セントペテルスブルク・パラドクスの範囲です。今回はキーワードが2個なので，数式までしっかり復習しましょう。休んだ人で数式の解き方が分からない人は院生までどうぞ☆

1. セント・ペテルスブル
グパラドクス
担当：修士２年 金井槙太朗

2. 大変申し訳ないのですが
補足・訂正から

3. 補足・訂正①
実数値関数とは
y=2x
→事象を入力すると
実数値を返す関数

4. 補足・訂正②
"x, y Î A, x 〜 y Û u(x) ³ u(y)

Û y (u(x)) ³ y (u(y))
ただし、 y (u(x)) = a u(x) + b
「正の」なの
で
ここが「正の線形変換」 （α>0)
定数倍して、定数を加える一
次変換

5. 補足・訂正③
u(前田）=5
u(大島）=10
大
島
前
田
※基数効用は「比」については言及できません

6. 補足・訂正④
選好逆転について

7. 前回は効用理論が経験的に成り
立たない一例として、
選好逆転現象を紹介しました。

8. 今回は
こんな問題を考えてみま
しょう

9. 僕とゲームをしましょう

10. コインを投げます。
n回目に表が出た時に
2のn乗の賞金を上げます。
参加するのにいくら払う？

11. 期待値を計算してみると・・・

12. シグマ記号 無限まで足す
1 1 1 n 1
2 4 8  2 n
2 4 8 n 1 2
nの数字は「１」
から

13. 1+1+1+・・・
1を無限に足していくから、
期待値は無限！？

14. 期待値が無限なので、いくら
払ってでもこのゲームに参加し
た方が良いが、実際に

15. いくらでも賭
けていいよ！
オッケー ！
©Saki Tamura

16. っていう人はいない

17. 我々の直観は、期待値と矛盾してい
る
故に、セントペテルスブルグパラ
ドックス

18. この問題を18世紀の数学者
ダニエル・ベルヌーイは
こう考えた

19. 「主観的な価値」を数値化して考える
為に、下記のような
対数関数の効用u(2n）=log(2n)
の期待値である、
期待効用EU(Expected Utility)を考えた。
¥
æ1ö
EU = å log(2 ) · ç n ÷
n
n=1
è2 ø

20. 対数関数とは
P
a N p log a N
例：3 3
27 3 log 3 27
4
a N 4 log a N

21. 対数の性質
loga M = r loga M
r
例： a 5
log 4
4 log a 5
2 10
log 3
3 log 2 10

22. ¥
æ1ö
EU = å log(2 ) · ç n ÷
n
n=1
è2 ø
1 1 1
= log2 ´ + log 4 ´ + log8´ 
2 4 8
= log 4 = 1.4

23. このように対数関数の効用関数
の期待値を考えると、有限の値
に収束する

24. 対数関数で表現される効用関数
は、大きな金額になるほど、効
用の増加率が尐なくなる
→「限界効用の逓減」

25. なぜ、対数を導入したか、です
が、この対数効用関数と心理学
の感覚量の研究知見には密接な
関連があるので、紹介します

26. ウェーバーの法則
100mlの水に10ml加えることにより、初めて
「増えたッッ！」と感じるとしたら、
200mlの水に何mlの水を加えたら「増え
たッッ！」と感じるだろうか？
⇒はじめの刺激量をIとし、対応する識別閾値
（今回は増えたと感じるまでの「加える水
の量」）をΔIとすると・・・
DI
= 一定
I

27. ウェーバーの法則は聴覚、視覚、
触覚など様々な感覚領域で成り
立つ

28. 100円から50円値引くのと、
1万円から50円値引くのとで
同じような割安感が得られない
のもそのため。

29. フェヒナーの法則
フェヒナーの法則
⇒人の感覚の大きさ（S）は、
刺激強度（I）の対数に比例す
る！
（式） S=klogI (kは定数）

30. xが30から40に10増えてもy
はほとんど変わらない!
xが0から10へ、10増えるとy
はだいぶ増えるけど・・・

31. このフェヒナーの法則は、
ウェーバーの法則から導出され
うるのです

32. DI
=k ΔI=識別閾値
I=刺激量
I
識別閾値ΔIの最小単位を考え、dIと置く。
また、感覚量をΔSと置き、
その最小単位を考え、dSと置く。
感覚量は刺激量と比例していると考え、
dI
dS = k
I
両辺を積分すると、
dx
S=klogI+C (kは定数） cf . ò = log x + C
x

33. さらに、
S=0のとき、I=I0とすると
0=klogI0+C
C=-klogI0
元の式に代入して、
S=klogI-klogI0
I A
S = k log cf.log A - log B = log
I0 B
I
となり、I 0 を刺激閾の値I0によって基準化され
た刺激強度であると考えると、
フェヒナーの法則と同じ形が得られる。

34. 2つの セント・ペテルスブ
キーワード ルグパラドックス
限界効用の逓減