1. Кинематика
Кинематика точки
Кафедра теоретической механики
yudintsev@termech.ru
Самарский государственный аэрокосмический университет
им. академика С. П. Королёва
(национальный исследовательский университет)
30 марта 2012 г.
2. Содержание
1 Способы задания движения точки
Естественный способ задания движения
Векторный способ задания движения
Координатный способ задания движения
2 Скорость точки
Скорость при векторном способе задания движения
Скорость при естественном способе задания движения
Скорость при координатном способе задания движения
3 Ускорение точки
Ускорение при векторном способе задания движения
Ускорение при естественном способе задания движения
Ускорение при координатном способе задания движения
4 Частные случаи
Кафедра ТМ (СГАУ) Кинематика 30 марта 2012 г. 2 / 26
3. Способы задания движения точки
Траектория
С течением времени движущаяся точка описывает в пространстве
некоторую кривую - траекторию.
Траектория - это геометрическое место точек положений
движущейся точки.
Траектории бывают прямолинейные и криволинейные.
Изучение движения точки есть определение её положения в
заданной системе координат в заданный момент времени,
определение скорости и ускорения.
Кафедра ТМ (СГАУ) Кинематика 30 марта 2012 г. 3 / 26
4. Способы задания движения точки
Три способа задания движения точки:
естественный;
координатный;
векторный.
Кафедра ТМ (СГАУ) Кинематика 30 марта 2012 г. 4 / 26
5. Способы задания движения точки Естественный способ задания движения
Если известна траектория движения точки, то её положение на
траектории может задаваться криволинейной координатой s:
s = f (t)
Если известна траектория точки направление отчета s на
траектории и закон ее движения s = f (t), то движение точки
задано.
Кафедра ТМ (СГАУ) Кинематика 30 марта 2012 г. 5 / 26
6. Способы задания движения точки Векторный способ задания движения
Положение точки может задаваться вектором, проведенным из
выбранного неподвижного центра O.
r = r (t)
Траектория точки будет определятся как геометрическое место
точек концов радиус-вектора r (годограф).
Кафедра ТМ (СГАУ) Кинематика 30 марта 2012 г. 6 / 26
7. Способы задания движения точки Координатный способ задания движения
При координатном способе положение точки в пространстве может
быть задано, например, тремя координатами в прямоугольной
декартовой системе координат:
x = f1 (t),
y = f2 (t), (1)
z = f3 (t).
Эти уравнения можно рассматривать как параметрическое
уравнения кривой - траектории точки.
Кафедра ТМ (СГАУ) Кинематика 30 марта 2012 г. 7 / 26
8. Способы задания движения точки Координатный способ задания движения
Исключив из уравнений время, можно получить уравнение
траектории в координатной форме. Пусть, например, уравнение
движения точки задано в виде:
x = a cos(t),
y = b sin(t), (2)
z = 0,
Возведя в квадрат, и затем сложив первое и второе уравнения,
получим уравнение эллипса на плоскости OXY :
x2 y2
+ 2 = 1.
a2 b
Кафедра ТМ (СГАУ) Кинематика 30 марта 2012 г. 8 / 26
9. Скорость точки
Для оценки быстроты изменения положения точки и определения
направления ее движения вводится понятие скорости.
Скорость - это векторная величина, характеризующая быстроту
движения точки в данной системе отчета.
Кафедра ТМ (СГАУ) Кинематика 30 марта 2012 г. 9 / 26
10. Скорость точки Скорость при векторном способе задания движения
Вектор скорости точки в данный момент времени равен производной
радиус-вектора точки по времени.
∆r dr
v = lim = .
∆t→0 ∆t dt
Кафедра ТМ (СГАУ) Кинематика 30 марта 2012 г. 10 / 26
11. Скорость точки Скорость при естественном способе задания движения
Пусть положение точки на известной траектории задается
функцией времени s = f (t), тогда
dr dr d r ds
v= = =
dt dt ds dt
где
dr ∆r
= lim = tau.
ds ∆s→0 ∆s
τ всегда направлен по касательной в сторону увеличения
координаты s.
Кафедра ТМ (СГАУ) Кинематика 30 марта 2012 г. 11 / 26
12. Скорость точки Скорость при естественном способе задания движения
Кафедра ТМ (СГАУ) Кинематика 30 марта 2012 г. 12 / 26
13. Скорость точки Скорость при естественном способе задания движения
ds
dt представляет собой алгебраическую величину скорости.
Если обозначить единичный вектор dr (s) как τ , то вектор скорости
dt
можно записать следующим образом:
ds
v =τ .
dt
Первый множитель задает направление скорости - по касательной
к траектории, второй - ее величину.
ds
Направление скорости определяется знаком функции dt .
Кафедра ТМ (СГАУ) Кинематика 30 марта 2012 г. 13 / 26
14. Скорость точки Скорость при координатном способе задания движения
x = f1 (t),
y = f2 (t),
z = f3 (t).
r = ix + jx + kz
Кафедра ТМ (СГАУ) Кинематика 30 марта 2012 г. 14 / 26
15. Скорость точки Скорость при координатном способе задания движения
dr d (ix + jx + kz) dx dy dz
v= = = i+ j + k.
dt dt dt dt dt
v = vx i + vy j + vz k.
dx dy dz
vx = , vy = , vz = .
dt dt dt
Модуль скорости:
v= 2 2 2
vx + vy + vz ,
Направление вектора скорости по отношению к осям координат
(направляющие косинусы):
vx vy vz
cos( v , i) = , cos( v , j) = , cos( v , k) = .
v v v
Кафедра ТМ (СГАУ) Кинематика 30 марта 2012 г. 15 / 26
16. Ускорение точки
При неравномерном и криволинейном движении меняется как
модуль так и направление вектора скорости.
Ускорение точки характеризует быстроту изменения направления
и модуля скорости точки.
Кафедра ТМ (СГАУ) Кинематика 30 марта 2012 г. 16 / 26
17. Ускорение точки Ускорение при векторном способе задания движения
Среднее ускорение за интервал времени ∆t есть отношение
приращения скорости к интервалу ∆t:
∆v
acp = .
∆t
Кафедра ТМ (СГАУ) Кинематика 30 марта 2012 г. 17 / 26
18. Ускорение точки Ускорение при векторном способе задания движения
Вектор среднего ускорения acp лежит в плоскости треугольника,
образованного векторами v , v1 и ∆v .
При стремлении точки M1 к M эта плоскость занимает свое
предельное положение и называется соприкасающейся плоскостью.
Кафедра ТМ (СГАУ) Кинематика 30 марта 2012 г. 18 / 26
19. Ускорение точки Ускорение при векторном способе задания движения
Естественные координатные оси:
касательная, направленная в сторону возрастания дуговой
координаты,
главная нормаль, направленная в сторону вогнутости кривой,
бинормаль, образующая с осями τ , n правую тройку векторов.
Кафедра ТМ (СГАУ) Кинематика 30 марта 2012 г. 19 / 26
20. Ускорение точки Ускорение при естественном способе задания движения
dv d τ ds d 2s
a= = +τ 2
dt dt dt dt
dτ dτ ds
dt = ds dt .
K = dτ - вектор кривизны.
ds
|K | = lim∆s→0 |∆τ | = lim∆s→0 ∆s
∆s
ε 1
= ρ.
ρ – радиус кривизны траектории в точке.
Кафедра ТМ (СГАУ) Кинематика 30 марта 2012 г. 20 / 26
21. Ускорение точки Ускорение при естественном способе задания движения
dτ d τ ds 1 ds
= =n
dt ds dt ρ dt
dv d τ ds d 2s v2 d 2s
a= = +τ 2 =n +τ 2. (3)
dt dt dt dt ρ dt
Ускорение точки складывается из двух векторов: вектора,
направленного по нормали к траектории и вектора, направленного
по касательной к траектории:
a = an + aτ ,
an - вектор нормального ускорения,
aτ - вектор касательного ускорения.
Кафедра ТМ (СГАУ) Кинематика 30 марта 2012 г. 21 / 26
22. Ускорение точки Ускорение при естественном способе задания движения
при прямолинейном движении
радиус кривизны траектории
равен бесконечности и an = 0.
aτ = 0 лишь в том случае,
если точка движется по
траектории с постоянной
величиной скорости.
Если |v | = const, но точка
двигается по криволинейной
траектории, то полное
ускорение точки отлично от
нуля, поскольку изменяется
направление вектора скорости.
Кафедра ТМ (СГАУ) Кинематика 30 марта 2012 г. 22 / 26
23. Ускорение точки Ускорение при координатном способе задания движения
Радиус-вектор точки определяется при помощи в неподвижной
системе координат:
r = ix + jx + kz.
Вектор ускорения и его проекции на оси координат:
dx dy dz
a=i +j +k .
dt dt dt
dvx dvy dvz
ax = , ay = , az = ,
dt dt dt
или
d 2x d 2y d 2z
ax = , ay = 2 , az = 2 .
dt 2 dt dt
Кафедра ТМ (СГАУ) Кинематика 30 марта 2012 г. 23 / 26
24. Ускорение точки Ускорение при координатном способе задания движения
Полное ускорение
a= 2 2 2
ax + ay + az .
Касательное ускорение
d 2 2 2
vx ax + vy ay + vz az
|aτ | = vx + vy + vz = .
dt 2 2 2
vx + vy + vz
Нормальное ускорение
an = a 2 − aτ .
2
Кафедра ТМ (СГАУ) Кинематика 30 марта 2012 г. 24 / 26
26. Частные случаи
Равнопеременное движение
dv
aτ = const, aτ = ⇒ aτ dt = dv ⇒ v = v0 + aτ (t − t0 ).
dt
Если в начальный момент времени t0 = 0, то выражение для скорости
точки примет вид:
v = v0 + aτ t .
Проинтегрировав последнее выражение, найдем пройденный путь:
t s t s
ds
v= ⇒ vdt = ds ⇒ vdt = ds ⇒ (v0 + aτ t)dt = ds
dt 0 s0 0 s0
aτ t 2 aτ t 2
v0 t + = s − s0 ⇒ s = s0 + v0 t +
2 2
Кафедра ТМ (СГАУ) Кинематика 30 марта 2012 г. 26 / 26
