2013 summer A 806 a

©‫שמורות‬ ‫הזכויות‬ ‫כל‬–‫בגרות‬‫ליין‬ ‫און‬
‫השלום‬ ‫דרך‬7,‫אביב‬ ‫תל‬|‫טלפון‬:1-700-700-893|‫פקס‬:077-4702657
office@bagrutonline.co.il :‫דוא"ל‬ | www.bagrutonline.co.il :‫אתר‬
‫תשע"ג‬ ‫קיץ‬ ‫בגרות‬ ,1 ‫שאלה‬ 806 ‫שאלון‬
:‫נסמן‬ .‫א‬
.1
x ‫הוא‬ ‫הספקו‬ ‫ולכן‬ ‫העבודה‬ ‫את‬ ‫לבד‬ ‫לסיים‬ I ‫לפועל‬ ‫שלוקח‬ ‫הזמן‬ ‫־‬ x
.1
y ‫הוא‬ ‫הספקו‬ ‫ולכן‬ ‫העבודה‬ ‫את‬ ‫לבד‬ ‫לסיים‬ II ‫לפועל‬ ‫שלוקח‬ ‫הזמן‬ ‫־‬ y
‫עבור‬ ,1.5
y ‫ו־‬ 1.5
x ‫ז"א‬ ,‫יותר‬ 1.5 ‫פי‬ ‫יהיה‬ ‫ההספק‬ ‫עבודתם‬ ‫קצב‬ ‫את‬ ‫מגבירים‬ ‫העובדים‬ ‫כאשר‬
.‫בהתאמה‬ II ‫ו־‬ I ‫פועל‬
.‫הזמנים‬ ‫עם‬ ‫נעבוד‬ ‫ולכן‬ 2
15 x ‫יהיה‬ ‫הזמנים‬ ‫שהפרש‬ ‫נתון‬ .(‫)עבודה‬ = (‫)הספק‬ · (‫)זמן‬
:(t−
‫כ־‬ ‫)נסמן‬ ‫רגיל‬ ‫בקצב‬ ‫ביחד‬ ‫הפועלים‬ ‫שני‬ ‫של‬ ‫עבודה‬ ‫זמן‬
t−
= 1
1
x + 1
y
:(t+
‫כ־‬ ‫)נסמן‬ ‫מוגבר‬ ‫בקצב‬ ‫ביחד‬ ‫הפועלים‬ ‫שני‬ ‫של‬ ‫עבודה‬ ‫זמן‬
t+
= 1
1.5
x + 1.5
y
:‫נתון‬
t−
− t+
= 2
15 x
:‫נציב‬
1
1
x + 1
y
− 1
1.5
x + 1.5
y
= 2
15 x
.x
y = 1.5 ‫הוא‬ ‫הזמנים‬ ‫יחס‬ ‫ולכן‬ 3y = 2x ‫נקבל‬ ‫המשוואה‬ ‫סידור‬ ‫לאחר‬
.
1
x
1
y
= y
x = 2
3 ‫הוא‬ ‫ההספקים‬ ‫יחס‬ .1
‫ליום‬ ‫חילוף‬ ‫חלקי‬ 50 ‫של‬ ‫רגיל‬ ‫בקצב‬ ‫עובדים‬ ‫הפועלים‬ .‫ב‬
‫של‬ ‫העבודה‬ ‫קצב‬ ‫אז‬ 2a ‫הוא‬ I ‫פועל‬ ‫של‬ ‫העבודה‬ ‫קצב‬ ‫שאם‬ ‫להגיד‬ ‫נוכל‬ ‫ההספקים‬ ‫יחס‬ ‫לפי‬
.a = 10 ‫ולכן‬ 5a = 50 ‫נתון‬ .3a ‫הוא‬ II ‫פועל‬
.‫ליום‬ ‫חילוף‬ ‫חלק‬ 20 ‫הוא‬ I ‫פועל‬ ‫של‬ ‫עבודתו‬ ‫קצב‬
.‫ליום‬ ‫חילוף‬ ‫חלקי‬ 50 = (‫חילוף‬ ‫חלקי‬ 300‫ימים‬ 6) ‫לפי‬1
1

:‫הוא‬ ‫הסדרה‬ ‫של‬ ‫סכומה‬ .an ‫סדרה‬ ‫נתונה‬
Sn = n2
− 5n + (2 + 6 + 10 + ... + (4n − 2))
:‫הנוסחה‬ ‫לפי‬ ‫כללי‬ ‫לאיבר‬ ‫הנוסחה‬ ‫את‬ ‫נמצא‬ .‫א‬
Sn − Sn−1 = an (1)
.‫בשיעור‬ ‫שראינו‬ ‫כפי‬
.Sn ‫האיברים‬ ‫לסכום‬ ‫הנוסחה‬ ‫את‬ ‫נפתח‬
!‫חשבונית‬ ‫סדרה‬ ‫של‬ ‫סכום‬ ‫מהווים‬ ‫בכחול‬ ‫המסומנים‬ ‫שהאיברים‬ ‫לב‬ ‫נשים‬
:(‫כוכביות‬ ‫בשתי‬ ‫)נסמנה‬ ‫הסדרה‬ ‫עבור‬
2, 6, 10, ..., 4n − 2
:‫מתקיים‬
a∗∗
1 = 2, d∗∗
= 4, a∗∗
n = 4n − 2
S∗∗
n = n
2 [2 + (4n − 2)] = 2n2
Sn = n2
− 5n + 2n2
(2)
:Sn−1 ‫האיברים‬ ‫לסכום‬ ‫הנוסחה‬ ‫את‬ ‫נפתח‬
Sn−1 = (n − 1)2
− 5(n − 1) + (2 + 6 + 10 + ... + (4(n − 1) − 2))
!‫חשבונית‬ ‫סדרה‬ ‫של‬ ‫סכום‬ ‫מהווים‬ ‫בכחול‬ ‫המסומנים‬ ‫שהאיברים‬ ‫לב‬ ‫נשים‬
:(‫בכוכבית‬ ‫)נסמנה‬ ‫הסדרה‬ ‫עבור‬
2, 6, 10, ..., 4(n − 1) − 2
:‫מתקיים‬
a∗
1 = 2, d∗
= 4, a∗
n = 4n − 6
S∗
n−1 = n−1
2 [2 + (4n − 6)] = 2n2
− 4n + 2
1

:‫ולכן‬
Sn−1 = (n − 1)2
− 5(n − 1) + (2n2
− 4n + 2) (3)
:‫נקבל‬ (3) ‫ו־‬ (1), (2) ‫משוואות‬ ‫של‬ ‫הקשרים‬ ‫לפי‬
Sn − Sn−1 = [n2
− 5n + 2n2
] − [(n − 1)2
− 5(n − 1) + (2n2
− 4n + 2)] =
[3n2
− 5n] − [3n2
− 11n + 8] = 6n − 8
.an = 6n − 8 ‫הוא‬ n ‫ה־‬ ‫במקום‬ ‫האיבר‬
:‫המשוואה‬ ‫ע"י‬ ,102 ‫הוא‬ ‫בסדרה‬ ‫ביותר‬ ‫הגבוה‬ ‫הערך‬ .‫ב‬
102 = 6n − 8
‫)לפי‬ ‫הסדרה‬ ‫את‬ ‫נפתח‬ .a18 ‫באיבר‬ ‫מתקבל‬ ‫ביותר‬ ‫הגבוה‬ ‫שהערך‬ ‫ז"א‬ ,n = 181
3 ‫נקבל‬
:(‫שמצאנו‬ ‫כללי‬ ‫לאיבר‬ ‫הנוסחה‬
−2, 4, 10, 16, ..., 100
‫את‬ ‫ונחסיר‬ 18 ‫ה־‬ ‫לאיבר‬ ‫עד‬ ‫האיברים‬ ‫כל‬ ‫את‬ ((2) ‫משוואה‬ ‫)לפי‬ ‫נסכום‬ ‫ולכן‬ ‫שלילי‬ a1
:‫הראשון‬ ‫האיבר‬
S18 = 182
− 5 · 18 + 2 · 182
= 882
S18 − (−2) = 884
.884 ‫הוא‬ ‫להתקבל‬ ‫שיכול‬ ‫ביותר‬ ‫הגבוה‬ ‫הסכום‬
2

‫עבור‬ ‫עץ‬ ‫נבנה‬ .1 − P ‫היא‬ ‫יוסי‬ ‫נגד‬ ‫יצביע‬ ‫שהשופט‬ ‫ההסתברות‬ ‫משלים‬ ‫מאורע‬ ‫לפי‬ ,‫יוסי‬ ‫בעד‬ ‫יצביע‬ '‫א‬ ‫ששופט‬ ‫ההסתברות‬ ‫את‬ P ‫ב־‬ ‫נסמן‬ .‫א‬
‫להסתברות‬ ‫שווה‬ ‫בעד‬ ‫יצביע‬ '‫ג‬ ‫ששופט‬ ‫שההסתברות‬ ‫לכך‬ ‫לב‬ ‫שימו‬ ,('‫ג‬ ‫שופט‬ ‫־‬ C ‫ושופט‬ '‫ב‬ ‫שופט‬ ‫־‬ B ‫שופט‬ ,'‫א‬ ‫שופט‬ ‫־‬ A ‫)שופט‬ ‫השופטים‬ ‫שלושת‬
:‫נגד‬ ‫יצביע‬ ‫שהוא‬
A
(yes) P(no) 1-P
(yes) P(no) 1-P
BB
CCCC
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
(yes) P(no) 1-P
:‫הן‬ ‫אפשרות‬ ‫לכל‬ ‫וההסתברויות‬ ‫האפשרויות‬ .‫הבא‬ ‫לשלב‬ ‫שיעבור‬ ‫מנת‬ ‫על‬ ‫ביוסי‬ ‫יבחרו‬ 2 ‫שלפחות‬ ‫צריך‬ ‫שופטים‬ ‫שלושה‬ ‫יש‬ ‫אם‬
P(A yes B yes C yes) = P · P · 1
2 .‫בעד‬ ‫־‬ '‫ג‬ ‫שופט‬ ,‫בעד‬ ‫־‬ '‫ב‬ ‫שופט‬ ,‫בעד‬ ‫־‬ '‫א‬ ‫שופט‬ •
P(A yes B yes C no) = P · P · 1
2 .‫נגד‬ ‫־‬ '‫ג‬ ‫שופט‬ ,‫בעד‬ ‫־‬ '‫ב‬ ‫שופט‬ ,‫בעד‬ ‫־‬ '‫א‬ ‫שופט‬ •
P(A yes B no C yes) = P · (1 − P) · 1
2 .‫בעד‬ ‫־‬ '‫ג‬ ‫שופט‬ ,‫נגד‬ ‫־‬ '‫ב‬ ‫שופט‬ ,‫בעד‬ ‫־‬ '‫א‬ ‫שופט‬ •
P(A no B yes C yes) = (1 − P) · P · 1
2 .‫בעד‬ ‫־‬ '‫ג‬ ‫שופט‬ ,‫בעד‬ ‫־‬ '‫ב‬ ‫שופט‬ ,‫נגד‬ ‫־‬ '‫א‬ ‫שופט‬ •
:‫הבא‬ ‫לשלב‬ ‫יעבור‬ ‫שיוסי‬ ‫לכך‬ ‫המאורעות‬ ‫הסתברויות‬ ‫כל‬ ‫את‬ ‫נסכום‬
P · P · 1
2 + P · P · 1
2 + P · (1 − P) · 1
2 + (1 − P) · P · 1
2 = P
.'‫א‬ ‫שופט‬ ‫עם‬ ‫רק‬ ‫הבא‬ ‫לשלב‬ ‫יעבור‬ ‫שהוא‬ ‫להסתברות‬ ‫שווה‬ ‫השופטים‬ ‫שלושת‬ ‫עם‬ ‫הבא‬ ‫לשלב‬ ‫יעבור‬ ‫שיוסי‬ ‫ההסתברות‬ ,‫לראות‬ ‫שניתן‬ ‫כפי‬
.‫מותנה‬ ‫בהסתברות‬ ‫עוסק‬ ‫זה‬ ‫סעיף‬ .‫ב‬
:‫נתון‬ .‫בתחרות‬ ‫הבא‬ ‫לשלב‬ ‫עבר‬ ‫יוסי‬ ‫שבו‬ ‫כמאורע‬ D ‫מאורע‬ ‫את‬ ‫נגדיר‬ ,‫ליוסי‬ ‫שהצביע‬ '‫א‬ ‫כשופט‬ C ‫מאורע‬ ‫את‬ ‫נגדיר‬
P(C|D) > 0.8
P (C D)
P (D) > 0.8
:(‫קודם‬ ‫בסעיף‬ ‫שבנינו‬ ‫העץ‬ ‫)לפי‬ ‫נציב‬
P ·P · 1
2 +P ·P · 1
2 +P ·(1−P )· 1
2
P > 0.8 (P = 0)
:‫הא"ש‬ ‫את‬ ‫נסדר‬
5P2
+ 4P > 0
5P(P − 0.6) > 0
,‫לאפס‬ ‫אחד‬ ‫בין‬ ‫נעים‬ ‫תמיד‬ ‫ההסתברות‬ ‫גבולות‬ .P > 0.6 ‫אז‬ ‫אי־חיובית‬ ‫להיות‬ ‫יכול‬ ‫לא‬ ‫שההסתברות‬ ‫מכיוון‬ ,P < 0 ‫או‬ P > 0.6 ‫הוא‬ ‫הא"ש‬ ‫פתרון‬
.0 ≤ P ≤ 1
.0.6 < P ≤ 1 ‫היא‬ ‫ליוסי‬ ‫הצביע‬ '‫א‬ ‫ששופט‬ ‫ההסתברות‬
1

.AL ‫לצלע‬ ‫גובה‬ h ‫ב־‬ ‫נסמן‬ .‫א‬
‫נימוק‬ ‫טענה‬
.‫נתון‬ (1) AM ‫קוטר‬
.‫ישרה‬ ‫זוית‬ ‫היא‬ ‫קוטר‬ ‫על‬ ‫הנשענת‬ ‫היקפית‬ ‫זוית‬ (2) ∠ALM = ∠AKM = 900
.‫נתון‬ (3) LM = 30 ‫ס"מ‬
.‫משולש‬ ‫שטח‬ (4) S∆ALM = 1
2 AL · 30 = 15 · AL
.‫נתון‬ (5) S∆ALK = S∆ALM
3
.(4) ‫ו־‬ (3) ‫לפי‬ (6) S∆ALK = 5 · AL
.‫משולש‬ ‫שטח‬ (7) S∆ALK = 1
2 AL · h
.(6) ‫ו־‬ (5) ‫לפי‬ ‫המעבר‬ ‫כלל‬ (8) 5 · AL = 1
2 AL · h
.(7) ‫מתוך‬ ‫מש"ל‬ (9) h = 10 ‫ס"מ‬
.‫ב‬
.(‫קודם‬ ‫מסעיף‬ (2)) ‫לשני‬ ‫האחד‬ ‫מקבילים‬ ‫שלישי‬ ‫לישר‬ ‫מאונכים‬ ‫ישרים‬ (1) h LM
.‫תאלס‬ ‫למשפט‬ ‫הרחבה‬ (2) h
LM = KF
F M
.‫ונתון‬ '‫א‬ ‫סעיף‬ ‫מש"ל‬ (2) ‫־‬ ‫ב‬ ‫הצבה‬ (3) 10
30 = KF
F M
.‫פיתגורס‬ ‫משפט‬ (4) FL2
+ LM = FM2
.(4) ‫־‬ ‫ב‬ ‫הנתונים‬ ‫הצבת‬ (5) a2
+ 302
= FM2
.(5) ‫מתוך‬ ‫שורש‬ ‫הוצאת‬ (6) FM =
√
a2 + 302
((6) ‫ו־‬ (3) ‫)מתוך‬ ‫הצבה‬ (7) 10
30 = KF√
a2+302
.(7) ‫מתוך‬ ‫מש"ל‬ (8) KF =
√
a2+302
3
‫וגם‬ ∠LAM = ∠LKM ‫ולכן‬ ‫לזו‬ ‫זו‬ ‫שוות‬ ‫שוות‬ ‫קשתות‬ ‫על‬ ‫הנשענות‬ ‫היקפיות‬ ‫זויות‬ .‫ג‬
.‫מש"ל‬ .∆AFM ∼ ∆KFL ‫מתקיים‬ ‫ז.ז‬ ‫דימיון‬ ‫משפט‬ ‫לפי‬ ‫ולכן‬ ∠AMK = ∠ALK
.‫ד‬
.('‫ג‬ ‫סעיף‬ ‫)מש"ל‬ ‫דומים‬ ‫במשולשים‬ ‫הדימיון‬ ‫יחס‬ (1) AF · FL = KF · FM
.‫נתון‬ (2) AF = 42.5 ‫ס"מ‬
('‫ב‬ ‫מסעיף‬ (8) ‫ו־‬ (6) ‫ומתוך‬ (2) ‫מתוך‬ .(1) ‫־‬ ‫ב‬ ‫הצבה‬ (3) 42.5 · a =
√
a2+302
3 ·
√
a2 + 302
.(3) ‫מתוך‬ (4) a2
− 127.5a + 900 = 0
‫ולכן‬ a < ML ‫נתון‬ .‫ס"מ‬ a2 = 120 ‫ו־‬ ‫ס"מ‬ a1 = 7.5 ‫נקבל‬ ‫הריבועית‬ ‫המשוואה‬ ‫בפתרון‬
.‫ס"מ‬ a = 7.5 ‫הוא‬ ‫הפתרון‬
1

‫שהם‬ ‫מכיוון‬ ,‫בהתאמה‬ ,∠ACB ‫ו־‬ ∠BAC ‫זוויות‬ ‫חוצי‬ ‫הם‬ CF ‫ו־‬ AE ‫הקטעים‬ .‫א‬
.(O ‫בנקודה‬ ‫נתון‬ ‫המעגל‬ ‫)מרכז‬ ‫במשולש‬ ‫החסום‬ ‫המעגל‬ ‫במרכז‬ ‫עוברים‬
:‫זויות‬ ‫נשלים‬
C
B
A
E
F
900 −
α+β
2
900 −
α+β
2
α
2
α
2
β
‫זוית‬ ‫לפי‬ ,∠CEA = β + α
2 ‫ו־‬ ‫במשולש‬ ‫זויות‬ ‫סכום‬ ‫לפי‬ ∠ACB = 1800
− α − β ‫זווית‬
:∆AEC ‫במשולש‬ ‫הסינוסים‬ ‫משפט‬ ‫לפי‬ .‫במשולש‬ ‫חיצונית‬
AE
sin(1800−α−β) = AC
sin(β+ α
2 )
AE = AC·sin(1800
−α−β)
sin(β+ α
2 )
.∠CEA = 900
− α
2 − β
2 + β = 900
− α
2 + β
2 ‫נקבל‬ ∆BFC ‫במשולש‬ ‫חיצונית‬ ‫זוית‬ ‫ע"י‬
:∆ACF ‫במשולש‬ ‫הסינוסים‬ ‫משפט‬ ‫לפי‬
CF
sin(α) = AC
sin(900− α
2 + β
2 )
CF = AC·sin(α)
sin(900− α
2 + β
2 )
:‫נקבל‬ sin(x) = cos(900
− x) ‫הזהות‬ ‫לפי‬
CF = AC·sin(α)
cos( α−β
2 )
:‫ולכן‬
AE
CF =
AC·sin(1800−α−β)
sin(β+ α
2
)
AC·sin(α)
cos(
α−β
2
)
=
sin(α+β)·cos( α−β
2 )
sin(α)·sin(β+ α
2 )
‫שהזויות‬ ‫שנראה‬ ‫כך‬ ‫בעזרת‬ ∆ACB ‫משולש‬ ‫את‬ ‫החוסם‬ ‫המעגל‬ ‫קוטר‬ ‫הוא‬ BC ‫ש‬ ‫נראה‬ .‫ב‬
.900
‫הן‬ BC ‫על‬ ‫הנשענות‬ ‫ההיקפיות‬
1

:α = 900
‫ונציב‬ ‫הנתונים‬ ‫את‬ ‫נציב‬
AE
CF =
sin(900
+600
)·cos( 900−600
2 )
sin(900)·sin(600+ 900
2 )
= 1
2
:‫ונתון‬
AE
CF = 1
2
‫הוא‬ ‫המעגל‬ ‫של‬ ‫ורדיוסו‬ ‫המעגל‬ ‫קוטר‬ ‫הוא‬ BC .α = 900
‫זוית‬ ‫ולכן‬ ‫אמת‬ ‫פסוק‬ ‫מתקיים‬
.R = 1
2 BC ‫ז"א‬ ,‫מהקוטר‬ ‫מחצית‬
2

.‫ב‬ + .‫א‬
‫אז‬ b ≤ 4 ‫אם‬ ,(‫בוכה‬ ‫ואחת‬ ‫מחייכת‬ ‫הפרבולות‬ ‫)אחת‬ ‫הפונקציות‬ ‫של‬ ‫סקיצה‬ ‫נסרטט‬
:x ‫־‬ ‫ה‬ ‫ציר‬ ‫את‬ ‫חותכת‬ ‫הייתה‬ ‫הפרבולה‬
x
y
f(x) = x2
+ 4x + b
g(x) = −x2
+ c
.f (x) = g (x) ‫ולכן‬ ‫הפונקציות‬ ‫לשתי‬ ‫משותף‬ P ‫בנקודה‬ ‫המשיק‬
f (x) = 2x + 4
g (x) = −2x
:P ‫נקודה‬ ‫של‬ x ‫־‬ ‫ה‬ ‫ערך‬ ‫את‬ ‫ונמצא‬ ‫הנגזרות‬ ‫את‬ ‫נשווה‬
2x + 4 = −2x → x = −1
.P(−1, −3 + b) ‫היא‬ ‫ההשקה‬ ‫נקודת‬ ‫ולכן‬ yP = −3 + b ‫ונקבל‬ f(x = −1) ‫נציב‬
1

:‫והנקודות‬ ‫הגרפים‬ ‫את‬ ‫נסרטט‬ .‫ג‬
x
y
-a a
P
D
f(x) = x2
+ 4x + b
g(x) = −x2
+ c
A
B
.AD = BD ‫מתקיים‬ ‫כי‬ ‫נראה‬
:‫ולכן‬ ‫המחייכת‬ ‫הפרבולה‬ ‫על‬ ‫ונמצאת‬ x = a ‫מקבלת‬ A ‫נקודה‬ .‫הנקודות‬ ‫את‬ ‫נמצא‬
A(a, a2
+ 4a + b)
:‫הבוכה‬ ‫הפרבולה‬ ‫על‬ ‫נמצאת‬ ‫היא‬ ‫אך‬ ,x = a ‫גם‬ ‫מקבלת‬ B ‫נקודה‬
B(a, −a2
+ c)
:‫ושיפוע‬ P ‫נקודה‬ ‫לפי‬ ‫המשיק‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫נמצא‬ ,‫המשיק‬ ‫על‬ ‫נמצאת‬ D ‫נקודה‬
g (x = −1) = −2 · (−1) = 2
yD − (−3 + b) = 2(x − (−1))
yD = 2x − 1 + b
D(a, 2a − 1 + b)
:(y ‫ה־‬ ‫לציר‬ ‫מקביל‬ x = a ‫שהישר‬ ‫)נזכיר‬ ‫המרחקים‬ ‫את‬ ‫נחשב‬
dAD = (a2
+ 4a + b) − (2a − 1 + b) = a2
+ 2a + 1
2

dDB = (2a − 1 + b) − (−a2
+ c) = a2
+ 2a − 1 − c + b
:‫ולכן‬ g(x = −1) = f(x = −1) ‫שמתקיים‬ ‫יודעים‬ ‫אנו‬ ‫אך‬
(−1)2
+ 4 · (−1) + b = −(−1)2
+ c
b = c + 2
:‫שחישבנו‬ ‫במרחקים‬ ‫נציב‬
dAD = a2
+ 2a + 1
dDB = a2
+ 2a − 1 − c + c + 2 = a2
+ 2a + 1
.‫מש"ל‬ ,∆PAB ‫־‬ ‫ב‬ AB ‫לצלע‬ ‫תיכון‬ ‫הוא‬ PD ‫הקטע‬ ‫ולכן‬ ‫שווים‬ ‫המרחקים‬
:a ‫בעזרת‬ S ‫הנתון‬ ‫את‬ ‫נבטא‬ .‫ד‬
S =
´ a
−a
(f(x) − yD)dx
S =
´ a
−a
(x2
+ 4x + b) − (2x − 1 + b)dx = S =
´ a
−a
(x2
+ 2x + 1)dx
S = (x3
3 + x2
+ x)|a
−a = (a3
3 + a2
+ a) − ((−a)3
3 + a2
− a) = 2
3 a3
+ 2a
‫נציב‬ ,‫קודם‬ ‫בסעיף‬ ‫שמצאנו‬ ‫הקשר‬ ‫לפי‬ .‫הכולל‬ ‫השטח‬ ‫את‬ ‫נמצא‬ ‫ועכשיו‬
:g(x) = −x2
+ b − 2
Stotal =
´ a
−a
(f(x) − g(x))dx
Stotal =
´ a
−a
[(x2
+ 4x + b) − (−x2
+ b − 2)]dx =
´ a
−a
(2x2
+ 4x + 2)dx
Stotal = (2
3 x3
+2x2
+2x)|a
−a = (2
3 a3
+2a2
+2a)−(−2
3 a3
+2a2
−2a) = 4
3 a3
+4a
:‫קיבלנו‬
Stotal = 2 · (2
3 a3
+ 2a) = 2S
3

‫מכיוון‬ .−2 ≤ x ≤ 2 ‫עבור‬ ‫מוגדרת‬ f(x) =
√
8 − ax + bx2 + c ‫הפונקציה‬ .‫א‬
:f(1) = f(−1) ‫מתקיים‬ ‫זוגית‬ ‫שהפונקציה‬
√
8 − a + b + c =
√
8 + a + b + c
‫דורש‬ ‫ההגדרה‬ ‫תחום‬ ,‫נתון‬ ‫תחום‬ ‫עבור‬ ‫מוגדרת‬ ‫הפונקציה‬ .a = 0 ‫ש‬ ‫לראות‬ ‫קל‬ ‫ולכן‬
:‫ז"א‬ ,‫אי־שלילי‬ ‫ערך‬ ‫יהיה‬ ‫שבשורש‬
√
8 − ax + bx2 ≥ 0
:a = 0 ‫שמצאנו‬ ‫מכיוון‬
√
8 + bx2 ≥ 0
8 + bx2
≥ 0
8 ≥ −bx2
:x = −2 ‫עבור‬
8 ≥ −4b
b = −2
:x = 2 ‫עבור‬
8 ≥ −4b
b = −2
.f(x) =
√
8 − 2x2 + c ‫היא‬ ‫הפונקציה‬
:(‫בכחול‬ ‫)מסומנת‬ ‫כך‬ ‫נראית‬ ‫הפונקציה‬ .‫ב‬
y
x2 2
−
√
2
√
2
1

:‫המשיקים‬ ‫משוואות‬ ‫את‬ ‫נמצא‬ ‫ראשית‬ ‫אך‬ ,‫המשולש‬ ‫את‬ ‫נחשב‬
f (x) = −4x
2
√
8−2x2
f (x =
√
2) = −
√
2
‫משוואת‬ ‫ונקודה‬ ‫שיפוע‬ ‫בעזרת‬ .(
√
2, 2 + c) ‫הנקודה‬ ‫את‬ ‫ונקבל‬ ‫המקורית‬ ‫בפונקציה‬ ‫נציב‬
:‫היא‬ ‫המשיק‬
y − (2 + c) = −
√
2(x −
√
2) → y = −
√
2x + 4 + c
.(c+4√
2
, 0) ‫ו־‬ (0, 4 + c) ‫בנקודות‬ ‫הצירים‬ ‫עם‬ ‫המשיק‬ ‫חיתוך‬
:‫הוא‬ x ‫־‬ ‫ה‬ ‫ציר‬ ‫של‬ ‫החיובי‬ ‫החלק‬ ‫עם‬ ‫הנוצר‬ ‫המשולש‬ ‫של‬ ‫שטחו‬
S∆right =
( c+4
√
2
)·(4+c)
2
‫של‬ ‫השלילי‬ ‫החלק‬ ‫עם‬ ‫המשולש‬ ‫של‬ ‫שטחו‬ ‫ולכן‬ y ‫־‬ ‫ה‬ ‫לציר‬ ‫ביחס‬ ‫סימטרית‬ ‫זוגית‬ ‫פונקציה‬
:‫הוא‬ x ‫־‬ ‫ה‬ ‫ציר‬
S∆left =
( c+4
√
2
)·(4+c)
2
:‫הוא‬ ‫הכולל‬ ‫השטח‬
S∆right + S∆left = (c+4√
2
) · (4 + c) = 1√
2
(c + 4)2
:‫ונקבל‬ ‫נשווה‬ .49
√
2
2 ‫הוא‬ ‫שהשטח‬ ‫נתון‬
1√
2
(c + 4)2
= 49
√
2
2
.c = 3 ‫ולכן‬ c > 0 ‫נתון‬ ,c = 3 ‫ו־‬ c = −11 ‫הפתרונות‬ ‫למשוואה‬
‫משיקים‬ ‫מעבירים‬ .x ‫־‬ ‫ה‬ ‫לציר‬ ‫ביחס‬ f(x) ‫הפונקציה‬ ‫שיקוף‬ ‫היא‬ g(x) ‫הפונקציה‬ .‫ג‬
‫שווים‬ ,‫אורך‬ ‫מבחינת‬ ,‫אלו‬ ‫משיקים‬ ,f(x) ‫בפונקציה‬ ‫כמו‬ x ‫ערכי‬ ‫באותם‬ ‫החדשה‬ ‫לפונקציה‬
‫הוא‬ ‫זה‬ ‫מרובע‬ ,‫שוות‬ ‫הצלעות‬ ‫כל‬ ‫בו‬ ‫מרובע‬ ‫מקבלים‬ ‫אנו‬ ‫ולכן‬ f(x) ‫הפונקציה‬ ‫של‬ ‫למשיקים‬
.‫מעוין‬
2

2013 summer A 806 a

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to 2013 summer A 806 a

Similar to 2013 summer A 806 a (20)

2013 summer A 806 a