期待効用理論の2回目です。アップロードが遅くなりすみません。

1. 期待効用②
〜期待効用理論の公理系〜
担当：修士2年 金井

2. ここまでで確率の公理（及びギャンブルの再
定義）と、リスク下の意思決定について再確
認しました。

3. 期待効用理論の公理に入る前に…
フォン・ノイマンとモルゲンシュテルン
（von Neumann and Morgenstern 1944,
1947)の期待効用理論を線形効用モデルと
いうモデルから説明します。

4. Pxは、選択肢の集合と解釈できるので、
Px上の2項関係を考え、全てのp,q∈Pxに対
して、
p≻q ⇔ Φ(p,q)＞0
を満たすPx×Px上の実数値関数Φを想定す
ることができる。

5. 参考
ここでEi∈Pxが有限集合であるとき、 p(Ei)=1となる確率
測度は、単純(simple）であると言われる。この単純確
率測度は下の表のような例から考えるとギャンブルや
くじと解釈することが出来る。したがって、Pxが凸集
合であるというのは、くじやギャンブルをある確率λと
1-λで組み合わせた複合くじや複合ギャンブルも、Pxの
要素となっていることであると解釈できる。
A x1:1000万円 x2:500万円 x3:0円
X
a1:ギャンブル1 p11:2/3 p12: 1/3 p13:0
a2:ギャンブル2 p21:1/2 p22: 1/3 p23: 1/6
a3:ギャンブル3 p31: 1/6 p32: 0 p33:5/6

6. この実数値関数Φをもとにして、フォ
ン・ノイマンとモルゲンシュテルン（von
Neumann and Morgenstern 1944, 1947)
の期待効用理論を次の線形効用モデルか
ら説明する。

7. 線形効用モデルとは、
p,q∈Px
Φ(p,q)=U(p)−U(q)となるようなPx上の線
形汎関数Uをさす。

8. 線形汎関数
PxをR上の線形空間とし、写像U:Px→Rが、
下の二つの性質（線形性）を持っている
とき
(1)∀p,q∈Px, U(p+q)=U(p)+U(q)
(2)∀a∈R, ∀p∈Px, U(ap)=aU(p)
UはPxにおける線形汎関数であるという。

9. Uが線形であるというのは、別の言い方をする
と
すべてのp,q∈Pxと、すべての0<λ<1に対
して
U(λp+(1−λ)q) = λU(p)+(1−λ)U(q)
となる。

10. (2)∀a∈R, ∀p∈Px, U(ap)=aU(p)
Uの線形性の定義より、Φは正の定数倍す
比例尺度
ることが可能である（比例尺度である）の
で、正の線形変換も可能であることがわか
る。
U’=αU+β (α>0)
とすると
αΦ(p,q) =U’(p)−U’(q)

11. ギャンブルai∈Aのm個の結果xj∈Xを、そ
æm ö
れぞれ、確率pij çå pij = 1÷
ç ÷ で生じさせ
è j=1 ø
る
単純確率測度piの効用U(pi)をもとにした
線形効用モデルは、U(xj)の期待値を求め
て
いると考えることができる。

12. (2)∀a∈R, ∀p∈Px, U(ap)=aU(p)
m
というのもUの線形性より、 i ) = å pijU(x j )
U(p
j=!
となり、U(pi)はU(xj)の期待値を求めてい
るこ
とになるためである。
この意味で、この線形効用モデルUは、期
待効用モデルであると考えることができ
る。

13. これまでに定義した、すべてのp,q∈Pxと、
すべての0<λ<1に対して成立する、ジェ
ンセン(Jensen, 1967)の期待効用の公理系
を紹介します。

14. 公理 A1（順序公理)
Px上の≻は弱順序である。
ただし、選好関係≻が弱順序であるとは、
(1)非対称性 p≻q ⇒ not(q≻p)
(2)負推移性 not(p≻q)∧not(q≻r)
⇒not(p≻r)

15. 公理 A1（順序公理)
またこれは、これまで勉強してきた
(1)推移性 p≿q∧q≿r ⇒ p≿r
(2)比較可能性 ∀p,q∈Px, p≿q∨q≿p
が成り立つことと等価である。

16. 公理 A2（独立性公理）
p≻qならば
λp+(1−λ)r ≻ λq+(1−λ)r
となる。

18. 公理 A3（連続性公理）
p≻qかつq≻rならば
あるα,β∈(0,1)が存在して、
αp+(1−α)r ≻ q かつ q≻βp+(1−β)r
となる。

19. 連続性の公理：具体例
p,q,rがそれぞれ
p：バナナジュース
q：マンゴージュース
r：ブドウジュース であり、
p≻qかつq≻rのとき、
qより選好されるαp+(1-α)r（バナナジュー
スとぶどうジュースのミックスの方法A）
のためのαが存在し、
かつ
qの方が選好されるようなβp+(1-β)r（バナ
ナジュースとぶどうジュースのミックスの
方法B)の為のβが存在しなければならない。

20. 公理A1,A2,A3が成り立つとき、また、そ
のときに限り、Px上の線形汎関数Uが存在
して、
すべてのp,q∈Pxに対して、
p≻q ⇒ U(p)＞U(q)
が成立する。

21. とくに「独立性公理」は、期待効用理論
において重要な性質である。
ある2つの選択肢（例：ギャンブル）の選
好関係が定まっている場合、それらの選
択肢に結果が等価であり、各結果を得る
確率が等しい別のギャンブルをそれぞれ
複合した場合にも、それらの選択肢の選
好関係は保存されることを意味している。

22. 下の表のような例を考える。
ギャンブル1よりギャンブル2を選好していると
する。
ギャンブル1とギャンブル3、ギャンブル2とギャ
ンブル3を0.5の確率で混合した複合ギャンブル
を構成する。1:1万円
A x x2:0万円 x3:2万円
X
a1:ギャンブル1 p11:2/3 p12: 1/3 p13:0
a2:ギャンブル2 p21:1/2 p22: 1/3 p23: 1/6
a3:ギャンブル3 p31: 1/6 p32: 0 p33:5/6

23. ギャンブル1とギャンブル3、ギャンブル2とギャ
ンブル3を0.5の確率で混合した複合ギャンブル
を構成すると下の表のようなギャンブル1’とギャ
ンブル2’になる。
独立性公理は、ギャンブル1よりギャンブル2が
選好されるなら、ギャンブル1’よりギャンブル2’
を選好することを要請する。
A x1:1万円 x2:0万円 x3:2万円
X
a1:ギャンブル1 p11:5/12 p12: 1/6 p13:5/12
a2:ギャンブル2 p21:1/3 p22: 1/6 p23: 1/2

24. では、こうして公理化された期待効用理論は
人々の実際の選好を表現しているのでしょう
か。

25. それはまた次回