4. Уравнение упругой линии, известное из сопромата (см. рис. 15.2).
∂4y
EJ 4 = q ( x ) ,
∂x
(15.1)
где q(x) – распределенная нагрузка, равная силам инерции в случае
свободных колебаний (принцип Д' Аламбера),
∂2y
q ( x ) = − ρf 2 .
∂τ
(15.2)
В формулах (15.1) и (15.2) обозначено:
Е, ρ – модуль упругости и плотность материала;
f, J (Jξ или Jη) – площадь сечения и момент
инерции. С учетом (15.1) и (15.2) уравнение
колебаний примет вид
Рис. 15.2
∂4y
fh 4 ∂ 2 y
+ρ
= 0,
4
2
EJ ∂τ
∂x
02/26/14
x=
x
.
h
(15.3)
4
5. Решение этого уравнения можно представить в виде
y = Y ( x ) sin ( λτ + ϕ 0 ) ,
(15.4)
()
где Y x – функция распределения амплитуды колебаний по длине лопатки;
λ – круговая частота;
ϕ0 – фаза колебаний.
Подставив в уравнение (15.3) соответствующие производные от y,
получают
Y IV − a 4Y = 0,
где
(15.5)
fh 4 2
a4 = ρ
λ.
EJ
Частота колебаний в секунду
λ
a2
ν =
=
2π 2πh 2
EJ
.
ρf
(15.6)
Параметр a определяется на основе решения дифференциального
уравнения (15.5).
02/26/14
5
6. Общее решение уравнение (15.5) можно записать в виде четырех
частных решений
Y ( x ) = C1 ( cos a x + cha x ) + C2 ( cos a x − cha x ) +
+ C3 ( sin a x + sha x ) + C4 ( sin a x − sha x ) ,
(15.7)
где постоянные С1 … С4 определяются по задаваемым граничным условиям.
В защемленном конце x=0, прогиб Y(0)=0 и угол наклона к упругой
линии Y’(0)=0. Тогда C1=C3=0. На свободном конце лопатки x=1, равны нулю
изгибающий момент EJY’’ и перерезывающая сила EJY’’’. Следовательно
− C2 ( cos a + cha ) − C4 ( sin a + sha ) = 0,
C4 ( sin a + sha ) − C4 ( cos a + cha ) = 0.
Исключение С2 и С4 приводит к частотному уравнению
cos a ⋅ cha + 1 = 0,
(15.8)
из которого определяется параметр а для формулы частоты (15.6).
02/26/14
6
7. Для лопатки с бандажной полкой при x=0 приближенно можно
принять, что изгибающий момент EJY’’ и прогиб Y равны нулю. Тогда
частотное уравнение
tga = tha ,
(15.9)
Корни уравнения:
Обозначения корня
а1
а2
а3
а4
Консольная лопатка
1,875
4,694
7,855
10,996
Лопатка с банд. полкой
3,927
7,068
10,21
13,352
Отсюда видно, что частоты ν с бандажной полкой выше, выше чем
у консольной.
02/26/14
7
8. Частота колебания лопатки переменного профиля
Изгибные колебания
Частоту колебаний лопатки
переменного профиля можно определить
приближенно энергетическим методом. Для
этого находят (рис. 15.3) потенциальную
энергию П деформации лопатки в
максимально отклоненном положении и
работу W, совершенную центробежной
силой лопатки при ее выпрямлении. Затем
находят максимальную кинетическую
энергию массы лопатки К в момент
прохождения через недеформированное
положение (когда П=0).
Рис. 15.3
02/26/14
8
