基礎強化数学　第7回

1. 第７回
場合の数と確率、
二項定理
～「解法暗記」じゃ絶対無理！～

2. 第5～6回の宿題の振り返り
「囲まれたところに斜線」
じゃないからね？
文字の範囲が決まっているときは、
忘れないうちに最初に記載しておく！

3. 8) ① log2 3 + log2(𝒙 − 7) = 3 ② log2(2 − 𝒙) ≧ log2 𝒙 − 1
解説
𝑥 − 7 > 0より𝑥 > 7
・
・
・
(＊)
log2 3(𝑥 − 7) = 3
3 𝑥 − 7 = 23
𝑥 =
29
3
∗ より 𝑥 =
29
3
2 − 𝑥 > 0より𝑥 < 2
・
・
・
(＊)
𝑥 − 1 > 0より𝑥 > 1
1 < 𝑥 < 2
底は1より大きいので
2 − 𝑥 ≧ 𝑥 − 1
𝑥 ≦
3
2
∗ より 1 < 𝑥 ≦
3
2
第5回
(＊)を満たしているかの確認
(＊)も踏まえた上での範囲確定

4. 5) ② 𝑥 − 4 = 3𝑥 ③ 𝑥 − 4 ≦ 3𝑥
3𝑥 ≧ 0より𝑥 ≧ 0
𝑥 − 4 = −3𝑥, 3𝑥
𝑖 𝑥 − 4 = −3𝑥のとき
𝑥 = 1
𝑖𝑖 𝑥 − 4 = 3𝑥のとき
𝑥 = −2
・
・
・
(＊)
∗ より 𝑥 = 1
3𝑥 ≧ 0より𝑥 ≧ 0・
・
・
(＊)
−3𝑥 ≦ 𝑥 − 4 ≦ 3𝑥
−3𝑥 ≦ 𝑥 − 4
𝑥 − 4 ≦ 3𝑥
・
・
・
①
・
・
・
②
①’と②’の共通範囲を求めて
①より 𝑥 ≧ 1
②より 𝑥 ≧ −2
・
・
・
①’
・
・
・
②’
𝑥 ≧ 1
∗ より 𝑥 ≧ 1
(＊)を満たしているかの確認
(＊)も踏まえた上での範囲確定
第6回

5. 数学ⅠA・ⅡB(第５回～第２０回）
第5回 平方根、指数、指数関数、対数関数（Ⅰ、Ⅱ）
第6回 絶対値、一元不等式、展開・因数分解（Ⅰ、Ⅱ）
第7回 場合の数と確率、二項定理（Ａ、Ⅱ）
第8回 2次関数とグラフ、2次方程式と2次不等式、解と係数の関係（Ⅰ、Ⅱ）
第9回 微分係数と導関数、3次関数のグラフ、積分法（Ⅱ）
第10回 数列①（Ｂ）
第11回 数列②（Ｂ）
第12回 整式の割り算、分数式、剰余定理、因数定理（Ⅱ、Ⅰ）
第13回 三角比、三角形への応用、三角方程式・不等式、加法定理（Ⅰ、Ⅱ）
第14回 平面図形、空間図形、集合と命題（Ａ、Ⅰ）
第15回 距離、内分・外分、点と直線の距離、円と直線、2つの円、軌跡と領域（Ⅱ）
第16回 平面上のベクトル（Ｂ）
第17回 空間のベクトル（Ｂ）
第18回 ユークリッドの互除法、整数の性質の活用（Ａ）
第19回 データの分析（Ⅰ）
第20回 恒等式、等式と不等式の証明、複素数（Ⅱ）
A Ⅱ

6. 𝑒𝑥1) 右の4枚のカードを横一列に並べたとき、
①白と黒が隣り合う場合の数は？
場合の数と確率
何通りか？を考える単元
●場合の数
１
２
① ② ③ ④
白 黒
白 黒
白 黒
・・・2通り
・・・ 〃
・・・ 〃
構造をつかむ
白→黒
黒→白
6通り
〃
12通り

7. ②白と黒の間に赤1が挟まる場合の数は？ １ ２
③白と黒の間に赤1・赤2がともに挟まる場合の数は？
① ② ③ ④
白 赤
１ 黒
白 赤
１ 黒
白→黒
黒→白
① ② ③ ④
白 黒
黒 白
2通り
〃
4通り
・・・2通り
・・・ 〃
4通り

8. 𝑒𝑥2) 大小2個のサイコロを投げるとき、
目の和が4または5になる場合の数は？
7
目の和が4
目の和が5
𝑒𝑥3) 地点𝑃から地点𝑄までの道が3本、
地点𝑄から地点𝑅までの道のりが2本あるとき、
𝑃から𝑄を通って𝑅に向かう方法は何通り？
𝑃 𝑄 𝑅 6通り
大 小
1 3
2 2
3 1
1 4
2 3
3 2
4 1
①
②
③
①・・・2通り
②・・・ 〃
③・・・ 〃

9. 𝑒𝑥4) 6人から4人を選んで1列に並べる方法は何通り？
① ② ③ ④
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑
𝑒
𝑓
・・・3通り
3 × 4
通り
3 × 4 × 5
通り
𝑏
𝑐
𝑑
𝑒
𝑓
𝑐
𝑑
𝑒
𝑓
3 × 4 × 5 × 6
通り
360通り

10. 𝑒𝑥5) 6人全員を1列に並べるときの並べ方は何通りか。
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
𝑒
𝑓
𝑏
𝑐
𝑑
𝑒
𝑓
𝑐
𝑑
𝑒
𝑓
𝑑
𝑒
𝑓
𝑒
𝑓
𝑓
= 720通り
6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
① ② ③ ④ ⑤ ⑥

11. 𝑒𝑥6) 6人が6人用の円卓を囲んで座るときの並び方は
何通り？
6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 720通り
仮に6人が横一列に並ぶなら…
しかし…
𝑎 − 𝑏 − 𝑐 − 𝑑 − 𝑒 − 𝑓
𝑓 − 𝑎 − 𝑏 − 𝑐 − 𝑑 − 𝑒
𝑒 − 𝑓 − 𝑎 − 𝑏 − 𝑐 − 𝑑
𝑑 − 𝑒 − 𝑓 − 𝑎 − 𝑏 − 𝑐
𝑐 − 𝑑 − 𝑒 − 𝑓 − 𝑎 − 𝑏
𝑏 − 𝑐 − 𝑑 − 𝑒 − 𝑓 − 𝑎
例えば
は全て同じ扱い！
これで1通り
とカウント！
よって
720 ÷ 6 = 120通り
円順列

12. 𝑒𝑥7) 𝑎, 𝑎, 𝑎, 𝑏, 𝑏, 𝑐の6文字を1列に並べる方法は何通り？
6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 720通り
しかし…
例えば 𝑎1 − 𝑎2 − 𝑎3 − 𝑏1 − 𝑏2 − 𝑐
𝑎1 − 𝑎2 − 𝑎3 − 𝑏2 − 𝑏1 − 𝑐
𝑎1 − 𝑎3 − 𝑎2 − 𝑏1 − 𝑏2 − 𝑐
𝑎1 − 𝑎3 − 𝑎2 − 𝑏2 − 𝑏1 − 𝑐
𝑎2 − 𝑎1 − 𝑎3 − 𝑏1 − 𝑏2 − 𝑐
𝑎2 − 𝑎1 − 𝑎3 − 𝑏2 − 𝑏1 − 𝑐
𝑎2 − 𝑎3 − 𝑎1 − 𝑏1 − 𝑏2 − 𝑐
𝑎2 − 𝑎3 − 𝑎1 − 𝑏2 − 𝑏1 − 𝑐
𝑎3 − 𝑎1 − 𝑎2 − 𝑏1 − 𝑏2 − 𝑐
𝑎3 − 𝑎1 − 𝑎2 − 𝑏2 − 𝑏1 − 𝑐
𝑎3 − 𝑎2 − 𝑎1 − 𝑏1 − 𝑏2 − 𝑐
𝑎3 − 𝑎2 − 𝑎1 − 𝑏2 − 𝑏1 − 𝑐
は全て同じ扱い！
これで1通り
とカウント！
仮に6文字すべてが異なっていたら…
よって
6∙5∙4∙3∙2∙1
3∙2∙1 ∙ 2∙1
= 60通り
同じものを含む順列

13. 𝑒𝑥8) 5色ある色鉛筆から3色を選ぶ方法は何通り？
仮に順列の問題として考えると…
5 ∙ 4 ∙ 3 = 60通り
しかし…
例えば 𝑎 − 𝑏 − 𝑐
𝑎 − 𝑐 − 𝑏
𝑏 − 𝑎 − 𝑐
𝑏 − 𝑐 − 𝑎
𝑐 − 𝑎 − 𝑏
𝑐 − 𝑏 − 𝑎
は全て同じ扱い！
これで1通り
とカウント！
よって
5∙4∙3
3∙2∙1
= 10通り

14. 𝑒𝑥9) 6つの面に1,1,1,2,2,3と書かれたサイコロがある。
このサイコロを1回振るとき、
1 出る目は全部で何通りか。
2 1が出る確率を求めよ。
1 出る目は 1,2,3 の 3通り
今回の事象 = 1が出る は 1𝑎, 1𝑏, 1𝑐 の3通り
2 全事象は 1a , 1b, 1c, 2a, 2b, 3 の6通り
よって
3
6
=
1
2
今回の事象
全事象
同じものでも
区別する！
【確率の基本】
●確率

15. 50%のうちのさらに50% → 25%
※確率のかけ算（試行の反復）
𝑒𝑥10) 右の球から1個ずつ2回続けてボールを取るとき、
①2回とも緑の球を引く確率は？
②取った球が赤と青の組合せとなる確率は？
ただし、1回引いた球はもとに戻すものとする。
イメージは…
100%
50%
分数を使うと…
5
10
×
5
10
=
25
100
=
1
4
① ②
① ② イメージは…
100%
20%
20%のうちのさらに30% → 6%
100%
30%
30%のうちのさらに20% → 6%
2
10
×
3
10
+
3
10
×
2
10
=
12
100
=
3
25
① ② ① ②

16. 𝑒𝑥11) 右から球を1個取り出し色を調べてから元に戻す。
この試行を6回続けて行うとき、
赤玉が5回出る確率を求めよ。
ポイントは、どこで「5回」出るかを
考える必要があること
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
2
6
×
2
6
×
2
6
×
2
6
×
2
6
×
4
6
2
6
×
2
6
×
2
6
×
2
6
×
4
6
×
2
6
… 順番を考えると
6𝐶5通り
よって
6𝐶5 ×
2
6
5
×
4
6
1
=
4
243

17. ※確率のわり算（条件付き確率）
𝑒𝑥12) 右から1個の球を取り出す。
取り出した球が赤球だと分かっているとき、
それが奇数番号の赤球である確率は？
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 10
100%
50%
ポイントは、赤球に話を限定して
いること。青球は無視する。
50%を100%としたときの30% → 60%
分数を使うと…
3
10
÷
5
10
=
3
5
条件の確率

18. ●「！」と「P」と「C」について
𝑃 C
から 回ＤＯＷＮ を ！で割る
𝑃
!
から１までＤＯＷＮ
ex A,A,A,B,Cの並べ方は何通り？
A A A B C
人の並べ方の総数 人から 人選んで
並べる方法の総数
人から 人選ぶ
方法の総数
階乗
※「同じものを含む順列」の問題の別解（二項定理の導入）
5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1
3 ∙ 2 ∙ 1
= 20通り
5!
3!
=
5𝐶3 ×2 𝐶1 ×1 𝐶1 = 20通り 複数ある「同じもの」
を入れる箱を選ぶ
𝑒𝑥 100C98 = 100 𝐶2 =
100 ∙ 99
2 ∙ 1
= 4950
= C －

19. ex1 (𝑎 + 𝑏)2
= 𝑎 + 𝑏 (𝑎 + 𝑏)
= 𝑎𝑎 + 𝑎𝑏 + 𝑏𝑎 + 𝑏𝑏
= 1𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 1𝑏2
ex2 (𝑎 + 𝑏)3
= 𝑎 + 𝑏 (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏)
= 𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑏 + 𝑎𝑏𝑎 + 𝑎𝑏𝑏 +
𝑏𝑎𝑎 + 𝑏𝑎𝑏 + 𝑏𝑏𝑎 + 𝑏𝑏𝑏
= 1𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 1𝑏3
𝑎
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎, 𝑎, 𝑏の並べ方 𝑎, 𝑏, 𝑏の並べ方
𝑎, 𝑏の並べ方
𝑎, 𝑎の並べ方 𝑏, 𝑏の並べ方
𝑎, 𝑎, 𝑎の並べ方 𝑏, 𝑏, 𝑏の並べ方
𝑎が2個 𝑎が1個 𝑎が0個
𝑎が2個 𝑎が1個 𝑎が0個
𝑎が3個
二項定理

20. ex3 5𝐶5 ∙ 𝑥5 ∙ −2 0 + 5𝐶4 ∙ 𝑥4 ∙ −2 1
+5𝐶3 ∙ 𝑥3 ∙ −2 2 + 5𝐶2 ∙ 𝑥2 ∙ −2 3
+5𝐶1 ∙ 𝑥1 ∙ −2 4 + 5𝐶0 ∙ 𝑥0 ∙ −2 5
𝑥が3個 𝑥が2個
𝑥が1個 𝑥が0個
𝑥が5個 𝑥が4個
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
−2
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
−2
−2
𝑥
𝑥
𝑥
−2
−2
−2
𝑥
𝑥
−2
−2
−2
−2
𝑥
−2
−2
−2
−2
−2
𝑥が𝑟個なら 5𝐶𝑟 ∙ 𝑥𝑟
∙ −2 5−𝑟 一般項
ex4 (𝑥 − 2𝑦)7
の展開式における𝑥4
𝑦3
の項の係数は？
一般項は 7𝐶𝑟 ∙ 𝑥𝑟 ∙ −2𝑦 7−𝑟
𝑟 = 4を代入 7𝐶4 ∙ 𝑥4
∙ −2𝑦 7−4
= −280𝑥4
𝑦3
（答）
(𝑥 − 2)5=