セントペテルスブルグパラドックスの続きと期待効用の①

1. セント・ペテルスブル
グパラドクス（続き）
＆
期待効用（1)前編

2. なぜ、対数を導入したか、です
が、この対数効用関数と心理学
の感覚量の研究知見には密接な
関連があるので、紹介します

3. ウェーバーの法則
100mlの水に10ml加えることにより、初めて
「増えたッッ！」と感じるとしたら、
200mlの水に何mlの水を加えたら「増え
たッッ！」と感じるだろうか？
⇒はじめの刺激量をIとし、対応する識別閾値
（今回は増えたと感じるまでの「加える水
の量」）をΔIとすると・・・
DI
= 一定
I

4. ウェーバーの法則は聴覚、視覚、
触覚など様々な感覚領域で成り
立つ

5. 100円から50円値引くのと、
1万円から50円値引くのとで
同じような割安感が得られない
のもそのため。

6. フェヒナーの法則
フェヒナーの法則
⇒人の感覚の大きさ（S）は、
刺激強度（I）の対数に比例す
る！
（式） S=klogI (kは定数）

7. xが30から40に10増えてもy
はほとんど変わらない!
xが0から10へ、10増えるとy
はだいぶ増えるけど・・・

8. このフェヒナーの法則は、
ウェーバーの法則から導出され
うるのです

9. DI
=k ΔI=識別閾値
I=刺激量
I
識別閾値ΔIの最小単位を考え、dIと置く。
また、感覚量をΔSと置き、
その最小単位を考え、dSと置く。
感覚量は刺激量と比例していると考え、
dI
dS = k
I
両辺を積分すると、
dx
S=klogI+C (kは定数） cf . ò = log x + C
x

10. さらに、
S=0のとき、I=I0とすると
0=klogI0+C
C=-klogI0
元の式に代入して、
S=klogI-klogI0
I A
S = k log cf.log A - log B = log
I0 B
I
となり、I 0 を刺激閾の値I0によって基準化され
た刺激強度であると考えると、
フェヒナーの法則と同じ形が得られる。

11. 期待効用①
〜これまでの復習〜
担当：修士2年 金井

12. セントペテルスブルグパラドックスについて
ベルヌーイ.Dは、人々の直観と期待値が合致
しない問題に対して、「期待効用」という考
えを導入することによって説明しようとしま
した

13. この「期待効用」について説明して
いきます

14. 期待効用
集合X上の基数効用関数、
u:X→ReのX上の確率についての期待値
E(u, p) = å u(x)p(x)
xÎX
を期待効用(Expected Utility)という

15. 期待値は確率と確率変数の積和で表
現されるものです

16. （復習）
E xp x  x
1
1
2 p2 n pn
E 期待値
x 1
試行の結果によって定まる変量のとりうる値
p 確率
1

17. なので、まずは
確率の公理の復習から

18. 公理的定義
コルモゴロフの公理 公理
＝前提，仮定
(1) p(X) =1 (＝ルール，約束事)
(2)
p(Ei ) ³ 0
(3)

19. 絶対そこ落とし穴やん！

20. 落とし穴である確率は？
• フタの上に立った結果の集合をXとする
X={落とし穴だった，爆発した，
水が噴出した}
• この結果の集合Xの部分集合をEとする
E={φ，（落），（爆），（水），
（落，爆），（爆，水），（落，水），
（落，爆，水）}

21. 公理的定義（1）
(1) p(X) =1
事象の集合Xの全体の確率は1
☆ X={落とし穴，爆発，水噴出}
の確率全てを足し合わせると1

22. 公理的定義（2）
(2) p(Ei ) ³ 0
Xの任意の部分集合 Ei の確率は0以上
☆ E={φ，（落），（爆），（水），（落，
爆），（爆，水），（落，水），（落，爆，
水）}のそれぞれの確率は0以上

23. 公理的定義（3）
(3)
Xの任意の部分集合の積集合
Ei
が空集合であれば， Ej と の和集
合の確率は, p(E j )
p(Ei )+ に等し
い

24. 公理的定義(3)
E={φ，（落），（爆），（水），（落，
爆），（爆，水），（落，水），（落，爆，
水）}の，（爆）をE2 ,（水）をE3としたとき，
つまり共通の元はない。このとき，「爆発す
る」か
「水が噴き出す」確率は，爆発する確率と水
が噴き出す確率の和と等しい。

25. これらのことを行動意思決定論の本に
即して考えてみましょう

26. 集合Xの部分集合 E(E Ì X) は、Xの
べき集合の2 (E Î
xの要素である2 x ) 。
ここで、Xのべき集合とは、集合Xの部
分集合を全部集めた集合のことであり、
2xで表す。べき集合の要素はそれ自体
が集合であることに注意する必要があ
る。
例えば、X={x1,x2,,x3}の時、2xは次のよ
うな8個の要素からなる集合である。
2x={φ, {x1}, {x2},{x3}, {x1,x2}, {x2,x3},
{x1,x3}, {x1,x2,x3}}

27. ここで、2x上の有限加法的確率測度pというものを考え
る。
有限加法的確率測度というのは、例えば、p({x1})=0.2と
いうような「確率」のことである。
2x上の有限加法的確率測度pは、全てのEi、Ejに対して
(1) p(X)=1
(2) p(Ei)≧0
(3) Ei∩Ej=φ⇒p(Ei∪Ej)=p(Ei)+p(Ej)
を満たすような集合関数である。すなわち、
(1)結果の集合Xの全体の確率は1であり、
(2)Xの任意の部分集合Eiの確率は0以上であり、
(3)Xの任意の部分集合の積集合 Ei∩Ejが空集合であれば
（すなわち、EiとEjの交わりがなければ）、EiとEjの和
集合（EiとEjを合わせた集合）の確率は、p(Ei)+p(Ej)と
等しいという性質を持つ。

28. 次に、2x上の有限加法的確率測度（以降、
確率測度）の凸集合Pxというものを考え
る。
Pxが凸集合とは、0≧λ≧1かつ、任意のp,q
がPxの要素である（p,q∈Px）ならば、
λp+(1-λ)qもPxの要素であること（λp+(1-
λ)q∈Px）を言う。すなわち、任意の2つの
結果の確率を混合させても、それがPxの
要素になっていることを言う。

29. 凸集合を図形で表すと・・・
凸集合 非凸集合
p
p
λp+(1-λ)q λp+(1-λ)q
q q

30. ここでEi∈Pxが有限集合であるとき、 p(Ei)=1となる確率
測度は、単純(simple）であると言われる。この単純確
率測度は下の表のような例から考えるとギャンブルや
くじと解釈することが出来る。したがって、Pxが凸集
合であるというのは、くじやギャンブルをある確率λと
1-λで組み合わせた複合くじや複合ギャンブルも、Pxの
要素となっていることであると解釈できる。
A x1:1000万円 x2:500万円 x3:0円
X
a1:ギャンブル1 p11:2/3 p12: 1/3 p13:0
a2:ギャンブル2 p21:1/2 p22: 1/3 p23: 1/6
a3:ギャンブル3 p31: 1/6 p32: 0 p33:5/6

31. キーワード
• ウェーバーの法則
• フェヒナーの法則
• 期待効用