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120517サブゼミ意思決定(5)
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セントペテルスブルク・パラドクスの範囲です。今回はキーワードが2個なので,数式までしっかり復習しましょう。休んだ人で数式の解き方が分からない人は院生までどうぞ☆
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2.
大変申し訳ないのですが 補足・訂正から
3.
補足・訂正①
実数値関数とは y=2x →事象を入力すると 実数値を返す関数
4.
補足・訂正② "x, y Î
A, x 〜 y Û u(x) ³ u(y) Û y (u(x)) ³ y (u(y)) ただし、 y (u(x)) = a u(x) + b 「正の」なの で ここが「正の線形変換」 (α>0) 定数倍して、定数を加える一 次変換
5.
補足・訂正③
u(前田)=5 u(大島)=10 大 島 前 田 ※基数効用は「比」については言及できません
6.
補足・訂正④
選好逆転について
7.
前回は効用理論が経験的に成り 立たない一例として、 選好逆転現象を紹介しました。
8.
今回は こんな問題を考えてみま
しょう
9.
僕とゲームをしましょう
10.
コインを投げます。 n回目に表が出た時に 2のn乗の賞金を上げます。 参加するのにいくら払う?
11.
期待値を計算してみると・・・
12.
シグマ記号
無限まで足す 1 1 1 n 1 2 4 8 2 n 2 4 8 n 1 2 nの数字は「1」 から
13.
1+1+1+・・・ 1を無限に足していくから、
期待値は無限!?
14.
期待値が無限なので、いくら 払ってでもこのゲームに参加し た方が良いが、実際に
15.
いくらでも賭 けていいよ! オッケー !
©Saki Tamura
16.
っていう人はいない
17.
我々の直観は、期待値と矛盾してい
る 故に、セントペテルスブルグパラ ドックス
18.
この問題を18世紀の数学者 ダニエル・ベルヌーイは
こう考えた
19.
「主観的な価値」を数値化して考える
為に、下記のような 対数関数の効用u(2n)=log(2n) の期待値である、 期待効用EU(Expected Utility)を考えた。 ¥ æ1ö EU = å log(2 ) · ç n ÷ n n=1 è2 ø
20.
対数関数とは
P a N p log a N 例:3 3 27 3 log 3 27 4 a N 4 log a N
21.
対数の性質 loga M =
r loga M r 例: a 5 log 4 4 log a 5 2 10 log 3 3 log 2 10
22.
¥
æ1ö EU = å log(2 ) · ç n ÷ n n=1 è2 ø 1 1 1 = log2 ´ + log 4 ´ + log8´ 2 4 8 = log 4 = 1.4
23.
このように対数関数の効用関数 の期待値を考えると、有限の値
に収束する
24.
対数関数で表現される効用関数 は、大きな金額になるほど、効 用の増加率が尐なくなる
→「限界効用の逓減」
25.
なぜ、対数を導入したか、です が、この対数効用関数と心理学 の感覚量の研究知見には密接な 関連があるので、紹介します
26.
ウェーバーの法則 100mlの水に10ml加えることにより、初めて 「増えたッッ!」と感じるとしたら、
200mlの水に何mlの水を加えたら「増え たッッ!」と感じるだろうか? ⇒はじめの刺激量をIとし、対応する識別閾値 (今回は増えたと感じるまでの「加える水 の量」)をΔIとすると・・・ DI = 一定 I
27.
ウェーバーの法則は聴覚、視覚、 触覚など様々な感覚領域で成り
立つ
28.
100円から50円値引くのと、 1万円から50円値引くのとで 同じような割安感が得られない
のもそのため。
29.
フェヒナーの法則 フェヒナーの法則 ⇒人の感覚の大きさ(S)は、 刺激強度(I)の対数に比例す る! (式)
S=klogI (kは定数)
30.
xが30から40に10増えてもy
はほとんど変わらない! xが0から10へ、10増えるとy はだいぶ増えるけど・・・
31.
このフェヒナーの法則は、 ウェーバーの法則から導出され
うるのです
32.
DI
=k ΔI=識別閾値 I=刺激量 I 識別閾値ΔIの最小単位を考え、dIと置く。 また、感覚量をΔSと置き、 その最小単位を考え、dSと置く。 感覚量は刺激量と比例していると考え、 dI dS = k I 両辺を積分すると、 dx S=klogI+C (kは定数) cf . ò = log x + C x
33.
さらに、 S=0のとき、I=I0とすると 0=klogI0+C C=-klogI0 元の式に代入して、 S=klogI-klogI0
I A S = k log cf.log A - log B = log I0 B I となり、I 0 を刺激閾の値I0によって基準化され た刺激強度であると考えると、 フェヒナーの法則と同じ形が得られる。
34.
2つの
セント・ペテルスブ キーワード ルグパラドックス 限界効用の逓減
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