Downloaded 14 times
120531サブゼミ意思決定(7)
- 1.
- 2.
- 3. 期待効用理論の公理に入る前に… フォン・ノイマンとモルゲンシュテルン （von Neumann andMorgenstern 1944, 1947)の期待効用理論を線形効用モデルと いうモデルから説明します。
- 4. Pxは、選択肢の集合と解釈できるので、 Px上の2項関係を考え、全てのp,q∈Pxに対 して、 p≻q ⇔ Φ(p,q)＞0 を満たすPx×Px上の実数値関数Φを想定す ることができる。
- 5. 参考 ここでEi∈Pxが有限集合であるとき、 p(Ei)=1となる確率 測度は、単純(simple）であると言われる。この単純確 率測度は下の表のような例から考えるとギャンブルや くじと解釈することが出来る。したがって、Pxが凸集 合であるというのは、くじやギャンブルをある確率λと 1-λで組み合わせた複合くじや複合ギャンブルも、Pxの 要素となっていることであると解釈できる。 A x1:1000万円 x2:500万円 x3:0円 X a1:ギャンブル1 p11:2/3 p12: 1/3 p13:0 a2:ギャンブル2 p21:1/2 p22: 1/3 p23: 1/6 a3:ギャンブル3 p31: 1/6 p32: 0 p33:5/6
- 6. この実数値関数Φをもとにして、フォ ン・ノイマンとモルゲンシュテルン（von Neumann and Morgenstern1944, 1947) の期待効用理論を次の線形効用モデルか ら説明する。
- 7. 線形効用モデルとは、 p,q∈Px Φ(p,q)=U(p)−U(q)となるようなPx上の線 形汎関数Uをさす。
- 8. 線形汎関数 PxをR上の線形空間とし、写像U:Px→Rが、 下の二つの性質（線形性）を持っている とき (1)∀p,q∈Px, U(p+q)=U(p)+U(q) (2)∀a∈R, ∀p∈Px,U(ap)=aU(p) UはPxにおける線形汎関数であるという。
- 9.
- 10. (2)∀a∈R, ∀p∈Px, U(ap)=aU(p) Uの線形性の定義より、Φは正の定数倍す 比例尺度 ることが可能である（比例尺度である）の で、正の線形変換も可能であることがわか る。 U’=αU+β (α>0) とすると αΦ(p,q) =U’(p)−U’(q)
- 11. ギャンブルai∈Aのm個の結果xj∈Xを、そ æm ö れぞれ、確率pij çå pij = 1÷ ç ÷ で生じさせ è j=1 ø る 単純確率測度piの効用U(pi)をもとにした 線形効用モデルは、U(xj)の期待値を求め て いると考えることができる。
- 12. (2)∀a∈R, ∀p∈Px, U(ap)=aU(p) m というのもUの線形性より、 i ) = å pijU(x j ) U(p j=! となり、U(pi)はU(xj)の期待値を求めてい るこ とになるためである。 この意味で、この線形効用モデルUは、期 待効用モデルであると考えることができ る。
- 13.
- 14. 公理 A1（順序公理) Px上の≻は弱順序である。 ただし、選好関係≻が弱順序であるとは、 (1)非対称性 p≻q⇒ not(q≻p) (2)負推移性 not(p≻q)∧not(q≻r) ⇒not(p≻r)
- 15. 公理 A1（順序公理) またこれは、これまで勉強してきた (1)推移性 p≿q∧q≿r⇒ p≿r (2)比較可能性 ∀p,q∈Px, p≿q∨q≿p が成り立つことと等価である。
- 16. 公理 A2（独立性公理） p≻qならば λp+(1−λ)r ≻λq+(1−λ)r となる。
- 18. 公理 A3（連続性公理） p≻qかつq≻rならば あるα,β∈(0,1)が存在して、 αp+(1−α)r ≻q かつ q≻βp+(1−β)r となる。
- 19. 連続性の公理：具体例 p,q,rがそれぞれ p：バナナジュース q：マンゴージュース r：ブドウジュース であり、 p≻qかつq≻rのとき、 qより選好されるαp+(1-α)r（バナナジュー スとぶどうジュースのミックスの方法A） のためのαが存在し、 かつ qの方が選好されるようなβp+(1-β)r（バナ ナジュースとぶどうジュースのミックスの 方法B)の為のβが存在しなければならない。
- 20.
- 21.
- 22. 下の表のような例を考える。 ギャンブル1よりギャンブル2を選好していると する。 ギャンブル1とギャンブル3、ギャンブル2とギャ ンブル3を0.5の確率で混合した複合ギャンブル を構成する。1:1万円 A x x2:0万円 x3:2万円 X a1:ギャンブル1 p11:2/3 p12: 1/3 p13:0 a2:ギャンブル2 p21:1/2 p22: 1/3 p23: 1/6 a3:ギャンブル3 p31: 1/6 p32: 0 p33:5/6
- 23. ギャンブル1とギャンブル3、ギャンブル2とギャ ンブル3を0.5の確率で混合した複合ギャンブル を構成すると下の表のようなギャンブル1’とギャ ンブル2’になる。 独立性公理は、ギャンブル1よりギャンブル2が 選好されるなら、ギャンブル1’よりギャンブル2’ を選好することを要請する。 A x1:1万円 x2:0万円 x3:2万円 X a1:ギャンブル1 p11:5/12 p12: 1/6 p13:5/12 a2:ギャンブル2 p21:1/3 p22: 1/6 p23: 1/2
- 24.
- 25.