Презентация квалификационной работы бакалавра Божко Никиты Романовича. Научный руководитель: Асланов Владимир Степанович.

1. Самарский государственный аэрокосмический университет
им. академика С. П. Королёва
(национальный исследовательский университет)
Поведение связки двух тел на упругом тросе
в гравитационном поле Земли
Студент: Божко Никита Романович
nikita.host@gmail.com
Научный руководитель: Асланов Владимир Степанович
aslanov_vs@mail.ru
18 июня 2013 г.

2. ЦЕЛИ РАБОТЫ
Построить математическую модель.
Определить положения равновесия системы.
Провести интегрирование уравнений в точках положения
равновесия.
Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 2 / 28

3. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Схема системы
Рисунок 1 - Схема механической системы
Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 3 / 28

4. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Допущения
Будем считать, что движение происходит по круговой орбите, т.е.
θ = ωt; (1)
где ω = GME
r3
1
- определяется высотой орбиты.
Допущения:
1 спутник - это диск;
2 трос невесомый упругий стержень;
3 на конце троса точечная масса.
Воспользуемся формализмом Лагранжа. За обобщенные координаты
примем следующие параметры системы: q1 = α, q2 = l, q3 = β.
Уравнения движения:
d
dt
∂T
∂ ˙qi
−
∂T
∂qi
= Qi, i = 1, 2, 3. (2)
Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 4 / 28

5. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Схема скоростей
Рисунок 2 - Скорости тел
Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 5 / 28

6. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Построение математической модели. Кинетическая энергия тел
Кинетическая энергия системы:
T = T1 + T2 (3)
где T1, T2 - кинетическая энергия спутника и точки соответственно.
Кинетическая энергия первого тела:
T1 =
1
2
J1 ( ˙α + ω)2
+
1
2
m1(r1ω)2
, (4)
где J1 = mR2
2 - момент инерции диска.
Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 6 / 28

7. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Построение математической модели. Кинетическая энергия тел
Кинетическая энергия точки:
T2 =
1
2
m2V 2
2 . (5)
Скорость полюса:
Vp = V ц.м.
1 + V в.ц.м.
1 . (6)
Абсолютная скорость точки:
V2 = Vp + V r
2 + V e
2 . (7)
Вектор абсолютной скорости груза:
V2 =
˙l cos ∆ − ˙∆l sin ∆ − r1ω sin ωt − R(ω + ˙α) sin α
˙l sin ∆ + ˙βl cos ∆ + r1ω cos ωt + R(ω + ˙α) cos α
(8)
где ∆ = ωt + α + β
Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 7 / 28

8. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Построение математической модели. Потенциальная энергия тел
Потенциальная энергия системы:
Π = Π1 + Π2 + Πупр. (9)
Потенциальная энергия спутника:
Π1 = −G
MEm1
r1
. (10)
Потенциальная энергия точки:
Π2 = −G
MEm2
r2
. (11)
Потенциальная энергия силы упругости:
Πупр =
c
2
(l − l0)2
. (12)
Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 8 / 28

9. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Построение математической модели. Лагранжиан системы
Лагранжиан системы:
L = T − Π. (13)
Тогда систему (2) можно переписать:
d
dt
∂L
∂ ˙qi
−
∂L
∂qi
= 0, i = 1, 2, 3. (14)
Лагранжиан данной системы:
L =
1
2
J1( ˙α + ω) +
1
2
m1(ωr1)2
+
1
2
m2(−r1ω sin ωt − R( ˙α + ω)×
× sin(ωt + α) + ˙l cos ∆ − ˙∆l sin ∆)2
+ (r1ω cos ωt + R( ˙α + ω)×
× cos(α + ωt) + ˙l sin ∆ + ˙Deltal cos ∆)2
) − G
MEm1
r1
−
− G
MEm2
r2
+
c
2
(l − l0)2
.
(15)
Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 9 / 28

10. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Уравнения движения



d
dt
∂L
∂ ˙α
−
∂L
∂α
= 0;
d
dt
∂L
∂ ˙β
−
∂L
∂β
= 0;
d
dt
∂L
∂ ˙l
−
∂L
∂l
= 0.
(16)
Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 10 / 28

11. ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
Определение положения равновесия упрощенной системы
Условие равновесия:
Qi = −
∂Π
∂qi
= 0, i = 1, 2, 3. (17)
Будем искать положения равновесия для нерастяжимого
троса l = l0. Условие равновесия:
Rr1 sin α + r1l sin(α + β) = 0;
Rl sin β + r1l sin(α + β) = 0.
(18)
Положения возможного равновесия
α = 0, β = 0;
α = π, β = 0;
α = 0, β = π - отбрасываем.
Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 11 / 28

12. ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
Определение положения равновесия исходной системы
Составим условия равновесия для исходной системы:



R sin α + l sin(α + β) = 0;
R sin β + r1 sin(α + β) = 0;
GMEm2l
r3
2
(l + Rcosβ + r1 cos(α + β)) − c(l − l0) = 0.
(19)
Решение этой системы ищется численно.
Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 12 / 28

13. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
α = 0, β = 0
m1 = 10 т, m2 = 500 кг, l0 = 1000 м, R = 1, 5 м, r1 = 6671 м,
c = 294, 053 Н/м.
Рисунок 9 - Зависимость α
от времени
Рисунок 10 - Зависимость β
от времени
Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 13 / 28

14. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
α = 0, β = 0
Рисунок 11 - Зависимость l − l0
от времени
Рисунок 12 - Кинетическая,
потенциальная и
полная энергии
Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 14 / 28

15. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
α = 0, β = 0
m1 = 10 т, m2 = 500 кг, l0 = 30000 м, R = 1, 5 м, r1 = 6671 м,
c = 9, 8 Н/м.
Рисунок 13 - Зависимость α от
времени
Рисунок 14 - Зависимость β от
времени
Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 15 / 28

16. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
α = 0, β = 0
Рисунок 15 - Зависимость l
от времени
Рисунок 16 - Кинетическая,
потенциальная и
полная энергии
Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 16 / 28

17. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
α = π, β = 0
m1 = 10 т, m2 = 500 кг, l0 = 1000 м, R = 1, 5 м, r1 = 6671 м,
c = 294, 053 Н/м.
Рисунок 17 - Зависимость α
от времени
Рисунок 18 - Зависимость β
от времени
Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 17 / 28

18. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
α = π, β = 0
Рисунок 19 - Зависимость l
от времени
Рисунок 20 - Кинетическая,
потенциальная и
полная энергии
Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 18 / 28

19. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
α = π, β = 0
m1 = 10 т, m2 = 500 кг, l0 = 30000 м, R = 1, 5 м, r1 = 6671 м,
c = 9, 8 Н/м.
Рисунок 21 - Зависимость α
от времени
Рисунок 22 - Зависимость β
от времени
Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 19 / 28

20. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
α = π, β = 0
Рисунок 23 - Зависимость l
от времени
Рисунок 24 - Кинетическая,
потенциальная и
полная энергии
Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 20 / 28

21. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
α = 0, β = 0, l = 984, 77
m1 = 10 т, m2 = 500 кг, l0 = 1000 м, R = 1, 5 м, r1 = 6671 м,
c = 294, 053 Н/м.
Рисунок 25 - Зависимость α
от времени
Рисунок 26 - Зависимость β
от времени
Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 21 / 28

22. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
α = π, β = 0, l = 984, 77
Рисунок 27 - Зависимость l
от времени
Рисунок 28 - Кинетическая,
потенциальная и
полная энергии
Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 22 / 28

23. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
α = 0, β = 0, l = 29547
m1 = 10 т, m2 = 500 кг, l0 = 30000 м, R = 1, 5 м, r1 = 6671 м,
c = 9, 8 Н/м.
Рисунок 25 - Зависимость α
от времени
Рисунок 26 - Зависимость β
от времени
Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 23 / 28

24. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
α = 0, β = 0, l = 29547
Рисунок 27 - Зависимость l
от времени
Рисунок 28 - Кинетическая,
потенциальная и
полная энергии
Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 24 / 28

25. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
α = 0, β = 0, l = 996, 954
m1 = 10 т, m2 = 100 кг, l0 = 1000 м, R = 1, 5 м, r1 = 6671 м,
c = 294, 053 Н/м.
Рисунок 29 - Зависимость α
от времени
Рисунок 30 - Зависимость β
от времени
Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 25 / 28

26. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
α = 0, β = 0, l = 996, 954
Рисунок 31 - Зависимость l
от времени
Рисунок 32 - Кинетическая,
потенциальная и
полная энергии
Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 26 / 28

27. Список использованных источников
1 Асланов В.С. Влияние упругости орбитальной тросовой системы
на колебания спутника, ПММ, Том 74. Вып. 4, 2010. - с.582-593.
2 Белецкий В.В., Левин Е.М. Динамика космических тросовых
систем М.: Наука, 1990. - 336 с..
Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 27 / 28

28. СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!
Кафедра ТМ (СГАУ) 18 июня 2013 г. 28 / 28