1. Sposoby zapisu liczb Odrobina historii

2. Liczby Liczba – pojęcie abstrakcyjne, jedno z najczęściej używanych w matematyce. Określenie „liczba” bez żadnego przymiotnika jest nieścisłe, gdyż matematycy nie definiują „liczb”, lecz „liczby naturalne”, „liczby całkowite”, itp. Poszczególne rodzaje liczb są definiowane za pomocą aksjomatów lub konstruowane z bardziej podstawowych pojęć, takich jak zbiór, czy typy liczb prostsze od konstruowanego.

3. Początki Człowiek potrafił liczyć już w epoce pierwotnej. Nie znał jeszcze cyfr. Wyniki swych obliczeń zapisywał na kościach, nacinając na nich kreski. Za najstarszy zapis liczby uważa się 55 nacięć na kości wilka sprzed 30 tysięcy lat. Kość tę znaleziono w Czechach w 1937r. i jest na niej widocznych 55 karbów, zgrupowanych po 5, stąd domyślamy się, że chodzi tu o liczbę.

4. Rozwój liczb W rozwoju kultury ludzkiej pierwsze pojawiły się liczby naturalne. Systemy pozycyjne pojawiły się w I tysiącleciu przed naszą erą w starożytnej Babilonii, w pierwszych latach naszej ery u Majów, przed IX wiekiem naszej ery w Indiach, skąd system dziesiątkowy przejęli Arabowie, a od nich Europejczycy. Znaki, za pomocą których zapisujemy liczby to cyfry. Używamy 10 cyfr. Są to: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 i 0. Wyraz cyfra pochodzi od arabskiego wyrazu sifr, oznaczającego zero. Zostało ono zaczerpnięte od Hindusów. Wiadomo, że zera używał induski uczony Arjabhata, którego dzieło pt. ,,Surjasiddhanta” w zachowanej swej postaci sięga wieku V. Uczony użył tam terminu ,,siunia”, który oznacza pustkę, zero. Zero było zapisywane początkowo jako punkt. Jeszcze dziś w Turcji, Egipcie i krajach Bliskiego Wschodu zero zapisuje się w kształcie kropki czworokątnej, a piątkę w kształcie zera. Najstarsze dokumenty zawierające znaki liczb sięgają IV wieku p.n.e. System liczb, których używamy obecnie, wynaleźli Hindusi. Europejczycy poznali go jednak za pośrednictwem Arabów, dlatego mówimy o „cyfrach arabskich”. Dawniej w Europie nie pisano liczb, tak jak dziś. Najstarszy znany europejski rękopis, w którym spotykamy cyfry arabskie (bez zera) był pisany w Hiszpanii w 976 roku. W rękopisach arabskich cyfry te spotykamy już sto lat wcześniej

5. Liczby Sumerów Sumerowie był to lud zamieszkujący w IV wieku p.n.e. dolny Eufrat (teren dzisiejszego Iraku). Lud ten pisał półokrągłym, a później trójgraniastym rylcem na płytkach drewnianych, kamiennych, a najczęściej glinianych, które wypalane przetrwały do naszych czasów. Sumerowie zapisywali liczbę 1 znakiem pionowego klina . Za jego pomocą zapisywali liczby od 1 do 9, grupując je w rzędach obok lub zapisując jedne nad drugimi. Do oznaczania liczby 10 stosowali znak składający się z dwóch pionowych klinów połączonych razem i tworzących kąt . Powtarzając wymienione znaki i grupując je zapisywali liczby od 1 do 99, przy czym dziesiątki zapisywali na lewo od jedności. Np. układ znaków oznacza liczbę 23. Liczbę 100 Sumerowie oznaczali znakiem powstałym z połączenia dwóch klinów: pionowego i poziomego: . Liczbę 1000 zapisywali umieszczając znak 10 przed 100, co oznaczało mnożenie liczby 10 przez 100. Ponowne umieszczenie znaku liczby 10 przed znakiem liczby 1000 oznaczało 10 x 1000=10 000.

6. Liczby Azteków Hieroglify azteckie możemy podzielić na grupy : liczbowe - liczby od 1 do 19 oznaczano kropkami lub palcami, liczba 20 - flagą, liczba 400 - znakiem podobnym do pióra, liczba 8 000 - symbolicznym workiem, dat (kalendarzowe) – kalendarz aztecki wywodził się prawdopodobnie z kalendarza Majów ale był znacznie uproszczony. Był to kalendarz podwójny: rytualny liczący 260 dni stosowany do ceremonii religijnych i drugi 365-dniowy, w którym każdy dzień miał swoją nazwę i symbol obrazkowy, piktograficzne oraz fonetyczne (sylabiczne i alfabetyczne). Kalendarz aztecki

7. Liczby Majów Bardzo oryginalny system zapisywania liczb stworzyło indiańskie plemię Majów, które zamieszkiwało południowo-wschodnią część Meksyku, Gwatemalę i część Hondurasu. Jako jedni z pierwszych wynaleźli zero (ok. 500 r.n.e. - a więc później niż Sumerowie, lecz wcześniej od Hindusów). Zero zaznaczane było rysunkiem przypominającym skorupkę ślimaka lub - jak inni twierdzą - półotwarte oko. Liczby zapisywano w postaci kombinacji kropek i kresek. Odpowiednio pogrupowane stanowiły (wraz z zerem) podstawowy zestaw ,,cyfr'' od 0 do 19.

8. Oznakowanie liczb

9. Cyfry Etrusków Cyfry etruskie - system numeryczny używany przez plemiona etruskie; cyfry rzymskie rozwinęły się z cyfr etruskich. Na podstawie cyfr etruskich prawdopodobnie powstał również system numeryczny rowasz (rewasz), używany przez Szeklerów i karpackich górali co było by zrozumiale w świetle hipotezy Alinei że etruski to forma starowęgierskiego.

10. Cyfry Rzymskie Cyfry rzymskie znane są już od ponad MM lat. Jakkolwiek od momentu pojawienia się cyfr arabskich zakres ich używania znacznie się zmniejszył, to jednak stosuje się je również obecnie. Można je jeszcze zobaczyć na tarczach zegarowych, za ich pomocą oznacza się miesiące w datach (np. 21 IX – 21 września), a także wieki jako okresy w dziejach ludzkości (np. VII wiek, XX wiek itp.), numeruje się nimi rozdziały książek lub artykułów (np. I rozdział, IV rozdział itd.). Rzymski zapis cyfrowy został przejęty i zmodyfikowany przez Rzymian od Etrusków ok. D lat p.n.e. W systemie rzymskim do zapisu liczb używanych jest siedem znaków cyfrowych (liter): Znak I V X L C D M Wartość 1 5 10 50 100 500 1000

11. Cyfry Egipcjan Starożytni Egipcjanie, podobnie jak wiele innych ludów, zapisywanie liczb zaczęli od bardzo prostej metody. Jedna pionowa kreska | oznaczała, że policzono jeden przedmiot, dwie kreski || – dwa przedmioty, trzy kreski ||| – trzy, cztery kreski |||| – cztery. Im większą liczbę trzeba zanotować, tym bardziej uciążliwy staje się ten sposób. 9 8 7 6 5 4 3 2 1

12. Cyfry Egipcjan Kiedy Egipcjanie rozwinęli swoje pismo, hieroglify, dla większych liczb wymyślili specjalne symbole. Liczby od 1 do 9 nadal zapisywano odpowiednią ilością pionowych kresek. Ale już 10 oraz liczby większe zapisywano specjalnym, pojedynczym znakiem.

13. Cyfry Babilończyków Na terenach Mezopotamii żyli Sumerowie podbici i włączeni w skład państwa babilońskiego w drugim tysiącleciu przed naszą erą. Głównym osiągnięciem Babilończyków było pismo klinowe, ryte na tabliczkach glinianych, potem wypalanych. Dzięki zastosowanej technologii, zapisy babilońskie przetrwały do naszych czasów. Babilończycy używali do zapisu liczb dwóch znaków: ostrego (pionowego) klina dla oznaczenia liczby 1 , rozwartego (poziomego) klina dla oznaczenia liczby 10 .

14. Alfabet Braille’a Dzięki Luisowi Braille’owi cyframi mogą posługiwać się także niewidomi. Alfabet ten oparty jest na wojskowym systemie umożliwiającym odczytywanie rozkazów bez użycia światła. Różni się od wojskowego tym, że jest oparty na 6 punktach wypukłych, które niewidomi odróżniają palcami. Poniżej prezentujemy zapis cyfr w alfabecie Braille’a:

15. Zapis liczb w informatyce Bit – podstawowa jednostka w operacjach, wskazująca na obecność (1) albo brak (0) sygnału Bajt – 2 3 bitów = 8 bitów (najmniejsza, adresowana jednostka informacji) Kilobajt – 2 10 bajtów = 1 024 bajty Megabajt – 2 20 bajtów = 1 048 576 bajty Gigabajt – 2 30 bajtów = 1 073 741 824 bajty Terabajt - – 2 40 bajtów = 1 099 511 627 776 bajty Jednostki ilości danych Ośmiobitowy bajt po raz pierwszy pojawił się pod koniec 1956 roku, a został rozpowszechniony i uznany jako standard w 1964 r. o tym jak IBM wprowadził System/360. Przykład: 700 Mb = 716800 kb = 734003200 bajty

16. Dwójkowy system liczbowy to pozycyjny system liczbowy, w którym podstawą pozycji są kolejne potęgi liczby 2. Do zapisu liczb potrzebne są więc tylko dwa znaki: 0 i 1. Powszechnie używany w informatyce. 1x2 3 + 0x2 2 + 1x2 1 + 0x2 0 = 8+2 = 10. Obliczanie wartości dziesiętnej liczby zapisanej w systemie dwójkowym 4 3 2 1 0 11110 = 11110 = 1x2 4 + 1x2 3 + 1x2 2 + 1x2 1 + 0x2 0 = 1 x 16 + 1 x 8 + 1 x 4 + 1 x 2 + 0 x 1 = 16 + 8 + 4 + 2 = 30 Ponieważ 0 x 2 n =0, oraz 1 x 2 n = 2 n wystarczy jeśli zsumuje się tylko te potęgi dwójki, przy których współczynnik wynosi 1.

17. Obliczanie postaci dwójkowej liczby dziesiętnej Dla liczby 1476 będzie to: Liczba Reszta Komentarz 1476 0 1476 = 2x738 + 0 738 0 738 = 2x369 + 0 369 1 369 = 2x184 + 1 184 0 184 = 2x92 + 0 92 0 92 = 2x46 + 0 46 0 46 = 2x23 + 0 23 1 23 = 2x11 + 1 11 1 11 = 2x5 + 1 5 1 5 = 2x2 + 1 2 0 2 = 2x1 + 0 1 1 1 (wynik mniejszy niż 2 - koniec) A zatem: 147610 = 101110001002

18. Przeliczanie systemu dwójkowego na ósemkowy i szesnastkowy nie wymaga szczególnych zabiegów, bowiem w systemie ósemkowym każdą cyfrę opisują 3 bity , natomiast w systemie szesnastkowym 4 bity . Wystarczy podzielić liczbę dwójkową na pola o odpowiedniej szerokości i policzyć wartość każdego z nich; np. 1100010101 2 = 001 100 010 101 2 = 1425 8 1100010101 2 = 0011 0001 0101 2 = 315 16 1 x8 2 + 4 x8 1 + 4 x8 0 = 64 + 32 + 4 = 100. System Ósemkowy System Szesnastkowy Podstawą pozycji są kolejne potęgi liczby 16. Często system szesnastkowy jest określany nazwą Hex od słowa stworzonego przez firmę IBM hexadecimal . Początkowo chciano używać łacińskiego sexa zamiast hexa , ale niejednoznacznie się to kojarzyło. Do zapisu liczb potrzebne jest szesnaście cyfr. Poza cyframi dziesiętnymi od 0 do 9 używa się pierwszych sześciu liter alfabetu łacińskiego: A , B , C , D , E , F . Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciągi cyfr, z których każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby stanowiącej podstawę systemu, np. liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 1000, w hex przybiera postać 3E8, gdyż: 3x16 2 + 14x16 1 + 8x16 0 = 768 + 224 + 8 = 1000.

19. Dziękuje za obejrzenie mojej prezentacji Przygotował – Piotr Nowicki Kl. 3G