More Related Content
What's hot
What's hot (20)
Similar to Правильні многогранники
Similar to Правильні многогранники (20)
Recently uploaded
Recently uploaded (20)
Правильні многогранники
- 1. 11 клас Правильні многогранники Розробила вчитель математики ЗОШ№3 м.Кіровограда Пінчук Анна Сергіївна
- 2. Правильних многогранників викликаючи мало, але цей вісьма скромний за кількістю загін зумів пробратися в самі глибини різних наук. Л. Керролл
- 3. Означення Правильними опуклими многогранниками називають опуклі многогранники, всі грані яких є рівними правильними многокутниками, а в кожній вершині многогранника сходиться одне й те ж число ребер.
- 4. Види правильних опуклих многогранників (Платонові тіла) тетраедр додекаедр (б) (в) октаедр гексаедр ікосаедр
- 5. Правильний тетраедр Складений з чотирьох рівносторонніх трикутників. Кожна його вершина є вершиною трьох трикутників. Отже, сума плоских кутів при кожній вершині дорівнює 180º .
- 6. Правильний октаедр Складений з восьми рівносторонніх трикутників. Кожна вершина октаедра є вершиною чотирьох трикутників. Отже, сума плоских кутів при кожній вершині 240º.
- 7. Правильний ікосаедр Складений з двадцяти рівносторонніх трикутників. Кожна вершина ікосаедра є вершиною п'яти трикутників. Отже, сума плоских кутів при кожній вершині рівна 300º .
- 8. Куб (гексаедр) Складений з шести квадратів. Кожна вершина куба є вершиною трьох квадратів. Отже, сума плоских кутів при кожній вершині рівна 270º.
- 9. Правильний додекаедр Складений з дванадцяти правильних п'ятикутників. Кожна вершина додекаедра є вершиною трьох правильних п'ятикутників. Отже, сума плоских кутів при кожній вершині рівна 324 º .
- 10. ? 1. Чи буде фігура, складена з семі кубів (“тривимірний хрест”), правильним многогранником? 2. Чи буде фігура, складена з двох тетраедрів (біпіраміда), правильним многогранником?
- 11. Назви многогранників прийшли з Давньої Греції, в них вказано кількість граней: «едра» − грань; «тетра» − 4; «гекса» − 6; «окта» − 8; «ікоса» − 20; «додека» − 12.
- 12. Правильні многогранники в філософській картині світу Платона Правильні многогранники іноді називають Платоновими тілами. Платон (≈ 428 – 348 до н.е.)
- 13. тетраедр октаедр ікосаедр гексаедр додекаедр вогонь повітря вода земля всесвіт
- 14. Існують ще напівравильні многогранники (Архімедові тіла). У них всі многогранні кути рівні і всі грані – правильні многокутники, але декілька різних типів. Архімед (287– 212 рр. до н.е)
- 15. Існує 13 Архімедових тіл, п'ять з них отримують з Платонових тіл в результаті їх зрізання. Конструювання Архімедового зрізаного ікосаедра з Платонового ікосаедра
- 16. Архімедові тіла, отримані з тіл Платона Зрізаний Зрізаний тетраедр додекаедр Зрізаний Зрізаний гексаедр октаедр Зрізаний ікосаедр
- 17. Архімедові тіла
- 18. Кеплер першим вивчав зіркові многогранники Французький математик Луї Пуансо відкрив існування ще двох видів зіркових многогранників. Отак, стали відомими чотири типа таких фігур. В 1812 г. О. Коши довів, що інших правильних зіркових многогранників не існує.
- 19. Правильні зіркові многогранники (тіла Пуансо)
- 20. «Космічний кубок» Кеплера Кеплер висунув гіпотезу, про зв'язок між п'ятьма правильними многогранниками і шістьма відкритими до того часу планетами Сонячної системи. Модель Сонячної системи І. Кеплера Така його модель отримала назву «Космічного кубка» Кеплера.
- 21. Ікосаедро-додекаедрова структура Землі Московські інженери В. Макаров і В. Морозов висунули гіпотезу, що ядро Землі має форму і властивості зростаючого кристалу, що впливає на розвиток всіх природних процесів. Силове поле кристалу обумовлює ікосаедро-додекаедрову структуру Ікосаедро- Землі - в земній корі як би додекаедрова проступають проекції вписаних в земну структура Землі кулю ікосаедра і додекаедра.
- 22. Таблиця
- 23. Таблиця
- 24. Формула Ейлера Сума числа граней и вершин будь-якого многогранника дорівнює числу ребер, збільшеному на 2. Г+В=Р+2 або Л.Ейлер Г+В–Р=2 (1707-1783)
- 25. Задача Визначте кількість граней, вершин і ребер многогранника, зображеного на рисунку 9. Перевірте виконання формули Ейлера для даного многогранника. Рис. 9
- 26. Правильні многогранники в архітектурі та мистецтві
- 27. Математика володіє не тільки істиною, а й вищою красотою – красотою відточеною й строгою, піднесено чистою і прямуючою до справжньої досконалості, яка властива лише найвеличнішим зразкам мистецтва. Бертран Рассел
- 28. Архітектура Пам‘ятник футбольному м‘ячу, “Кубічна голова”, Харків Ніцца
- 29. Цей напівправильний многогранник - національна республіканська бібліотека у Мінську
- 30. Мориц Корниліс Ешер Голландський художник Мориц Корниліс Ешер (1898-1972) використовував многогранники в багатьох своїх роботах.
- 31. М. К. Ешер “Чотири тіла” На гравюрі Ешер зобразив перетин основних правильних многогранників, розташованих на одній осі симетрії, крім цього многогранники виглядають півпрозорими, і крізь довільний з них можна побачити інші.
- 32. М. К. Ешер Порядок и хаос Зірчатий додекаедр можна знайти в його роботі "Порядок і хаос“, який поміщений всередину скляної сфери. Аскетична краса цієї конструкції контрастує з хаотично розкиданим по столу сміттям.
- 33. М. К. Ешер Зірки На гравюрі "Зірки" можна побачити тіла, отримані об'єднанням тетраедрів, кубів й октаедрів. Але він з якоїсь причини помістив ще всередину центральної фігури хамелеонів, щоб утруднити нам сприйняття всієї фігури.
- 34. М. К. Ешер Гравітація На гравюрі «Гравітація» перед нами світ стиснутої силами тяжіння зірки. Можливо ще не відкритої тоді нейтронної зірки. Світ тотальної ваги і несвободи, що породжує чудовиськ.
- 35. М. К. Ешер Рептилії Літографія,1943
- 36. Сальвадор Далі « Таємна вечеря » На картині Христос із своїми учнями зображений на фоні величезного прозорого додекаедра. Форму додекаедра, як вважали раніше, мав ВСЕСВІТ , тобто вважалось, що ми живемо всередині зводу, що має форму поверхні правильного додекаедра.
- 37. Сальвадор Далі «Розп'яття» або «Гіперкубічне тіло» Далі шукав точок дотику нашої реальності й потойбічного, зокрема, 4-мірного світу. Геометрична фігура з кубів, що утворює християнський хрест, є зображенням 3–мірної розгортки 4–мірного куба або 1954 Холст, масло. 194х124 тессеракта. Музей Метрополітен, Нью-Йорк
- 38. Пабло Пікасо “Дівчинка на кулі” Головне місце в картині Пікассо «Дівчинка на кулі» займає чоловік на кубі. Пікассо звернувся до контрасту: могучий атлет, сидячий на стійкій основі, і тендітна акробатка, що втримує рівновагу на великій кулі.
- 39. Правильні многогранники і природа Скелет одноклітинного організму феодарії за формою нагадує ікосаедр. Чим же викликана така природна геометризація феодарій? Мабуть, тим, що з усіх многогранників с тим же числом граней саме ікосаедр має найбільший Феодарія об'єм при найменшій площі (Circjgjnia поверхні. Ця властивість допомагає icosahtdra) морському організму долати тиск водяної товщі.
- 40. Віруси Віруси мають просту будову. Кожна вірусна частинка складається з невеликої кількості генетичного матеріалу (ДНК або РНК), поміщеного в білкову оболонку (капсид). Капсид являє собою, як правило, або правильний многогранник (додекаедр чи ікосаедр), або оболонку спіральної форми.
- 41. Кристал сурменістого сірчистого натрію (Na5(SbO4(SO4)) - форму тетраедра. Монокристал алюмінієво-калієвих квасців (K[Al(SO4)2] ⋅ 12H2O) - форму правильного октаедра. Кристал кухонної солі Кристалів бора (В) - форму ікосаедра. Кристали кухонної солі (NaCl) мають форму куба. Кристали сірчистого колчедану (FeS) - форму додекаедра. Молекула вуглецю С60 – форму зрізаного Структура молекули ікосаедра. вуглецю С60
- 42. Презентацію розробив вчитель математики загальноосвітньої школи І-ІІІ ступенів №3 Кіровоградської міської ради Кіровоградської області Пінчук Анна Сергіївна
Editor's Notes
- Правильними опуклими многогранниками називають опуклі многогранники, всі грані і яких є правильними многокутниками з однією й тією самою кількістю сторін, а в кожній вершині многогранника сходиться одне й те ж число ребер. Всі двогранні кути при ребрах і всі многогранні кути при вершинах правильного многогранника рівні.
- Правильні многогранники іноді називають Платоновими тілами, оскільки вони займають видне місце в філософській картині світу, розробленої великим мислителем Давньої Греції Платоном. Платон вважав, що світ будується з чотирьох «стихій» – вогню, землі, повітря і води, а атоми цих «стихій» мають форму чотирьох правильних многогранників.
- Відомо ще багато досконалих тел, що отримали назву напівравильних многогранників або Архімедових тіл. У них також всі многогранні кути рівні і всі грані – правильні многокутники, але декілька різних типів.
- Існує 13 напівправильних многогранників, відкриття яких приписується Архімеду. Множину Архімедових тіл можна розбити на декілька груп. Першу з них складають п'ять многогранників, які отримують з Платонових тіл в результаті їх зрізанню. Таким шляхом можуть бути отримані п'ять Архімедових тіл : зрізаний тетраедр, зрізаний гексаедр (куб), зрізаний октаедр, зрізаний додекаедр і зрізаний ікосаедр .
- Кеплер першим почав вивчати так названі зірчаті многогранники, які на відміну від Платонових і Архімедових тіл є правильними неопуклими многогранниками. На початку того століття французький математик і механік Луї Пуансо (1777-1859) відкрив існування ще двох видів правильних невипуклих многогранників. Отак, завдяки роботам Кеплера та Пуансо стали відомими чотири типа таких фігур. В 1812 г. О. Коши довів, що інших правильних зіркових многогранників не існує.
- Кеплер висунув гіпотезу , що існує зв'язок між п'ятьма правильними многогранниками и шістьма відкритими до того часу планетами Сонячної системи. Згідно цієї гіпотези, в сферу орбіти Сатурна можна вписати куб, в який вписується сфера орбіти Юпітера. В неї, в свою чергу, вписується тетраедр, описаний навколо сфери орбіти Марса. В сферу орбіти Марса вписується додекаедр, у який вписується сфера орбіти Землі. А вона описана навколо ікосаедра, в який вписана сфера орбіти Венери. Сфера цієї планети описана навколо октаедра, в який вписується сфера Меркурія. Така модель Сонячної системи отримала назву «Космічного кубка» Кеплера. Результати своїх обчислень вчений надрукував в книзі «Тайна мироздания». Он вважав, що тайна Всесвіту розкрита. Рік за роком вчений уточнював свої спостереження, перевіряв данні колег, і, в кінці кінців, знайшов в собі сили відмовитися от заманливої гіпотези.
- Ідеї Платона і Кеплера про зв'язок правильних многогранників з гармонічним влаштуванням світу і в наш час знайшли своє продовження в цікавій науковій гіпотезі, яку на початку 80-х рр. висунули московські інженери В. Макаров і В. Морозов. Вони вважають, що ядро Землі має форму і властивості зростаючого кристалу, що оказує вплив на розвиток всіх природних процесів, що відбуваються на планеті. Промені цього кристалу, а точніше, його силове поле, обумовлюють ікосаедро-додекаедрову структуру Землі. Вона проявляється в тому, що в земній корі як би проступають проекції вписаних в земну кулю правильних многогранників: ікосаедра и додекаедра. Багато залежей корисних копалин тягнуться вздовж ікосаедро-додекаедрової сітки; 62 вершини і середини ребер многогранників обладують рядом специфічних властивостей, що дозволяють пояснити деякі незрозумілі явища. Тут розташовуються очаги давніх культур и цивілізацій: Перу, Північна Монголія, Гаїті, Обська культура та інші. В цих точках спостерігаються максимуми і мінімуми атмосферного тиску, гігантські завихрення Світового океану. В цих вузлах знаходяться озеро Лох-Несс, Бермудський трикутник. Подальші дослідження Землі, можливо, визначать місце цієї гіпотези, в якій, як видно, правильні многогранники займають важливе місце. Если нанести на глобус очаги наиболее крупных и примечательных культур и цивилизаций Древнего мира, можно заметить закономерность в их расположении относительно географических полюсов и экватора планеты. Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдрово-додекаэдровой сетки. Еще более удивительные вещи происходят в местах пересечения этих ребер: тут располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана, здесь шотландское озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник. Дальнейшие исследования Земли, возможно, определят отношение к этой красивой научной гипотезе, в которой, как видно, правильные многогранники занимают важное место.
- Теорема Ейлера - математичне твердження, що пов'язує між собою число ребер, граней і вершин многогранників. Ця теорема була відкрита французьким вченим Рене Декартом ще в 1640 році, потім забута більш ніж на сто років і лише в 1752 році перевідкрита російським математиком Леонардом Ейлером, ім'я якого вона носить.
- Унікальний пам'ятник футбольному м'ячу відкрито 24 серпня на алеї саду Шевченка у Харкові. Бронзового м'яча діаметром у півтора метра встановлено на постамент із чорного граніту на місці, де зазвичай не один рік у недалекому минулому збиралися харківські футбольні фанати. За задумом творців цього поки що єдиного у світі подібного пам'ятника, той покликаний стати своєрідною візитною карткою спортивного Харкова, візуальним символом харківського футболу. А в Ніцці, оспіваної багатьма письменниками, в тому числі і Львом Толстим, стоїть "Tete au carre" - Кубічна Голова. От що буває від великого розуму, про це ще Екклезіаст попереджав. Хоча, голова корисна - оскільки в ній розміщується адміністрація міської бібліотеки.
- Цей величезний скляний напівправильний многогранник, с фантастичними прибудовами - білоруська національна республіканська бібліотека, яка розташована у Мінську.
- Голландський художник Мориц Корниліс Ешер (1898-1972) створив унікальні й незрівняні роботи, в яких показаний широкий круг математичних ідей. Ешера використовував многогранники в багатьох своїх роботах, включаючи "Рептилії" (1949), «Подвійний планетоїд" (1949), "Гравітація" (1952), "Чотири тіла" , “Зірки”, “Порядок і хаос”.
- На гравюрі "Чотири тіла" Ешер зобразив перетин основних правильних многогранників, розташованих на одній осі симетрії, крім цього многогранники виглядають півпрозорими, і крізь довільний з них можна побачити інші.
- Приклад зірчатого додекаедра можна знайти в його роботі "Порядок і хаос". В даному випадку зірчатий многогранник поміщений всередину скляної сфери. Аскетична краса цієї конструкції контрастує з хаотично розкиданим по столу мусором .
- Найбільш цікава робота Ешера - гравюра "Зірки", на якій можна побачити тіла, отримані об'єднанням тетраедрів, кубів й октаедрів. Якщо б Ешер зобразив в даній роботі лише різні варіанти многогранників, ми ніколи б не узнали про неї. Але він з якоїсь причини помістив всередину центральної фігури хамелеонів, щоб утруднити нам сприйняття всієї фігури.
- В гравюрі "Рептилії" маленькі крокодили граючи вириваються з тюрми двомірного простору стола, проходять кругом, щоб знову перетворитися в двомірні фігури.
- На картині художника Сальвадора Далі «Таємна Вечеря» Христос із своїми учнями зображений на фоні величезного прозорого додекаедра. Форму додекаедра, як вважали раніше, мав ВСЕСВІТ , тобто вважалось, що ми живемо всередині зводу, що має форму поверхні правильного додекаедра.
- Правильні многогранники зустрічаються в живій природі. Наприклад, скелет одноклітинного організму феодарії, що за формою нагадує ікосаедр. Чим же викликана така природна геометризація феодарій? Мабуть, тим, що з усіх многогранників с тим же числом граней саме ікосаедр має найбільший об'єм при найменшій площі поверхні. Ця властивість допомагає морському організму долати тиск водяної товщі.
- Правильні многогранники – самі «вигідні» фігури. І природа цим широко користується. Підтвердженням тому є форма деяких кристалів. Взяти хоч би поварену сіль, без якої ми не можемо обійтись. Відомо, що вона розчинна у воді, служить провідником електричного струму. А кристали кухонної солі (NaCl) мають форму куба. При виготовленні алюмінію користуються алюмінієво-калієвими квасцями (K[Al(SO 4 ) 2 ] 12H 2 O), монокристал яких має форму правильного октаедра. Отримання сірчаної кислоти, заліза, особливих сортів цементу не обходиться без сірчистого колчедану (FeS). Кристали цієї хімічної речовини мають форму додекаедра. В різних хімічних реакціях застосовується сурменістий сірчистий натрій (Na 5 (SbO 4 (SO 4 )) – речовина, синтезована вченими. Його кристал має форму тетраедра. Останній правильний многогранник – ікосаедр передає форму кристалів бора (В). У свій час бор використовувався для створення півпровідників першого покоління.