Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Метод Й. Виттенбурга (Сферические шарниры)

6,414 views

Published on

Построение уравнений движения системы твёрдых тел, соединённых сферическими шарнирами (метод Й. Виттенбурга).

Published in: Education
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

Метод Й. Виттенбурга (Сферические шарниры)

  1. 1. Уравнения движения систем со сферическими шарнирами (метод Й. Виттенбурга) Юдинцев В. В. Кафедра теоретической механики Самарский государственный аэрокосмический университет им. академика С. П. Королёва (национальный исследовательский университет) 6 iюня 2014 г.
  2. 2. Введение Рассматриваемый класс механических систем сферический шарнир 0 Структура взаимосвязей тел системы описывается ациклическим связанным графом – деревом. Одно из тел присоединено к телу 0, движение которого известно. Тела, связаны сферическими шарнирами. Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 6 iюня 2014 г. 2 / 53
  3. 3. Введение Метод Й. Виттенбурга Для записи уравнений используются шарнирные координаты (углы Эйлера, Брайнта). В уравнения движения не входят реакции связей. Динамические уравнения: A(q) ˙ω = B(q). (1) Кинематические уравнения: ˙q = f(ω). (2) Й. Виттенбург Динамика систем твёрдых тел / М.: Мир, 1980. Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 6 iюня 2014 г. 3 / 53
  4. 4. Уравнения движения Векторная форма Уравнения движения центра масс Fi – главный вектор внешних сил, действующих на тело i. Mi – главный момент, действующий на тело i. Xα – сила реакции в шарнире α. ciα, ciβ – шарнирные векторы. mi¨ri = Fi + n α=1 SiαXc α, i = 1, . . . , n. Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 6 iюня 2014 г. 4 / 53
  5. 5. Уравнения движения Векторная форма Уравнения движения вокруг центра масс Li – момент количества движения тела i. Mi – главный момент, действующий на тело i. Xα – сила реакции в шарнире α. Yα – шарнирный момент в шарнире α. ˙Li = Mi + n α=1 Siα(ciα × Xc α + Yα), i = 1, . . . , n. Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 6 iюня 2014 г. 5 / 53
  6. 6. Уравнения движения Векторная форма Система уравнений движения    mi¨ri = Fi + n a=1 SiaXc a, ˙Li = Mi + n a=1 Sia(cia × Xc a + Ya). i = 1, . . . , n (3) Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 6 iюня 2014 г. 6 / 53
  7. 7. Уравнения движения Матричная форма Уравнения движения центра масс тела mi¨ri = Fi + n a=1 SiaXc a, i = 1, . . . , n. (4) объединяются в одно матричное уравнение m¨r = F + SXc , (5) где столбцы векторов r =      r1 r2 ... rn      , L =      L1 L2 ... Ln      , F =      F1 F2 ... Fn      , Xc =      Xc 1 Xc 2 ... Xc n      (6) m = diag(m1, m2, . . . , mn) – диагональная матрица масс. Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 6 iюня 2014 г. 7 / 53
  8. 8. Уравнения движения Матричная форма Уравнения движения вокруг центра масс ˙Li = Mi + n a=1 Sia(cia × Xc a + Ya), i = 1, . . . , n, (7) объединяются в одно матричное уравнение ˙L = M + C × Xc + SY (8) где L =      L1 L2 ... Ln      , Xc =      Xc 1 Xc 2 ... Xc n      , Y =      Y1 Y2 ... Yn      , M =      M1 M2 ... Mn      (9) C – (n × n) матрица векторов с элементами: Cia = Siacia, i, a = 1, . . . , n. Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 6 iюня 2014 г. 8 / 53
  9. 9. Уравнения движения Матричная форма Система матричных уравнений m¨r = F + SXc , (10) ˙L = M + C × Xc + SY. (11) Умножив (10) слева на T = S−1, можно выразить силы реакции Xc Xc = T(m¨r − F). (12) и исключить из (11) силу реакции: ˙L − CT × (m¨r − F) = M + SY Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 6 iюня 2014 г. 9 / 53
  10. 10. Кинематика относительного движения Кинематика относительного движения тел ˙L − CT × (m¨r − F) = M + SY Между ¨ri и ˙ωωωi, которые входят в ˙L, есть связь, определяемая кинематикой относительного движения тел в системе. Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 6 iюня 2014 г. 10 / 53
  11. 11. Кинематика относительного движения Кинематика относительного движения тел (ri+(α) + ci+(α)α) − (ri−(α) + ci−(α)α) = 0, α = 1, . . . , n. (13) Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 6 iюня 2014 г. 11 / 53
  12. 12. Кинематика относительного движения Кинематика относительного движения тел (ri+(α)α + ci+(α)α) − (ri−(α) + ci−(α)α) = 0, a = 1, . . . , n. (14) Уравнения (14) можно записать при помощи матрицы S: n i=0 Siα(ri + ciα) = 0, a = 1, . . . , n. (15) Движение тела 0 известно (r0(t), ω0(t)). Базис, связанный с телом 0 удобней поместить в первую шарнирную точку, соединяющую тело 0 с первым телом системы. В этом случае c0α = 0 для всех α = 1, . . . , n. S0αr0 + n i=1 (Siαri + Ciα) = 0, α = 1, . . . , n. (16) Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 6 iюня 2014 г. 12 / 53
  13. 13. Кинематика относительного движения Векторы dij Векторы ri S0αr0 + n i=1 (Siαri + Ciα) = 0, α = 1, . . . , n, (17) Матричная форма r0ST 0 + ST r + CT 1n = 0. (18) Умножив (18) слева на TT , можно выразить столбец радиус-векторов тел: r = r01n − (CT)T 1n. (19) CT – матрица с элементами dij: dij = (CT)ij = n a=1 TajSiacia, i, j = 1, . . . , n (20) Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 6 iюня 2014 г. 13 / 53
  14. 14. Кинематика относительного движения Векторы dij Векторы dij dji = n a=1 TaiSjacja, i, j = 1, . . . , n. (21) Произведения TaiSja отличны от нуля для дуг ua, которые принадлежат пути между s0 и si (Tai = 0) и которые инцидентны sj (Sja = 0). Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 6 iюня 2014 г. 14 / 53
  15. 15. Кинематика относительного движения Векторы dij Три случая взаимного положения вершин dji = n a=1 TaiSjacja, i, j = 1, . . . , n. (22) s0 s1 si sj u1 Если sj не лежит на пути от тела 0 к телу si - в этом случае ни одна из дуг не вносит вклад в сумму (24) и, следовательно, dij = 0; Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 6 iюня 2014 г. 15 / 53
  16. 16. Кинематика относительного движения Векторы dij Три случая взаимного положения вершин dji = n a=1 TaiSjacja, i, j = 1, . . . , n. (23) s0 sj si b c Если sj лежит на пути от тела 0 к телу si - в этом случае вклад в сумму (24) вносят две дуги, обозначим их индексами b и c, и следовательно dij = cjb − cjc, поскольку TbiSjb = +1, TciSjc = −1, где b - индекс дуги ub, предшествующей вершине si. Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 6 iюня 2014 г. 16 / 53
  17. 17. Кинематика относительного движения Векторы dij Векторы dij dji = n a=1 TaiSjacja, i, j = 1, . . . , n. (24) s0 si ub Если sj и si - одно тело, в этом случае только дуга ub предшествующая si: Sib = ±1, дает вклад в сумму и, следовательно dij = cib. Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 6 iюня 2014 г. 17 / 53
  18. 18. Кинематика относительного движения Векторы dij Определение вектора dji Если i = j, то вектор dji выходит из шарнирной точки, расположенной на теле j и ведущей к телу i и заканчивается в шарнирной точке тела j, ведущей к телу 0. шарнир, ведущий к телу 0 Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 6 iюня 2014 г. 18 / 53
  19. 19. Кинематика относительного движения Векторы dij Определение вектора dji Если i = j, то вектор djj выходит из центра масс тела j и заканчивается в шарнирной точке тела j, ведущей к телу 0. шарнир, ведущий к телу 0 Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 6 iюня 2014 г. 19 / 53
  20. 20. Кинематика относительного движения Векторы dij Определение вектора dji ∀ i, j : si < sj ∨ (si sj ∧ sj si) → dij = 0 s0 s1 s2 s3 s4 u1 u2 u3 u4 d21 = d23 = d24 = d42 = d43 = d41 = d31 = d32 = 0 Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 6 iюня 2014 г. 20 / 53
  21. 21. Кинематика относительного движения Векторы gij Векторы gij Подставим в уравнение движения ˙L − CT × (m¨r − F) = M + SY вторую производную по времени от r: ¨r = ¨r01n − ( ¨CT)T 1n. ˙L − CT × m( ¨CT)T 1n − (CT) × (¨r0m1n − F) = M + SY (25) gij – элементы матрицы (CT) × m( ¨CT)T : gij = n k=1 mkdik × ¨djk, i, j = 1, . . . , n. (26) Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 6 iюня 2014 г. 21 / 53
  22. 22. Кинематика относительного движения Векторы gij Векторы gij gij = n k=1 mkdik × ¨djk, i, j = 1, . . . , n. (27) Четыре случая сочетаний индексов i и j: 1 i = j; 2 si < sj ⇒ для ∀sk : si < sk, dik = dij; 3 sj < si ⇒ для ∀sk : sj < sk, djk = dji; 4 все прочие случаи. Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 6 iюня 2014 г. 22 / 53
  23. 23. Кинематика относительного движения Векторы gij gij при i = j При i = j выражение gij = n k=1 mkdik × ¨djk, i, j = 1, . . . , n, (28) принимает следующий вид: gij = n k=1 mkdik × ¨dik, i, j = 1, . . . , n. (29) Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 6 iюня 2014 г. 23 / 53
  24. 24. Кинематика относительного движения Векторы gij gij при si < sj При si < sj ∀sk : si < sk, dik = dij, (30) следовательно gij = n k=1 mkdik × ¨djk = dij × n k=1 mk ¨djk, i, j = 1, . . . , n. (31) Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 6 iюня 2014 г. 24 / 53
  25. 25. Кинематика относительного движения Векторы gij gij при sj < si При sj < si ∀sk : sj < sk, djk = dji, (32) следовательно gij = n k=1 mkdik × ¨djk = n k=1 mkdik × ¨dji, i, j = 1, . . . , n. (33) Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 6 iюня 2014 г. 25 / 53
  26. 26. Кинематика относительного движения Векторы gij gij при sj si и si sj При sj si и si sj ∀sk : или djk = 0 или dji = 0, (34) следовательно gij = n k=1 mkdik × ¨djk = 0. (35) Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 6 iюня 2014 г. 26 / 53
  27. 27. Кинематика относительного движения Векторы gij Векторы gij gij =    n k=1 mkdik × ¨dik, si = sj dij × n k=1 mk ¨djk, si < sj n k=1 mkdik × ¨dji, sj < si 0 в других случаях. (36) Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 6 iюня 2014 г. 27 / 53
  28. 28. Дополненное тело. Барицентр. Дополненное тело Тело i с дополнительными сосредоточенными массами в шарнирных точках. В каждую шарнирную точку тела i помещается масса всех тел, прямо или косвенно закрепленных при помощи этого шарнира. Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 6 iюня 2014 г. 28 / 53
  29. 29. Дополненное тело. Барицентр. Барицентр Для дополненного тела может быть определено положение центра масс Bi. Барицентр тела i – центр масс дополненного тела Bi. Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 6 iюня 2014 г. 29 / 53
  30. 30. Дополненное тело. Барицентр. Векторы bij Положение барицентра определяется векторами bij. Векторы bij удовлетворяют уравнениям n j=1 bijmj = 0. (37) Для системы, изображённой на рисунке bij = bik (38) Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 6 iюня 2014 г. 30 / 53
  31. 31. Дополненное тело. Барицентр. Векторы bij и dij Векторы bij и dij связаны соотношениями: dij = bi0 − bij. (39) dik = bi0 − bik. (40) Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 6 iюня 2014 г. 31 / 53
  32. 32. Дополненное тело. Барицентр. Упрощение gij Используя dij = bi0 − bij, i, j = 1, . . . , n. gij =    n k=1 mkdik × ¨dik, dij × n k=1 mk ¨djk, n k=1 mkdik × ¨dji, 0. →    n k=1 mkdik × ¨dik, si = sj Mdij × ¨bj0, si < sj Mbi0 × ¨dji, sj < si 0, в других случаях. (41) Пример преобразования для случая si < sj: dij × n k=1 mk ¨djk → dij × n k=1 mk ¨bj0 − dij × n k=1 mk ¨bjk → → dij × n k=1 mk M ¨bj0 − dij × d2 dt2 n k=1 mkbjk 0 → Mdij × ¨bj0 Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 6 iюня 2014 г. 32 / 53
  33. 33. Дополненное тело. Барицентр. Подставив выражения (41) для gij в уравнение (25) ˙L − CT × m( ¨CT)T [g]ij 1n − (CT) × (¨r0m1n − F) = M + SY, (42) получим следующую систему уравнений: ˙Li + n j=1 mkdik × ¨dik + M   j:si<sj dij × ¨bj0 + bi0 × j:sj<si ¨dji   − − n j=1 dij × (mj¨r0 − Fj) = Mi + n a=1 SiaYa, i = 1, . . . , n, (43) Далее необходимо выразить через угловые скорости и ускорения тела векторы ˙Li, ¨bj0, ¨dji. Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 6 iюня 2014 г. 33 / 53
  34. 34. Момент количества движения тела Момент количества движения тела i 0 i iid ikd ρ dm iC k a ′ρ П а а а а а i ρρρ = ρρρ − dii Li = m ρ × ˙ρ dm → Li = m (ρ − dii) × ( ˙ρ − ˙dii)dm Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 6 iюня 2014 г. 34 / 53
  35. 35. Момент количества движения тела 0 i iid ikd ρ dm iC k a ′ρ П а а а а а i Производная Li: dLi dt = mi (ρρρ − dii) × (¨ρρρ − ¨dii)dm = mi ρ × ¨ρ. (44) Учитывая, что m ρdm = 0: dLi dt = ˙Li + midii × ¨dii. (45) Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 6 iюня 2014 г. 35 / 53
  36. 36. Момент количества движения тела Если выражению dLi dt = ˙Li + midii × ¨dii. добавить сумму n k=1 mkdik × ¨dik, то получатся два первых члена в уравнении ˙Li + n j=1 mkdik × ¨dik + M   j:si<sj dij × ¨bj0 + bi0 × j:si<sj ¨dji   − − n j=1 dij × (mj¨r0 − Fj) = Mi + n a=1 SiaYa, i = 1, . . . , n, ˙Li + n j=1 mkdik × ¨dik – абсолютная производная по времени момента количества абсолютного движения дополненного тела i относительно его предшествующей шарнирной точки. Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 6 iюня 2014 г. 36 / 53
  37. 37. Тензор инерции дополненного тела Тензор инерции дополненного тела Пусть Ki - тензор инерции дополненного тела i по отношению к его предшествующей шарнирной точке. Связь между Ki и центральным тензором инерции тела Ji : Ki = Ji + n k=1 mk(d2 ikE − dikdik), i = 1, . . . , n. (46) Тензор инерции Ki отличается от тензора инерции тела Ji учётом сосредоточенных масс в шарнирных точках. Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 6 iюня 2014 г. 37 / 53
  38. 38. Тензор инерции дополненного тела Ki = Ji + n k=1 mk(d2 ikE − dikdik), i = 1, . . . , n. (47) Два первых члена уравнения движения можно выразить, используя угловую скорость вращения тела ωωωi: ˙Li + n j=1 mkdik × ¨dik = Ki ˙ωωωi + ωωωi × Kiωωωi. (48) Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 6 iюня 2014 г. 38 / 53
  39. 39. Уравнения движения В выражении n j=1 dij × (mj¨r0 − Fj) = n j=1 (bi0 − bij) × ¨r0mj + n j=1 dij × Fj = = bi0 × ¨r0M − n j=1 dij × (mj¨r0 − Fj) (49) множитель dij отличен от нуля только для тех значений j, которые удовлетворяют соотношению si ≤ sj. Учитывая это, преобразуем уравнения движения к виду Ki ˙ωωωi + ωωωi × Kiωωωi + M   j:si<sj dij × ¨bj0 + bi0 × (−¨r0 + j:sj<si ¨dji)   + + j:si<sj dij × Fj = Mi + n a=1 SiaYa, i = 1, . . . , n. (50) Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 6 iюня 2014 г. 39 / 53
  40. 40. Уравнения движения Производные векторов bj0 и dji Векторы bj0 и dji связаны с телом j, поэтому их производные определяются движением тела j: ¨bj0 = ˙ωωωj × bj0 + ωωωj × (ωωωj × bj0), i, j = 1, . . . , n, (51) ¨dji = ˙ωωωj × dji + ωωωj × (ωωωj × dji), i, j = 1, . . . , n. (52) Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 6 iюня 2014 г. 40 / 53
  41. 41. Уравнения движения Уравнения движения После подстановки ¨bj0 и ¨dji Ki ˙ωωωi + M   j:si<sj dij × ( ˙ωωωj × bj0) + bi0 × j:sj<si ˙ωωωj × dji   = = Mi + Mi + n a=1 SiaYa, i = 1, . . . , n. (53) где Mi = −ωωωi × Kiωωωi − M   j:si<sj dij × (ωωωj × (ωωωj × bj0)) − bi0 × ¨r0+ +bi0 × j:sj<si ωωωj × (ωωωj × dji)   − j:si≤sj dij × Fj, i = 1, . . . , n. (54) Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 6 iюня 2014 г. 41 / 53
  42. 42. Уравнения движения Тензорная запись векторного произведения Двойные векторные произведения выражаются через тензорные произведения следующим образом: dij × ( ˙ωωωj × bj0) = (bj0 · dijE − bj0dij) · ˙ωωωj. (55) где bj0 · dij – скалярное произведение в координатной форме, записываемое в виде aT b = ax ay az   bx by bz   = axbx + ayby + azbz. bj0dij – диадное произведение в координатной форме, записываемое в виде: abT =   ax ay az   bx by bz =   axbx axby axbz aybx ayby aybz azbx azby azbz   . Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 6 iюня 2014 г. 42 / 53
  43. 43. Уравнения движения Тензоры Kij Уравнения Ki ˙ωωωi + M   j:si<sj dij × ( ˙ωωωj × bj0) + bi0 × j:sj<si ˙ωωωj × dji   = = Mi + Mi + n a=1 SiaYa, i = 1, . . . , n (56) после замены векторных произведений на тензорные произведения принимают вид Ki ˙ωωωi + M   j:si<sj (bj0 · dijE − bj0dij) · ˙ωωωj+ + j:sj<si (dji · bi0E − djibi0) · ˙ωωωj   = Mi+Mi+ n a=1 SiaYa, i = 1, . . . , n. Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 6 iюня 2014 г. 43 / 53
  44. 44. Уравнения движения Тензоры Kij Первые три слагаемых уравнения Ki ˙ωωωi + M   j:si<sj (bj0 · dijE − bj0dij) · ˙ωωωj+ + j:sj<si (dji · bi0E − djibi0) · ˙ωωωj   = Mi+Mi+ n a=1 SiaYa, i = 1, . . . , n. объединяются при помощи тензоров Kij: Kij =    Ki, i = j, M(bj0 · dijE − bj0dij), si < sj, M(dji · bi0E − djibi0), sj < si, 0, в других случаях. (57) Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 6 iюня 2014 г. 44 / 53
  45. 45. Уравнения движения Тензоры Kij При помощи тензоров Kij уравнение движения можно записать в следующем виде: n j=1 Kij · ˙ωωωj = Mi + Mi + n a=1 SiaYa, i = 1, . . . , n. (58) Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 6 iюня 2014 г. 45 / 53
  46. 46. Уравнения движения Уравнения движения n j=1 Kij ˙ωωωj = Mi + Mi + n a=1 SiaYa, i = 1, . . . , n (59) где Kij =    Ki, i = j, M(bj0 · dijE − bj0dij), si < sj, M(dji · bi0E − djibi0), sj < si, 0, в других случаях. (60) Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 6 iюня 2014 г. 46 / 53
  47. 47. Уравнения движения Вектор Mi Mi = −ωωωi × Ki · ωωωi − M   j:si<sj dij × (ωωωj × (ωωωj × bj0))+ +bi0 ×   j:sj<si ωωωj × (ωωωj × dji) − ¨r0     − j:si≤sj dij × Fj, i = 1, . . . n. Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 6 iюня 2014 г. 47 / 53
  48. 48. Координатная форма уравнений Преобразование координат Выполнение операций необходимо проводить над координатными столбцами в одной системе координат. Необходимо использовать матрицы ортогональных преобразований: Ai – матрица преобразования координат из базиса i в базис 0 Aij – матрица преобразования координат из базиса j в базис i Матрицы Ai определяются из кинематических уравнений, интегрируемых совместно с динамическими уравнениями. Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 6 iюня 2014 г. 48 / 53
  49. 49. Координатная форма уравнений Тензоры Kij в базисе 0 K (0) ij =    AiK (i) i AiT , i = j, M (Aijb (j) j0 )T d (i) ij E − Ajb (j) j0 (Aid (i) ij )T , si < sj, M (Aijd (j) ji )T b (i) i0 E − Ajd (j) ji (Aib (i) i0 )T , sj < si, 0, в других случаях. K (i) i = J (i) i + n k=1 mk(|dik|2 E − d (i) ik d (i)T ik ), i = 1, . . . , n. (61) Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 6 iюня 2014 г. 49 / 53
  50. 50. Координатная форма уравнений Координатная форма вектора Mi M (i) i = −˜ω (i) i K (i) i ω (i) i − M   j:si<sj ˜d (i) ij Aij ˜ω (j) j ˜ω (j) j b (j) j0 + +˜b (i) i0   j:sj<si Aij ˜ω (j) j ˜ω (j) j d (j) ji − AiT ¨r (0) 0     − − j:si≤sj ˜d (i) ij AiT F (0) j , i = 1, . . . n. (62) M (0) i = Ai M (i) i (63) Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 6 iюня 2014 г. 50 / 53
  51. 51. Кинематические уравнения Кинематические уравнения Для определения матриц Ai необходимо к динамическим уравнениям добавить кинематические уравнения, связывающие производные параметров, определяющих ориентацию каждого тела с его угловой скоростью: углы Эйлера; углы Брайнта; кватернионные параметры; элементы матрицы поворота. Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 6 iюня 2014 г. 51 / 53
  52. 52. Кинематические уравнения Кинематические уравнения для углов Брайнта (1-2-3) Кинематические уравнения   ˙αi1 ˙αi2 ˙αi3   =   cos αi3 cos αi2 − sin αi3 cos αi2 0 sin α3 cos α3 0 − cos α3 tan α2 sin α3 tan α2 1      ω (i) ix ω (i) iy ω (i) iz    . (64) Матрица преобразования координат из базиса i в базис 0: Ai =   c2c3 −c2s3 s2 c1s3 + s1s2c3 c1c3 − s1s2s3 −s1c2 s1s3 − c1s2c3 s1c3 + c1s2s3 c1c2   . (65) где s1 = sin αi1, s2 = sin αi2, s3 = sin αi3, c1 = sin αi1, c2 = cos αi1, c3 = cos αi3. Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 6 iюня 2014 г. 52 / 53
  53. 53. Кинематические уравнения Кинематические уравнения для углов Эйлера (3-1-3) Кинематические уравнения   ˙ψi ˙θi ˙ϕi   =   sin ϕi sin θi cos ϕi sin θi 0 cos ϕi − sin ϕi 0 − sin ϕi ctg θi − cos ϕi ctg θi 1      ω (i) ix ω (i) iy ω (i) iz    . (66) Матрица преобразования координат из базиса i в базис 0: Ai =   cψi cϕi − sψi cθi sϕi −cψi sϕi − sψi cθi cϕi sψi sθi sψi cϕi + cψi cθi sϕi −sψi sϕi + cψi cθi cϕi −cψi sθi sθi sϕi sθi cϕi cθi   . (67) где sψi = sin ψi, sθi = sin θi, sϕi = sin ϕi, cψi = cos ψi, cθi = cos θi, cϕi = cos ϕi. Кафедра ТМ (СГАУ) Сферические шарниры 6 iюня 2014 г. 53 / 53

×