1. T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ ĐỒ THỊ
8.1 Cho hàm số    3
2 1 1f x x m x    có đồ thị là  ,m
C m là tham số .
8.1.1 Với giá trị nào của m , đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt ?. Khảo sát
sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với 2m  .
Hướng dẫn :
Hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là nghiệm phương trình
          
3 2
2
1
2 1 1 0 1 1 1 2 0
1 2 0 2
x
x m x x x x m
g x x x m
  
           
    
Đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình  1 có ba nghiệm
phân biệt hay phương trình  2 có hai nghiệm phân biệt khác 1 , tức là
 
8 3 0 3 3
1 3 2 0 8 2
m
m
g m
   
  
  
8.1.2 Với giá trị nào của m , đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ :
1
) 2a x   2
) 1a x   3
) 1 0a x  
8.2.1 Tìm giao điểm của đồ thị  C của hàm số   3 2
3 3 2f x x x x    và parabol
    2
: 4 2P g x x x   . Xét vị trí tương đối của đường cong  C và parabol  P ( tức là xác định
mỗi khoảng trên đó  C nằm phía trên hoặc dưới  P ).
8.2.2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số   3
4 3 3f x x x   . Với giá trị nào của m ,
phương trình 3
4 3 2 3 0x x m    có nghiệm duy nhất ?.
8.2.3 Cho hàm số    3 2
3 3 2 1 1f x x mx m x     có đồ thị là  ,m
C m là tham số .
)a Chứng tỏ rằng với mỗi giá trị của m , đồ thị  m
C của hàm số đã cho và đường thẳng
  2 4 3m
d y mx m   luôn có một điểm chung cố định .
)b Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng  m
d và đường cong  m
C cắt nhau
1
)b Tại ba điểm phân biệt
2
)b Tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương .
)c Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi 1m 
Hướng dẫn :
)a   2 4 3m
d y mx m   luôn đi qua điểm cố định  2;3A và    2 3 m
f A C   .Để giải quyết
dạng này học sinh xem lại lý thuyết hàm số sách đại số 7 và đại số 10 .
)b        2
1
0
2 3 2 1 2 0 ) 4 9
9 8
m m
m
d C x x m x m b
m
 
            

:

2. T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
8.2.4 Cho hàm số      3 2
1 2 1 2f x x m x m x m       có đồ thị là  ,m
C m là tham số .
)a Chứng minh rằng với mỗi giá trị của m , đồ thị  m
C của hàm số đã cho luôn đi qua một điểm cố
định .
)b Chứng minh rằng mọi đường cong  m
C tiếp xúac nhau tại một điểm. Viết phương trình tiếp tuyến
chung của các đường cong  m
C tại điểm đó .
8.3.1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số   4 2
4 3f x x x   .Tìm các giá trị của m sao cho
phương trình 4 2
4 3 2 1 0x x m     có 8 nghiệm?.
8.3.2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số   4 2
2 3f x x x    .Với giá trị nào của m ,
đường thẳng 8y x m  là tiếp tuyến của đồ thị.
8.4 Cho hai hàm số        2 21 1
à 1
4 4
P f x x x v C g x x x      : :
8.4.1 Chứng minh rằng đồ thị    àP v C tiếp xúc nhau tại điểm A có hoành độ 1x  .
8.4.2 Viết phương trình tiếp tuyến cung  t của    àP v C tại điểm A . Chứng minh rằng  P nằm
phía dưới đường thẳng  t và  C nằm phía trên  t .
8.5.1 Chứng minh rằng các đồ thị hàm số      2 1
3 4, 1 à 4 6f x x x g x v k x x x
x
        tiếp
xúc nhau tại một điểm.
8.5.2 Chứng minh rằng parabol     2
: 3 1P f x x x   tiếp xúc với đồ thị  C của hàm số
 
2
2 3
1
x x
k x
x
  


. Viết phương trình tiếp tuyến chung của    àP v C tại tiếp điểm của chúng.
8.5.3 Chứng minh rằng có hai tiếp tuyến của parabol     2
: 3P f x x x  đi qua điểm
3 5
;
2 2
A
 
 
 
và
vuông góc nhau.
8.6 Cho hàm số   1
; , 1
mx
f x m m
x m

 

có đồ thị là  ,m
G m là tham số .
8.6.1 Chứng minh rằng với mỗi 1m  , đường cong  m
G luôn đi qua hai điểm cố định ,A B .
8.6.2 Gọi M là giao điểm của hai đường tiệm cận của  m
G . Tìm tập hợp của các điểm M khi m thay
đổi .
8.7.1
)a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số    4
2
x
f x H
x



.
)b Chứng minh rằng parabol  2
: 2P y x  tiếp xúc với đường cong  H . Xác định tiếp điểm và viết
phương trình tiếp tuyến chung của    àP v H tại điểm đó.

3. T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
)c Xét vị trí tương đối cuả    àP v H ( tức là xác định mỗi khoảng trên đó  P nằm phía trên hay
phía dưới  H ?.
8.7.2
)a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số    2
1
x
f x H
x



.
)b Chứng minh rằng với mọi 0m  , đường thẳng 3y mx m  cắt đường cong  H tại hai điểm phân
biệt , trong đó ít nhất một giao điểm có hoành độ lớn hơn 1.
8.8.1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số  
2
3 1x x
f x
x
 
 . Với giá trị nào của m , đồ thị
của hàm số cắt đường thẳng y m tại hai điểm phâ biệt ,A B . Tìm tập hợp trung điểm M của đoạn
thẳng AB khi m thay đổi .
8.8.2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số  
2
2 3
2
x x
f x
x
 


.Tìm các giá trị của m sao cho
đường thẳng cắt đường cong tại hai điểm phân biệt ,A B . Tìm tập hợp trung điểm M của đoạn thẳng
AB khi m thay đổi .
8.8.3 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số    
2
2 3 3
1
x x
f x C
x
 


.Tùy theo giá trị của
m , biện luận số giao điểm của  : 3d y mx m   và  C . Với giá trị nào của m , đường thẳng
 : 3d y mx m   cắt đường cong  C tại hai điểm thuộc hai nhánh của  C .
8.9.1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số  
2
1
1
x x
f x
x
 


. Với giá trị nào của m , phương
trình
2
1
1
x x
m
x
 


có 4 nghiệm?.
8.9.2 Cho hàm số    
2
, 1
1 m
x m
f x m C
x

  

)a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi 1m  .
)b Với giá trị nào của m , đường thẳng 7y x   tiếp xúc với đường cong  m
C .
)c Khi 2m  . Với giá trị nào của a ,thì phương trình  2
2 1x x a a   có 4 nghiệm phân biệt?.