Dokumen tersebut memberikan penjelasan singkat tentang:
1. Konsep bilangan real dan komponennya seperti bilangan bulat, pecahan, rasional, irasional.
2. Diagram Venn yang menggambarkan hubungan antar himpunan bilangan.
3. Jenis-jenis interval dan relasi urutan pada bilangan real.
70 soal dan pembahasan persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlakMuhammad Arif
Soal dan pembahasan meliputi konsep nilai mutlak, fungsi nilai mutlak persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak. Sebagai bahan belaajr matematika wajib kelas X SMA/MA.
Dokumen tersebut memberikan penjelasan singkat tentang:
1. Konsep bilangan real dan komponennya seperti bilangan bulat, pecahan, rasional, irasional.
2. Diagram Venn yang menggambarkan hubungan antar himpunan bilangan.
3. Jenis-jenis interval dan relasi urutan pada bilangan real.
70 soal dan pembahasan persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlakMuhammad Arif
Soal dan pembahasan meliputi konsep nilai mutlak, fungsi nilai mutlak persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak. Sebagai bahan belaajr matematika wajib kelas X SMA/MA.
Dokumen menjelaskan tentang koordinat kartesius dan koordinat kutub. Koordinat kartesius menggunakan sumbu-x dan sumbu-y, sedangkan koordinat kutub menggunakan jarak titik (r) dan sudut (α) dari titik terhadap sumbu-x. Diberikan rumus perubahan antara kedua koordinat dan contoh soal untuk latihan mengubah satu koordinat ke yang lain.
Sistem bilangan yang sudah dikenal sebelumnya adalah sistem bilangan real, tetapi sistem bilangan real ternyata masih belum cukup untuk menyelesaikan semua bentuk permasalahan dalam berbagai operasi dan persamaan dalam matematika. Oleh karena itu, diperlukan sistem bilangan baru yaitu sistem bilangan kompleks. Sistem bilangan kompleks terdiri dari bilangan kompleks, fungsi analitik, fungsi elementer, integral fungsi kompleks, deret kompleks, dan metode pengintegralan residu.
Dalam sistem bilangan kompleks fungsi elementer sangat penting dan sebagai penunjang untuk mempelajari sistem bilangan kompleks yang lainnya. Fungsi elementer diantaranya, fungsi linear, fungsi pangkat, fungsi bilinear, fungsi eksponensial, fungsi logaritma, fungsi trigonometri dan fungsi hiperbola. Pemahaman tentang fungsi elementer sendiri sangat diperlukan dalam menganalisis suatu kurva secara geometris.
Dalam makalah ini akan dibahas tentang Fungsi Trigonometri dan Fungsi Hiperbolik dalam bilangan kompleks.
Matematika Diskrit - 06 relasi dan fungsi - 03KuliahKita
Dokumen tersebut membahas sifat-sifat relasi biner seperti refleksif, menghantar, setangkup, dan tolak-setangkup. Relasi dikatakan refleksif jika pasangan (a,a) termasuk dalam relasi untuk setiap a, menghantar jika (a,b) dan (b,c) termasuk relasi maka (a,c) juga termasuk, setangkup jika (a,b) termasuk relasi maka (b,a) juga termasuk,
Dokumen menjelaskan tentang persamaan bola pada ruang tiga dimensi. Terdapat definisi bola, langkah-langkah menentukan persamaan bola yang berpusat di titik tertentu, bentuk umum persamaan bola, dan hubungan antara bola dengan bidang datar.
Kumpulan soal tersebut membahas berbagai transformasi geometri seperti translasi, rotasi, dilatasi, dan refleksi terhadap titik, garis, dan kurva. Soal-soal tersebut meminta untuk menentukan koordinat titik hasil transformasi, persamaan garis atau kurva hasil transformasi, atau luas bangun datar hasil transformasi.
Contoh soal penyelsaian metode biseksi menggunakan excel ernaernajuliawati
Dokumen tersebut memberikan contoh penyelesaian 6 soal pencarian akar persamaan non-linier menggunakan metode biseksi di Microsoft Excel dengan memberikan penjelasan langkah-langkah algoritmanya dan kesimpulannya.
Bahan ajar ini membahas tentang persamaan diferensial dan penyelesaiannya. Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat turunan dari variabel terikat. Bab pertama membahas pengertian, definisi, notasi, orde, derajat, jenis, dan solusi persamaan diferensial. Solusi persamaan diferensial adalah fungsi yang memenuhi persamaan tersebut.
Dokumen tersebut membahas beberapa jenis fungsi khusus seperti fungsi konstan, fungsi identitas, fungsi linear, fungsi kuadrat, fungsi modulus, fungsi nilai bulat terbesar, fungsi genap, dan fungsi ganjil beserta contoh-contoh dan cara menggambarkan grafiknya.
Dokumen tersebut membahas tentang teori bilangan bulat dan operasi-operasinya, seperti pembagian, pembagi bersama terbesar, algoritma Euclidean, aritmetika modulo, dan balikan modulo. Secara khusus, dibahas tentang sifat-sifat dasar bilangan bulat seperti bilangan bulat dan desimal, teorema Euclidean untuk pembagian bilangan bulat, konsep pembagi bersama terbesar, dan operasi-operasi dalam aritmetika modulo seperti kongruen
Makalah Persamaan Deferensial NON EKSAKRaden Ilyas
Dokumen tersebut membahas tentang penyelesaian persamaan diferensial tidak eksak dengan metode faktor integral. Metode ini melibatkan pengalian persamaan diferensial dengan suatu fungsi u yang disebut faktor integral untuk mengubahnya menjadi persamaan diferensial eksak yang dapat diselesaikan dengan metode integral. Faktor integral dapat berupa fungsi x saja, y saja, atau fungsi x dan y. Beberapa contoh soal juga diberikan beserta penye
Modul ini membahas tentang turunan fungsi, termasuk pengertian turunan fungsi, rumus-rumus turunan fungsi aljabar dan trigonometri, dalil rantai, garis singgung, dan penerapannya untuk menentukan fungsi naik dan turun serta titik ekstrim grafik fungsi.
Dokumen tersebut membahas tentang optimasi fungsi dengan satu variabel dan menjelaskan konsep titik ekstrim, titik stasioner, maksimum absolut dan relatif, minimum absolut dan relatif, serta cara menentukan titik maksimum dan minimum suatu fungsi.
Dokumen menjelaskan tentang koordinat kartesius dan koordinat kutub. Koordinat kartesius menggunakan sumbu-x dan sumbu-y, sedangkan koordinat kutub menggunakan jarak titik (r) dan sudut (α) dari titik terhadap sumbu-x. Diberikan rumus perubahan antara kedua koordinat dan contoh soal untuk latihan mengubah satu koordinat ke yang lain.
Sistem bilangan yang sudah dikenal sebelumnya adalah sistem bilangan real, tetapi sistem bilangan real ternyata masih belum cukup untuk menyelesaikan semua bentuk permasalahan dalam berbagai operasi dan persamaan dalam matematika. Oleh karena itu, diperlukan sistem bilangan baru yaitu sistem bilangan kompleks. Sistem bilangan kompleks terdiri dari bilangan kompleks, fungsi analitik, fungsi elementer, integral fungsi kompleks, deret kompleks, dan metode pengintegralan residu.
Dalam sistem bilangan kompleks fungsi elementer sangat penting dan sebagai penunjang untuk mempelajari sistem bilangan kompleks yang lainnya. Fungsi elementer diantaranya, fungsi linear, fungsi pangkat, fungsi bilinear, fungsi eksponensial, fungsi logaritma, fungsi trigonometri dan fungsi hiperbola. Pemahaman tentang fungsi elementer sendiri sangat diperlukan dalam menganalisis suatu kurva secara geometris.
Dalam makalah ini akan dibahas tentang Fungsi Trigonometri dan Fungsi Hiperbolik dalam bilangan kompleks.
Matematika Diskrit - 06 relasi dan fungsi - 03KuliahKita
Dokumen tersebut membahas sifat-sifat relasi biner seperti refleksif, menghantar, setangkup, dan tolak-setangkup. Relasi dikatakan refleksif jika pasangan (a,a) termasuk dalam relasi untuk setiap a, menghantar jika (a,b) dan (b,c) termasuk relasi maka (a,c) juga termasuk, setangkup jika (a,b) termasuk relasi maka (b,a) juga termasuk,
Dokumen menjelaskan tentang persamaan bola pada ruang tiga dimensi. Terdapat definisi bola, langkah-langkah menentukan persamaan bola yang berpusat di titik tertentu, bentuk umum persamaan bola, dan hubungan antara bola dengan bidang datar.
Kumpulan soal tersebut membahas berbagai transformasi geometri seperti translasi, rotasi, dilatasi, dan refleksi terhadap titik, garis, dan kurva. Soal-soal tersebut meminta untuk menentukan koordinat titik hasil transformasi, persamaan garis atau kurva hasil transformasi, atau luas bangun datar hasil transformasi.
Contoh soal penyelsaian metode biseksi menggunakan excel ernaernajuliawati
Dokumen tersebut memberikan contoh penyelesaian 6 soal pencarian akar persamaan non-linier menggunakan metode biseksi di Microsoft Excel dengan memberikan penjelasan langkah-langkah algoritmanya dan kesimpulannya.
Bahan ajar ini membahas tentang persamaan diferensial dan penyelesaiannya. Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat turunan dari variabel terikat. Bab pertama membahas pengertian, definisi, notasi, orde, derajat, jenis, dan solusi persamaan diferensial. Solusi persamaan diferensial adalah fungsi yang memenuhi persamaan tersebut.
Dokumen tersebut membahas beberapa jenis fungsi khusus seperti fungsi konstan, fungsi identitas, fungsi linear, fungsi kuadrat, fungsi modulus, fungsi nilai bulat terbesar, fungsi genap, dan fungsi ganjil beserta contoh-contoh dan cara menggambarkan grafiknya.
Dokumen tersebut membahas tentang teori bilangan bulat dan operasi-operasinya, seperti pembagian, pembagi bersama terbesar, algoritma Euclidean, aritmetika modulo, dan balikan modulo. Secara khusus, dibahas tentang sifat-sifat dasar bilangan bulat seperti bilangan bulat dan desimal, teorema Euclidean untuk pembagian bilangan bulat, konsep pembagi bersama terbesar, dan operasi-operasi dalam aritmetika modulo seperti kongruen
Makalah Persamaan Deferensial NON EKSAKRaden Ilyas
Dokumen tersebut membahas tentang penyelesaian persamaan diferensial tidak eksak dengan metode faktor integral. Metode ini melibatkan pengalian persamaan diferensial dengan suatu fungsi u yang disebut faktor integral untuk mengubahnya menjadi persamaan diferensial eksak yang dapat diselesaikan dengan metode integral. Faktor integral dapat berupa fungsi x saja, y saja, atau fungsi x dan y. Beberapa contoh soal juga diberikan beserta penye
Modul ini membahas tentang turunan fungsi, termasuk pengertian turunan fungsi, rumus-rumus turunan fungsi aljabar dan trigonometri, dalil rantai, garis singgung, dan penerapannya untuk menentukan fungsi naik dan turun serta titik ekstrim grafik fungsi.
Dokumen tersebut membahas tentang optimasi fungsi dengan satu variabel dan menjelaskan konsep titik ekstrim, titik stasioner, maksimum absolut dan relatif, minimum absolut dan relatif, serta cara menentukan titik maksimum dan minimum suatu fungsi.
Mata kuliah matematika tentang Limit dan kekontinuan. Cari lebih banyak materi kuliah semester 3 di: http://muhammadhabibielecture.blogspot.com/2014/12/kuliah-semester-1-thp-ftp-ub.html
Bab 2 membahas berbagai jenis fungsi dan grafiknya. Fungsi didefinisikan sebagai himpunan pasangan terurut (x,y) dimana nilai y bergantung pada nilai x. Ada beberapa jenis fungsi seperti fungsi linear, polinomial, eksponensial, logaritma, dan trigonometri. Setiap jenis fungsi memiliki daerah asal, daerah hasil, dan grafik yang khas.
Dokumen tersebut membahas berbagai jenis fungsi matematika beserta definisinya, contohnya, daerah asal dan hasil, serta grafiknya. Jenis-jenis fungsi yang dijelaskan antara lain fungsi linear, polinomial, pangkat, akar, trigonometri, logaritma, dan lain-lain.
Persamaan logaritma dan pertidaksamaan eksponenathifah_h
Dokumen tersebut membahas tentang pertidaksamaan eksponen, fungsi logaritma, dan persamaan logaritma. Pertidaksamaan eksponen dapat diselesaikan menggunakan sifat fungsi monoton naik dan turun pada fungsi eksponen. Persamaan logaritma memiliki beberapa sifat yang dapat digunakan untuk menyelesaikannya, seperti alogf(x)=alogp maka f(x)=p, alogf(x)=blogf(x) mak
Fungsi rasional adalah rasio antara dua polinomial di mana penyebut tidak pernah sama dengan nol. Fungsi rasional paling sederhana adalah y=1/x dan y=1/x2. Fungsi-fungsi ini memiliki domain seluruh bilangan real kecuali nol. Grafik fungsi y=1/x dan y=1/x2 akan mendekati sumbu x ketika x mendekati tak hingga dan akan mendekati tak hingga ketika x mendekati nol.
Fungsi rasional adalah rasio antara dua polinomial di mana penyebut tidak pernah sama dengan nol. Fungsi rasional paling sederhana adalah y=1/x dan y=1/x2. Fungsi-fungsi ini memiliki domain seluruh bilangan real kecuali nol. Grafik fungsi y=1/x dan y=1/x2 memiliki asimtot horizontal pada sumbu x dan mendekati nol ketika x mendekati tak hingga.
Modul ini membahas tentang turunan fungsi, termasuk pengertian turunan fungsi, rumus-rumus turunan fungsi aljabar dan trigonometri, dalil rantai, garis singgung, dan penerapannya untuk menentukan fungsi naik dan turun serta titik ekstrim grafik fungsi.
Fungsi kontinuitas dan jenis-jenis ketidakterusan fungsi. Fungsi dikatakan kontinu jika memenuhi tiga syarat yaitu limit harus ada, nilai fungsi di titik tersebut harus ada, dan limit sama dengan nilai fungsi. Ada empat jenis ketidakterusan yaitu dapat dihilangkan, loncat, tak hingga, dan limit tidak ada.
Dokumen tersebut membahas tentang persamaan diferensial biasa dan metode numerik untuk menyelesaikannya, yaitu metode Euler, Heun, dan Runge Kutta hingga orde 4. Metode-metode tersebut digunakan untuk memperoleh aproksimasi solusi persamaan diferensial dengan menghitung nilai fungsi pada setiap langkah iterasi.
Bab 3. Limit dan Kekontinuan ( Kalkulus 1 )Kelinci Coklat
Limit fungsi dan kekontinuan. Dokumen ini membahas pengertian limit fungsi di satu titik secara intuitif dan matematis, serta hubungannya dengan kekontinuan fungsi. Juga dibahas tentang limit kiri, kanan, dan limit tak hingga.
ANALISIS PENGARUH INDUSTRI BATU BARA TERHADAP PENCEMARAN UDARA.pdfnarayafiryal8
Industri batu bara telah menjadi salah satu penyumbang utama pencemaran udara global. Proses ekstraksi batu bara, baik melalui penambangan terbuka maupun penambangan bawah tanah, menghasilkan debu dan gas beracun yang dilepaskan ke atmosfer. Gas-gas tersebut termasuk sulfur dioksida (SO2), nitrogen oksida (NOx), dan partikel-partikel halus (PM2.5) yang berbahaya bagi kesehatan manusia dan lingkungan. Selain itu, pembakaran batu bara di pembangkit listrik dan industri menyebabkan emisi karbon dioksida (CO2), yang merupakan penyebab utama perubahan iklim global dan pemanasan global.
Pencemaran udara yang disebabkan oleh industri batu bara juga memiliki dampak lokal yang signifikan. Di sekitar area penambangan, debu batu bara yang dihasilkan dapat mengganggu kesehatan masyarakat dan ekosistem lokal. Paparan terus-menerus terhadap debu batu bara dapat menyebabkan masalah pernapasan seperti asma dan bronkitis, serta berkontribusi pada penyakit paru-paru yang lebih serius. Selain itu, hujan asam yang disebabkan oleh emisi sulfur dioksida dapat merusak tanaman, air tanah, dan ekosistem sungai, mengancam keberlanjutan lingkungan di sekitar lokasi industri batu bara.
1. 1
Turunan Fungsi Exponential
Mendapatkan turunan fungsi exponential berdasarkan definisi turunan:
( ) h
ee
lime
dx
d xhx
0h
x −
=
+
→
h
eee
lim
xhx
0h
−
=
→
( )
h
1ee
lim
hx
0h
−
=
→
( )[ ] ( ) ( )
h
xfhxf
lim
dx
d
0h
−+
=
→
xf
h
1e
lime
h
0h
x −
=
→
Substitusi h=0 maka akan kita dapatkan bentuk tak tentu
(indeterminate form) , yg harus kita dapatkan hasilnya.0
0
Lihat kurva dari fungsi dan lihat apa yg terjadi
saat x dekat ke 0. Atau lihat tabel.
x
1e
xf
x
−
=)(
x -.1 -.01 -.001 .001 .01 .1
y .95 .995 .999 1.0005 1.005 1.05
Kurva
Pd x = 0, f(0) dekat ke 1.
Tabel
Saat x dekat ke 0, y dekat ke 1.
Bisa kita katakan bahwa 1
h
1e
lim
h
0h
=
−
→
Jadi
Aturan 1: Turunan dari fungsi Exponential
( ) ( ) xx
h
0h
xx
e1e
h
1e
limee
dx
d
=⋅=
−
=
→
( ) xx
ee
dx
d
=
Turunan dari fungsi exponential dalah fungsi exponential.
2. 2
Contoh 1: Dapatkan turunan dari f(x) = x2ex .
2xeex(x)f
exf(x)
xx2
x2
+=′
=
( )2xxe(x)f x
+=′Keluarkan common faktor xex.
Contoh 2: Dapatkan turuan dari f(t) = ( )2
3
t
2e +
( )
( ) t2
1
t
2
3
t
e2e
2
3
tf
2etf
+=′
+=
)(
)(
Dapatkan turunan dari: ( ) 2
x
x
e
xf =
( )
2x
e
x'f
x
=
( ) ( )
4
xx2
x
2xeex
x'f
−
=
( ) ( )
4
x2x
x
ex2xe
x'f
−
=
Good work!
. ( ) ( )
4
xx2
x
2xeex
x'f
−
=
Sederhanakan!
( ) ( )
( ) ( )
3
x
4
x
4
xx2
x
2xe
x'f
x
2xxe
x
2xeex
x'f
−
=
−
=
−
=
3. 3
Aturan 2: Jika f(x) adalah fungsi yang bisa diturunkan
(differentiable), maka
( ) )()()(
xfee
dx
d xfxf
′⋅=
Turunan dari e pangkt f(x) adalah e pangkat f(x) kali turunan
dari f(x).
Contoh 3: Dapatkan turunan dari f(x) =
x3
e
3exf
exf
x3
x3
⋅=′
=
)(
)(
Fungsi exponential yang dimaksud Dikali turunan dari f(x)
Contoh 4: Dapatkan turunan dari 1x2 2
exf +
=)(
( )4xe(x)f
ef(x)
12x
12x
2
2
+
+
=′
=
12x 2
4xe(x)f +
=′
Atau ditulis ulang sebagai:
Contoh 5: Turunkan fungsi tt
t
ee
e
tf −
+
=)(
( ) ( )
( )2tt
tttttt
ee
eeeeee
(t)f
−
−−
+
−−+
=′
Solusi:
( )
( )2
2t2t
.dalamDistribusi
tt
00
'
t
e+e
e+ee+e
=(t)f
e
−
−
Ingat bahwa e0 = 1.
( )2tt
ee
2
(t)f
−
+
=′
4. 4
Dapatkan turunan dari .( ) 5x
exf =
( )
5x2
5e
x'f
5x
=
( ) xe x
5x'f 5
=
Good work!!
Uraian penyelesaian
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
5x2
5e
x'f
5x2
5
ex'f
55x
2
1
ex'f
5x
d
ex'f
5x
5x
2
1-
5x
5x
=
⋅=
⋅=
⋅=
dx
Bagaimana dengan turunan fungsi
?
x
axf =)(
Ingat!
Kita bisa menuliskan
)ln(axx
ea =
Sehingga
)ln()ln()( )ln('
aaaexf xax
==