1. ฟสิกสราชมงคล http://www.rit.ac.th/homepage-sc/physics/
190
หนวยที่ 6
คลื่นแมเหล็กไฟฟา
6.1 ทฤษฎีเกี่ยวกับคลื่นแมเหล็กไฟฟา
คลื่นแมเหล็กไฟฟาเปนคลื่นที่เคลื่อนที่ไดโดยไมตองอาศัยตัวกลาง ประกอบดวย
สนามแมเหล็กและสนามไฟฟาที่ตั้งฉากกัน และเคลื่อนที่ดวยเฟสตรงกันตลอดเวลาเชน คลื่นแสง ดังรูป
7.1 การเคลื่อนที่เปนไปตามกฎของแมเหล็กและไฟฟาดังนี้
รูป 6.1 ระนาบแมเหล็กและไฟฟาของคลื่นแมเหล็กไฟฟา
สนามไฟฟาและสนามแมเหล็กที่กลาวมาในหนวยที่ 1 และ 3 เปนสนามที่มีลักษณะสถิต กลาวคือจะมี
คาคงที่เสมอไมขึ้นอยูกับเวลา ขนาดของสนามจะแปรคาไปตามระยะทางจากแหลงกําเนิดสนามไปยัง
ตําแหนงที่ตองการหาสนามนั้น ในยุคกอนนั้นเชื่อกันวาปรากฏการณไฟฟาและแมเหล็กเปนปรากฏการณ
ที่แยกจากกันอยางเด็ดขาด จนถึง ค.ศ. 1865 เจมส เคลิรก แมกซเวลล (James Cleark Maxwel) ไดเส
อสมการเกี่ยวกับทฤษฎีแมเหล็กไฟฟา 4 สมการ และยังทํานายดวยวาสนามแมเหล็กและสนามไฟฟา
สามารถเดินทางรวมกันในอวกาศได เรียกวาคลื่นแมเหล็กไฟฟา ซึ่งในสมัยนั้นยังไมมีการคนพบคลื่นวิทยุ
และยังไมมีใครทราบวาแสงก็จัดเปนคลื่นแมเหล็กไฟฟาชนิดหนึ่ง
6.1.1 สมการแมกซเวลล
สมการแมกซเวลลทั้งสี่สมการไดมาจากการรวบรวมกฎที่สําคัญซึ่งเปนรากฐานของวิชา
แมเหล็กไฟฟา แลวใชวิธีการทางคณิตศาสตรสรางเปนสมการ รายละเอียดของแตละสมการมีดังนี้
1. สมการแรกจะเปนกฎของเกาสสําหรับสนามไฟฟา กลาววาฟลักซทั้งหมด (φE) ผานพื้นที่
ผิวปดจะมีคาเทากับประจุสุทธิภายในผิวปดนั้นเสมอ ดังสมการ

2. ฟสิกสราชมงคล http://www.rit.ac.th/homepage-sc/physics/
191
φE = ∈ ⋅∫0 E ds
s
v v
= q ................... (6.1)
สมการนี้แสดงใหเห็นวาเสนแรงของสนามไฟฟาจะมีลักษณะเปด เสนแรงจะเริ่มตนจากประจุ
บวกไปยังประจุลบ แรงทางไฟฟาสถิตสามารถหาไดจากกฎของคูลอมบ ประจุไฟฟาอิสระในธรรมชาติมีได
ทั้งประจุบวกหรือประจุลบ จากคณิตศาสตรในเรื่องเวกเตอรวิเคราะห การอินทิเกรตรอบผิวปดใด ๆ
สามารถเขียนแทนไดดวยอินทิเกรตเชิงปริมาตร โดยใชทฤษฎีไดเวอรเจนซ (divergence theorem) ดังนี้
v v
A ds
S
⋅∫ = ( . )
v v
∇∫ A dV
V
................... (6.2)
จากสมการ (6.1) เปลี่ยนประจุ q ใหอยูในรูปของความหนาแนนประจุ (ρ) คูณดวยปริมาตร
ยอยเล็ก ๆ (dV) จะได
q = ρdV
V
∫
กฎของเกาสในสมการ (6.1) จะกลายเปน
ε0 ( . )
v v
∇∫ E dV
V
= ρdV
V
∫
สมการนี้เปนจริงเสมอที่ทุกๆ จุดใดๆ ในปริมาตร เขียนใหอยูในรูปสมการเชิงอนุพันธไดดังนี้
v v
∇.E = ρ / ε0 ................... (6.3)
2. สมการที่ 2 ของแมกซเวลล จะเปนกฎของเกาสสําหรับสนามแมเหล็ก เพราะวาเสนแรง
แมเหล็กจะเปนวงปดเสมอ เสนแรงแมเหล็กที่พุงเขาผิวปดจึงมีคาเทากับเสนแรงแมเหล็กที่พุงออกจากผิว
ปด จํานวนเสนแรงสุทธิที่ผานผิวปดหนึ่ง ๆ จึงมีคาเปนศูนย นั่นคือ
φB =
v v
B ds
S
.∫ = 0 ....................(6.4)
อาศัยทฤษฎีไดเวอรเจนซจะได
v v
∇.B = 0 ....................(6.5)
สมการ (6.5) แสดงใหเห็นความแตกตางระหวางสนามแมเหล็กและไฟฟา เราไมสามารถพบ
ขั้วแมเหล็กอิสระ (แมเหล็กที่มีขั้วเหนือหรือขั้วใตเพียงอยางเดียว) เหมือนกับที่ไดพบประจุอิสระ
3. สมการที่ 3 เปนสมการเกี่ยวกับการเกิดแรงเคลื่อนไฟฟาเหนี่ยวนําของฟาราเดย ซึ่งแสดงให
เห็นวาการเปลี่ยนแปลงคาสนามแมเหล็กทําใหเกิดแรงเคลื่อนไฟฟาเหนี่ยวนํา หรือทําใหเกิดสนามไฟฟาได

3. ฟสิกสราชมงคล http://www.rit.ac.th/homepage-sc/physics/
192
จากกฎของฟาราเดยจะได
แรงเคลื่อนไฟฟาเหนี่ยวนํารอบวงจรปด = −
∂φ
∂
B
t
หรือ
v v
E.dl∫ = −
∫∂
∂
v v
B ds
t
.
....................(6.6)
อาศัยทฤษฎีของสโตกส (Stoke’s Theorem) จากเรื่องเวกเตอรวิเคราะห ซึ่งเปลี่ยนรูปการอินทิ
เกรตรอบเสนปดใหเปนการอินทิเกรตเชิงพื้นที่ไดดังนี้
v v
A.dl
L
∫ = ( ).
v v v
∇ ×∫ A ds
S
....................(6.7)
สมการ (6.6) จึงเปลี่ยนรูปไดใหมเปน
( ).
v v v
∇ ×∫ E ds
S
= −
∫∂
∂
v v
B ds
t
.
....................(6.8)
สมการ (6.8) เปนจริงเสมอกับทุก ๆ ผิวยอย ds เขียนใหอยูในรูปเชิงอนุพันธจะไดเปน
v v
∇ × E = −
∂
∂
v
B
t
....................(6.9)
4. สมการที่ 4 เปนกฎของแอมแปร ซึ่งเขียนเปนสมการไดดังนี้
v v
B dl
L
.∫ = µ0I ...................(6.10)
สมการ (6.10) หมายถึงการหมุนเวียนของสนามแมเหล็กไปตามเสนปดลอม L จะเทากับ
กระแสที่ไหลผานพื้นที่ที่ถูกปดลอมดวยเสนปดนั้นเสมอ สมการนี้ใชไดเฉพาะกรณีที่สนามแมเหล็กและ
กระแสไฟฟาไมแปรเปลี่ยนตามเวลา แตถาบริเวณนั้นมีการเปลี่ยนแปลงฟลักซไฟฟาหรือขนาดประจุมี
การเปลี่ยนแปลงเมื่อเทียบกับเวลาจะตองคิดกระแสไฟฟาที่เกิดขึ้นในกรณีนี้ดวย กระแสไฟฟานี้มีชื่อ
เรียกวา “กระแสไฟฟาการขจัด” (displacement current, Id)
กระแสไฟฟาการขจัดหาไดจากสูตร
Id =
∂φ
∂
E
t
=
d
dt
E ds( . )ε0
v v
∫ ...................(6.11)
เมื่อรวมกระแสการขจัดเขาไปดวย สมการ (6.10) จะไดเปน
v v
B dl.∫ = µ0(I + Id) ...................(6.12)

4. ฟสิกสราชมงคล http://www.rit.ac.th/homepage-sc/physics/
193
แทนคา I =
v v
J ds.∫ และ Id จากสมการ (6.11)
v v
B dl.∫ = µ0 (
v v v v
J ds
d
dt
E ds. ( . )∫ ∫+ ε0 )
ใชทฤษฎีของสโตกส สมการ (6.7)
( ).
v v v
∇ ×∫ B ds
S
= µ0 (
v v v v
J ds
d
dt
E ds. ( . )∫ ∫+ ε0
เขียนใหอยูในรูปเชิงอนุพันธจะได
v v
∇ × B = µ µ ε
∂
∂0 0 0
v
v
J
E
t
+ ..................(6.13)
เมื่อเปรียบเทียบสมการ (6.13) กับสมการ (6.9) จะเห็นวามีลักษณะคลายคลึงกันมาก ถาให
ความหนาแนนกระแสไฟฟา ( )
v
J ในสมการ (6.13) มีคาเทากับศูนย จะเห็นวาการเปลี่ยนแปลงสนามไฟฟา
ทําใหเกิดสนามแมเหล็ก เชนเดียวกับสนามแมเหล็กที่มีการเปลี่ยนแปลงทําใหเกิดสนามไฟฟาหรือ
แรงเคลื่อนไฟฟาเหนี่ยวนํา
หลังจากแมกซเวลลไดเสนอสมการแมกซเวลล 4 สมการและทํานายวาคลื่นแมเหล็ก
ไฟฟามีจริง ผูที่ตรวจวัดคลื่นแมเหล็กไฟฟาเปนคนแรกยืนยันคําทํานายของแมกซเวลลคือ เฮิรตซ
(Heinrich Hertz) โดยทดลองในป ค.ศ. 1887
อุปกรณที่ใชในการทดลองประกอบดวยขดลวดเหนี่ยวนําเชื่อมตอกับโลหะทรงกลม 2 ลูก ซึ่ง
วางใกลกันมาก จะทําหนาที่คลายกับเปนตัวเก็บประจุ อุปกรณชุดนี้ทําหนาที่คลายวงจร LC ของเครื่องสง
คลื่นวิทยุ การสั่นแกวง (oscillate) ของคลื่นเกิดขึ้นไดโดยปอนความตางศักยเปนคลื่นชวงสั้น ๆ (pulse)
เขาไปที่ขดลวดตัวนํา จะเกิดคลื่นแมเหล็กไฟฟาที่ความถี่ประมาณ 100 MHz จากนั้นเฮิรตซสรางวงจร
ขึ้นมาอีกวงหนึ่ง ประกอบดวยขดลวดเพียงขดเดียว ที่ปลายขดลวดมีทรงกลมตัวนําวางไวใกล ๆ กัน วงจร
ชุดนี้ทําหนาที่คลายเครื่องรับคลื่น เฮิรตซพบอีกวาวงจรรับคลื่นจะสามารถรับคลื่นไดก็ตอเมื่อความถี่ที่สงมา
รูป 6.2 แผนภาพแสดงอุปกรณที่ใชในการทดลองของเฮิรตซ
ขดลวดเหนี่ยวนํา
ปอนพัลซที่นี่

5. ฟสิกสราชมงคล http://www.rit.ac.th/homepage-sc/physics/
194
นั้นเปนความถี่อภินาทของวงจรรับคลื่นพอดี ถาความตางศักยบนขดลวดชุดรับคลื่นมีคาสูงจะทําใหเกิด
ประกายไฟกระโดดขามระหวางทรงกลมทั้งสอง การทดลองนี้แสดงใหเห็นวาพลังงานสามารถสงผาน
จากที่หนึ่งไปยังอีกที่หนึ่งไดโดยอยูในรูปของคลื่นแมเหล็กไฟฟา
การเขียนสมการเพื่อแสดงการเคลื่อนที่ของคลื่นแมเหล็กไฟฟาทําไดโดยนําสมการแมกซเวลล
บางสมการมาจัดรูปใหม เริ่มตนดวยสมการ (6.9) ใชวิธีการเคิรล (curl) กับสมการนี้ทั้งสองขาง
v v v
∇ × ∇ ×( )E =
−
∇ ×
∂
∂t
B( )
v v
แทนเทอมดานขวามือดวยสมการ (6.13) ในตัวกลางที่เปนอวกาศ ความหนาแนนกระแส (J) = 0
v v v
∇ × ∇ ×( )E =
−
∈
∂
∂
µ
∂
∂t
E
t
( )0 0
v
เพราะวา
v v v
∇ × ∇ ×( )E =
v v v v v
∇ ∇ ⋅ − ∇( )E E2
ในอวกาศไมประจุอิสระ (ρ = 0) ดังนั้น
v v
∇ ⋅ E = 0
จะได
v v
∇2
E = µ
∂
∂0 0
2
2∈
v
E
t
...................(6.14)
สมการ (6.14) เปนสมการคลื่นที่มีสนามไฟฟาเปนตัวแปรกับตําแหนงและเวลา
ในทํานองเดียวกันถาเริ่มตนดวยสมการ (6.13) จะไดสมการของคลื่นสนามแมเหล็กที่แปรตาม
ตําแหนงและเวลาเชนเดียวกัน
v v
∇2
B = µ
∂
∂0 0
2
2∈
v
B
t
...................(6.15)
เมื่อเทียบกับสมการคลื่นทั่วๆ ไปใน 3 มิติ f (r, t) คือ
v
∇2
f =
1
2
2
2
v
f
dt
∂
...................(6.16)
เมื่อ v คือความเร็วของคลื่น
ให v
c เปนความเร็วของคลื่นแมเหล็กไฟฟา เมื่อเปรียบเทียบสัมประสิทธิ์ของเทอมดานขวามือ
ของสมการ (6.15) และ (6.16) จะเห็นวา
c =
1
0 0µ ∈
...................(6.17)
สมการ (6.17) เปนผลพลอยไดจากสมการแมกซเวลลเมื่อแทนคา µ0 และ ∈0 สามารถ
คํานวณหาความเร็วแสงได

6. ฟสิกสราชมงคล http://www.rit.ac.th/homepage-sc/physics/
195
c =
1
4 10 88542 107 12
( )( . )π × ×− −
= 2.998 × 108
m/s
สมการ (6.15) และสมการ (6.16) เปนสมการอนุพันธซึ่งแสดงการเคลื่อนที่ของคลื่นระนาบ
(plane wave) สนามแมเหล็ก
v
B และสนามไฟฟา
v
E จะแปรคาตามตําแหนงพิกัด (x, y, z) และเวลา t
แนวการเปลี่ยนคาของ
v
E และ
v
B จะตั้งฉากซึ่งกันและกัน และตั้งไดฉากกับทิศการเคลื่อนที่ เพราะแนวของ
สนามแมเหล็กไฟฟาและทิศทางการเคลื่อนที่ของคลื่นมีทิศตั้งฉากซึ่งกันและกัน คลื่นแมเหล็กไฟฟาจึง
จัดเปนคลื่นตามขวาง (transverse wave)
เมื่อหาคําตอบสมการอนุพันธ (6.15) และ (6.16) จะไดฟงกชันคลื่นระนาบที่มีความถี่ f =
ω π/ 2 และ λ = 2π/k ดังนี้
E = E0 sin ( )kx t− ω
B = B0 sin ( )kx t− ω
เมื่อ E0 และ B0 คือแอมพลิจูดของสนามไฟฟาและสนามแมเหล็กตามลําดับ
ความสัมพันธของสนามไฟฟาและสนามแมเหล็กคือ
n|E| = c|B|
เมื่อ n คือดัชนีหักเหของตัวกลางที่คลื่นแมเหล็กไฟฟาผานสําหรับสูญญากาศ n = 1
รูป 6.3 แสดงสมการคลื่นแมเหล็กไฟฟาซึ่งขึ้นอยูกับตําแหนงพิกัด x และ t

7. ฟสิกสราชมงคล http://www.rit.ac.th/homepage-sc/physics/
196
6.1.2 การถอดสมการแมกซเวลลและคลื่นระนาบ
การเขียนสมการเพื่อแสดงการเคลื่อนที่ของคลื่นแมเหล็กไฟฟาทําไดโดยนําสมการแมกซเวลล
บางสมการมาจัดรูปใหม เริ่มตนดวยสมการ (a.8) ใชวิธีการเคิรล (curl) กับสมการนี้
ทั้งสองขาง
v v v
∇ × ∇ ×( )E =
−
∇ ×
∂
∂t
B( )
v v
แทนเทอมดานขวามือดวยสมการ (a.11) ในตัวกลางที่เปนอวกาศ ความหนาแนนกระแส (J)
= 0
v v v
∇ × ∇ ×( )E =
−
∈
∂
∂
µ
∂
∂t
E
t
( )0 0
v
เพราะวา
v v v
∇ × ∇ ×( )E =
v v v v v
∇ ∇ ⋅ − ∇( )E E2
ในอวกาศไมประจุอิสระ (ρ = 0) ดังนั้น
v v
∇ ⋅ E = 0
จะได
v v
∇2
E = µ
∂
∂0 0
2
2∈
v
E
t
...................(6.19)
สมการ (6.19) เปนสมการคลื่นที่มีสนามไฟฟาเปนตัวแปรกับตําแหนงและเวลาในทํานอง
เดียวกันถาเริ่มตนดวยสมการ (6.18) จะไดสมการของคลื่นสนามแมเหล็กที่แปรตามตําแหนงและเวลา
เชนเดียวกัน
v v
∇2
B = µ
∂
∂0 0
2
2∈
v
B
t
...................(6.20)
เมื่อเทียบกับสมการคลื่นทั่วๆ ไปใน 3 มิติ f (r, t) คือ
v
∇2
f =
1
2
2
2
v
f
dt
∂
...................(6.21)
เมื่อ v คือความเร็วของคลื่น
ให v
c เปนความเร็วของคลื่นแมเหล็กไฟฟา เมื่อเปรียบเทียบสัมประสิทธิ์ของเทอมดานขวามือ
ของสมการ (6.20) และ (6.21) จะเห็นวา
c =
1
0 0µ ∈
...................(6.22)
สมการ (6.22) เปนผลพลอยไดจากสมการแมกซเวลลเมื่อแทนคา µ0 และ ∈0 สามารถ
คํานวณหาความเร็วแสงได
c =
1
4 10 88542 107 12
( )( . )π × ×− −

8. ฟสิกสราชมงคล http://www.rit.ac.th/homepage-sc/physics/
197
= 2.998 × 108
m/s
และ ความเร็วคลื่นแมเหล็กไฟฟาในตัวกลางใดๆ v =
∈µ
1
เมื่อ µ และ ε เปนความซาบซึมไดทางแมเหล็ก และสภาพยอมทางไฟฟาของตัวกลางนั้นๆ
สมการ (6.20) และสมการ (6.21) เปนสมการอนุพันธซึ่งแสดงการเคลื่อนที่ของคลื่นระนาบ
(plane wave) สนามแมเหล็ก
v
B และสนามไฟฟา
v
E จะแปรคาตามตําแหนงพิกัด (x, y, z) และเวลา t
แนวการเปลี่ยนคาของ
v
E และ
v
B จะตั้งฉากซึ่งกันและกัน และตั้งไดฉากกับทิศการเคลื่อนที่ เพราะแนวของ
สนามแมเหล็กไฟฟาและทิศทางการเคลื่อนที่ของคลื่นมีทิศตั้งฉากซึ่งกันและกัน คลื่นแมเหล็กไฟฟาจึง
จัดเปนคลื่นตามขวาง (transverse wave)
เมื่อหาคําตอบสมการอนุพันธ (6.20) และ (6.21) จะไดฟงกชันคลื่นระนาบที่มีความถี่
f =ω π/ 2 และ λ = 2π/k ดังนี้
E = E0 sin ( )kx t− ω = E0 sin )ctx( −
B = B0 sin ( )kx t− ω = B0 sin )ctx( −
เมื่อ k = 2π/λ (เลขคลื่น) และ E0 และ B0 คือแอมพลิจูดของสนามไฟฟาและสนามแมเหล็กตามลําดับ
ความสัมพันธของสนามไฟฟาและสนามแมเหล็กคือ
n|E| = c|B| (6.23)
เมื่อ n คือดัชนีหักเหของตัวกลางที่คลื่นแมเหล็กไฟฟาผานสําหรับสูญญากาศ n = 1
รูป 6.4 แสดงสมการคลื่นแมเหล็กไฟฟาซึ่งขึ้นอยูกับตําแหนงพิกัด x และ t

9. ฟสิกสราชมงคล http://www.rit.ac.th/homepage-sc/physics/
198
ตัวอยาง 6.1 คลื่นแมเหล็กไฟฟาแบบคลื่นไซนมีความถี่ 40.0 MHz เคลื่อนที่ในทิศ +x ดังรูป ณ จุดหนึ่ง
เวลาใดๆ มีสนามไฟฟามากที่สุดเปน 750 N/C
ตามแกน y จงหา
ก. ความยาวคลื่นและคาบของคลื่น
ข. สนามแมเหล็ก เมื่อ สนามไฟฟา
เทากับ 750 N/C ในแนวแกน y
ค. สมการคลื่นของสนามแมเหล็ก
และสนามไฟฟา
รูปที่6.5 แสดงคลื่นแมเหล็กไฟฟา
วิธีทํา
ก. ความยาวคลื่นและคาบของคลื่น
เนื่องจาก
8
7
3.00 10
/ 7.50 .
40.0 10
c f c f mλ λ
×
= → = = =
×
8
7
1 1
2.5 10 sec.
40.0 10f
τ −
= = = ×
×
ข. สนามแมเหล็ก เมื่อ สนามไฟฟาเทากับ 750 N/C ในแนวแกน y
เนื่องจาก 6max
max 8
750 /
2.5 10 .
30 10 /
E N C
B T
c m s
= = = ×
×
v
v
ค. สมการคลื่นของสนามแมเหล็กและสนามไฟฟา
เนื่องจาก
7 1
2 8 10
2 / 0.838 ./ .
f s
k rad m
ω π π
π λ
−
= = ×
= =
และ 7
max cos( ) 750cos(0.838 8 10 )E E kx t x tω π −
= − = − ×
v v v
6 7
max cos( ) 2.5 10 cos(0.838 8 10 )B B kx t x tω π− −
= − = × − ×
v v v
……………………………………………………

10. ฟสิกสราชมงคล http://www.rit.ac.th/homepage-sc/physics/
199
6.1.3 พลังงานของโมเมนตัมของคลื่นแมเหล็กไฟฟา
คลื่นแมเหล็กไฟฟาประกอบดวยสนามแมเหล็กและสนามไฟฟา เมื่อคลื่นแมเหล็กไฟฟาเคลื่อนที่ก็
จะนําพลังงานไปดวย ถาให Bu เปน พลังงานแมเหล็กที่สะสมตอหนวยปริมาตรซึ่งเรียกวาความ
หนาแนนพลังงานแมเหล็กและ Eu เปนความหนาแนนพลังงานไฟฟา
เมื่อความหนาแนนพลังงานแมเหล็กเปน
1 2
02
u E
E
ε=
ความหนาแนนพลังงานไฟฟาเปน 2
0
B B
2
1
u
µ
=
จากสมการ (a.16) และ (a.15) จะไดความหนาแนนพลังงานคลื่นแมเหล็กไฟฟาในสุญญากาศเปน
2
0
2
0
2
2
0
B
E2
1
C2
E
B
2
1
u
ε
=
µ
=
µ
=
ความหนาแนนพลังงานรวมของคลื่นแมเหล็กไฟฟา ( u ) จึงมีคาเปน u u u
E B
= + ดังนั้น
2
0
u Eε=
( )2 2
sin
0
E t kxε ω= −
หรือ ( )[ ]
2
0 0 1 cos 2
2
E
u t kx
ε
ω= − −
คาเฉลี่ยของ ( )cos 2 t kxω − เมื่อเทียบกับเวลามีคาเปนศูนย เนื่องจาก ณ ตําแหนงใดๆ
คาเฉลี่ยนี้จะมีคาเปนบวกในเวลาครึ่งคาบ และเปนลบในเวลาอีกครึ่งคาบ ดังนั้นความหนาแนนพลังงาน
เฉลี่ย avµ ของคลื่นแมเหล็กไฟฟาจึงเปน 1 2
0 02
E
av
µ ε=
ความเขมของคลื่น แมเหล็กไฟฟาซึ่งหมายถึง พลังงานที่ผานหนวยพื้นที่ตอหนวยเวลา จะได
2
0ECCuI ε==
โดยที่ ความเขมเฉลี่ย (ความเขมรังสี) หรือ พอยนติงเวกเตอรเฉลี่ยเปน 0
2
0av Ec
2
1
I ε=
เนื่องจากมีความสัมพันธระหวางพลังงานและโมเมนตัมของคลื่น 2
c/uvp =
เมื่อ p คือ โมเมนตัมของคลื่น และ v = c ดังนั้น c/up = ในรูปของเวกเตอร
e
c
u
p )v = ในเมื่อ p เปนโมเมนตัมที่คลื่นพาหะไป และ ˆe เปนเวกเตอรหนึ่งหนวย
ตําแหนงของการเคลื่อนที่ของคลื่นแมเหล็กไฟฟา
สมบัติที่คอนขางสําคัญของคลื่นแมเหล็กไฟฟาอีกประการหนึ่ง คือ โพลาไรเซซัน (polarization)
เนื่องจากสนามไฟฟาตั้งไดฉากกับสนามแมเหล็กเสมอ ดังนั้นพิจารณาแตสนามไฟฟาของคลื่นแตอยาง
เดียวก็บงชนิดของโพลาไรเซซันได ดังนี้

11. ฟสิกสราชมงคล http://www.rit.ac.th/homepage-sc/physics/
200
1. โพลาไรเซซันตามเสนหรือตามระนาบ (linear or plane) แนวของสนามไฟฟาจะอยูคงที่
ตลอดไป คือ จะชี้ไปในแนวหนึ่งแนวใดไมเปลี่ยนไปตามเวลา เชน ถาชี้ไปตามแกน Y ก็อาจจะเปนบวก
หรือลบได แตจะยังคงอยูตามแกน Y เสมอ
2. โพลาไรเซซันตามวงกลม (circular polarization) แนวของสนามไฟฟาจะเปนรัศมีของ
วงกลมและจุหมุนรอบแกนซึ่งเปนแนวของการเคลื่อนที่ของคลื่น
3. โพลาไรเซซันตามวงรี (elliptical polarization) นั้น ปลายของแนวของสนามไฟฟาจะเปน
เสนรอบของวงรี (โพลาไรเซซันตามวงกลมเปนกรณีพิเศษของการโพลาไรเซซัน ตามวงรี) ดังรูป 6.6
ตัวอยาง 6.2 สนามไฟฟาของคลื่นแมเหล็กไฟฟาในสุญญากาศมีขนาดตามแนวแกนตางๆดังนี้
Ex = 10 sin 2π(ct-x), Ey = 0, Ez =0
จงหา ก) เลขคลื่น
ข) สนามไฟฟาสูงสุด
ค) สนามแมเหล็กขณะหนึ่ง
ง) สนามแมเหล็กสูงสุด
จ) ความยาวคลื่นและควมถี่
ฉ) ความเขมรังสี
วิธีทํา
ก) จาก Ex = 10 sin 2π(ct-x)
Ex = 10 sin (2πct-2πx)
เปรียบเทียบสมการ E = E0 sin (ωt-kx)
จะได k = 2π m-1
รูป 6.6 ก. โพลาไรเซชันตามเสนหรือระนาบ
ข. โพลาไรเซชันตามวงกลม
ค. โพลาไรเซชันตามวงรี

12. ฟสิกสราชมงคล http://www.rit.ac.th/homepage-sc/physics/
201
ข) จาก Ex = 10 sin 2π(ct-x)
เปรียบเทียบสมการ E = E0 sin (ωt-kx)
เพราะฉะนั้น E0 = 10 m.
ค) จาก B = E/c
B = Bx = (10/3x108
) sin 2π(ct-x)
ง) เพราะฉะนั้น B0 = (10/3x108
)
จ) k = 2π/λ นั้นคือ λ = 2π/2π = 1 m.
c = f λ นั้นคือ f = 3x108
/1 =3x108
s-1
ฉ) 0
2
0av Ec
2
1
I ε= = 0.5 x 3 x 108
x 8.85 x 10-12
x 102
= 0.133 W/m2
6.2 สเปกตรัมของคลื่นแมเหล็กไฟฟา
ความเร็ว (v) ความถี่ (f) และความยาวคลื่น (λ) ของคลื่นแมเหล็กไฟฟามีความสัมพันธ
เหมือนกับคลื่นชนิดอื่น ๆ คือ
v = fλ ...................(6.24)
ความถี่ของคลื่นจะเปนปฏิภาคผกผันกับความยาวคลื่น เราสามารถแบงประเภทของคลื่น
แมเหล็กโดยอาศัยความถี่เปนหลัก เรียกวาสเปกตรัม (spectrum) ของคลื่นแมเหล็กไฟฟา แบงเปน
1. คลื่นวิทยุโทรทัศน เปนคลื่นที่ใชสง-รับวิทยุและโทรทัศน มีความถี่ตั้งแต 2-3 Hz ไป
จนถึง 109
Hz คลื่นวิทยุในชวง AM ( Amplitude Modulation) มีความถี่พาหะอยูระหวาง 530 KHzถึง
1600 KHz คลื่นวิทยุ FM (Frequency Modulation) มีความถี่ในชวง 88 MHz ถึง 108 MHz คลื่นวิทยุ-
โทรทัศนนี้ทําใหเกิดไดโดยอาศัยวงจรอิเล็กทรอนิกส คลื่นแมเหล็กไฟฟาที่เกิดจากฟาผาจะมีความถี่ในยาน
นี้เชนกัน

13. ฟสิกสราชมงคล http://www.rit.ac.th/homepage-sc/physics/
202
2. ไมโครเวฟ (Microwave) มีความยาวคลื่นในชวง 1 มิลลิเมตร ถึง 30 เซนติเมตร หรือ
ความถี่ 109
Hz ถึง 3 × 1011
Hz สามารถผลิตคลื่นชนิดนี้ไดโดยอุปกรณอิเล็กทรอนิกส เราใชคลื่น
ไมโครเวฟในการประกอบอาหารเพราะความถี่ในชวงไมโครเวฟเปนความถี่ธรรมชาติของโมเลกุลของน้ํา
พลังงานที่โมเลกุลของน้ําไดรับจะกลายเปนความรอนทําใหอาหารสุก
ไมโครเวฟใชทําเรดาร (RADAR, Radio Detection and Ranging) ซึ่งใชในการตรวจจับ
เครื่องบินและการจราจร
3. รังสีอินฟราเรด (Infrared Wave) เรียกอีกอยางหนึ่งวาเปนรังสีความรอน มีความยาว
คลื่นตั้งแต 1 มิลลิเมตรถึง 7× 10-7
เมตร หรือความถี่ตั้งแต 3 × 1011
Hz ถึง 4 × 1014
Hz วัตถุเมื่อไดรับ
รังสีนี้จะรอนขึ้นเพราะพลังงานของคลื่นจะทําใหอะตอมสั่นมากขึ้น
รังสีอินฟราเรดสามารถผานหมอกควันไดดีกวาแสงที่ตามองเห็น จึงมีการพัฒนาฟลมที่ไวตอ
แสงอินฟราเรด เมื่อถายภาพภูมิประเทศจากเครื่องบินหรือดาวเทียมโดยใชฟลมชนิดนี้จะมองเห็นความ
แตกตางและรายละเอียดของพื้นดินไดมากกวาใชฟลมปกติ เชน สามารถจําแนกทุงขาวโพดและทุงขาวสาลี
ได เพราะธัญพืชทั้งสองแผรังสีความรอนที่มีความยาวคลื่นตางกัน
กลองโทรทัศนบางชนิดสามารถรับรังสีอินฟราเรดและเปลี่ยนภาพที่เกิดจากรังสีอินฟราเรดนี้
เปนคลื่นแสงที่ตามนุษยมองเห็นได รายละเอียดของภาพจะตางไปจากภาพที่เห็นทั่วไป ตรงสวนที่ไมมี
เสื้อผาปกคลุมจะสวางมากกวาปกติ ในทางการแพทยการตรวจรางกายดวยรังสีอินฟราเรดจะเห็นตําแหนง
ที่ใหรังสีความรอนมากกวาปกติ ตําแหนงตรงนั้นมีแนวโนมที่เนื้อเยื่อเจริญแบบผิดปกติ
4. แสงที่ตามองเห็นได (Visible light) มีความยาวคลื่นอยูในชวง 4,000 ถึง 7,000 แองสต
รอม (1 แองสตรอม = 10-10
เมตร) หรือความถี่อยูในชวง 4 × 1014
Hz ถึง 8 × 1014
Hz เพราะความถี่ที่
แตกตางกันทําใหตามนุษยมองเห็นเปนสีตาง ๆ กัน ประสาทตาของมนุษยจะไวตอแสงสีเหลืองแกมเขียว
ซึ่งมีความยาวคลื่น 5.6 × 10-7
เมตร มากที่สุด

14. ฟสิกสราชมงคล http://www.rit.ac.th/homepage-sc/physics/
203
ความยาวคลื่นและความถี่ของแสงที่ตามองเห็นไดแยกเปนตารางดังนี้
ตาราง 6.1 ความยาวคลื่นและความถี่ของแสงที่ตามองเห็นได
สี ความยาวคลื่น (10-7
m) ความถี่ (1014
Hz)
มวง 3.90 - 4.55 7.69 - 6.59
น้ําเงิน 4.55 - 4.92 6.59 - 6.10
เขียว 4.92 - 5.77 6.10 - 5.20
เหลือง 5.77 - 5.97 5.20 - 5.03
สม 5.97 - 6.22 5.03 - 4.82
แดง 6.22 - 7.80 4.82 - 3.84
5. รังสีอุลตราไวโอเลต (Ultraviolet light) มีความยาวคลื่นในชวง 60 นาโนเมตรถึง 380
นาโนเมตร หรือความถี่ในชวง 8 × 104
Hz ถึง 3 × 1017
Hz รังสีนี้สวนใหญไดมาจากดวงอาทิตย ถา
มนุษยไดรับรังสีนี้เปนจํานวนมากจะเปนอันตรายได ถาไดรับเปนจํานวนนอย ๆ จะทําใหผิวหนังเปนสี
น้ําตาล ชั้นบรรยากาศที่อยูสูงจากพื้นโลกจะมีโอโซน (Ozone, O3) ชวยปองกันรังสีนี้
รังสีอุลตราไวโอเลตใชฆาเชื้อโรค หลอดอุลตราไวโอเลตตามโรงพยาบาลใชในการอบฆาเชื้อ
เครื่องมือผาตัด และหองผาตัด เราใชหลอดไฟอุลตราไวโอเลตที่มีความเขมต่ําสองเหนือชั้นวางของชําและ
เนื้อสดเพื่อลดปริมาณการเนาเสีย
6. รังสีเอ็กซ (X-rays) มีความยาวคลื่นอยูในชวง 10-4
นาโนเมตร ถึง 10 นาโนเมตร หรือมี
ความถี่ในชวง 3 × 1017
Hz ถึง 5 × 1019
Hz รังสีเอ็กซไดมาจากอิเล็กตรอนซึ่งมีพลังงานสูงเคลื่อนที่ผาน
อะตอมของธาตุโลหะหนัก อิเล็กตรอนจะถูกหนวง การเปลี่ยนสถานะพลังงานของอิเล็กตรอนพลังงานจะ
ถูกปลอยออกมาในรูปรังสีเอ็กซ ประโยชนของรังสีเอ็กซใชในการวินิจฉัยโรคและตรวจสอบวัสดุทึบแสง เชน
ชิ้นสวนของเครื่องจักร

15. ฟสิกสราชมงคล http://www.rit.ac.th/homepage-sc/physics/
204
7. รังสีแกมมา (Gamma rays) มีความยาวคลื่นตั้งแต 10-10
เมตร จนถึง 10-14
เมตร หรือมี
ความถี่ตั้งแต 3 × 1018
Hz ถึง 3 × 1032
Hz พบรังสีนี้จากการแผรังสีของสารกัมมันตรังสีและเครื่อง
ปฏิกรณปรมาณู สามารถทะลุและทําลายเนื้อเยื่อสิ่งมีชีวิต เราสามารถใชรังสีแกมมาในการรักษา
โรคมะเร็งได
รูป 6.7 แผนภาพแสดงสเปกตรัมคลื่นแมเหล็กไฟฟา

16. ฟสิกสราชมงคล http://www.rit.ac.th/homepage-sc/physics/
205
6.3 การสื่อสารดวยคลื่นแมเหล็กไฟฟา
มนุษยตั้งแตสมัยโบราณ เชน แสงแดดในเวลากลางวัน ตะเกียงในเวลากลาง หลักสําคัญในการ
สื่อสารสมัยโบราณ ก็คือ จะตองมีการเปลี่ยนแปลงความเขมของแสงจากนอยไปหามาก หรือมากไปหา
นอย เพื่อจะใชในการสงรหัสหรือสัญญาณซึ่งเปนที่เขาใจกันระหวางผูสงและผูรับ ในยุคปจจุบัน ขาวสาร
ที่สงนั้นสามารถจะสงเปนคําพูด เสียงดนตรี และภาพที่เคลื่อนไหวได โดยอาศัยการเปลี่ยนแปลงของคลื่น
แมเหล็กไฟฟา
ในระยะแรกที่มีการคนพบและนําเอาคลื่นวิทยุมาสงไดรหัสมอรส (Morse code) คือ ยาวและ
สั้น แลวประกอบกันขึ้นเปนอักษรที่ละตัว ตอมาก็สามารถสงเสียง จนกระทั่งสงภาพโดยอาศัยการ
เปลี่ยนแปลงของคลื่นพาหะ (carrier wave ) เพราะเราไมสามารถจะใชคลื่นเสียงในการติดตอทางไกลได
แตคลื่นแมเหล็กไฟฟาที่มีความถี่ที่เหมะสมจะเดินทางไดไกล วิธีการที่จะใสสัญญาณลงไปในคลื่น
แมเหล็กไฟฟานี้ เราเรียกวา โมดูเลชัน (modulation) เมื่อคลื่นแมเหล็กไฟฟาไปถึงปลายทางแลวก็มิ
วิธีการที่แยกเอาสัญญาณที่ตองการออก และขบวนการนั้นเรียกวา ดีโมดูเลชัน (demdulation)
ในขั้นแรก เราจะพิจารณาการสงวิทยุโทรเลขเสียกอน การสงวิทยุโทรเลขเปนการสงสัญญาณใช
รหัสมอรส (Morse code) เครื่องสงจะประกอบดวยเครื่องกําเนิดไฟฟาความถี่สูง มีความถี่เทากับความถี่
ของคลื่นวิทยุที่จะใชเปนคลื่นพาหะ ถาไฟฟาความถี่สูงมีกําลังมากพอก็จะถูกสงออกไปตามสายอากาศ
และเคลื่อนที่ไปตามที่วางถึงผูที่จะรับ ผูรับตองใชสายอากาศสําหรับรับคลื่นวิทยุ แยกเอาเฉพาะคลื่นที่
ตองการดวยวงจรเรโซแนนซ สวนมากสัญญาณเมื่อมาถึงผูรับจะมีกําลังออนมาก จะตองอาศัยเครื่อง
ขยายและแยกเอารหัสที่ตองการออกดวยเครื่องตรวจวัด(detector) เพราะเพียงคลื่นวิทยุอยางเดียวหูฟงจะ
ไมสามารถไดยินรหัสได เนื่องจากความถี่ของคลื่นพาหะสูงเกินไปที่จะรับฟงไดดวยหู ถาไมใชหูฟง รหัส
อาจถูกบันทึกไวดวยเครื่องรับโทรเลข หรือในสมัยใหมใชเครื่องโทรพิมพ (teletype) พิมพออกมาเปน
ขอความและอานไดเลย
การสงกระจายเสียงออกเปนคําพูดและเสียงดนตรีนั้น การใสคลื่นเสียงลงไปในคลื่นพาหะที่
เรียกวา โมดูเลชันนั้น มีวิธีที่นิยมอยู 2 วิธี คือ โมดูแลชันดวยแอมพลิจูด (amplitude modulation) ที่
เรียกยอๆ เอ เอม (A.M.) และโมดูเลชันดวยความถี่ (frequency modulation) ซึ่งเรียกยอๆ วา เอฟ
เอม ( F.M.) ความแตกตางระหวางเอ เอม และเอฟ เอม เปนดังนี้
โมดูเลชันดวยแอมพลิจูดอาศัยการเปลี่ยนแปลงของแอมพลิจูดของคลื่นพาซึ่งสอดคลองกับความถี่
ของคลื่นเสียงที่เปนสัญญาณ ดังรูป 6.8

17. ฟสิกสราชมงคล http://www.rit.ac.th/homepage-sc/physics/
206
คลื่นพาหะเมื่อยังไมถูกโมดูเลต จะสังเกตเห็นไดวามีแอมพลิจูดคงที่ สวนรูปที่แสดงถึงคลื่นวิทยุที่
ถูกโมดูเลตแลวและแผนภาพของคลื่นเสียง จะสังเกตไดวา ความถี่ของคลื่นวิทยุมีคาคงที่ตลอดเวลาทั้ง
กอนและหลังการโมดูเลต
รูป 6.8 แสดงโมดูเลชันดวยแอมพลิจูด
การโมดูเลตดวยความถี่นั้นอาศัยการเปลี่ยนแปลงของความถี่ของคลื่นพาหะเล็กนอย ความถี่
ที่เปลี่ยนไปขึ้นอยูกับความถี่ของสัญญาณ สวนแอมพลิจูดของคลื่นพาและคลื่นที่ถูกโมดูเลตแลวไมเปลี่ยน
มีคาคงที่ ความถี่หรือความยาวคลื่นเปลี่ยนไปจากคลื่นที่ยังไมถูกโมดูเลตโดยที่แอมพลิจูดมีคาคงที่เสมอ
ทําใหพลังงานที่ออกอากาศมีคาเสมดตนเสมอปลายไดดีกวาระบบเอ เอม
การสงภาพโดยอาศัยคลื่นเมเหล็กไฟฟาจะเปนภาพนิ่งหรือโทรทัศนก็ตามมีความยุงยากเพิ่มขึ้นทั้ง
การสงภาพนิ่งและโทรทัศนจะตองแบงภาพออกเปนเสนเรียงจากบนลงมาขางลางแลววัดความเขม และ
สัญญาณจะตองบอกความเขม ณ จุดหนึ่งจุดใดของภาพ ที่เรียกวา การกวาด (scanning)
การสงภาพนิ่งทําไดงายกวาการสงโทรทัศน เพราะแตละครั้งจะมีอยูภาพเดียว การที่จะกําหนดวาตําแหนง
ของความเขมที่สงนั้นทําไดโดยอาศัยสัญญาณกําหนดเวลา เชน จากจุดตั้งตนของเสนแรกและจุดตั้งตน
ของเสนตอๆ ไป ก็จะตองมีสัญญาณกําหนดเวลาบอกไวทุกครั้งไป
สวนการสงภาพที่เคลื่อนไหวไดนั้น อาศัยหลักการสงภาพนิ่งหลายๆ ภาพ ในชวงเวลาที่สั้น กวา
ขีดจํากัดของสายตาในการแยกภาพ ทําใหผูรับมีความรูสึกวาเห็นวัตถุเคลื่อนไหวได เชน ภาพยนตร การ
สงวิทยุโทรทัศนนั้นแบงไดเปน 2 ภาค คือ ภาคเสียง และภาคภาพ ใชความถี่ตางกันแตไมหางกันมาก
นัก ภาคเสียงใชระบบเอฟ เอม และภาคภาพใชระบบเอ เอม
คลื่นแมเหล็กไฟฟาเปนสิ่งที่มีประโยชนมากสําหรับการติดตอสื่อสารและความถี่ที่ใชก็มีไดหลาย
ชวง เชน ตั้งแตความถี่ต่ํามากสําหรับใชในการติดตอระหวางเรือดําน้ําและฐานปฏิบัติการ คลื่นไมโครเวฟ

18. ฟสิกสราชมงคล http://www.rit.ac.th/homepage-sc/physics/
207
ใชสําหรับการติดตอเปนเสนตรงระหวางจุดสงถึงจุดรับ เชน จากพื้นดินถึงดาวเทียม นอกจากนั้นการโมดู
เลตคลื่นแมเหล็กไฟฟาก็ยังมีอีกวิธีหนึ่งที่เรียกวา โมดูเลชันดวยคลื่นดล (pulse modulation) คือตัดชวง
คลื่นใหเปนชวงสั้นๆ ที่เรียกวา คลื่นดล (pulse) ซึ่งจะหาความรูเพิ่มเติม ไดจากตําราวิศวกรรมอิเลกโทร
นิกส
นอกจากจะใชในการสื่อสารแลว คลื่นแมเหล็กไฟฟาที่มีความถี่บางขนาด เชน ไมโครเวฟ ยังเปน
ประโยชนสามารถใชแทนนัยนตาในเมื่อคลื่นแสงไมสามารถเดินทางผานได เชน ในกรณีหมอกลงจัด
ระบบเรดารซึ่งอาศัยหลักการสะทอนของไมโครเวฟจากวัตถุทั้งที่อยูกับที่และเคลื่อนที่ ทําใหสามารถเห็น
ภูมิประเทศสะดวกในการขึ้นลงของเครื่องบิน และหาเครื่องบินและเรือรบในยามสงคราม เปนการเตือน
ภัยลวงหนาไดอยางดี การตรวจตําแหนงของเครื่องบินพาณิชยของหอบังคับการบิน

19. ฟสิกสราชมงคล http://www.rit.ac.th/homepage-sc/physics/
208
แบบฝกหัดหนวยที่ 6
คลื่นแมเหล็กไฟฟา
6.1 คลื่นแมเหล็กไฟฟาสามารถเดินทางในสุญญากาศ และเดินทางผานตัวกลางที่เปนตัวนําไดหรือไม
6.2 ความเร็วของคลื่นแมเหล็กไฟฟาในน้ําบริสุทธิ์เปนเทาใดถาคาคงที่ไดอิเลกตริกของน้ําเทากับ 81
6.3 คลื่นโทรทัศนชองหนึ่งมีความถี่ 200 เมกะเฮิรทซ จงคํานวณหาความยาวของคลื่นโทรทัศนที่เดิน
ทางผานน้ําบริสุทธิ์
6.4 สนามไฟฟาของคลื่นแมเหล็กไฟฟาระนาบในสุญญากาศมี
( ){ }8
0.5 cos 2 10y
x
E x t
c
π= − และ 0z x
E E= = 0z x
E E= =
จงหา ก) ความยาวของคลื่น ชนิดของโพลาไรเซซัน และแนวของการเคลื่อนที
ข) สนามแมเหล็กของคลื่น
ค) ความเขมเฉลี่ยของสนามแมเหล็กไฟฟา
6.5 สนามไฟฟาของคลื่นแมเหล็กไฟฟาระนาบในสุญญากาศขณะหนึ่งคือ
)]
c
x
t(102sin[5.0E 8
−×=
v
จงหา ก) ความยาวคลื่น (3 เมตร)
ข) สนามแมเหล็กขณะหนึ่ง ( ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−×π
−
c
x
t(102sin
6
10 8
6
)
ค) ความหนแนนพลังงานเฉลี่ย (3.3 x 10-4
W/m2
)
6.6 สารโปรงแสงชนิดหนึ่งเมื่อใหคลื่นแมเหล็กไฟฟายานความถี่แสงผานพบวามีคาสภาพซาบซึมไดทาง
แมเหล็กสัมพัทธ (relative magnetic permeability) เทากับ 1 มีคาคงที่ไดอิเล็กตริกเทากับ 2.25
ก. จงหาความเร็วของแสงในตัวกลางนี้ (2 × 108
เมตร/วินาที)
ข. ดัชนีหักเหของสารนี้ (1.5)
6.7 คลื่นแมเหล็กไฟฟาในอวกาศพบวามีคาสนามไฟฟาคาสูงสุดเทากับ 500 โวลต/เมตร จงหาคา
สนามแมเหล็กสูงสุดของคลื่นแมเหล็กไฟฟาชุดนี้ (1.667 × 10-6
เทสลา)
---------------------------