Рассматривается движение осесимметричного твёрдого тела вокруг неподвижной точки под действием силы тяжести.

1. Самарский государственный аэрокосмический университет
им. академика С. П. Королёва
(национальный исследовательский университет)
Кафедра теоретической механики
Движение осесимметричного твёрдого тела
с неподвижной точкой под действием силы тяжести
Случай Лагранжа
курс “Динамика твёрдого тела и систем тел”
Юдинцев В. В. yudintsev@termech.ru

2. Случай Лагранжа
Свойства тела и внешние условия [1]
Осесимметричное тело вращается
вокруг неподвижной точки O,
расположенной на оси симметрии
тела z2 :
С
поперечные моменты инерции
равны Jx = Jy = Jz ;
O
Кафедра ТМ (СГАУ)
центр масс C находится на оси
симметрии и смещен от точки
опоры O на расстояние
OC = s.
Случай Лагранжа
10 ноября 2013 г.
2 / 29

3. Системы координат
Неподвижный, полуподвижный и связанный базисы
Неподвижный базис e(1) :
Ox1 y1 z1
Полуподвижный базис e(2) :
Ox2 y2 z2 , повернутый
относительно Ox1 y1 z1 на углы
ψ, ϑ
С
O
Кафедра ТМ (СГАУ)
Связанный с телом базис e(3) :
Ox3 y3 z3 , повернутый
относительно Ox1 y1 z1 на углы
ψ, ϑ, ϕ
Случай Лагранжа
10 ноября 2013 г.
3 / 29

4. Уравнения движения
Теорема об изменении момента количества движения
Абсолютная производная момента
количества движения относительно
неподвижного полюса O равна
главному моменту внешних сил
относительно полюса O [1]:
С
˙
LO = MO
(1)
O
Кафедра ТМ (СГАУ)
Случай Лагранжа
10 ноября 2013 г.
4 / 29

5. Уравнения движения
Производная вектора кинетического момента
Абсолютная производная вектора
кинетического момента
относительно точки опоры:
˜
d(2) LO
˙
LO =
+ Ω × LO
dt
С
(2)
где:
O
Кафедра ТМ (СГАУ)
Ω – абсолютная угловая
скорость базиса e(2) ;
˜
d(2) LO /dt – локальная
производная LO в базисе e(2) .
Случай Лагранжа
10 ноября 2013 г.
5 / 29

6. Уравнения движения
Координаты векторов L0 , MO и Ω в базисе e(2)
LO =Jx ω x + Jx ω y + Jz ω z =
˙ (2)
+ Jx ϑ e1
(2)
˙
+ Jx ψ sin ϑ e2
С
(2)
˙
+ Jz (ϕ + ψ cos ϑ) e3
˙
˙ (2)
Ω = + ϑ e1
(2)
˙
+ ψ sin ϑ e2
(2)
˙
+ ψ cos ϑ e3
O
Кафедра ТМ (СГАУ)
(2)
MO = mgs sin ϑ e1
Случай Лагранжа
10 ноября 2013 г.
6 / 29

7. Уравнения движения
Уравнения движения
Векторная форма:
˜
d(2) LO
˙
LO =
+ Ω × LO = MO
dt
(3)
Скалярная форма:

¨
˙
˙
˙
˙
 Jx ϑ + [Jz (ϕ + ψ cos ϑ) − Jx ψ cos ϑ]ψ sin ϑ − mgs sin ϑ = 0
¨
˙˙
˙ ˙
˙
J ψ sin ϑ + 2Jx ψ ϑ cos ϑ − Jz ϑ(ϕ + ψ cos ϑ)
=0
 x ¨
˙ ϑ sin ϑ
˙
ϕ + ψ cos ϑ − ψ
¨
=0
Кафедра ТМ (СГАУ)
Случай Лагранжа
10 ноября 2013 г.
(4)
7 / 29

8. Первые интегралы
Lz2 = const
¨
˙
˙
˙
Jx ϑ + [Jz (ϕ + ψ cos ϑ) − Jx ψ cos ϑ]ψ sin ϑ − mgs sin ϑ = 0
˙
¨ sin ϑ + 2Jx ψ ϑ cos ϑ − Jz ϑ(ϕ + ψ cos ϑ)
˙˙
˙ ˙
˙
Jx ψ
=0
¨ cos ϑ − ψ ϑ sin ϑ
˙˙
ϕ+ψ
¨
=0
d
(ϕ+ψ cos ϑ)=ωz
˙ ˙
˙
dt
Кафедра ТМ (СГАУ)
Случай Лагранжа
10 ноября 2013 г.
8 / 29

9. Первые интегралы
Lz2 = const
˙
ϕ + ψ cos ϑ = ωz = const
˙
(5)
Проекция вектора кинетического
момента на направление оси
симметрии тела постоянна:
С
Lz2 = const
(6)
Иитеграл (5) следует также из
уравнения:
O
Jz ωz − (Jx − Jx )ωy ωx = Mz2 = 0
˙
Кафедра ТМ (СГАУ)
Случай Лагранжа
10 ноября 2013 г.
9 / 29

10. Первые интегралы
Уравнения движения
˙
После подстановки ϕ + ψ cos ϑ = ωz в уравнения:
˙
¨
˙
˙
˙
Jx ϑ + [Jz (ϕ + ψ cos ϑ) − Jx ψ cos ϑ]ψ sin ϑ − mgs sin ϑ = 0,
˙
¨
˙˙
˙ ˙
˙
Jx ψ sin ϑ + 2Jx ψ ϑ cos ϑ − Jz ϑ(ϕ + ψ cos ϑ)
= 0,
получим уравнения движения:
¨
˙
˙
Jx ϑ + (Jz ωz − Jx ψ cos ϑ)ψ sin ϑ − mgs sin ϑ = 0,
¨
˙˙
˙
Jx ψ sin ϑ + 2Jx ψ ϑ cos ϑ − Jz ωz ϑ
= 0.
Кафедра ТМ (СГАУ)
Случай Лагранжа
10 ноября 2013 г.
10 / 29

11. Первые интегралы
Lz1 = const
После умножения второго уравнения системы
¨
˙
˙
Jx ϑ + (Jz ωz − Jx ψ cos ϑ)ψ sin ϑ − mgs sin ϑ = 0
¨
˙˙
˙
Jx ψ sin ϑ + 2Jx ψ ϑ cos ϑ − Jz ωz ϑ = 0
(7)
· sin ϑ
(8)
на sin ϑ, получим:
d
˙
Jx ψ sin2 ϑ + Jz ωz cos ϑ = 0
dt
Проекция вектора кинетического момента на направление вертикали z1
постоянна:
˙
Jx ψ sin2 ϑ + Jz ωz cos ϑ = L = const ,
т. к. линии действия сил, действующих на тело, или параллельны оси
z1 или пересекают эту ось.
Кафедра ТМ (СГАУ)
Случай Лагранжа
10 ноября 2013 г.
11 / 29

12. Первые интегралы
Интеграл энергии
Уравнения движения
¨
˙
˙
Jx ϑ + (Jz ωz − Jx ψ cos ϑ)ψ sin ϑ − mgs sin ϑ = 0
¨
˙˙
˙
Jx ψ sin ϑ + 2Jx ψ ϑ cos ϑ − Jz ωz ϑ = 0
˙
·ϑ
˙
· ψ sin ϑ
(9)
(10)
˙
Умножим уравнение (9) на ϑ и сложим результат с уравнением (10),
˙ sin ϑ:
умноженным на ψ
˙
˙
d Jx (ψ 2 sin2 ϑ + ϑ2 )
+ mgs cos ϑ = 0
dt
2
Интеграл энергии
2
˙
˙
Jx (ψ 2 sin2 ϑ + ϑ2 )
Jz ωz
+ mgs cos ϑ = const = E −
2
2
или
2
2
2
Jx (ωx + ωy ) + Jz ωz + 2mgs cos ϑ = 2E.
Кафедра ТМ (СГАУ)
Случай Лагранжа
10 ноября 2013 г.
12 / 29

13. Решения уравнений
Частные случаи
Плоское движение маятника
Если проекция угловой скорости на ось z2 равна нулю ωz = 0, то:
изменяется только координата ϑ
ϕ = 0,
˙
˙
ψ = 0;
уравнения движения принимают вид:
¨
Jx ϑ − 2mgs sin ϑ = 0
интеграл энергии:
˙
Jx ϑ2 + 2mgs cos ϑ = 2E = const
Кафедра ТМ (СГАУ)
Случай Лагранжа
10 ноября 2013 г.
13 / 29

14. Решения уравнений
Частные случаи
Регулярная прецессия
Регулярная прецессия – движение с
постоянной величиной угла
нутации ϑ = const.
Из уравнений движения и
интеграла
С
˙
ϕ + ψ cos ϑ = ωz = const
˙
следует, что
˙
ψ = const, ϕ = const.
˙
O
Кафедра ТМ (СГАУ)
Ось симметрии тела описывает
конус с вертикальной осью z1
Случай Лагранжа
10 ноября 2013 г.
14 / 29

15. Решения уравнений
Частные случаи
Регулярная прецессия
¨
При ϑ = 0 уравнение
¨
˙
˙
Jx ϑ + (Jz ωz − Jx ψ cos ϑ)ψ sin ϑ − mgs sin ϑ = 0
˙
принимает вид квадратного уравнения относительно ψ (sin ϑ = 0):
˙
˙
ψ 2 Jx cos ϑ − ψJz ωz + mgs = 0,
с решениями

 Jz ωz



˙ 1,2 = 2Jx cos ϑ0
ψ
 mgs



,
J z ωz
Кафедра ТМ (СГАУ)
1±
1−
4Jx mgs cos ϑ0
2 2
Jz ωz
, если cos ϑ0 = 0
если cos ϑ0 = 0
Случай Лагранжа
10 ноября 2013 г.
15 / 29

16. Решения уравнений
Частные случаи
Регулярная прецессия: cos ϑ0 = 0
cos ϑ0 = 0
mgs
˙
ψ=
Jz ωz
Кафедра ТМ (СГАУ)
Случай Лагранжа
10 ноября 2013 г.
16 / 29

17. Решения уравнений
Частные случаи
Регулярная прецессия: cos ϑ0 < 0
cos ϑ0 < 0
˙
ψ1,2 =
J z ωz
2Jx cos ϑ0
1±
1−
4Jx mgs cos ϑ0
2 2
Jz ωz
˙ ˙
Корни ψ1 , ψ2 положительные для любых значений ϑ = ϑ0
Кафедра ТМ (СГАУ)
Случай Лагранжа
10 ноября 2013 г.
17 / 29

18. Решения уравнений
Частные случаи
Регулярная прецессия: cos ϑ0 > 0
cos ϑ0 > 0
˙
ψ1,2 =
J z ωz
2Jx cos ϑ0
1±
1−
4Jx mgs cos ϑ0
2 2
Jz ωz
Регулярная прецессия возможно только для достаточно больших
значений ωz , при которых подкоренное выражение положительно:
1−
Кафедра ТМ (СГАУ)
4Jx mgs cos ϑ0
>0
2 2
Jz ωz
Случай Лагранжа
10 ноября 2013 г.
18 / 29

19. Решения уравнений
Общее решение
Общее решение
1
Из второго интеграла:
˙
Jx ψ sin2 ϑ + Jz ωz cos ϑ = L
˙
выразим ψ
L − Jz ωz cos ϑ
˙
ψ=
.
Jx sin2 ϑ
2
˙
Подставив ψ в интеграл энергии, получим дифференциальное
уравнение для ϑ:
(L − Jz ωz cos ϑ)2
2
˙
Jx ϑ2 = 2E − Jz ωz − 2mgs cos ϑ −
Jx sin2 ϑ
Кафедра ТМ (СГАУ)
Случай Лагранжа
10 ноября 2013 г.
(11)
19 / 29

20. Решения уравнений
Общее решение
Общее решение
3
Замена переменных:
˙
u = cos ϑ, u = −ϑ sin ϑ.
˙
4
(12)
Уравнение движения для ϑ:
(L − Jz ωz cos ϑ)2
2
˙
.
Jx ϑ2 = 2E − Jz ωz − 2mgs cos ϑ −
Jx sin2 ϑ
5
Уравнение движения для u:
u2 =
˙
2
(2E − Jz ωz − 2mgsu)(1 − u2 ) (L − Jy ωz u)2
−
2
Jx
Jx
(13)
полином 3 степени от u
Кафедра ТМ (СГАУ)
Случай Лагранжа
10 ноября 2013 г.
20 / 29

21. Решения уравнений
Общее решение
Корни полинома правой части уравнения (13)
u2 =
˙
2
(2E − Jz ωz − 2mgsu)(1 − u2 ) (L − Jz ωz u)2
−
2
Jx
Jx
при u = ±1 правая часть
принимает отрицательные
значения,
при u → ∞, правая часть
бесконечно возрастает.
Существует 1 вещественный корень u3 > 1
На интервале [−1; 1] существует или два вещественных корня или
или один двойной вещественный u2 , u3 .
Кафедра ТМ (СГАУ)
Случай Лагранжа
10 ноября 2013 г.
21 / 29

22. Решения уравнений
Общее решение
Общее решение
6
Располагая корни полинома u1 ≤ u2 < u3 приведем уравнение
u2 =
˙
2
(2E − Jz ωz − 2mgsu)(1 − u2 ) (L − Jy ωz u)2
−
2
Jx
Jx
к виду
u2 =
˙
Кафедра ТМ (СГАУ)
2mgs
(u − u1 )(u − u2 )(u − u3 )
Jx
Случай Лагранжа
10 ноября 2013 г.
(14)
22 / 29

23. Решения уравнений
Общее решение
Общее решение
u2 =
˙
7
2mgs
(u − u1 )(u − u2 )(u − u3 )
Jx
Выполняя замену переменных
u = u1 + (u2 − u1 )v 2 ,
(15)
получим уравнение
v2 =
˙
mgs
(u3 − u1 )(1 − v 2 )(1 − k 2 v 2 )
2Jx
где
0 ≤ k2 =
Кафедра ТМ (СГАУ)
(16)
u2 − u1
≤1
u3 − u1
Случай Лагранжа
10 ноября 2013 г.
23 / 29

24. Решения уравнений
Общее решение
Общее решение
Получено дифференциальное уравнение с разделяющимися
переменными:
v2 =
˙
mgs
(u3 − u1 )(1 − v 2 )(1 − k 2 v 2 )
2Jx
(17)
Решение уравнения записывается при помощи эллиптического
интеграла 1-го рода
v
=
v0
dv
(1 − v 2 )(1 − k 2 v 2 )
= (t − t0 )
(u3 − u1 )mgs
=τ ⇒
2Jx
(18)
v = sn τ
Кафедра ТМ (СГАУ)
Случай Лагранжа
10 ноября 2013 г.
24 / 29

25. Решения уравнений
Общее решение
Решение для угла ϑ
Решение для угла ϑ имеет вид:
cos ϑ = cos ϑ1 + (cos ϑ2 − cos ϑ1 )sn2 τ
(19)
Постоянные ϑ1 , ϑ2 определяют минимальное и максимальное значение
ϑ и вычисляются следующим образом:
(20)
cos ϑ1 = u1 , cos ϑ2 = u2
Кафедра ТМ (СГАУ)
Случай Лагранжа
10 ноября 2013 г.
25 / 29

26. Решения уравнений
Общее решение
Решения для углов ψ и ϕ
L − Jz ωz cos ϑ
˙
ψ=
Jx (1 − cos2 ϑ)
˙
ϕ = ωz − ψ cos ϑ
˙
Кафедра ТМ (СГАУ)
(21)
(22)
Случай Лагранжа
10 ноября 2013 г.
26 / 29

27. Решения уравнений
Общее решение
Пример 1
30
28
,
o
26
24
22
20
0
1
2
3
4
5
t, c
100
Ψ,
o
c
50
0
50
Jx = Jy = 1, Jz = 3, m = 1, g = 10,
˙
s = 0.5, ωz = 3, ϑ0 = π/6, ψ = 2.
100
0
1
2
3
4
5
t, c
Кафедра ТМ (СГАУ)
Случай Лагранжа
10 ноября 2013 г.
27 / 29

28. Решения уравнений
Общее решение
Пример 2
30.0
,
o
29.5
29.0
28.5
0
1
2
3
4
3
4
5
t, c
45
Ψ,
o
c
40
Jx = Jy = 1, Jz = 3, m = 1, g = 10,
˙
s = 0.5, ωz = 3, ϑ0 = π/6, ψ = 0.8.
35
30
25
0
1
2
5
t, c
Кафедра ТМ (СГАУ)
Случай Лагранжа
10 ноября 2013 г.
28 / 29

29. Решения уравнений
Общее решение
Список использованных источников
Й. Виттенбург.
Динамика систем твердых тел.
Мир, M., 1980.
Кафедра ТМ (СГАУ)
Случай Лагранжа
10 ноября 2013 г.
29 / 29