Документ представляет лекцию по кинематики, охватывающую вычисление скорости и ускорения движущихся точек с использованием векторных и координатных подходов. Он объясняет основные понятия, такие как алгебраическая скорость и модуль ускорения, а также вводит концепцию радиуса кривизны и естественных координатных осей. Лекция также включает формулу Серра-Френе для описания движений в пространстве.

1. Кинематика Лекция 9
1. Вычисление скорости при естественном способе задания движения





 ∆r ∆ σ 
∆r
∆σ
∆ r dσ d r
V = lim
= lim 
⋅
⋅ lim
=
⋅
.
 = lim
∆t → 0 ∆t
∆t → 0 ∆σ ∆t  ∆t → 0 ∆t ∆σ → 0 ∆σ
dt dσ
∆σ>0
∆σ<0
M
+

r
O
–

r1
O1

∆r
∆σ

τ

∆r
∆σ
M1
∆σ
M1

V

∆r
+
O
–

r1

V
M

r
O1
a)



∆r
dr
∆r
= lim
= lim
= 1,
dσ ∆σ →0 ∆σ ∆σ →0 ∆σ
б)


∆ r dr 
lim
=
=τ
∆σ → 0 ∆ σ
dσ

∆r
∆σ

τ

2. Кинематика Лекция 9
Вектор скорости точки при естественном способе задания движения
равен
 dσ 

V = τ =σ .
τ
(1.15)
dt

Скалярная величина σ представляет собой проекцию вектора
скорости точки на касательную к ее траектории
 
Vτ =V ⋅τ =σ

(1.16)
и называется алгебраической скоростью точки.
Если Vτ >0 , то точка движется в положительном направлении
отсчета σ если же Vτ <0 , то точка движется в отрицательном
,
направлении.
Модуль скорости точки равен
V =Vτ =σ.

(1.17)

3. Кинематика Лекция 9
1.3. Ускорение точки
1.
Определение ускорения и его вычисление при векторном
способе задания движения


∆V

aсp =
.
V
∆t
M1
М
Ускорением точки в момент


времени t называется векторная
V1
V1

a,
величина
к
которой


стремится среднее ускорение aс р
∆V

при стремлении промежутка
a

времени ∆ t к нулю:
a


a = lim aс р
∆ t →0

∆V
= lim
. (1.19)
∆ t →0 ∆ t
О


 dV d 2 r
a=
= 2.
dt
dt
сp
(1.20)

4. Кинематика Лекция 9
1.
Вычисление ускорения при координатном способе задания
движения
Проекции вектора ускорения точки на оси декартовой системы
координат равны первым производным по времени от
соответствующих проекций вектора скорости или вторым
производным по времени от соответствующих координат точки
 x
 y
a x = Vx = , a y = V y = ,
 z
a z = Vz = ,
(1.21)
которые при координатном способе задания движения являются
известными функциями времени. По проекциям находим модуль
вектора ускорения:
2
2
a = ax + a 2 + az
y
и его направляющие косинусы:
(1.22)
 ∧  a z
  ∧  a x
 ∧  a y
cos i , a  = , cos j , a  = , cos k , a  = .(1.23)

 a

 a

 a







5. Кинематика Лекция 9
1.
Радиус кривизны и соприкасающаяся плоскость
 
между векторами τ и τ 1 называется углом смежности.
Угол ∆ Θ
Кривизной траектории в точке M называется
∆Θ
k = lim
.
∆σ → 0 ∆ σ
–

τ 1′
O
Радиусом
кривизны
траектории в точке M называется
1
ρ= .
k
+
∆Θ
M

τ1
M1

τ
Проведем плоскость через


′
векторы τ и τ 1 . Предельное положение этой плоскости при
стремлении точки M 1 к точке M называется соприкасающейся
плоскостью траектории в точке M.

6. Кинематика Лекция 9
1.
Естественный трехгранник
Трехгранник,
составленный из
соприкасающейся П1,
нормальной П2, и
спрямляющей П3
плоскостей, называется
естественным
трехгранником.

 
Три вектора τ , n и b
П2
–
 O
b
M
П3

n

τ
+
П1
образуют правую систему
осей координат, называемую естественными осями траектории в
точке M.

7. Кинематика Лекция 9
1.
Формула Серре-Френе

σ0
∆
τ ∆>

τ
1
∆
σ
–
О
∆<
σ0

τ
1

∆
τ
B +
M1
∆
Θ

τ
М
а)
A
О

∆
τ
∆
σ
–
M1

τ
 M
τ
1

∆
τ
+
A
∆
Θ

τ
1
б)
B
 
dτ n
= .
(1.26)
dσ ρ
Равенство (1.26) называется формулой Серре–Френе.