1. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn
1) Khái niệm về phân thức đơn giản
Một phân số được gọi là đơn giản nếu nó có một trong các dạng sau
( )2
2 2
; ; ; , 4 0
( ) ( )
+ +
− <
+ + + + + +n n
k k mx n mx n
b ac
ax b ax b ax bx c ax bx c
Ví du 1: Các phân thức sau được gọi là phân thức đơn giản
4 2 2 3
1 2 2 5 5
; ; ; ;
1 3 1 (2 3) 3 10 (2 4)+ − + + + + +x x x x x x x
Ví du 2: Các phân thức sau chưa được gọi là phân thức đơn giản 2 2
1 2
; ...
1 2 3− + −x x x
2) Quy tắc đồng nhất
Xét phân thức
( )
( )
P x
Q x
. Ta xét một số trường hợp có thể xảy ra
TH1: ( )( )( ) ( )1 2 3( ) ... nQ x x x x x x x x x= − − − −
Khi đó
( )
( )
P x
Q x
luôn được phân tích được dưới dạng 31 2
1 2 3
( )
...
( )
n
n
A AA AP x
Q x x x x x x x x x
= + + + +
− − − −
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )1 2 3 2 1 3 1 2 1( ) .. ... ... ...n n n nP x A x x x x x x A x x x x x x A x x x x x x −→ ≡ − − − + − − − + − − −
Bằng phép đồng nhất hệ số tương ứng ta tìm được các giá trị A1; A2…
Ngoài ra, chúng ta cũng có thể sử dụng phương pháp gán các giá trị đặc biệt.
Ví dụ 1: Phân tích các phân thức sau thành phân thức đơn giản
a)
−
+ −2
2 1
3 2 5
x
x x
b)
( )
+ +
−
2
2
1
4
x x
x x
Hướng dẫn giải
a) Ta có ( )2
2 1 2 1
2 1 (3 5) ( 1), *
3 2 5 ( 1)(3 5) 1 3 5
x x A B
x A x B x
x x x x x x
− −
= = + → − ≡ − + −
+ − − + − −
+ Phương pháp hệ số bất định:
Đồng nhất hệ số tương ứng của (*) ta được
1
2 3 2
1 5 7
2
A
A B
A B
B

= −= + 
⇔ 
− = − −  =

Khi đó 2
2 1 1 7
3 2 5 2( 1) 2(3 5)
x
x x x x
− −
= +
+ − − −
+ Phương pháp gán giá trị đặc biệt:
Cho
1
1 2 1
2
x A A= ⇒ − = ⇔ = −
Cho
1 7
2 3 3 3
2 2
x A B B A= ⇒ + = ⇔ = − = + =
Khi đó 2
2 1 1 7
3 2 5 2( 1) 2(3 5)
x
x x x x
− −
= +
+ − − −
b)
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2
1 1
1 4 2 2
2 2 2 24
x x x x A B C
x x A x Bx x Cx x
x x x x x xx x
+ + + +
= = + + → + + ≡ − + − + +
+ − + −−
+ Cho
1
0 4 1 .
4
x A A= ⇒ − = ⇔ = −
Tài liệu bài giảng:
06. KĨ THUẬT ĐỒNG NHẤT TÌM NGUYÊN HÀM
Thầy Đặng Việt Hùng

2. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn
+ Cho
7
2 8 7 .
8
x C C= ⇒ = ⇔ =
+ Cho
3
2 8 3 .
8
x B B= − ⇒ − = ⇔ = −
Khi đó
( ) ( ) ( )
2
2
1 1 3 7
4 8 2 8 24
x x
x x xx x
+ + −
= − +
+ −−
TH2: ( )( ) ( ) ( )1 2( ) ... ...
m
k nQ x x x x x x x x x= − − − −
Khi đó 1 2 1 2
2
1 2
( )
... ...
( ) ( ) ( )
m n
m
k k k n
B AA A B BP x
Q x x x x x x x x x x x x x
 
= + + + + + + 
− − − − − − 
Ví dụ 2: Phân tích các phân thức sau thành phân thức đơn giản
a)
− +
+
2
2
5
( 3)
x x
x x
b)
( )( )
+
+ + +2
3 1
1 4 4
x
x x x
Hướng dẫn giải
a) Ta có ( )
2
2 2
2 2 2
5
5 ( 3)
( 3) 3 3
x x A B C Ax B C
x x Ax B x Cx
x x x x x x x
− + +
= + + = + → − + ≡ + + +
+ + +
+ Cho
17
3 9 17 .
9
x C C= − ⇒ = ⇔ =
+ Cho
5
0 3 5 .
3
x B B= ⇒ = ⇔ =
+ Cho ( )
17
5
5 891 5 4
3 4 9
x A B C A A
−
−
= ⇒ = + + ⇔ + = ⇒ =
Khi đó,
2
2 2
5 8 5 17
( 3) 9 3 9( 3)
x x
x x x x x
− +
= − + +
+ +
b) Ta có
( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
2
22
3 1
3 1 2 2 1 1
1 21 4 4 2
x A B C
x A x B x x C x
x xx x x x
+
= + + → + ≡ + + + + + +
+ ++ + + +
+ Cho 2 5 5.x C C= − ⇒ − = − ⇔ =
+ Cho 1 2.x A= − ⇒ = −
+ Cho 0 1 4 2 8 2 5 1 2x A B C B B= ⇒ = + + ⇔ − + + = ⇒ =
Khi đó,
( )( ) ( ) ( )
22
3 1 2 2 5
1 21 4 4 2
x
x xx x x x
+ −
= + +
+ ++ + + +
TH3: ( )( ) ( ) ( )2 2
1 2( ) ... ... ; 4 0nQ x x x x x ax bx c x x b ac= − − + + − − <
Khi đó 1 2
2
1 2
( )
...
( )
n
n
AA AP x mx n
Q x x x x x ax bx c x x
+
= + + + +
− − + + −
, đồng nhất ta thu được các hệ số tương ứng.
Ví dụ 3: Phân tích các phân thức sau thành phân thức đơn giản
a)
− +
+ +
2
2
2 1
( 2)
x x
x x x
b)
−
−3
3
1
x
x
Hướng dẫn giải
a) Ta có ( ) ( )
2
2 2
2 2
2 1
2 1 2
( 2) 2
x x A Bx C
x x A x x Bx C x
x x x x x x
− + +
= + → − + ≡ + + + +
+ + + +
+ Cho
1
0 2 1 .
2
x A A= ⇒ = ⇔ =
+ Lại có,
3
2
2
A B B+ = ⇒ = , (đồng nhất hệ số của x2
)
+ Ta cũng có
3
1
2
A C C+ = − ⇒ = − , (đồng nhất hệ số của x)
Khi đó,
2
2 2
2 1 1 3 1
( 2) 2 2 2
x x x
x x x x x x
− + −
= +
+ + + +

3. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn
b) Ta có
( )( )
( ) ( )( )2 2
3 22
3 3
2 1 1 1
1 1 11 1
x x A Bx C
x x A x x Bx C x
x x x xx x x
− − +
= = + → − + ≡ + + + + −
− − + +− + +
+ Cho
2
1 3 2 .
3
x A A= ⇒ = ⇔ =
+ Lại có,
4
2
3
A B B+ = ⇒ = , (đồng nhất hệ số của x2
)
+ Ta cũng có
1
1
3
A C C− = ⇒ = − , (đồng nhất hệ số tự do)
Khi đó,
( ) ( )3 2
3 2 4 1
1 3 1 3 1
x x
x x x x
− −
= +
− − + +
3) Áp dụng vào bài toán tìm nguyên hàm
Ví dụ 1: Tính các nguyên hàm sau
a)
+
=
− −∫1 2
2 1
3 2
x
I dx
x x
b)
+ +
=
− +∫
2
2 2
2
4 3
x x
I dx
x x
Hướng dẫn giải
a) Ta có 1 2
2 1 2 1
3 2 ( 1)(3 2)
x x
I dx dx
x x x x
+ +
= =
− − − +∫ ∫
Xét
2 1
2 1 (3 2) ( 1)
( 1)(3 2) 1 3 2
x A B
x A x B x
x x x x
+
= + → + ≡ + + −
− + − +
+ Cho
3
1 5 3
5
x A A= ⇒ = ⇔ =
+ Cho
1
0 2 1 2 1
5
x A B B A= ⇒ − = ⇔ = − =
Khi đó, 1
2 1 3 1 3 1
ln 1 ln 3 2 .
( 1)(3 2) 5( 1) 5(3 2) 5 15
x
I dx dx x x C
x x x x
 +
= = + = − + + + 
− + − + 
∫ ∫
b) Ta có
2 2
2 2
2 2
4 3 ( 1)( 3)
x x x x
I dx dx
x x x x
+ − + −
= =
− + − −∫ ∫
Xét
2
22
2 ( 3) ( 1)
( 1)( 3) 1 3
x x A B
x x A x B x
x x x x
+ +
= + → + + ≡ − + −
− − − −
+ Cho 1 2 4 2x A A= ⇒ − = ⇔ = −
+ Cho 3 2 14 7x B B= ⇒ = ⇔ =
Khi đó,
2
2 2
2 2 7
7ln 3 2ln 1 .
4 3 1 3
x x
I dx dx x x C
x x x x
+ − − 
= = + = − − − + 
− + − − 
∫ ∫
Ví dụ 2: Tính các nguyên hàm sau
a)
+ −
=
+∫
2
1 3
3 1
1
x x
I dx
x
b)
−
=
+∫2 2
2 1
( 1)
x
I dx
x x
Hướng dẫn giải
a) Ta có
2 2
1 3 2
3 1 3 1
1 ( 1)( 1)
x x x x
I dx dx
x x x x
+ − + −
= =
+ + − +∫ ∫
Xét
2
2 2
2 2
3 1
3 1 ( 1) ( )( 1)
( 1)( 1) 1 1
x x A Bx C
x x A x x Bx C x
x x x x x x
+ − +
= + → + − ≡ − + + + +
+ − + + − +
+ Cho 1 3 3 1x A A= − ⇒ = − ⇔ = −
+ Đồng nhất hệ số của x2
ta được 1 2A B B+ = ⇒ =
+ Đồng nhất hệ số tự do ta được 1 0A C C+ = − ⇒ =
Khi đó,
2
1 3 2 2
3 1 1 2 (2 1) 1
ln 1
1 1 1 1
x x x x
I dx dx x dx
x x x x x x
+ − − − + 
= = + = − + + = 
+ + − + − + 
∫ ∫ ∫

4. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn
2
2
22 2 2
1
( 1) 2
ln 1 ln 1 ln 1
1 1 1 3
2 2
d x
d x x dx
x x x x
x x x x
x
 
− − +  = − + + + = − + + − + + =
− + − +   
− +   
   
∫ ∫ ∫
2 2 2 1
ln 1 ln 1 arctan
3 3
x
x x x C
− 
− + + − + + + 
 
b) Ta có 2 2 2
2 1
( 1) 1
x A B C
I dx dx
x x x x x
−  
= = + + 
+ + 
∫ ∫
Xét 2
2 2
2 1
2 1 ( 1) ( 1)
( 1) 1
x A B C
x Ax x B x Cx
x x x x x
−
= + + → − ≡ + + + +
+ +
+ Cho 1 3 3 1x A A= − ⇒ = − ⇔ = −
+ Đồng nhất hệ số của x2
ta được 1 2A B B+ = ⇒ =
+ Đồng nhất hệ số tự do ta được 1 0A C C+ = − ⇒ =
Khi đó,
2
1 3 2 2
3 1 1 2 (2 1) 1
ln 1
1 1 1 1
x x x x
I dx dx x dx
x x x x x x
+ − − − + 
= = + = − + + = 
+ + − + − + 
∫ ∫ ∫
2
2
22 2 2
1
( 1) 2
ln 1 ln 1 ln 1
1 1 1 3
2 2
d x
d x x dx
x x x x
x x x x
x
 
− − +  = − + + + = − + + − + + =
− + − +   
− +   
   
∫ ∫ ∫
2 2 2 1
ln 1 ln 1 arctan
3 3
x
x x x C
− 
− + + − + + + 
 
Ví dụ 3: Tính các nguyên hàm sau
a) =
−∫1 3
1
x
I dx
x
b)
+ +
=
−∫
2
2 2
2
( 9)
x x
I dx
x x
Hướng dẫn giải
a) Ta có 1 3 2
1 ( 1)( 1)
x x
I dx dx
x x x x
= =
− − + +∫ ∫
Xét 2
2 2
( 1) ( )( 1)
( 1)( 1) 1 1
x A Bx C
x A x x Bx C x
x x x x x x
+
= + → ≡ + + + + −
− + + − + +
+ Cho
1
1 3 1
3
x A A= ⇒ = ⇔ =
+ Đồng nhất hệ số của x2
ta được
1
0
3
A B B+ = ⇒ = −
+ Đồng nhất hệ số tự do ta được
1
0
3
A C C− = ⇒ =
Khi đó, 1 3 2 2
1 3
(2 1)
1 1 1 1 1 2 2ln 1
1 3( 1) 3 1 3 3 1
x
x x
I dx dx x dx
x x x x x x
+ −
−
= = − = − − =
− − + + + +∫ ∫ ∫
( )
2
2
22 2
1 1 ( 1) 1 1 1 2 1
ln 1 ln 1 ln 1 arctan
3 6 1 2 3 3 31 3
2 2
d x x dx x
x x x x C
x x
x
+ + +
= − − + = − − + + + +
+ +   
+ +   
   
∫ ∫
b) Ta có
2 2
2 2
2 2
( 9) ( 3)( 3)
x x x x
I dx dx
x x x x x
+ + + +
= =
− + −∫ ∫
Xét
2
2 22
2 ( 9) ( 3) ( 3)
( 3)( 3) 3 3
x x A B C
x x A x Bx x Cx x
x x x x x x
+ +
= + + → + + ≡ − + − + +
+ − + −
+ Cho
2
0 9 2
9
x A A= ⇒ − = ⇔ = −

5. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn
+ Cho
7
3 18 14
9
x C C= ⇒ = ⇔ =
+ Cho
4
3 18 8
9
x B B= − ⇒ − = ⇔ = −
Khi đó,
2
2 2
2 2 4 7 2 4 7
ln ln 3 ln 3 .
( 9) 9 9( 3) 9( 3) 9 9 9
x x
I dx dx x x x C
x x x x x
 + +
= = − − + = − − + + − + 
− + − 
∫ ∫
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Tính các nguyên hàm, tích phân sau:
a)
3 20
1 2
1
2 6 9 9
3 2
x x x
I dx
x x−
− + +
=
− +∫ b)
23
2 3
2
3 3 3
3 2
x x
I dx
x x
+ +
=
− +∫
c) 3 2
2 3
( 1)
x
I dx
x x
+
=
−∫ d) 4 2
1
( 2) (2 3)
x
I dx
x x
−
=
+ +∫
e)
2
5 2
1 2
( 1)( 4)
x
I dx
x x x
−
=
+ + +∫ f) 6 2
1
2 ( 4 5)
x
I dx
x x x
+
=
+ +∫