Целью данной работы является создание в рамках разработанного физического практикума обучающей программы и моделирование основных процессов колебательных движений . Для реализации указанной цели необходимо было, на данном этапе, решить ряд задач: Изучить процессы формирования фигур Лиссажу и выполнить расчеты для различных частотных и амплитудных параметров. Сложение сложных взаимоперпендикулярных колебаний с различными частотами. Освоить методику формирования и определения параметров фигур Лиссажу. Создать программу для наблюдения и исследования фигур Лиссажу. Найти перспективное применение данной тематики на практике.

1. Учебная компьютерная модель «сложение взаимноУчебная компьютерная модель «сложение взаимно
перпендикулярных колебаний»перпендикулярных колебаний»
Учебная компьютерная модель «сложение взаимноУчебная компьютерная модель «сложение взаимно
перпендикулярных колебаний»перпендикулярных колебаний»
Приборостроительный факультетПриборостроительный факультет
Ермолович Павел АлексеевичЕрмолович Павел Алексеевич

2. Целью данной работы является создание в рамках
разработанного физического практикума обучающей
программы и моделирование основных процессов
колебательных движений .
Для реализации указанной цели необходимо было, на данном
этапе, решить ряд задач:
o Изучить процессы формирования фигур Лиссажу и выполнить
расчеты для различных частотных и амплитудных параметров.
o Сложение сложных взаимоперпендикулярных колебаний с
различными частотами.
o Освоить методику формирования и определения параметров
фигур Лиссажу.
o Создать программу для наблюдения и исследования фигур
Лиссажу.
o Найти перспективное применение данной тематики на
практике.

3. Нетрудно построить график смещения тела от положения равновесия в
зависимости от времени. Для этого нужно сложить ординаты кривых,
соответствующих первому и второму движе­ниям. На рисунке 1 показан
пример сложения двух гармоничес­ких колебаний (сплошные линии
синусоид). Пунктирная линия соответствует результирующему колебанию.
Оно уже не является гармоническим.
Фигуры Лиссажу - замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два гармонических
колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Впервые изучены французским учёным Ж. Лиссажу (J.
Lissajous; 1822­80). Вид фигуры Лиссажу зависит от, соотношения между периодами (частотами), фазами и амплитудами
обоих колебаний. Мы рассмотрим случай, когда тело участвует одновременно в двух гармонических колебаниях. Если оба
колебания происходят вдоль одной прямой, то уравнение движе­ния тела будет представлено суммой уравнений двух
движений:
Более сложные траектории получаются при сложении колебаний в двух взаимно перпендикулярных направлениях.
Вдоль координатных осей х и у, уравнения для мгновенных значений координат х и у точки имеют вид:
(2)
где Хт и Ут — амплитуды колебаний точки вдоль соответствующих координатных осей, φ — разность фаз этих
колебаний. В результате мы получим эллипс, ограниченный прямоугольником со сторонами 2а и 2b (рис. 2). Действительно,
исключим из уравнений (2) время, получим выражение:
(3),2sincos
2
2
2
2
2
ϕϕ ∆=∆−+
mYmX
XY
mY
Y
mX
X
),(cos
,cos
ϕω
ω
+=
=
tyy
txx
m
m
(1)

4. которое является уравнением эллипса. Если амплитуды колебаний точки вдоль координатных осей одинаковы и равны А, т. е.
Рис 2
то оси эллипса будут составлять с координатными осями угол 45 (рис. 2) при любых значениях угла φ. Можно показать, что в этом
случае длины а и b полуосей эллипса зависят от угла φ следующим образом:
Из этих соображений следует:
Или
где 2a и 2b — длины осей эллипса.
Различные виды траекторий движений, возникающих при сложении двух взаимно перпендикулярных гармонических колебательных
движений различных периодов (получаемых по уравнению 3):
( 4)

5. φ Уравнение
линия вид
0 Окружность
π Y= X‑ Прямая
Эллипс
222
AYX =+
π/2…π
,2sincos
2010
2
2
20
2
2
10
2
ϕϕ ∆=∆−+
UU
XY
U
Y
U
X
В таблице показан вид решения уравнения при
сложении колебаний при Хт = Ут = А для
некоторых значений угла φ. Справа приведена
компьютерная модель сложения взаимно
перпендикулярных колебаний

6. Вид формы программы «Сложение колебаний»

8. Пусть напряжения поступающие на первый и второй каналы изменяются по закону:
U1 = U10 cos (ωt + ϕ1) (5)
U2 = U20 cos (ωt + ϕ2) (6)
Исключив из формул время, можно получить уравнение этой траектории:
,2sincos
2010
2
2
20
2
2
10
2
ϕϕ ∆=∆−+
UU
XY
U
Y
U
X
При этом траектория луча на экране осциллографа будет являться результатом сложения двух
взаимно перпендикулярных колебаний (5) и (6).
В качестве исследуемых элементов могут быть выбраны жидкокристаллические панели с
матричной организацией управляющих электродов. Данные устройства выполнены в виде плоских
капилляров и представляют собой нелинейные электрооптические элементы. В этом случае ЖК-
слой является для переменного напряжения емкостью, значение которой меняется в зависимости от
параметров приложенного напряжения.
На практике возможно использование сложения колебаний в электрооптических средах, таких как
ЖК матрицы. Однако вместо амплитуды механической подставляем амплитуду напряжения.

9.  Вид фигуры Лиссажу зависит от соотношения
между периодами (частотами), фазами и амплитудами
обоих колебаний.
 Освоена методика формирования и определения
параметров фигур Лиссажу.
 Создана программа для наблюдения и исследования
фигур Лиссажу.
 Возможно применение метода в качестве контроля
модулирующих и отображающих
жидкокристаллических устройств.
ВЫВОДЫ:

10. Компьютерная программа «Сложение колебаний»Компьютерная программа «Сложение колебаний»Компьютерная программа «Сложение колебаний»Компьютерная программа «Сложение колебаний»
Приборостроительный факультетПриборостроительный факультет
Ермолович Павел АлексеевичЕрмолович Павел Алексеевич
Спасибо за внимание!Спасибо за внимание!Спасибо за внимание!Спасибо за внимание!