Successfully reported this slideshow.                             Upcoming SlideShare
×

# Кинематические уравнения

7,336 views

Published on

Кинематические уравнения для различных способов определения ориентации твёрдого тела: кватернионы, углы Эйлера, ортогональные матрицы.

Published in: Education
• Full Name
Comment goes here.

Are you sure you want to Yes No • Dating direct: ❤❤❤ http://bit.ly/39mQKz3 ❤❤❤

Are you sure you want to  Yes  No
• Sex in your area is here: ❶❶❶ http://bit.ly/39mQKz3 ❶❶❶

Are you sure you want to  Yes  No
• Be the first to like this

### Кинематические уравнения

1. 1. Кинематические уравнения курс “Динамика твёрдого тела и систем тел” Кафедра теоретической механики Юдинцев В. В. Самарский государственный аэрокосмический университет им. академика С. П. Королёва (национальный исследовательский университет) yudintsev@termech.ru 3 октября 2014 г.
2. 2. Угловая скорость Угловая скорость  В соответствии с теоремой Эйлера положение тела в момент t + ∆t может быть получено из начального положения поворотом вокруг оси ε(t + ∆t) на угол ∆ϕ(t + ∆t): Кафедра ТМ (СГАУ) Кинематические уравнения 3 октября 2014 г. 2 / 28
3. 3. Угловая скорость Угловая скорость  В соответствии с теоремой Эйлера положение тела в момент t + ∆t может быть получено из начального положения поворотом вокруг оси ε(t + ∆t) на угол ∆ϕ(t + ∆t): вектор бесконечно малого поворота: ∆ϕ = ε(t + ∆t)∆ϕ(t + ∆t) мгновенная угловая скорость: ω = lim ∆t→0 ∆ϕ(t + ∆t) ∆t ε(t + ∆t) Кафедра ТМ (СГАУ) Кинематические уравнения 3 октября 2014 г. 2 / 28
4. 4. Угловая скорость Кватернион бесконечно малого поворота  В момент времени t положение твёрдого тела определяется кватернионом: Λ(t) = cos ϕ(t) 2 + e(t) sin ϕ(t) 2 . (1) В момент времени t + ∆t: Λ(t + ∆t) = cos ϕ(t + ∆t) 2 + e(t + ∆t) sin ϕ(t + ∆t) 2 . (2) Кватернион малого поворота: ∆Λ = cos ∆ϕ 2 + ε sin ∆ϕ 2 ≈ 1 + ε ∆ϕ 2 (3) Кафедра ТМ (СГАУ) Кинематические уравнения 3 октября 2014 г. 3 / 28
5. 5. Угловая скорость Бесконечно малый поворот Поворот вектора r: r = ∆Λ ◦ r ◦ ∆Λ = 1 + ε ∆ϕ 2 ◦ r ◦ 1 − ε ∆ϕ 2 . (4) Раскрывая скобки в (4): r = r + ε ∆ϕ 2 ◦ r − r ◦ ε ∆ϕ 2 − ε ◦ r ◦ ε ∆ϕ2 4 . (5) Для малого ∆ϕ: r = r + ε ∆ϕ 2 ◦ r − r ◦ ε ∆ϕ 2 . (6) Кафедра ТМ (СГАУ) Кинематические уравнения 3 октября 2014 г. 4 / 28
6. 6. Угловая скорость Формула Эйлера r = r + ε ∆ϕ 2 ◦ r − r ◦ ε ∆ϕ 2 Приращение вектора r: ∆r = r − r = r + ε ∆ϕ 2 ◦ r − r ◦ ε ∆ϕ 2 − r = (ε∆ϕ) × r (7) Скорость изменения вектора r: ˙r = lim ∆t→0 ∆r ∆t = lim ∆t→0 ε ∆ϕ ∆t × r = ω × r (8) Кафедра ТМ (СГАУ) Кинематические уравнения 3 октября 2014 г. 5 / 28
7. 7. Угловая скорость Формула Эйлера Векторная формула: ˙r = ω × r (9) Матричная формула: ˙r = ˜ω · r (10) где ˜ω – матрица угловой скороcти: ˜ω =   0 −ωz ωy ωz 0 −ωx −ωy ωx 0   (11) Кафедра ТМ (СГАУ) Кинематические уравнения 3 октября 2014 г. 6 / 28
8. 8. Кинематические уравнения
9. 9. Кинематические уравнения Кинематические уравнения Угловую скорость тела выражают через производные параметров, задающих его угловое положение: кватернионы: ω = f(Λ, ˙Λ); углы Эйлера, Брайнта, ... : ω = f(ψ, θ, ϕ, ˙ψ, ˙θ, ˙ϕ); ортогональные матрицы: ω = f(a11, a12, . . . , a33, ˙a11, ˙a12, . . . , ˙a33). Кафедра ТМ (СГАУ) Кинематические уравнения 3 октября 2014 г. 8 / 28
10. 10. Кинематические уравнения для кватернионов
11. 11. Кинематические уравнения Кватернионы Производная кватерниона Активная точка зрения Используя закон сложения поворотов Λ(t + ∆t) = ∆Λ(t) ◦ Λ(t) = 1 + ε ∆ϕ 2 ◦ Λ(t). (12) Производная кватерниона ˙Λ = lim t→0 Λ(t + ∆t) − Λ(t) ∆t = 1 2 ω ◦ Λ(t) (13) Угловая скорость ω = 2 ˙Λ ◦ Λ (14) Вектор ω и кватернион Λ(t) заданы в неподвижном базисе. Кафедра ТМ (СГАУ) Кинематические уравнения 3 октября 2014 г. 10 / 28
12. 12. Кинематические уравнения Кватернионы Производная кватерниона Пассивная точка зрения Для пассивной точки зрения Λ(t + ∆t) = Λ(t) ◦ ∆Λ = Λ(t) ◦ 1 + ε ∆ϕ 2 (15) Производная кватерниона ˙Λ = lim t→0 Λ(t + ∆t) − Λ(t) ∆t = 1 2 Λ(t) ◦ ω (16) Угловая скорость ω = 2Λ ◦ ˙Λ (17) Вектор ω и кватернион Λ(t) заданы базисе, связанном с телом. Кафедра ТМ (СГАУ) Кинематические уравнения 3 октября 2014 г. 11 / 28
13. 13. Кинематические уравнения Кватернионы Кинематические уравнения Координатная форма уравнения (17)     0 ωx ωy ωz     = 2     λ0 λ1 λ2 λ3 −λ1 λ0 λ3 −λ2 −λ2 −λ3 λ0 λ1 −λ3 λ2 −λ1 λ0         ˙λ0 ˙λ1 ˙λ2 ˙λ3     (18) Обратное преобразование     ˙λ0 ˙λ1 ˙λ2 ˙λ3     = 1 2 0 −ωωωT ωωω −˜ωωω     λ0 λ1 λ2 λ3     (19) Кафедра ТМ (СГАУ) Кинематические уравнения 3 октября 2014 г. 12 / 28
14. 14. Кинематические уравнения для углов Эйлера
15. 15. Кинематические уравнения Углы Эйлера Углы Эйлера Найдем угловую скорость тела, вращающегося вокруг неподвижной точки по известным законам изменения углов Эйлера: ψ = f1(t), ϑ = f2(t), ϕ = f3(t). ωωω = ˙ψ e1 3 + ˙ϑ e1 + ˙ϕ e2 3. Кафедра ТМ (СГАУ) Кинематические уравнения 3 октября 2014 г. 14 / 28
16. 16. Кинематические уравнения Углы Эйлера Проекции подвижные оси Орты e2 1 e2 2 e2 3 e1 3 sin ϑ sin ϕ sin ϑ cos ϕ cos ϑ e1 cos ϕ − sin ϕ 0 e2 3 0 0 1 Кафедра ТМ (СГАУ) Кинематические уравнения 3 октября 2014 г. 15 / 28
17. 17. Кинематические уравнения Углы Эйлера Проекции на неподвижные оси Орты e1 1 e1 2 e1 3 e1 3 0 0 1 e1 cos ψ − sin ψ 0 e2 3 sin ϑ sin ψ − sin ϑ cos ψ cos ϑ Кафедра ТМ (СГАУ) Кинематические уравнения 3 октября 2014 г. 16 / 28
18. 18. Кинематические уравнения Углы Эйлера Кинематические уравнения Эйлера В проекциях на подвижные оси Зная проекции осей элементарных вращений на оси подвижной системы координат, получим выражения для проекций угловой скорости тела на подвижные оси:    ωx2 = ˙ψ sin ϑ sin ϕ + ˙ϑ cos ϕ, ωy2 = ˙ψ sin ϑ cos ϕ − ˙ϑ sin ϕ, ωz2 = ˙ψ cos ϑ + ˙ϕ. (20) Обратное преобразование:    ˙ψ = sin ϕ sin ϑ ωx2 + cos ϕ sin ϑ ωy2 , ˙ϑ = ωx2 cos ϕ − ωy2 sin ϕ, ˙ϕ = −ωx2 sin ϕ ctg ϑ − ωy2 cos ϕ ctg ϑ + ωz2 . (21) Кафедра ТМ (СГАУ) Кинематические уравнения 3 октября 2014 г. 17 / 28
19. 19. Кинематические уравнения Углы Эйлера Кинематические уравнения Эйлера В проекциях на неподвижные оси Проекции угловой скорости на оси неподвижной системы координат:    ωx1 = ˙θ cos ψ + ˙ϕ sin θ, sin ψ, ωy1 = ˙θ sin ψ − ˙ϕ sin θ, cos ψ, ωz1 = ˙ψ + ˙ϕ cos θ. (22) Кафедра ТМ (СГАУ) Кинематические уравнения 3 октября 2014 г. 18 / 28
20. 20. Кинематические уравнения Углы Брайнта Углы Брайнта Найдём угловую скоростью тела, вращающегося вокруг неподвижной точки по известным законам изменения углов Брайнта: α1 = f1(t), α2 = f2(t), α3 = f3(t). Угловую скорость вращения тела представим в виде суммы трех вращений, соответствующих изменению углов α1, α2 и α3: ω = ˙α1 e1 1 + ˙α2 e2 + ˙α3 e2 3. (23) Кафедра ТМ (СГАУ) Кинематические уравнения 3 октября 2014 г. 19 / 28
21. 21. Кинематические уравнения Углы Брайнта Проекции на подвижные оси Орты e2 1 e2 2 e2 3 e1 1 cos α2 cos α3 − cos α2 sin α3 sin α2 e2 sin α3 cos α3 0 e2 3 0 0 1 Кафедра ТМ (СГАУ) Кинематические уравнения 3 октября 2014 г. 20 / 28
22. 22. Кинематические уравнения Углы Брайнта Проекции на неподвижные оси Орты e1 1 e1 2 e1 3 e1 1 1 0 0 e2 0 cos α1 sin α1 e2 3 sin α2 − cos α2 sin α1 cos α2 cos α1 Кафедра ТМ (СГАУ) Кинематические уравнения 3 октября 2014 г. 21 / 28
23. 23. Кинематические уравнения Углы Брайнта Кинематические уравнения для углов Брайнта Проекции угловой скорости на оси подвижной системы координат будут иметь вид:    ωx2 = ˙α1 cos α2 cos α3 + ˙α1 sin α3, ωy2 = − ˙α1 cos α2 sin α3 + ˙α2 cos α3, ωz2 = ˙α1 sin α2 + ˙α3 (24) Решая эту систему относительно ˙α1, ˙α2, ˙α3, получим кинематические дифференциальные уравнения для углов Брайнта:    ˙α1 = cos α3 cos α2 ωx2 − sin α3 cos α2 ωy2 , ˙α2 = sin α3ωx2 + cos α3ωy2 , ˙α3 = − cos α3 tan α2ωx2 + sin α3 tan α2ωy2 + ωz2 . (25) Кафедра ТМ (СГАУ) Кинематические уравнения 3 октября 2014 г. 22 / 28
24. 24. Кинематические уравнения для направляющих косинусов
25. 25. Кинематические уравнения Направляющие косинусы Направляющие косинусы Пусть система координат Ox2y2z2, жестко связанная с твердым телом, вращается относительно неподвижной системы координат Ox1y1z1 с угловой скоростью ω. С системой координат Ox2y2z2 жестко связан неизменный вектор r. Координатный столбец вектора r в неподвижном базисе r(1) и координатный столбец этого вектора в подвижном базисе r(2) связаны соотношением: r(1) = A12 r(2) . (26) Кафедра ТМ (СГАУ) Кинематические уравнения 3 октября 2014 г. 24 / 28
26. 26. Кинематические уравнения Направляющие косинусы Производная вектора  Продифференцировав (26): r(1) = A12 r(2) , получим: ˙r(1) = ˙A12 r(2) . (27) Абсолютная производная вектора r, жестко свзанного с подвижным базисом, определяется соотношением: dr dt = ω × r, (28) в матричной координатной форме (в неподвижном базисе): ˙r(1) = A(12) ˜ωωω(2) r(2) . (29) Кафедра ТМ (СГАУ) Кинематические уравнения 3 октября 2014 г. 25 / 28
27. 27. Кинематические уравнения Направляющие косинусы Матрица угловой скорости ˙r(1) = A(12) ˜ωωω(2) r(2) . ˜ωωω(2) – кососимметричная матрица проекций угловых скоростей на оси координат: ˜ωωω(2) =   0 −ωz2 ωy2 ωz2 0 −ωx2 −ωy2 ωx2 0   Кафедра ТМ (СГАУ) Кинематические уравнения 3 октября 2014 г. 26 / 28
28. 28. Кинематические уравнения Направляющие косинусы Кинематические уравнения для направляющих косинусов Сравнивая ˙r(1) = A(12) ˜ωωω(2) r(2) . (30) и ˙r(1) = ˙A12 r(2) , (31) получим дифференциальные уравнения для направляющих косинусов в матричной форме. Для матрицы преобразования координат из базиса 2 в базис 1: ˙A12 = A12 ˜ωωω(2) (32) Для матрицы преобразования координат из базиса 1 в базис 2: ˙A21 = −˜ωωω(2) A21 (33) Кафедра ТМ (СГАУ) Кинематические уравнения 3 октября 2014 г. 27 / 28
29. 29. Список использованных источников Журавлев Основы теоретической механики. — М. : Издательство физико-математической литературы, 2001. Бранец , Шмыглевский Применение кватернионов в задачах ориентации твёрдого тела. — M. : Наука, 1973. Виттенбург Динамика систем твердых тел. — M. : Мир, 1980.