Презентация квалификационной работы бакалавра Платошина Игоря Вячеславовича. Научный руководитель: Асланов Владимир Степанович.

1. Федеральное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
имени академика С.П. КОРОЛЁВА»
(национальный исследовательский университет)
Кафедра теоретической механики
Динамика тросовой системы, закрепленной на астероиде
Студент: Платошин Игорь Вячеславович
e-mail: porshen-mobile@yandex.ru
Научный руководитель: д.т.н., профессор Асланов В.С.
e-mail: aslanov_vs@mail.ru
Самара 2013

2. Цель и задачи работы
Цель
Определение областей срыва концевого груза в свободное движение
Задачи
1) Составить математическую модель механической системы;
2) Построить фазовые портреты движения КТС;
3) Определить условия срыва КТС в свободное движение
Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 2 / 27

3. Постановка задачи
Рисунок 1 – Схема механической системы
Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 3 / 27

4. Допущения
1) Масса концевого груза много меньше массы астероида
m M; (1)
2) Центр масс механической системы движется прямолинейно и
равномерно;
3) трос является абсолютно неупругим и невесомым
l = const.
Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 4 / 27

5. Математическая модель
Кинетическая энергия системы
Кинетическая энергия системы состоит из кинетической энергии T0
астероида и кинетической энергии T1 концевого груза:
T = T0 + T1. (2)
Кинетическая энергия астероида
T0 =
1
2
MV0 · V0 +
1
2
I ˙α2
. (3)
Кинетическая энергия груза
T1 =
1
2
m(V0 + Ve + Vr) · (V0 + Ve + Vr). (4)
Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 5 / 27

6. Математическая модель
Схема скоростей системы
Рисунок 2 – Скорости точек
Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 6 / 27

7. Математическая модель
Скорости в механической системе
Скорость центра масс астероида
V0 =
V0
0
. (5)
Скорость движения точки закрепления троса относительно ЦМ
астероида
Ve =
−r0 ˙α sin α
r0 ˙α cos α
. (6)
Скорость движения груза относительно точки закрепления троса
Vr =
−l( ˙α + ˙β) sin(α + β)
l( ˙α + ˙β) cos(α + β)
. (7)
Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 7 / 27

8. Математическая модель
Потенциальная энергия системы
Предположим, что астероид действует на груз своим гравитационным
полем. Тогда потенциальная энергия системы состоит только из
потенциальной энергии груза
Π = −mU, (8)
где U – гравитационный потенциал астероида.
В связанной с астероидом системе координат гравитационный
потенциал имеет вид
U =
GM
r1
1 −
r0
r1
2
J2
2
+ 3C22 cos 2λ . (9)
Здесь r0 - расстояние от центра масс астероида до точки крепления
троса;
r1 - расстояние от центра масс астероида до груза;
λ - текущая долгота груза;
α0 - начальная долгота груза.
Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 8 / 27

9. Математическая модель
Функция Лагранжа
Из выражения кинетической и потенциальной энергии составим
лагранжиан системы
L = T − Π =
1
2
MV 2
0 +
1
2
I ˙α2
+
1
2
m(V 2
0 + r2
0 ˙α2
+ l2
( ˙α + ˙β)2
+
+ 2V0l( ˙α + ˙β) cos α + 2r0 ˙αl( ˙α + ˙β) cos β + 2V0r0 ˙α cos(α + β))+
+
GM
(r2
0 + l2 + 2lr0 cos β)5/2
(r2
0 + l2
+ 2lr0 cos β)2
+
+
J2
2
r2
0(r2
0 + l2
+ 2lr0 cos β) + 3C22r4
0 cos 2α0+
+3C22r2
0(2r0l cos(2α0 + β) + l2
cos 2(α0 + β)) . (10)
Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 9 / 27

10. Математическая модель
Уравнения движения
Используя полученную функцию Лагранжа (10), составим уравнения
движения механической системы



I + mr2
1 ¨α + ml(l + r0 cos β)¨β − mlr0
˙β(2 ˙α + ˙β) sin β = 0,
ml(l + r0 cos β)¨α + ml2 ¨β + mlr0 ˙α2 sin β =
= GMm(r2
0 + l2 + 2lr0 cos β)−7/2 lr0(r2
0 + l2 + 2lr0 cos β)2 sin β−
−3
2J2lr3
0(r2
0 + l2 + 2lr0 cos β) sin β+
+15C22lr3
0 sin β(r2
0 cos 2α0 + 2r0l cos(2α0 + β) + l2 cos 2(α0 + β))−
−6C22r2
0(r2
0 + l2 + 2lr0 cos β)(r0l sin(2α0 + β) + l2 sin 2(α0 + β)) .
(11)
Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 10 / 27

11. Преобразование первого уравнения
Поделив первое уравнение системы (11) на массу астероида М,
получим
I
M
+
m
M
r2
1 ¨α +
m
M
l(l + r0 cos β)¨β −
m
M
lr0
˙β(2 ˙α + ˙β) sin β = 0 (12)
При допущении (1) имеем I
M r2
0, m
M 1. Тогда из (12) получим
¨α = 0,
α = ωt + α0. (13)
Получено равномерное вращение астероида
Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 11 / 27

12. Преобразование второго уравнения
Подставив (13) во второе уравнение (11), получим
ml2 ¨β + mlr0ω2
sin β − GMm
lr0 sin β
r3
1
− C20
3lr3
0 sin β
2r5
1
−
+3C22
lr0 sin β
r3
1
cos 2λ − 6C22(l2
+ lr0 cos β)
sin 2λ
r3
1
= 0. (14)
Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 12 / 27

13. Переход к безразмерным величинам
Приведем уравнение (14) к безразмерным величинам. Для этого
разделим все уравнение на ml2, отнесем линейные величины к
характерному размеру астероида r0 и введем безразмерное время τ:
ˆl =
l
r0
, ˆr1 =
r1
r0
, τ =
ωt
2π
. (15)
β +
4π2
ˆl
sin β −
Λ
ˆl(1 + ˆl2 + 2ˆl cos β)7/2
(1 + ˆl2
+ 2ˆl cos β)2
sin β−
−
3
2
J2(1 + ˆl2
+ 2ˆl cos β) sin β+
+ 15C22 sin β(cos 2α0 + 2ˆl cos(2α0 + β) + ˆl2
cos 2(α0 + β))−
−6C22(1 + ˆl2
+ 2ˆl cos β)(sin(2α0 + β) + ˆl sin 2(α0 + β)) = 0, (16)
где Λ = 4π2GM
ω2r3
0
.
Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 13 / 27

14. Уравнение фазовых траекторий
Из уравнения (16) выражение для фазовых траекторий может быть
получено аналитически:
1
2
(β 2
− β
2
0) =
4π
ˆl
(cos β − cos β0)+
+
Λ
ˆl2
1
ˆr1
−
1
ˆr10
−
J2
2
1
ˆr3
1
−
1
ˆr3
10
+
+
3C22
ˆr3
1
(cos 2α0 + 2ˆl cos(2α0 + β) + ˆl2
cos 2(α0 + β)−
−
3C22
ˆr3
10
(cos 2α0 + 2ˆl cos(2α0 + β0) + ˆl2
cos 2(α0 + β0) . (17)
Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 14 / 27

15. Параметры системы
M = 2, 7 · 1010 кг – масса астероида,
m = 3 · 103 кг – масса концевого груза,
r0 = 325 м – характерный радиус астероида,
ω = 7 · 10−4 рад/с – угловая скорость астероидаб
l = kr0 – длина троса.
Рассмотрим три случая:
1) C20 = C22 = 0;
2) C20 = 0, C22 = 0, α0 = 0;
3) C20 = 0, C22 = 0, α0 = 0
Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 15 / 27

16. Фазовые портреты (β, ˙β). Случай 1
k = 1
k = 1, 8
k = 1, 5
k = 3
Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 16 / 27

17. Фазовые портреты (β, ˙β). Случай 2
k = 1
k = 1, 8
k = 1, 5
k = 3
Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 17 / 27

18. Фазовые портреты (β, ˙β). Случай 3
k = 1
k = 1, 8
k = 1, 5
k = 3
Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 18 / 27

19. Определение силы натяжения троса
Уравнение движения груза
Для определения силы натяжения троса составим уравнения движения
отдельного груза в системе координат, связанной с астероидом
mw = F + T + Φ, (18)
F – сила тяжести груза в гравитационном поле астероида, T – сила
натяжения троса, Φ – сила инерции, вызванная вращением СК.
Ускорение груза состоит из центростремительного и касательного
ускорения груза относительно точки крепления
w = wкас + wц, (19)
wкас = ¨βl, wц = ˙β2
l.
Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 19 / 27

20. Силы и ускорения груза
Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 20 / 27

21. Сила тяжести груза
Определим силу тяжести груза через гравитационный потенциал
F = m grad U. (20)
Запишем вектор F в ДСК
F =
m
r1


(r0 cos α0 + l cos(α0 + β)) ∂U
∂r1
− l sin(α0 + β) ∂U
r1∂λ
l sin(α0 + β) ∂U
∂r1
+ (r0 cos α0 + l cos(α0 + β)) ∂U
r1∂λ

 . (21)
Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 21 / 27

22. Уравнения движения
Спроектировав векторное уравнение (18) и подставив соотношения
(19), получим систему двух скалярных уравнений



−m(¨βl sin(α0 + β) + (ω + ˙β)2l cos(α0 + β)) =
= m
r1
(r0 cos α0 + l cos(α0 + β)) ∂U
∂r1
− l sin(α0 + β) ∂U
r1∂λ −
−T cos(α0 + β) + mω2r0 cos α0,
m(¨βl cos(α0 + β) − (ω + ˙β)2l sin(α0 + β)) =
= m
r1
l sin(α0 + β) ∂U
∂r1
+ (r0 cos α0 + l cos(α0 + β)) ∂U
r1∂λ −
−T sin(α0 + β) + mω2r0 sin α0.
(22)
Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 22 / 27

23. Сила натяжения троса
Выразив из (22) получим силу нятяжения троса
T = m(ω + ˙β)2
l + mω2
r0 cos β+
+
m
r1
(r0 cos α0 cos(α0 + β) + l)
∂U
∂r1
+ r0 cos α0 sin(α0 + β)
∂U
r1∂λ
.
(23)
После выичсления производных получим
T = m(ω + ˙β)2
l + mω2
r0 cos β − GMm(r2
0 + l2
+ 2r0l cos β)−3/2
×
× (r0 cos α0 cos(α0 + β) + l) 1 + 3
r2
0
r2
0 + l2 + 2r0l cos β
J2
2
+ 3C22 cos 2λ +
+
r2
0
r2
0 + l2 + 2r0l cos β
r0 cos α0 sin(α0 + β)C22 sin 2λ . (24)
Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 23 / 27

24. Области срыва. Случай 1
k = 1
k = 1, 8
k = 1, 5
k = 3
Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 24 / 27

25. Области срыва. Случай 2
k = 1
k = 1, 8
k = 1, 5
k = 3
Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 25 / 27

26. Области срыва. Случай 3
k = 1
k = 1, 8
k = 1, 5
k = 3
Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 26 / 27

27. Спасибо за внимание
Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 27 / 27