Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Углы Эйлера

8,175 views

Published on

Презентация к лекции, посвященной способам задания ориентации твёрдого тела при помощи последовательности трёх плоских поворотов - углов Эйлера.

Published in: Education
  • Be the first to comment

Углы Эйлера

  1. 1. Углы Эйлера курс “Динамика твёрдого тела и систем тел” Кафедра теоретической механики Юдинцев В. В. Самарский государственный аэрокосмический университет им. академика С. П. Королёва (национальный исследовательский университет) yudintsev@termech.ru 8 сентября 2013 г.
  2. 2. Теорема о трёх плоских поворотах Теорема о трёх плоских поворотах Теорема Любое положение твёрдого тела может быть получено тремя последовательными плоскими поворотами из любого начального положения. Кафедра ТМ (СГАУ) Углы Эйлера 8 сентября 2013 г. 2 / 23
  3. 3. Теорема о трёх плоских поворотах Доказательство (для последовательности X-Y-Z) [1] Рассмотрим два произвольно ориентированных базиса x0y0z0 и x1y1z1 Кафедра ТМ (СГАУ) Углы Эйлера 8 сентября 2013 г. 3 / 23
  4. 4. Теорема о трёх плоских поворотах Доказательство (для последовательности X-Y-Z) Плоскости y1z1 и x0y0 пересекаются по прямой l Кафедра ТМ (СГАУ) Углы Эйлера 8 сентября 2013 г. 4 / 23
  5. 5. Теорема о трёх плоских поворотах Доказательство (для последовательности X-Y-Z) 1 поворот: вращение вокруг оси x1 до совмещения y1 c плоскостью x0y0 Кафедра ТМ (СГАУ) Углы Эйлера 8 сентября 2013 г. 5 / 23
  6. 6. Теорема о трёх плоских поворотах Доказательство (для последовательности X-Y-Z) 2 поворот: вращение вокруг оси l до совмещения прямой z1 с z0 Кафедра ТМ (СГАУ) Углы Эйлера 8 сентября 2013 г. 6 / 23
  7. 7. Теорема о трёх плоских поворотах Доказательство (для последовательности X-Y-Z) 3 поворот: вращение вокруг оси z1 до совмещения прямой x1 с x0 и y1 с y0 Кафедра ТМ (СГАУ) Углы Эйлера 8 сентября 2013 г. 7 / 23
  8. 8. Углы Эйлера
  9. 9. Углы Эйлера Углы Эйлера ψ - угол прецессии, θ - угол нутации, ϕ - угол собственного вращения. Кафедра ТМ (СГАУ) Углы Эйлера 8 сентября 2013 г. 9 / 23
  10. 10. Углы Эйлера Матрица поворота Преобразование ψ, θ, ϕ → A Матрицы элементарных поворотов Aψ =   cos ψ − sin ψ 0 sin ψ cos ψ 0 0 0 1   , (1) Aθ =   1 0 0 0 cos θ − sin θ 0 sin θ cos θ   , (2) Aϕ =   cos ϕ − sin ϕ 0 sin ϕ cos ϕ 0 0 0 1   (3) Кафедра ТМ (СГАУ) Углы Эйлера 8 сентября 2013 г. 10 / 23
  11. 11. Углы Эйлера Матрица поворота Преобразование ψ, θ, ϕ → A Перемножая матрицы элементарных поворотов в прямом порядке и транспонируя результат (пассивная точка зрения), получим матрицу преобразования координат из неподвижного базиса в подвижный: A = (AψAθAϕ)T =   cϕcψ − cθsϕsψ cθcψsϕ + cϕsψ sθsϕ −cψsϕ − cθcϕsψ cθcϕcψ − sϕsψ cϕsθ sθsψ −cψsθ cθ   Кафедра ТМ (СГАУ) Углы Эйлера 8 сентября 2013 г. 11 / 23
  12. 12. Углы Эйлера Матрица поворота Преобразование A → ψ, θ, ϕ [2] Если известна матрица направляющих косинусов, то углы Эйлера можно определить следующим образом: cos θ = a33, sin θ = ± 1 − cos2 θ, (4) cos ψ = − a32 sin θ , sin ψ = a31 sin θ , (5) cos ϕ = a23 sin θ , sin ϕ = a13 sin θ . (6) Кафедра ТМ (СГАУ) Углы Эйлера 8 сентября 2013 г. 12 / 23
  13. 13. Углы Эйлера Особые положения Особые положения При θ = 0 первый и третий поворот происходят вокруг одного и того же направления. Одному положению тела соответствует множество значений углов ψ и ϕ для которых выполняется условие: ϕ + ψ = α. Кафедра ТМ (СГАУ) Углы Эйлера 8 сентября 2013 г. 13 / 23
  14. 14. Углы Эйлера Особые положения Матрица поворота При θ = 0: A = (AψA0Aϕ)T =   cos(ϕ + ψ) sin(ϕ + ψ) 0 − sin(ϕ + ψ) cos(ϕ + ψ) 0 0 0 1   . (7) Множеству положений твердого тела θ = 0, ϕ + ψ = α соответствует одна и та же матрица поворота. Кафедра ТМ (СГАУ) Углы Эйлера 8 сентября 2013 г. 14 / 23
  15. 15. Углы Эйлера Последовательности поворотов Возможные последовательности поворотов Углы конечного вращения I-го рода (углы Эйлера) 3-1-3; 1-2-1; 2-3-2; 3-2-3; 1-3-1; 2-1-2. Углы конечного вращения II-го рода (углы Брайнта) 1-2-3; 2-3-1; 3-1-2; 1-3-2; 3-2-1; 2-1-3. Кафедра ТМ (СГАУ) Углы Эйлера 8 сентября 2013 г. 15 / 23
  16. 16. Углы Брайнта (1-2-3)
  17. 17. Углы Брайнта Определение углов Брайна (Крылова) Угловое положение базиса Cx1y1z1 задается тремя последовательными плоскими поворотами: 1 вращение вокруг оси x1; 2 вращение вокруг новой оси y1; 3 вращение вокруг новой оси z1. Углы Брайнта используется в авиации и космонавтике: “рыскание”, “тангаж”, “крен” Кафедра ТМ (СГАУ) Углы Эйлера 8 сентября 2013 г. 17 / 23
  18. 18. Углы Брайнта Матрица поворота Матрицы элементарных поворотов Матрицы элементарных поворотов в “поворачиваемых” базисах (пассивная точка зрения) Aψ =   1 0 0 0 cos ψ − sin ψ 0 sin ψ cos ψ   , (8) Aθ =   cos θ 0 sin θ 0 1 0 − sin θ 0 cos θ   , (9) Aϕ =   cos ϕ − sin ϕ 0 sin ϕ cos ϕ 0 0 0 1   . (10) Кафедра ТМ (СГАУ) Углы Эйлера 8 сентября 2013 г. 18 / 23
  19. 19. Углы Брайнта Матрица поворота Углы Брайнта → Матрица поворота Перемножая матрицы элементарных поворотов в прямом порядке и транспонируя результат (пассивная точка зрения), получим матрицу преобразования координат из неподвижного базиса в подвижный: A = (AψAθAϕ)T =   cθcϕ cψsϕ + cϕsθsψ sϕsψ − cϕcψsθ −cθsϕ cϕcψ − sθsϕsψ cψsθsϕ + cϕsψ sθ −cθsψ cθcψ   . Для малых углов (в линейном приближении): A ≈   1 ϕ −θ −ϕ 1 ψ θ −ψ 1   . Кафедра ТМ (СГАУ) Углы Эйлера 8 сентября 2013 г. 19 / 23
  20. 20. Углы Брайнта Матрица поворота Матрица поворота → Углы Брайнта sin θ = a31, cos θ = ± 1 − sin2 θ, (11) sin ψ = − a32 cos θ , cos ψ = a33 cos θ , (12) sin ϕ = − a21 cos θ , cos ϕ = a11 cos θ . (13) Кафедра ТМ (СГАУ) Углы Эйлера 8 сентября 2013 г. 20 / 23
  21. 21. Углы Брайнта Матрица поворота Особые положения При θ = π/2 первый и третий поворот происходят вокруг одного и того же направления. Одному положению тела соответствует множество значений углов ψ и ϕ для которых выполняется условие: ϕ + ψ = α. Кафедра ТМ (СГАУ) Углы Эйлера 8 сентября 2013 г. 21 / 23
  22. 22. Углы Брайнта Матрица поворота Матрица поворота при θ = π/2 При θ = π/2: A = (AψAπ/2Aϕ)T ==   0 sin(ϕ + ψ) − cos(ϕ + ψ) 0 cos(ϕ + ψ) sin(ϕ + ψ) 1 0 0   . (14) Множеству положений твердого тела θ = 0, ϕ + ψ = α соответствует одна и та же матрица поворота. Кафедра ТМ (СГАУ) Углы Эйлера 8 сентября 2013 г. 22 / 23
  23. 23. Список использованных источников В. Ф. Журавлев. Основы теоретической механики. Издательство физико-математической литературы, 2001. Й. Виттенбург. Динамика систем твердых тел. Мир, M., 1980.

×