Квалификационная работа бакалавра Пиякиной Е. Е. Научный руководитель: Безгласный С. П.

1. Федеральное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
имени академика С.П. КОРОЛЁВА»
(национальный исследовательский университет)
Кафедра теоретической механики
Управление маневрированием тросовой системы с помощью подвижной массы
Студент: Пиякина Екатерина Евгеньевна
snait2009@yandex.ru
Научный руководитель: к.ф.-м.н., доцент Безгласный Сергей Павлович
bezglasnsp@rambler.ru
Самара 2013

2. Актуальность работы
Схема транспортировки груза с одной орбиты на другую ( орбитальное
маневрирование ) с помощью КТС [4]
Рисунок 1 - Схема маневрирования
Кафедра ТМ (СГАУ) 20 июня 2013 г. 2 / 18

3. Цель работы - диаметральная переориентация КТС
Задачи:
1) Вывод уравнения движения КТС;
2) Иссдедовать управляемые движения КТС;
3) Обосновать асимптотическую сходимость подбором
соответствующей функции Ляпунова;
4) Проиллюстрировать заданные движения КТС численным
интегрированием уравнений.
Кафедра ТМ (СГАУ) 20 июня 2013 г. 3 / 18

4. Постановка задачи
Рисунок 2 - Схема КТС
m1 - противовес
m2 - полезный груз
m3 - подвижный груз
O1 - центр масс противовеса и
полезного груза
O2 - центр масс всей КТС
Кафедра ТМ (СГАУ) 20 июня 2013 г. 4 / 18

5. Параметрические характеристики системы
(m1 + m2)d = m3(l − d)
d = m3l
(m1+m2+m3)
yc = m1y1+m2y2
(m1+m2)



y1
y2
= m2
m1
,
y1 + y2 = L.
(1)
y1 =
Lm2
m1 + m2
; y2 =
Lm1
m1 + m2
(2)
Кафедра ТМ (СГАУ) 20 июня 2013 г. 5 / 18

6. Моменты инерции спутника
Моменты инерции КТС без подвижной массы относительно O1
B1 = 0;
A1 = C1 = m1y2
1 + m2y2
2 =
L2m2
2
(m1+m2)2 ;
Моменты инерции троса с подвижным грузом относительно осей,
проходящих через общий центр масс O2
B2 = 0
A2 = C2 = m1(y1 + d)2
m2(y2 − d)2
+ m3(l − d)2
= A1 + ml2
, (3)
где m = (m1+m2)m3
m1+m2+m3
Кафедра ТМ (СГАУ) 20 июня 2013 г. 6 / 18

7. Плоские движения КТС на орбите
Плоские движения, согласно [2]
ψ = π, θ = π
2 , r = ˙ϕ + ˙ν, p = q = 0
p, q, r - компоненты угловой скорости вращения тросовой системы
Гравитационный момент
Mz = 3n2
k2
1k3
2(B2 − A2) sin ϕ cos ϕ, (4)
k1 = (1 − e2)−3
2 , k2 = 1 + e cos ν
Кинетический момент
Kz = C2r = (A1 + ml2
) (5)
Кафедра ТМ (СГАУ) 20 июня 2013 г. 7 / 18

8. Уравнения движения КТС с подвижной массой
(A1 + ml2
)( ¨ϕ + ¨ν) + 2ml˙l( ˙ϕ + ˙ν) = −3n2
k2
1k3
2(A1 + ml2
) sin ϕ cos ϕ (6)
˙ν = nk1k2
2
Запишем первую и вторую производные по величине ϕ
˙ϕ = ϕ nk1k2
2, ¨ϕ = n2k2
1k3
2[k2ϕ − 2e sin νϕ ]
k2ϕ + 2(
mll
A1 + ml2
− e sin ϕ cos ϕ)ϕ = −3 sin ϕ cos ϕ−
− 2(
mll
A1 + ml2
− e sin ϕ cos ϕ)
(7)
Для круговой орбиты e = 0, k2 = 1 :
ϕ + 2
mll
A1 + ml2
ϕ = −3 sin ϕ cos ϕ − 2
mll
A1 + ml2
(8)
Кафедра ТМ (СГАУ) 20 июня 2013 г. 8 / 18

9. Раскачка КТС
Зададим управление в виде [1]:
l = l0 − aϕ sin ϕ, (9)
l = −aϕ sin ϕ − aϕ 2
cos ϕ, (10)
a = const > 0
ϕ + 2
m(l0 − aϕ sin ϕ)l
A1 + m(l0 − aϕ sin ϕ)2
ϕ = −3 sin ϕ cos ϕ−
− 2
m(l0 − aϕ sin ϕ)l
A1 + m(l0 − aϕ sin ϕ)2
(11)
Кафедра ТМ (СГАУ) 20 июня 2013 г. 9 / 18

10. Изменение угла ϕ
Раскачиваясь в окрестности положения ϕ = 0 относительного
равновесия, тросовая система переворачивается на угол π и совершает
асимптотически затухающие колебания в окрестности его
противоположного относительного равновесия ϕ = π на орбите.
Рисунок 3 - График изменения угла ϕ от t
Кафедра ТМ (СГАУ) 20 июня 2013 г. 10 / 18

11. Фазовый портрет
m1 = 1000, m2 = m3 = 10, L = 10000, l0 = 6600, a = 550
ϕ(t0) = π
15, ˙ϕ(t0) = 0.1
Рисунок 4 - Фазовый портрет (ϕ, ˙ϕ)
Кафедра ТМ (СГАУ) 20 июня 2013 г. 11 / 18

12. График зависимости l от ϕ
m1 = 1000, m2 = m3 = 10, L = 10000, l0 = 6600, a = 550
ϕ(t0) = π
15, ˙ϕ(t0) = 0.1
Рисунок 5 - График зависимсти l(ϕ)
Кафедра ТМ (СГАУ) 20 июня 2013 г. 12 / 18

13. Успокоение КТС после переворота
x = ϕ − π
l = l0 + a sin x · ˙x
Уравнения движения для круговой орбиты
(x+π) +2
mll
A1 + ml2
(x+π) = −3 sin(x+π) cos(x+π)−2
mll
A1 + ml2
(12)
Кафедра ТМ (СГАУ) 20 июня 2013 г. 13 / 18

14. Функция Ляпунова
V =
A1 + ml0(l0 + 3aϕ sin ϕ + 4a sin ϕ)
2
ϕ 2
+
3
4
(A1 − ml0·
· (l0 +
a
2
ϕ sin ϕ))(1 − cos 2ϕ)ϕ + p(1 − cos 2ϕ)ϕ
(13)
Рисунок 6 - График функции Ляпунова
Кафедра ТМ (СГАУ) 20 июня 2013 г. 14 / 18

15. Производная функции Ляпунова
˙V = −
9
4
Fϕ4
+ [−6(F − p)ϕ2
+
+
12F2
G
ϕ3
]ϕ −
21
4
Fϕ2
ϕ 2
−
−
4F2
G
ϕϕ 3
−
1
2
Fϕ 4
,
(14)
где F = ml0a, G = A1 + ml2
0
p = F
Рисунок 7 - График производной
функции Ляпунова
Кафедра ТМ (СГАУ) 20 июня 2013 г. 15 / 18

16. Результаты
1) Получено уравнение плоских движений КТС с подвижной массой;
2) Подобрана функция Ляпунова;
3) Проведено численное интегрирование уравнений движения КТС с
подвижной массой.
Кафедра ТМ (СГАУ) 20 июня 2013 г. 16 / 18

17. Список литературы
1) Асланов В.С., Безгласный С.П. Гравитационная стабилизация
спутника с помощью подвижной массы 2012. 565-575 с.;
2) Белецкий В.В. Движение спутника относительно центра масс в
гравитационном поле. М.:Изд. МГУ, 1975.308 с.;
3) Белецкий В.В., Левин Е.М. Динамика космических тросовых
систем. М.:Наука, 1990.329 с.;
4) Сидоров И.М. О применении тросовых систем для создания
постоянно действующего транспортного канала в космическом
пространстве 36-39 с.;
Кафедра ТМ (СГАУ) 20 июня 2013 г. 17 / 18

18. СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!
Кафедра ТМ (СГАУ) 20 июня 2013 г. 18 / 18