ทรงกลม r และ dr จงหาความเปนไปได P(r) ที่อิเลคตรอนจะอยูในที่วางนี้ในเทอมของ r
ความเปนไปได ψ
2
dV ซึ่ง dV เปนปริมาตรของที่วางอยูระหวางทรงกลมทั้งสองคือ 4πr2
dr
ดังนั้น
ψ
2
dV = ( α
πα
r
e
−
3
2
cos ωt )2
4πr2
dr = P( r ) dr (8.53)
แทนคา cos2
ωt ดวย ½ จะไดความเปนไปไดเฉลี่ยคือ

ฟิสิกสืยุคใหม่และทฤษฎีควอนตัม

ฟิสิกสืยุคใหม่และทฤษฎีควอนตัม

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to ฟิสิกสืยุคใหม่และทฤษฎีควอนตัม

Similar to ฟิสิกสืยุคใหม่และทฤษฎีควอนตัม (20)

More from สุริยะ ไฝชัยภูมิ

More from สุริยะ ไฝชัยภูมิ (7)

ฟิสิกสืยุคใหม่และทฤษฎีควอนตัม