Đề thi kiểm tra học kì 2 môn Toán lớp 7 - Đề 1. Mọi thông tin cần hỗ trợ tư vấn đăng ký học tập môn Toán lớp 7 vui lòng liên hệ cho chúng tôi theo số máy: 0936.128.126.
Một số chuyên đề bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 8. Mọi thông tin cần hỗ trợ tư vấn và đăng ký học tập môn Toán lớp 8 vui lòng liên hệ văn phòng gia sư: 0936.128.126.
Đề thi kiểm tra học kì 2 môn Toán lớp 7 - Đề 1. Mọi thông tin cần hỗ trợ tư vấn đăng ký học tập môn Toán lớp 7 vui lòng liên hệ cho chúng tôi theo số máy: 0936.128.126.
Một số chuyên đề bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 8. Mọi thông tin cần hỗ trợ tư vấn và đăng ký học tập môn Toán lớp 8 vui lòng liên hệ văn phòng gia sư: 0936.128.126.
[iHoc.me] 81 câu hỏi trắc nghiệm có đáp án hàm số mũ, hàm số logarithaic2hv.net
81 câu hỏi trắc nghiệm có đáp án hàm số mũ, hàm số logarit với 14 trang có kèm đáp án sẽ giúp bạn dễ dàng ôn tập trong chuyên đề hàm số mũ, hàm số logarit.
Download tài liệu toán học tại http://ihoc.me/
Toán Song ngữ Anh Việt từ Singapore tại http://book.ihoc.me/
80 câu hỏi trắc nghiệm mũ, logarit phần 2 - Nhóm Toán | iHoc.me - Tài liệu toán học
Tài liệu gồm 12 trang trong đó trang cuối cùng là đáp án để bạn có thể kiểm tra đáp số bài làm của mình.
Download file tại địa chỉ: http://ihoc.me/
The document discusses various problems involving binomial coefficients through combinatorial methods and integral calculus. It begins by proving 10 identities involving binomial coefficients using properties of binomial expressions. It then presents 10 additional problems for students to prove, involving further identities with binomial coefficients. Finally, it provides 4 problems for students to prove similar identities using integral calculus methods, involving integrating binomial expressions.
The document discusses the benefits of exercise for mental health. Regular physical activity can help reduce anxiety and depression and improve mood and cognitive function. Exercise causes chemical changes in the brain that may help protect against mental illness and improve symptoms for those who already suffer from conditions like anxiety and depression.
The document discusses the benefits of exercise for mental health. Regular physical activity can help reduce anxiety and depression and improve mood and cognitive function. Exercise stimulates the production of endorphins in the brain which elevate mood and reduce stress levels.
The document discusses the history and importance of chocolate in human civilization. It notes that chocolate originated in Mesoamerica over 3000 years ago and was prized by the Aztecs and Mayans for its taste. Cocoa beans were used as currency and their cultivation was tightly regulated. Chocolate became popular in Europe after its introduction in the 16th century and is now the most popular flavor in the world.
1. Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức
Download tài liệu học tập, xem bài giảng tại : http://24hchiase.com 1
PHẦN I: LUYỆN TẬP CĂN BẢN
I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản:
1. Cho a, b > 0 chứng minh:
33 3
a b a b
2 2
2. Chứng minh:
2 2
a b a b
2 2
3. Cho a + b 0 chứng minh:
3 3
3a b a b
2 2
4. Cho a, b > 0 . Chứng minh:
a b
a b
b a
5. Chứng minh: Với a b 1:
2 2
1 1 2
1 ab1 a 1 b
6. Chứng minh: 2 2 2
a b c 3 2 a b c ; a , b , c R
7. Chứng minh: 2 2 2 2 2
a b c d e a b c d e
8. Chứng minh: 2 2 2
x y z xy yz zx
9. a. Chứng minh:
a b c ab bc ca
; a,b,c 0
3 3
b. Chứng minh:
22 2 2
a b c a b c
3 3
10. Chứng minh:
2
2 2a
b c ab ac 2bc
4
11. Chứng minh: 2 2
a b 1 ab a b
12. Chứng minh: 2 2 2
x y z 2xy 2xz 2yz
13. Chứng minh: 4 4 2 2
x y z 1 2xy(xy x z 1)
14. Chứng minh: Nếu a + b 1 thì: 3 3 1
a b
4
15. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh:
a. ab + bc + ca a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab + bc + ca).
b. abc (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a)
c. 2a
2
b
2
+ 2b
2
c
2
+ 2c
2
a
2
– a
4
– b
4
– c
4
> 0
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng
Download tài liệu học tập, xem bài giảng tại : http://24hchiase.com 2
II. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI:
1. Chứng minh: (a b)(b c)(c a) 8abc ; a,b,c 0
2. Chứng minh: 2 2 2
(a b c)(a b c ) 9abc ; a,b,c 0
3. Chứng minh:
33
1 a 1 b 1 c 1 abc với a , b , c 0
4. Cho a, b > 0. Chứng minh:
m m
m 1a b
1 1 2
b a
, với m Z
+
5. Chứng minh:
bc ca ab
a b c ; a,b,c 0
a b c
6. Chứng minh:
6 9
2 3x y
3x y 16 ; x,y 0
4
7. Chứng minh:
4 2
2
1
2a 3a 1
1 a
.
8. Chứng minh: 1995
a 1995 a 1 , a > 0
9. Chứng minh: 2 2 2 2 2 2
a 1 b b 1 c c 1 a 6abc .
10. Cho a , b > 0. Chứng minh:
2 2 2 2 2 2
a b c 1 1 1 1
2 a b ca b b c a c
11. Cho a , b 1 , chứng minh: ab a b 1 b a 1.
12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. Chứng minh: xyz 64(x – 1)(y – 1)(z – 1)
13. Cho a > b > c, Chứng minh: 3
a 3 a b b c c .
14. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh:
a) b + c 16abc.
b) (1 – a)(1 – b)(1 – c) 8abc
c)
1 1 1
1 1 1 64
a b c
15. Cho x > y > 0 . Chứng minh:
1
x 3
x y y
16. Chứng minh:
a)
2
2
x 2
2
x 1
,x R b)
x 8
6
x 1
, x > 1 c)
2
2
a 5
4
a 1
17. Chứng minh:
ab bc ca a b c
; a, b, c 0
a b b c c a 2
18. Chứng minh:
2 2
4 4
x y 1
41 16x 1 16y
, x , y R
2. Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức
Download tài liệu học tập, xem bài giảng tại : http://24hchiase.com 3
19. Chứng minh:
a b c 3
b c a c a b 2
; a , b , c > 0
20. Cho a , b , c > 0. C/m:
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
abca b abc b c abc c a abc
21. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh:
a. 4
a b c d 4 abcd với a , b , c , d 0 (Côsi 4 số)
b. 3
a b c 3 abc với a , b , c 0 , (Côsi 3 số )
22. Chứng minh: 3 3 3 2 2 2
a b c a bc b ac c ab ; a , b , c > 0
23. Chứng minh: 3 94
2 a 3 b 4 c 9 abc
24. Cho
x 18
y
2 x
, x > 0. Định x để y đạt GTNN.
25. Cho
x 2
y ,x 1
2 x 1
. Định x để y đạt GTNN.
26. Cho
3x 1
y , x 1
2 x 1
. Định x để y đạt GTNN.
27. Cho
x 5 1
y ,x
3 2x 1 2
. Định x để y đạt GTNN.
28. Cho
x 5
y
1 x x
, 0 < x < 1 . Định x để y đạt GTNN.
29. Cho
3
2
x 1
y
x
, x > 0 . Định x để y đạt GTNN.
30. Tìm GTNN của
2
x 4x 4
f(x)
x
, x > 0.
31. Tìm GTNN của 2
3
2
f(x) x
x
, x > 0.
32. Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x)
33. Cho y = x(6 – x) , 0 x 6 . Định x để y đạt GTLN.
34. Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 x
5
2
. Định x để y đạt GTLN
35. Cho y = (2x + 5)(5 – x) ,
5
x 5
2
. Định x để y đạt GTLN
36. Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) ,
1
2
x
5
2
. Định x để y đạt GTLN
37. Cho
2
x
y
x 2
. Định x để y đạt GTLN
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng
Download tài liệu học tập, xem bài giảng tại : http://24hchiase.com 4
38. Cho
2
3
2
x
y
x 2
. Định x để y đạt GTLN
III. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki
1. Chứng minh: (ab + cd)
2
(a
2
+ c
2
)(b
2
+ d
2
) BĐT Bunhiacopxki
2. Chứng minh: sinx cosx 2
3. Cho 3a – 4b = 7. Chứng minh: 3a
2
+ 4b
2
7.
4. Cho 2a – 3b = 7. Chứng minh: 3a2
+ 5b2
725
47
.
5. Cho 3a – 5b = 8. Chứng minh: 7a
2
+ 11b
2
2464
137
.
6. Cho a + b = 2. Chứng minh: a4
+ b4
2.
7. Cho a + b 1 Chứng minh: 2 2 1
a b
2
Lời giải:
I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản:
1. Cho a, b > 0 chứng minh:
33 3
a b a b
2 2
(*)
(*)
33 3
a b a b
0
2 2
23
a b a b 0
8
. ĐPCM.
2. Chứng minh:
2 2
a b a b
2 2
()
a + b 0 , () luôn đúng.
a + b > 0 , ()
2 2 2 2
a b 2ab a b
0
4 2
2
a b
0
4
, đúng.
Vậy:
2 2
a b a b
2 2
.
3. Cho a + b 0 chứng minh:
3 3
3a b a b
2 2
3 3 3
a b a b
8 2
2 2
3 b a a b 0
2
3 b a a b 0 , ĐPCM.
4. Cho a, b > 0 . Chứng minh:
a b
a b
b a
()
() a a b b a b b a a b a a b b 0
3. Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức
Download tài liệu học tập, xem bài giảng tại : http://24hchiase.com 5
a b a b 0
2
a b a b 0 , ĐPCM.
5. Chứng minh: Với a b 1:
2 2
1 1 2
1 ab1 a 1 b
()
2 2
1 1 1 1
0
1 ab 1 ab1 a 1 b
2 2
2 2
ab a ab b
0
1 a 1 ab 1 b 1 ab
2 2
a b a b a b
0
1 a 1 ab 1 b 1 ab
2 2
b a a b
0
1 ab 1 a 1 b
2 2
2 2
b a a ab b ba
0
1 ab 1 a 1 b
2
2 2
b a ab 1
0
1 ab 1 a 1 b
, ĐPCM.
Vì : a b 1 ab 1 ab – 1 0.
6. Chứng minh: 2 2 2
a b c 3 2 a b c ; a , b , c R
2 2 2
a 1 b 1 c 1 0 . ĐPCM.
7. Chứng minh: 2 2 2 2 2
a b c d e a b c d e
2 2 2 2
2 2 2 2a a a a
ab b ac c ad d ae e 0
4 4 4 4
2 2 2 2
a a a a
b c d e 0
2 2 2 2
. ĐPCM
8. Chứng minh: 2 2 2
x y z xy yz zx
2 2 2
2x 2y 2z 2xy 2yz 2zx 0
2 22
x y x z y z 0
9. a. Chứng minh:
a b c ab bc ca
; a,b,c 0
3 3
2 2 2
a b c ab bc ca
2 2 2 2
a b c a b c 2ab 2bc 2ca ab bc ca
3 9 3
a b c ab bc ca
3 3
b. Chứng minh:
22 2 2
a b c a b c
3 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 a b c a b c 2 a b c
22 2 2
a b c 2 ab bc ca a b c
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng
Download tài liệu học tập, xem bài giảng tại : http://24hchiase.com 6
22 2 2
a b c a b c
3 3
10. Chứng minh:
2
2 2a
b c ab ac 2bc
4
2
2 2a
a b c b c 2bc 0
4
2
a
b c 0
2
.
11. Chứng minh: 2 2
a b 1 ab a b
2 2
2a 2b 2 2ab 2a 2b 0
2 2 2 2
a 2ab b a 2a 1 b 2b 1 0
2 2 2
a b a 1 b 1 0 .
12. Chứng minh: 2 2 2
x y z 2xy 2xz 2yz
2 2 2
x y z 2xy 2xz 2yz 0 (x – y + z)
2
0.
13. Chứng minh: 4 4 2 2
x y z 1 2x(xy x z 1)
4 4 2 2 2 2
x y z 1 2x y 2x 2xz 2x 0
2 2 22 2
x y x z x 1 0 .
14. Chứng minh: Nếu a + b 1 thì: 3 3 1
a b
4
a + b 1 b 1 – a b
3
= (1 – a)
3
= 1 – a + a
2
– a
3
a
3
+ b
3
=
2
1 1 1
3 a
2 4 4
.
15. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh:
a. ab + bc + ca a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab + bc + ca).
ab + bc + ca a
2
+ b
2
+ c
2
(a – b)
2
+ (a – c)
2
+ (b – c)
2
a b c , b a c , c a b
2 2 2
a b 2bc c , 2 2 2
b a 2ac c , 2 2 2
c a 2ab b
a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab + bc + ca).
b. abc (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a)
22 2
a a b c 2
a a c b a b c
22 2
b b a c 2
b b c a a b c
22 2
c c a b 2
c b c a a c b
2 2 22 2 2
a b c a b c a c b b c a
abc a b c a c b b c a
c. 2a2
b2
+ 2b2
c2
+ 2c2
a2
– a4
– b4
– c4
> 0
4a2
b2
+ 2c2
(b2
+ a2
) – a4
– b4
– 2a2
b2
– c4
> 0
4. Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức
Download tài liệu học tập, xem bài giảng tại : http://24hchiase.com 7
4a
2
b
2
+ 2c
2
(b
2
+ a
2
) – (a
2
+ b
2
)
2
– c
4
> 0
(2ab)
2
– [(a
2
+ b
2
) – c
2
]
2
> 0 [c
2
– (a – b)
2
][(a + b)
2
– c
2
] > 0
(c – a + b)(c + a – b)(a + b – c)(a + b + c) > 0 . đúng
Vì a , b , c là ba cạnh của tam giác
c – a + b > 0 , c + a – b > 0 , a + b – c > 0 , a + b + c > 0.
II. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI:
1. Chứng minh: (a b)(b c)(c a) 8abc ; a, b, c 0
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm:
a b 2 ab , b c 2 bc , a c 2 ac
2 2 2
a b b c a c 8 a b c 8abc .
2. Chứng minh: 2 2 2
(a b c)(a b c ) 9abc ; a,b,c 0
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm:
3
a b c 3 abc ,
32 2 2 2 2 2
a b c 3 a b c
32 2 2 3 3 3
a b c a b c 9 a b c 9abc .
3. Chứng minh:
33
1 a 1 b 1 c 1 abc , với a , b , c 0.
1 a 1 b 1 c 1 a b c ab ac bc abc.
3
a b c 3 abc ,
3 2 2 2
ab ac bc 3 a b c
33 2 2 23 3
1 a 1 b 1 c 1 3 abc 3 a b c abc 1 abc
4. Cho a, b > 0. Chứng minh:
m m
m 1a b
1 1 2
b a
, với m Z+
m m m m m
m m 1
a b a b b a
1 1 2 1 . 1 2 2
b a b a a b
2 4 2
5. Chứng minh:
bc ca ab
a b c ; a, b, c 0
a b c
Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm:
2
bc ca abc
2 2c
a b ab
,
2
bc ba b ac
2 2b
a c ac
,
2
ca ab a bc
2 2a
b c bc
bc ca ab
a b c
a b c
.
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng
Download tài liệu học tập, xem bài giảng tại : http://24hchiase.com 8
6. Chứng minh:
6 9
2 3x y
3x y 16 ; x,y 0
4
()
() 6 9 2 3
x y 64 12x y
3 3
2 3 3 2 3
x y 4 12x y
Áp dụng BĐT Côsi cho ba số không âm:
3 32 3 3 2 3 2 3
x y 4 3x y 4 12x y .
7. Chứng minh:
4 2
2
1
2a 3a 1
1 a
()
()
4 4 2 2
2
1
a a a 1 4a
1 a
.
Áp dụng BĐT Côsi cho 4 số không âm:
4 4 2
2
1
a , a , a 1,
1 a
4 4 2 4 4 2 24
2 2
1 1
a a a 1 4 a a a 1 4a
1 a 1 a
8. Chứng minh: 1995
a 1995 a 1 () , a > 0
() 1995 1995
a 1995a 1995 a 1995 1995a
19951995 1995 1995 1995
1994 soá
a 1995 a 1994 a 1 1 ... 1 1995 a 1995a
9. Chứng minh: 2 2 2 2 2 2
a 1 b b 1 c c 1 a 6abc .
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a 1 b b 1 c c 1 a a a b b b c c c a
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 6 số không âm:
62 2 2 2 2 2 2 2 2 6 6 6
a a b b b c c c a 6 a b c 6abc
10. Cho a , b > 0. Chứng minh:
2 2 2 2 2 2
a b c 1 1 1 1
2 a b ca b b c a c
2 2
a a 1
2ab 2ba b
,
2 2
b b 1
2bc 2cb c
,
2 2
c c 1
2ac 2aa c
Vậy:
2 2 2 2 2 2
a b c 1 1 1 1
2 a b ca b b c a c
11. Cho a , b 1 , chứng minh: ab a b 1 b a 1.
a a 1 1 2 a 1, b b 1 1 2 b 1
ab 2b a 1, ab 2a b 1
ab a b 1 b a 1
12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. C/m: xyz 64(x – 1)(y – 1)(z – 1)
5. Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức
Download tài liệu học tập, xem bài giảng tại : http://24hchiase.com 9
x x 1 1 x 1 x y z 3
24
x 1 x 1 y 1 z 1 4 x 1 y 1 z 1
Tương tự:
24
y 4 x 1 y 1 z 1 ;
24
z 4 x 1 y 1 z 1
xyz 64(x – 1)(y – 1)(z – 1).
13. Cho a > b > c, Chứng minh: 3
a 3 a b b c c .
3
a a b b c c 3 a b b c c
14. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh:
a) b + c 16abc.
2
b c
bc
2
2 2
2b c 1 a
16abc 16a 16a 4a 1 a
2 2
2 22
4a 1 a 1 a 4a 4a 1 a 1 1 2a 1 a b c
b) (1 – a)(1 – b)(1 – c) 8abc
(1 – a)(1 – b)(1 – c) = (b + c)(a + c)(a + b) 2 bc.2 ac.2 ab 8abc
c)
1 1 1
1 1 1 64
a b c
4 2
1 a a b c 4 a bc
1
a a a
4 2
1 4 ab c
1
b b
4 2
1 4 abc
1
c c
1 1 1
1 1 1 64
a b c
15. Cho x > y > 0 . Chứng minh:
1
x 3
x y y
3
x y y1
VT x y y 3 3
x y y x y y
16. Chứng minh:
a)
2
2
x 2
2
x 1
2 2
x 2 2 x 1 2 2
x 1 1 2 x 1
b)
x 8
x 1
=
x 1 9 9 9
x 1 2 x 1 6
x 1 x 1 x 1
c. 2 2 2
a 1 4 2 4 a 1 4 a 1
2
2
a 5
4
a 1
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng
Download tài liệu học tập, xem bài giảng tại : http://24hchiase.com 10
17. Chứng minh:
ab bc ca a b c
; a, b, c 0
a b b c c a 2
Vì : a b 2 ab
ab ab ab
a b 22 ab
,
bc bc bc
b c 22 bc
,
ac ac ac
a c 22 ac
a b c ab bc ca , dựa vào: 2 2 2
a b c ab bc ca .
ab bc ca ab bc ac a b c
a b b c c a 2 2
18. Chứng minh:
2 2
4 4
x y 1
41 16x 1 16y
, x , y R
2 2 2
4 2 2
x x x 1
81 16x 2.4x1 4x
2 2 2
4 2 2
y y y 1
81 16y 2.4y1 4y
2 2
4 4
x y 1
41 16x 1 16y
19. Chứng minh:
a b c 3
b c a c a b 2
; a , b , c > 0
Đặt X = b + c , Y = c + a , Z = a + b.
a + b + c =
1
2
(X + Y + Z)
Y Z X Z X Y X Y Z
a , b , c
2 2 2
a b c 1 Y X Z X Z Y
3
b c a c a b 2 X Y X Z Y Z
1 3
2 2 2 3
2 2
.
Cách khác:
a b c a b c
1 1 1 3
b c a c a b b c a c a b
1 1 1 1
a b b c c a 3
2 b c a c a b
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm:
1 1 1 1 9 3
a b b c c a 3
2 b c a c a b 2 2
6. Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức
Download tài liệu học tập, xem bài giảng tại : http://24hchiase.com 11
20. Cho a , b , c > 0. C/m:
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
abca b abc b c abc c a abc
3 3 2 2
a b a b a ab a a b ab
3 3
a b abc a b ab abc ab a b c , tương tự
3 3
b c abc b c bc abc bc a b c
3 3
c a abc c a ca abc ca a b c
1 1 1 1 a b c
VT
ab a b c bc a b c ca a b c a b c abc
21. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh:
a. 4
a b c d 4 abcd với a , b , c , d 0 (Côsi 4 số)
a b 2 ab , c d 2 cd
4
a b cd 2 ab cd 2 2 ab. cd 4 abcd
b. 3
a b c 3 abc với a , b , c 0 , (Côsi 3 số )
4
a b c a b c
a b c 4. abc
3 3
4
a b c a b c
abc
3 3
4
a b c a b c
abc
3 3
3
a b c
abc
3
3
a b c 3 abc .
22. Chứng minh: 3 3 3 2 2 2
a b c a bc b ac c ab ; a , b , c > 0
3 2
a abc 2a bc , 3 2
b abc 2b ac , 3 2
c abc 2c ab
3 3 3 2 2 2
a b c 3abc 2 a bc b ac c ab
3 3 3 2 2 2
2 a b c 2 a bc b ac c ab ,
vì : 3 3 3
a b c 3abc
Vậy: 3 3 3 2 2 2
a b c a bc b ac c ab
23. Chứng minh: 3 94
2 a 3 b 4 c 9 abc
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 9 số không âm:
3 3 3 94 4 4 4
VT a a b b b c c c c 9 abc
24. Cho
x 18
y
2 x
, x > 0. Định x để y đạt GTNN.
Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm:
x 18 x 18
y 2 . 6
2 x 2 x
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng
Download tài liệu học tập, xem bài giảng tại : http://24hchiase.com 12
Dấu “ = ” xảy ra 2x 18
x 36 x 6
2 x
, chọn x = 6.
Vậy: Khi x = 6 thì y đạt GTNN bằng 6
25. Cho
x 2
y ,x 1
2 x 1
. Định x để y đạt GTNN.
x 1 2 1
y
2 x 1 2
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm
x 1 2
,
2 x 1
:
x 1 2 1 x 1 2 1 5
y 2 .
2 x 1 2 2 x 1 2 2
Dấu “ = ” xảy ra
2 x 3x 1 2
x 1 4
x 1(loaïi)2 x 1
Vậy: Khi x = 3 thì y đạt GTNN bằng
5
2
26. Cho
3x 1
y , x 1
2 x 1
. Định x để y đạt GTNN.
3(x 1) 1 3
y
2 x 1 2
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm
3 x 1 1
,
2 x 1
:
3 x 1 1 3 3 x 1 1 3 3
y 2 . 6
2 x 1 2 2 x 1 2 2
Dấu “ = ” xảy ra
2
6
x 1
3 x 1 1 2 3
x 1
2 x 1 3 6
x 1(loaïi)
3
Vậy: Khi
6
x 1
3
thì y đạt GTNN bằng
3
6
2
27. Cho
x 5 1
y ,x
3 2x 1 2
. Định x để y đạt GTNN.
2x 1 5 1
y
6 2x 1 3
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm
2x 1 5
,
6 2x 1
:
7. Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức
Download tài liệu học tập, xem bài giảng tại : http://24hchiase.com 13
2x 1 5 1 2x 1 5 1 30 1
y 2 .
6 2x 1 3 6 2x 1 3 3
Dấu “ = ” xảy ra
2
30 1
x
2x 1 5 2
2x 1 30
6 2x 1 30 1
x (loaïi)
2
Vậy: Khi
30 1
x
2
thì y đạt GTNN bằng
30 1
3
28. Cho
x 5
y
1 x x
, 0 < x < 1 . Định x để y đạt GTNN.
x 5 1 x 5x x x 1 x 1 x
f(x) 5 5 2 5 5 2 5 5
1 x x 1 x x 1 x x
Dấu “ = ‘ xảy ra
2
x 1 x x 5 5
5 5 x
1 x x 1 x 4
(0 < x < 1)
Vậy: GTNN của y là 2 5 5 khi
5 5
x
4
29. Cho
3
2
x 1
y
x
, x > 0 . Định x để y đạt GTNN.
3
3
2 2 2 2 3
x 1 1 x x 1 x x 1 3
x 3
2 2 2 2 4x x x x
Dấu “ = ‘ xảy ra 2
x x 1
2 2 x
3
x 2 .
Vậy: GTNN của y là 3
3
4
khi 3
x 2
30. Tìm GTNN của
2
x 4x 4
f(x)
x
, x > 0.
2
x 4x 4 4 4
x 4 2 x. 4 8
x x x
Dấu “ = ‘ xảy ra
4
x
x
x = 2 (x > 0).
Vậy: GTNN của y là 8 khi x = 2.
31. Tìm GTNN của 2
3
2
f(x) x
x
, x > 0.
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng
Download tài liệu học tập, xem bài giảng tại : http://24hchiase.com 14
3 22 2 2 2
2 5
3 3 3 3 5
2 x x x 1 1 x 1 5
x 5
3 3 3 3 27x x x x
Dấu “ = ‘ xảy ra
2
5
3
x 1
x 3
3 x
x = 2 (x > 0).
Vậy: GTNN của y là 5
5
27
khi 5
x 3 .
32. Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x)
f(x) = –10x
2
+ 11x – 3 =
2
2 11x 11 1 1
10 x 3 10 x
10 20 40 40
Dấu “ = “ xảy ra
11
x
20
Vậy: Khi
11
x
20
thì y đạt GTLN bằng
1
40
.
33. Cho y = x(6 – x) , 0 x 6 . Định x để y đạt GTLN.
Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm x và 6 – x (vì 0 x 6):
6 x 6 x 2 x 6 x x(6 – x) 9
Dấu “ = “ xảy ra x = 6 – x x = 3
Vậy: Khi x = 3 thì y đạt GTLN bằng 9.
34. Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 x
5
2
. Định x để y đạt GTLN.
y = (x + 3)(5 – 2x) =
1
2
(2x + 6)(5 – 2x)
Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 6 và 5 – 2x ,
5
3 x
2
:
11 2x 6 5 2x 2 2x 6 5 2x
1
2
(2x + 6)(5 – 2x)
121
8
Dấu “ = “ xảy ra 2x + 6 = 5 – 2x
1
x
4
Vậy: Khi
1
x
4
thì y đạt GTLN bằng
121
8
.
35. Cho y = (2x + 5)(5 – x) ,
5
x 5
2
. Định x để y đạt GTLN.
y = (2x + 5)(5 – x) =
1
2
(2x + 5)(10 – 2x)
Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 5 , 10 – 2x ,
5
x 5
2
:
8. Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức
Download tài liệu học tập, xem bài giảng tại : http://24hchiase.com 15
2x 5 10 2x 2 2x 5 10 2x
1
2
(2x + 5)(10 – 2x)
625
8
Dấu “ = “ xảy ra 2x + 5 = 10 – 2x
5
x
4
Vậy: Khi
5
x
4
thì y đạt GTLN bằng
625
8
36. Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) ,
1
2
x
5
2
. Định x để y đạt GTLN
y = 3(2x + 1)(5 – 2x)
Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 1 , 5 – 2x ,
1 5
x
2 2
:
2x 1 5 2x 2 2x 1 5 2x (2x + 1)(5 – 2x) 9
Dấu “ = “ xảy ra 2x + 1 = 5 – 2x x = 1
Vậy: Khi x = 1 thì y đạt GTLN bằng 9.
37. Cho
2
x
y
x 2
. Định x để y đạt GTLN
2 2
2 x 2 2x 2x 2
2
1 x
2 2 2 x
1
y
2 2
Dấu “ = “ xảy ra 2
x 2 và x > 0 x= 2
Vậy: Khi x 2 thì y đạt GTLN bằng
1
2 2
.
38. Cho
2
3
2
x
y
x 2
. Định x để y đạt GTLN
32 2 2
x 2 x 1 1 3 x .1.1
23
2 2
3
2
x 1
x 2 27x
27
x 2
Dấu “ = “ xảy ra 2
x 1 x 1
Vậy: Khi x 1 thì y đạt GTLN bằng
1
27
.
III. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki
1. Chứng minh: (ab + cd)
2
(a
2
+ c
2
)(b
2
+ d
2
) () BĐT Bunhiacopxki
() 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b 2abcd c d a b a d c b c d
2 2 2 2
a d c b 2abcd 0
2
ad cb 0 .
2. Chứng minh: sinx cosx 2
Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 1 , sinx , 1 , cosx :
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng
Download tài liệu học tập, xem bài giảng tại : http://24hchiase.com 16
sinx cosx 2 2 2 2
1. sinx 1. cosx 1 1 sin x cos x 2
3. Cho 3a – 4b = 7. Chứng minh: 3a
2
+ 4b
2
7.
Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 3 , 3 a , 4 , 4b :
2 2
3a 4b 3. 3a 4. 4b 3 4 3a 4b 3a
2
+ 4b
2
7.
4. Cho 2a – 3b = 7. Chứng minh: 3a
2
+ 5b
2
725
47
.
2 3
2a 3b 3 a 5 b
3 5
Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số
2 3
, 3 a , , 5b
3 5
:
2 22 3 4 9
3a 5b 3a 5b
3 53 5
3a2
+ 5b2
735
47
.
5. Cho 3a – 5b = 8. Chứng minh: 7a
2
+ 11b
2
2464
137
.
3 5
3a 5b 7 a 11b
7 11
Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số
3 5
, 7 a , , 11b
7 11
:
2 23 5 9 25
7 a 11b 7a 11b
7 117 11
7a
2
+ 11b
2
2464
137
.
6. Cho a + b = 2. Chứng minh: a
4
+ b
4
2.
Áp dụng BĐT Bunhiacopski:
2 2
2 a b 1 1 a b a
2
+ b
2
2
2 2 4 4
2 a b 1 1 a b a
4
+ b
4
2
7. Cho a + b 1 Chứng minh: 2 2 1
a b
2
2 2 2 2 2 2 1
1 a b 1 1 a b a b
2
9. Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức
Download tài liệu học tập, xem bài giảng tại : http://24hchiase.com 17
PHẦN II. ĐỀ THI ĐẠI HỌC
1. (CĐGT II 2003 dự bị)
Cho 3 số bất kì x, y, z. CMR: 2 2 2 2 2 2
x xy y x xz+z y yz+z
2. (CĐBC Hoa Sen khối A 2006)
Cho x, y, z > 0 và xyz = 1. Chứng minh rằng: x
3
+ y
3
+ z
3
x + y + z.
3. (CĐKTKT Cần Thơ khối A 2006)
Cho 3 số dương x, y, z thoả x + y + z 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức: A = x + y + z +
1 1 1
x y z
4. (CĐSPHCM khối ABTDM 2006)
Cho x, y là hai số thực dương và thoả x + y =
5
4
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức: A =
4 1
x 4y
.
5. (CĐKTKT Cần Thơ khối B 2006)
Cho 4 số dương a, b, c, d. Chứng minh bất đẳng thức:
a b c d
a b c b c d c d a d a b
< 2
6. (CĐKT Cao Thắng khối A 2006)
Chứng minh rằng nếu x > 0 thì (x + 1)
2
2
1 2
1
xx 16.
7. (CĐKTKTCN1 khối A 2006)
Cho 3 số dương a, b, c. Ch. minh rằng:
a b c a b c a b c
9
a b c
8. (CĐKTYTế1 2006)
Cho các số thực x, y thay đổi thoả mãn điều kiện: y 0; x
2
+ x = y + 12.
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng
Download tài liệu học tập, xem bài giảng tại : http://24hchiase.com 18
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: A = xy + x + 2y + 17
9. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006)
Cho x, y, z > 0; x + y + z = xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = xyz.
10. (Học viện BCVT 2001)
Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c thoả mãn điều kiện: a + b + c = 1
thì:
a b c a b c
1 1 1 a b c
3
3 3 3 3 3 3
11. (ĐH Đà Nẵng khối A 2001 đợt 2)
Cho ba số dương a, b, c thoả a2
+ b2
+ c2
= 1. Chứng minh:
2 2 2 2 2 2
a b c 3 3
2b c c a a b
12. (ĐH Kiến trúc HN 2001)
Cho các số a, b, c thoả:
2 2 2
a b c 2
ab bc ca 1
Chứng minh:
4 4 4 4 4 4
a ; b ; c
3 3 3 3 3 3
13. (Học viện NH TPHCM khối A 2001)
Cho ABC có 3 cạnh là a, b, c và p là nửa chu vi. Chứng minh rằng:
1 1 1 1 1 1
2
p a p b p c a b c
14. (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001)
Cho 3 số x, y, z > 0. Chứng minh rằng:
3 2 3 2 3 2 2 2 2
2 y2 x 2 z 1 1 1
x y y z z x x y z
15. (ĐH PCCC khối A 2001)
Ch. minh rằng với a ≥ 2, b ≥ 2, c ≥ 2 thì: b c c a a blog a log b log c 1
16. (ĐH Quốc gia HN khối D 2001)
Ch. minh rằng với mọi x ≥ 0 và với mọi > 1 ta luôn có: x
+ – 1 ≥ x.
Từ đó chứng minh rằng với 3 số dương a, b, c bất kì thì:
3 3 3
3 3 3
a b c a b c
b c ab c a
17. (ĐH Thái Nguyên khối D 2001)
Cho a ≥ 1, b ≥ 1. Chứng minh rằng: a b 1 b a 1 ab (*)
18. (ĐH Vinh khối A, B 2001)
Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi
bằng 3 thì: 3a
2
+ 3b
2
+ 3c
2
+ 4abc ≥ 13
19. (ĐH Y Thái Bình khối A 2001)
Cho a, b, c là những số dương và a + b = c. Ch. minh rằng:
2 2 2
3 3 3a b c
10. Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức
Download tài liệu học tập, xem bài giảng tại : http://24hchiase.com 19
20. (ĐHQG HN khối A 2000)
Với a, b, c là 3 số thực bất kì thoả điều kiện a + b + c = 0. Chứng minh
rằng: 8
a
+ 8
b
+ 8
c
≥ 2
a
+ 2
b
+ 2
c
21. (ĐHQG HN khối D 2000)
Với a, b, c là 3 số thực dương thoả điều kiện: ab + bc + ca = abc. Chứng
minh rằng:
2 2 2 2 2 2
b 2a c 2b a 2c
3
ab bc ca
22. (ĐH Bách khoa HN khối A 2000)
Cho 2 số a, b thoả điều kiện a + b ≥ 0. Ch. minh rằng:
33 3
a b a b
2 2
23. (ĐHSP TP HCM khối DE 2000)
Cho 3 số a, b, c bất kì. Chứng minh các BĐT:
a) a2
+ b2
+ c2
≥ ab + bc + ca b) (ab + bc + ca)2
≥ 3abc(a + b + c)
24. (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000)
Cho 3 số dương a, b, c thoả điều kiện abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức: P =
2 2 2 2 2 2
bc ca ab
a b a c b c b a c a c b
25. (ĐH Thuỷ lợi II 2000)
Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c ta đều có:
(a + 1).(b + 1).(c + 1) ≥
3
3
1 abc
26. (ĐH Y HN 2000)
Giả sử x, y là hai số dương thoả điều kiện
2 3
6
x y
. Tìm giá trị nhỏ nhất
của tổng x + y.
27. (ĐH An Giang khối D 2000)
Cho các số a, b, c ≥ 0. Chứng minh: a
c + 1
+ b
c + 1
≥ ab(a
c – 1
+ b
c – 1
)
28. (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000)
CMR với mọi x, y, z dương và x + y + z = 1 thì xy + yz + zx >
18xyz
2 xyz
29. (ĐH An Ninh khối A 2000)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ≥ 3 ta đều có: n
n + 1
> (n + 1)
n
30. (CĐSP Nha Trang 2000)
Cho 2 số thực a, b thoả điều kiện: a, b ≥ –1 và a + b = 1. Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức: A = a 1 b 1
31. (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)
Chứng minh BĐT sau đây luôn luôn đúng với mọi số thực x, y, z bất kì
khác không:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 9
x y z x y z
BĐT cuối cùng luôn đúng BĐT cần chứng minh đúng.
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng
Download tài liệu học tập, xem bài giảng tại : http://24hchiase.com 20
32. (ĐH Y Dược TP HCM 1999)
Cho 3 số a, b, c khác 0. Chứng minh:
2 2 2
2 2 2
a b c a b c
b c ab c a
33. (ĐH Hàng hải 1999)
Cho x, y, z ≥ 0 và x + y + z ≤ 3. Chứng minh rằng:
2 2 2
x y z 3 1 1 1
2 1 x 1 y 1 z1 x 1 y 1 z
34. (ĐH An ninh HN khối D 1999)
Cho 3 số x, y, z thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0;1]. Chứng minh rằng:
2(x3
+ y3
+ z3
) – (x2
y + y2
z + z2
x) ≤ 3 (*)
35. (Đại học 2002 dự bị 1)
Gọi x, y, z là khoảng cách từ điểm M thuộc miền trong của ABC có 3 góc
nhọn đến các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng:
2 2 2
a b c
x y z
2R
(a, b, c là các cạnh của ABC, R là
bán kính đường tròn ngoại tiếp). Dấu “=” xảy ra khi nào?
36. (Đại học 2002 dự bị 3)
Giả sử x, y là hai số dương thay đổi thoả mãn điều kiện x + y =
5
4
. Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S =
4 1
x 4y
37. (Đại học 2002 dự bị 5)
Giả sử a, b, c, d là 4 số nguyên thay đổi thoả mãn 1 ≤ a < b < c < d ≤ 50.
Chứng minh bất đẳng thức:
2
a c b b 50
b d 50b
và tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức: S =
a c
b d
.
38. (Đại học 2002 dự bị 6)
Cho tam giác ABC có diện tích bằng
3
2
. Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các
cạnh BC, CA, AB và ha, hb, hc tương ứng là độ dài các đường cao kẻ từ
các đỉnh A, B, C. Chứng minh rằng:
a b c
1 1 1 1 1 1
3
a b c h h h
39. (Đại học khối A 2003)
Cho x, y, z là 3 số dương và x + y + z 1. Chứng minh rằng:
2 2 2
2 2 2
1 1 1
x y z 82
x y z
11. Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức
Download tài liệu học tập, xem bài giảng tại : http://24hchiase.com 21
40. (Đại học khối A 2003 dự bị 1)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = sin
5
x + 3 cosx
41. (Đại học khối A 2003 dự bị 2)
Tính các góc của tam giác ABC, biết rằng:
4p(p a) bc (1)
A B C 2 3 3
sin sin sin (2)
2 2 2 8
trong đó BC = a, CA = b, AB = c, p =
a b c
2
.
42. (Đại học khối A 2005)
Cho x, y, z là các số dương thoả mãn :
1 1 1
4
x y z
.
Chứng minh rằng:
1 1 1
1
2x+y+z x 2y z x y 2z
43. (Đại học khối B 2005)
Chứng minh rằng với mọi x R, ta có:
x x x
x x x12 15 20
3 4 5
5 4 3
Khi nào đẳng thức xảy ra?
44. (Đại học khối D 2005)
Cho các số dương x, y, z thoả mãn xyz = 1. Chứng minh rằng:
3 3 3 3 3 3
1 x y 1 y z 1 z x
3 3
xy yz zx
Khi nào đẳng thức xảy ra?
45. (Đại học khối A 2005 dự bị 1)
Cho 3 số x, y, z thoả x + y + z = 0. CMR: x y z
3 4 3 4 3 4 6
46. (Đại học khối A 2005 dự bị 2)
Chứng minh rằng với mọi x, y > 0 ta có:
2
y 9
1 x 1 1
x y
256
Đẳng thức xảy ra khi nào?
47. (Đại học khối B 2005 dự bị 1)
Cho 3 số dương a, b, c thoả mãn: a + b + c =
3
4
. Chứng minh rằng:
3 3 3
a 3b b 3c c 3a 3
Khi nào đẳng thức xảy ra?
48. (Đại học khối B 2005 dự bị 2)
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng
Download tài liệu học tập, xem bài giảng tại : http://24hchiase.com 22
Chứng minh rằng nếu 0 y x 1 thì
1
x y y x
4
.
Đẳng thức xảy ra khi nào?
49. (Đại học khối D 2005 dự bị 2)
Cho x, y, z là 3 số dương và xyz = 1. CMR:
2 2 2
x y z 3
1 y 1 z 1 x 2
50. (Đại học khối A 2006)
Cho 2 số thực x ≠ 0, y ≠ 0 thay đổi và thoả mãn điều kiện:
(x + y)xy = x2
+ y2
– xy.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 3 3
1 1
x y
.
51. (Đại học khối B 2006)
Cho x, y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A =
2 22 2
x 1 y x 1 y y 2
LỜI GIẢI
1. (CĐGT II 2003 dự bị)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xét các điểm:
A
y 3
x ; z
2 2
, B
3 3
0; y z
2 2
, C
y z
;0
2 2
Ta có: AB =
22
2 2y 3
x y x xy y
2 2
AC =
22
2 2z 3
x z x xz z
2 2
BC =
22
2 2y z 3
(y z) y yz+z
2 2 2
Với 3 điểm A, B, C ta luôn có: AB + AC ≥ BC
2 2 2 2 2 2
x xy y x xz+z y yz+z
2. (CĐBC Hoa Sen khối A 2006)
x3
+ y3
+ z3
3 3 3 33
x y z 2(x3
+ y3
+ z3
) 6
x3
+ 1 + 1 3 3 3
x x3
+ 2 3x(1)
Tương tự: y
3
+ 1 + 1 3 33
y y
3
+ 2 3y(2)
12. Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức
Download tài liệu học tập, xem bài giảng tại : http://24hchiase.com 23
z
3
+ 1 + 1 3
3 3
z z
3
+ 2 3z (3)
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế suy ra bất đẳng thức cần chứng minh.
3. (CĐKTKT Cần Thơ khối A 2006)
Cách 1:
Theo BĐT Côsi: 1 x + y + z 3 3 xyz > 0
3
1 1 1 3
x y z xyz
Từ đó: A 3 3 xyz +
3
3
xyz
Đặt: t = 3 xyz , điều kiện: 0 < t
1
3
Xét hàm số f(t) = 3t +
3
t
với 0 < t
1
3
f(t) = 3 – 2
3
t
=
2
2
3(t 1)
t
< 0, t
1
0;
3
Bảng biến thiên:
1
3
Từ bảng biến thiên ta suy ra: A 10. Dấu "=" xảy ra khi x = y = z =
1
3
Vậy Amin = 10 đạt được khi x = y = z =
1
3
.
Cách 2:
Theo BĐT Côsi: 1 x + y + z 3 3 xyz > 0
3
1
xyz
3
x +
1 2
9x 3
, y +
1 2
9y 3
, z +
1 2
9z 3
Từ đó: A=
1 1 1 8 1 1 1
x y z
9x 9y 9z 9 x y z
2 +
3
8 3
9 xyz
10
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z =
1
3
.Vậy Amin = 10 đạt được khi x = y = z =
1
3
4. (CĐSPHCM khối ABT 2006)
Ta có: x + y =
5
4
4x + 4y – 5 = 0
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng
Download tài liệu học tập, xem bài giảng tại : http://24hchiase.com 24
A =
4 1
x 4y
=
4 1
4x+ 4y 5
x 4y
A 2
4
.4x
x
+ 2
1
.4y
4y
– 5
A 5
Dấu "=" xảy ra
4
4x
x
1
4y
4y
5
x y
4
x,y 0
x 1
1
y
4
. Vậy Amin = 5.
5. (CĐKTKT Cần Thơ khối B 2006)
Vì a, b, c, d > 0 nên ta luôn có:
a c a c
1
a b c c d a a c a c
b d b d
1
b c d d a b b d b d
Cộng vế theo vế các BĐT trên ta được đpcm.
6. (CĐKT Cao Thắng khối A 2006)
Ta có: (x + 1)2
2
1 2
1
xx 16 (1) (x + 1)2
2
1
1
x 16
(x + 1)
1
1
x
4 (do x > 0) (x + 1)
2
4x (x – 1)
2
0 (2)
(2) luôn đúng nên (1) được chứng minh.
7. (CĐKTKTCN1 khối A 2006)
Xét vế trái của BĐT đã cho: VT =
b c a c a b
1 1 1
a a b b c c
= 3 +
b a c a c b
a b a c b c
Do a, b, c > 0 nên theo BĐT Côsi ta có:
b a b a
2 . 2
a b a b
;
b c b c
2 . 2
c b c b
;
c a c a
2 . 2
a c a c
Khi đó: VT 3 + 2 + 2 + 2 = 9 (đpcm).
8. (CĐKTYTế1 2006)
y 0, x
2
+ x = y + 12 x
2
+ x – 12 0 – 4 x 3
y = x
2
+ x – 12 A = x
3
+ 3x
2
– 9x – 7
Đặt f(x) = A = x
3
+ 3x
2
– 9x – 7 với – 4 x 3
f(x) = 3x
2
+ 6x – 9 ; f(x) = 0 x = 1 hoặc x = – 3
f(–4) = 13, f(–3) = 20, f(1) = –12, f(3) = 20
13. Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức
Download tài liệu học tập, xem bài giảng tại : http://24hchiase.com 25
Vậy maxA = 20 (x = 3, y = 0), minA = –12 (x = 1, y = –10).
9. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006)
Ta có: x + y + z 3 3 xyz xyz 3 3 xyz (xyz)
2
27 xyz 3 3
Dấu "=" xảy ra x = y = z = 3 .
Vậy minA = 3 3 .
10. (Học viện BCVT 2001)
Ta có hàm số f(x) = x
1
3
là hàm nghịch biến nên:
(a – b)
a b
1 1
3 3
≤ 0, a, b.
a b a b
a b b a
3 3 3 3
, a, b. (1)
Tương tự: b c c b
b c b c
3 3 3 3
(2)
c a c a
c a a c
3 3 3 3
(3)
Mặt khác: a b c a b c
a b c a b c
3 3 3 3 3 3
(4)
Cộng (1), (2), (3), (4) vế theo vế ta được:
a b c a b c
a b c 1 1 1
3 (a b c)
3 3 3 3 3 3
Hay
a b c a b c
a b c 1 1 1
3
3 3 3 3 3 3
(vì a + b + c = 1)
Dấu “=” xảy ra a = b = c =
1
3
.
11. (ĐH Đà Nẵng khối A 2001 đợt 2)
Do a
2
+ b
2
+ c
2
= 1 nên
2
2 2 2 2
a a a
b c 1 a a(1 a )
(1)
Mà 2a
2
.(1 – a
2
)
2
≤
3 32 2 2
2a (1 a ) (1 a ) 2
3 3
a
2
.(1 – a
2
)
2
≤
4
27
a(1 – a
2
) ≤
2
3 3
(2)
Từ (1), (2) suy ra:
2
2 2
a 3 3
a
2b c
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng
Download tài liệu học tập, xem bài giảng tại : http://24hchiase.com 26
Do đó:
2 2 2
2 2 2 2 2 2
a b c 3 3 3 3
(a b c )
2 2b c c a a b
Dấu “=” xảy ra
2 2
2 2
2 2
2a 1 a
2b 1 b
2c 1 c
a = b = c =
1
3
.
12. (ĐH Kiến trúc HN 2001)
Ta có:
2 2 2
a b c 2
ab bc ca 1
2 2
(a b) 2ab 2 c
c(a b) ab 1
Ta xem đây là hệ phương trình của a, b và đặt
a b S
ab P
(S2
– 4P ≥ 0)
Ta được hệ:
2 2
S 2P 2 c (1)
cS+P =1 (2)
Từ (2) P = 1 – cS, thay vào (1) ta được:
S
2
– 2(1 – cS) = 2 – c
2
S
2
+ 2cS + c
2
– 4 = 0
S c 2
S c 2
Với S = – c – 2 P = 1 + c(c + 2) = c
2
+ 2c + 1
BĐT: S
2
– 4P ≥ 0 (–c – 2)
2
– 4(c
2
+ 2c + 1) ≥ 0
–3c2
– 4c ≥ 0
4
c 0
3
(3)
Với S = –c + 2 P = 1 – c(–c + 2) = c
2
– 2c + 1
BĐT: S
2
– 4P ≥ 0 (–c + 2)
2
– 4(c
2
– 2c + 1) ≥ 0
–3c
2
+ 4c ≥ 0
4
0 c
3
(4)
Từ (3), (4) ta được:
4 4
c
3 3
Tương tự ta chứng minh được:
4 4
a,b,c
3 3
13. (Học viện NH TPHCM khối A 2001)
Trước hết, ta dễ dàng chứng minh được nếu x, y > 0 thì:
1 1 4
x y x y
(1)
Dấu “=” xảy ra x = y.
Áp dụng (1) ta được:
1 1 4 4
p a p b p a p b c
14. Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức
Download tài liệu học tập, xem bài giảng tại : http://24hchiase.com 27
1 1 4 4
p b p c p b p c a
1 1 4 4
p c p a p c p a b
Cộng 3 BĐT trên vế theo vế, ta được:
1 1 1 1 1 1
2 4
p a p b p c a b c
đpcm
Dấu “=” xảy ra a = b = c.
14. (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001)
Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương x3
, y2
ta có:
x
3
+ y
2
≥ 2 3 2
x y 2xy x
3 2
2 x 2 x 1
xy2xy xx y
Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương 2 2
1 1
,
x y
ta có:
2 2
1 1 1 1
xy 2 x y
3 2 2 2
2 x 1 1 1
2x y x y
Tương tự ta cũng có:
3 2 2 2
2 y 1 1 1
2y z y z
;
3 2 2 2
2 z 1 1 1
2z x z x
Suy ra:
3 2 3 2 3 2 2 2 2
2 y2 x 2 z 1 1 1
x y y z z x x y z
Dấu “=” xảy ra
3 2 3 2 3 2
x y y z z x
vaø vaø
x y y z z x
x = y = z = 1
15. (ĐH PCCC khối A 2001)
Trước hết chú ý rằng nếu a > 1, x > 1 thì hàm số y = alog x là đồng biến
và dương.
Do đó hàm số y = logxa =
a
1
log x
là nghịch biến.
Vì vai trò của a, b, c là như nhau, nên ta có thể giả thiết a ≥ b ≥ c. Ta
được:
VT= b c c a a b a b a b a b a blog a log b log c log a log b log c log abc
Vì a, b, c ≥ 2 nên abc ≥ 2ab = ab + ab > a + b
Do đó VT ≥ loga+babc > loga+b(a + b) = 1.
16. (ĐH Quốc gia HN khối D 2001)
Xét f(x) = x
– x + – 1 (x ≥ 0)
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng
Download tài liệu học tập, xem bài giảng tại : http://24hchiase.com 28
f(x) = (x – 1
– 1); f(x) = 0 x = 1
Vậy với x ≥ 0 và > 1 thì f(x) ≥ 0 hay x
+ – 1 ≥ x.
BĐT cần chứng minh:
3 3 3
2 2 2a b c a b c
b c a b c a
Áp dụng BĐT đã chứng minh với =
3
2
, ta có:
3
2a 1 3 a
.
b 2 2 b
;
3
2b 1 3 b
.
c 2 2 c
;
3
2c 1 3 c
.
a 2 2 a
Mặt khác, theo BĐT Côsi ta có:
3 3 3
2 2 21 a b c 3
2 b c a 2
Cộng 4 BĐT trên, vế theo vế, ta có:
3 3 3
2 2 23 a b c 3 3 a b c 3
2 b c a 2 2 b c a 2
Suy ra:
3 3 3
2 2 2a b c a b c
b c a b c a
17. (ĐH Thái Nguyên khối D 2001)
BĐT (*)
a b 1 b a 1
1
ab ab
1 1 1 1
1 1 1
b b a a
(1)
Theo BĐT Côsi ta có:
1 1
1
1 1 1b b
1
b b 2 2
1 1
1
1 1 1a a
1
a a 2 2
Cộng 2 BĐT lại ta được BĐT cần chứng minh.
15. Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức
Download tài liệu học tập, xem bài giảng tại : http://24hchiase.com 29
Dấu “=” xảy ra
1 1 1
1
b b 2
1 1 1
1
a a 2
a = b = 2.
18. (ĐH Vinh khối A, B 2001)
Ta có: 3 – 2a = a + b + c – 2a = b + c – a > 0.
Do đó theo BĐT Côsi ta có:
(3 – 2a)(3 – 2b)(3 – 2c) ≤
3
3 2a 3 2b 3 2c
3
= 1
27 – 9(2a + 2b + 2c) + 3(4ab + 4bc + 4ca) – 8abc ≤ 1
27 – 54 + 12(ab + bc + ca) – 8abc ≤ 1
4abc ≥ 6(ab + bc + ca) – 14
3(a
2
+ b
2
+ c
2
) + 4abc ≥ 3(a
2
+ b
2
+ c
2
) + 6(ab + bc + ca) – 14
= 3(a + b +c)
2
– 14 = 13
Đẳng thức xảy ra 3 – 2a = 3 – 2b = 3 – 2c a = b = c = 1.
19. (ĐH Y Thái Bình khối A 2001)
Từ giả thiết ta có:
a b
c c
= 1 0 <
a b
,
c c
< 1
2 2
3 3a b a b
c c c c
= 1
Từ đó suy ra:
2 2 2
3 3 3a b c
20. (ĐHQG HN khối A 2000)
Đặt x = 2
a
, y = 2
b
, z = 2
c
thì x, y, z > 0.
Đ.kiện a + b + c = 0 xyz = 2a+b+c
= 1, do đó theo BĐT Côsi: x + y + z ≥ 3
Mặt khác: x3
+ 1 + 1 ≥ 3x x3
≥ 3x – 2
Tương tự: y
3
≥ 3y – 2; z
3
≥ 3z – 2
x3
+ y3
+ z3
≥ 3(x + y + z) – 6 = (x + y + z) + 2(x + y + z – 3) ≥ x + y + z
8a
+ 8b
+ 8c
≥ 2a
+ 2b
+ 2c
21. (ĐHQG HN khối D 2000)
Ta có:
2 2 2 2
2 2 2 2
b 2a b 2a 1 1
2.
ab a b a b
Đặt x =
1
a
; y =
1
b
; z =
1
c
thì
giả thiết
a,b,c 0
ab bc ca abc
x,y,z 0
x y z 1
và đpcm 2 2 2 2 2 2
x 2y y 2z z 2x 3
Theo BĐT Bunhiacopxki ta có:
3(x2
+ 2y2
) = 3(x2
+ y2
+ y2
) ≥ (x + y + y)2
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng
Download tài liệu học tập, xem bài giảng tại : http://24hchiase.com 30
2 2 1
x 2y (x 2y)
3
Viết 2 BĐT tương tự, rồi cộng lại, ta có:
2 2 2 2 2 2 1
x 2y y 2z z 2x (3x 3y 3z) 3
3
Đẳng thức xảy ra x = y = z =
1
3
a = b = c = 3
22. (ĐH Bách khoa HN khối A 2000)
Ta có:
33 3
a b a b
2 2
4(a3
+ b3
) ≥ (a + b)3
(a + b) [4(a
2
+ b
2
– ab) – (a
2
+ b
2
+ 2ab)] ≥ 0
(a + b)(3a
2
+ 3b
2
– 6ab) ≥ 0 (a + b)(a – b)
2
≥ 0
BĐT cuối cùng này đúng, nên BĐT cần chứng minh là đúng.
Đẳng thức xảy ra a = b.
23. (ĐHSP TP HCM khối DE 2000)
a) a
2
+ b
2
≥ 2ab; b
2
+ c
2
≥ 2bc; c
2
+ a
2
≥ 2ca
a
2
+ b
2
+ c
2
≥ ab + bc + ca.
Đẳng thức xảy ra a = b = c
b) (ab + bc + ca)
2
= (ab)
2
+ (bc)
2
+ (ca)
2
+ 2(abbc + bcca + caab) ≥
≥ abbc + bcca + caab + 2abc(a + b + c) = 3abc(a + b + c)
24. (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000)
Ta có:
2
2 2 2
2
1
bc bc 1 a
1 11 1a b a c a (b c) a
b cb c
Đặt x =
1
a
; y =
1
b
; z =
1
c
thì
giả thiết
a, b, c > 0
abc = 1
x,y,z 0
xyz=1
và P =
2 2 2
x y z
y z z x x y
Theo BĐT Bunhiacopxki ta có:
(y + z + z + x + x + y).P ≥
2
x y z
y z. z x. x y.
y z z x x y
2(x + y + z).P ≥ (x + y + z)
2
P ≥
1
2
(x + y + z) ≥ 31 1
.3 xyz .3
2 2
P ≥
3
2
Nếu P =
3
2
thì x = y = z = 1 a = b = c = 1
16. Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức
Download tài liệu học tập, xem bài giảng tại : http://24hchiase.com 31
Đảo lại, nếu a = b = c = 1 thì P =
3
2
. Vậy minP =
3
2
25. (ĐH Thuỷ lợi II 2000)
(a + 1).(b + 1).(c + 1) = 1 + a + b + c + ab + bc + ca + abc ≥
≥ 1 + 3
3 2 2 23
abc 3 a b c + abc =
3
3
1 abc
Đẳng thức xảy ra a = b = c > 0.
26. (ĐH Y HN 2000)
2
2 2 3 2 3
2 3 . x . y (x y)
x y x y
= 6(x + y)
x + y ≥
2
2 3
6
Giá trị
2
2 3
6
đạt được
2
2 3
: x : y
x y
2 3
x y
6
2( 2 3)
x
6
3( 2 3)
y
6
Vậy min(x + y) =
5 2 6
6
27. (ĐH An Giang khối D 2000)
Giả sử a ≥ b ≥ 0 a
c
(a – b) ≥ b
c
(a – b) a
c + 1
+ b
c + 1
≥ ab(a
c – 1
+ b
c – 1
)
28. (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000)
Áp dụng BĐT Côsi cho 6 số dương ta có:
2 = x + y + z + x + y + z ≥ 6 3 xyz (1)
và xy + yz + zx ≥ 3 2 2 23
x y z (2)
Nhân các BĐT (1) và (2) vế theo vế ta được:
2(xy + yz + zx) ≥ 18xyz (3)
Mặt khác ta có: xyz(xy + yz + zx) > 0 (4)
Cộng các BĐT (3) và (4) vế theo vế ta được:
(xy + yz + zx)(2 + xyz) > 18xyz xy + yz + zx >
18xyz
2 xyz
(vì 2 +xyz > 0)
29. (ĐH An Ninh khối A 2000)
Ta có: 3
4
= 81, 4
3
= 64 3
4
> 4
3
BĐT cần chứng minh đúng với n = 3.
Với n > 3, đpcm n >
n
n 1
n
n
1
1
n
< n (1)
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng
Download tài liệu học tập, xem bài giảng tại : http://24hchiase.com 32
Ta có:
n
1
1
n
=
n
k
n k
k 0
1
C
n
=
= 1 +
2 n
n n(n 1) 1 n(n 1)...(n n 1) 1
. ... .
n 2! n!n n
= 1 + 1 +
1 1 1 1 2 n 1
1 ... 1 1 ... 1
2! n n! n n n
<
< 1 + 1 +
1 1
...
2! n!
< 1 + 1 +
n 1
1 1
...
2 2
<
< 1 + 1 +
n 1
1 1
...
2 2
+ … = 1 +
1
1
1
2
= 3
n
1
1
n
< 3 < n (1)
30. (CĐSP Nha Trang 2000)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho hai cặp số (1, 1), ( a 1, b 1), ta có:
A = 1. a 1 1. b 1 ≤ (1 1)(a 1 b 1)
mà a + b = 1 nên A ≤ 6
Dấu “=” xảy ra a 1 b 1 a = b a = b =
1
2
( do a + b = 1)
Vậy maxA = 6 khi a = b =
1
2
31. (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)
BĐT cần chứng minh
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
y z x z x y
1 1 1
x x y y z z
≥ 9
3 +
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
y z x z x y
x x y y z z
≥ 9
32. (ĐH Y Dược TP HCM 1999)
Áp dụng BĐT Côsi ta có:
*
2 2 2 2 2 2
3
2 2 2 2 2 2
a b c a b c
3 . . 3
b c a b c a
(1)
*
2
2
a a
1 2
bb
;
2
2
b b
1 2
cc
;
2
2
c c
1 2
aa
2 2 2
2 2 2
a b c a b c
2 3
b c ab c a
(2)
Kết hợp (1) và (2) ta được:
17. Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức
Download tài liệu học tập, xem bài giảng tại : http://24hchiase.com 33
2 2 2
2 2 2
a b c a b c
2 2
b c ab c a
2 2 2
2 2 2
a b c a b c
b c ab c a
33. (ĐH Hàng hải 1999)
Do (x – 1)
2
≥ 0 nên x
2
+ 1 ≥ 2x
2
2x
1 x
≤ 1
Tương tự ta cũng có:
2
2y
1 y
≤ 1;
2
2z
1 z
≤ 1
Do đó:
2
2x
1 x
+
2
2y
1 y
+
2
2z
1 z
≤ 3
Hay:
2 2 2
x y z 3
21 x 1 y 1 z
(1)
Áp dụng BĐT Côsi cho 3 số không âm ta có:
3
3
1 1 1
1 11 x 1 y 1 z
3 (1 x)(1 y)(1 z) (1 x)(1 y)(1 z)
33
(1 x)(1 y)(1 z)
1 1 1
1 x 1 y 1 z
≤
(1 x) (1 y) (1 z)
3
≤ 2
3 1 1 1
2 1 x 1 y 1 z
(2)
Kết hợp (1) và (2) ta được BĐT cần chứng minh.
34. (ĐH An ninh HN khối D 1999)
Vì 0 ≤ x, y, z ≤ 1 nên x
2
≥ x
3
; y
2
≥ y
3
; z
2
≥ z
3
.
Suy ra: 2(x
3
+ y
3
+ z
3
) – (x
2
y + y
2
z + z
2
x) ≤ 2(x
2
+ y
2
+ z
2
) – (x
2
y + y
2
z + z
2
x)
Do đó nếu ta chứng minh được:
2(x
2
+ y
2
+ z
2
) – (x
2
y + y
2
z + z
2
x) ≤ 3 (1)
thì (*) đúng.
Ta có: (1 – y)(1 + y – x2
) ≥ 0 x2
+ y2
– x2
y – 1 ≤ 0 (2)
Dấu “=” ở (2) xảy ra
y 1
x 1
y 0
Tương tự ta cũng có: x
2
+ z
2
– z
2
x – 1 ≤ 0 (3)
y
2
+ z
2
– y
2
z – 1 ≤ 0 (4)
Cộng (2), (3), (4) vế theo vế ta được:
2(x2
+ y2
+ z2
) – (x2
y + y2
z + z2
x) ≤ 3
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng
Download tài liệu học tập, xem bài giảng tại : http://24hchiase.com 34
Vậy (1) đúng (*) đúng
Nhận xét: Dấu “=” ở (*) xảy ra (x; y; z) (1;1;1),(1;1;0),(1;0;1),(0;1;1)
35. (Đại học 2002 dự bị 1)
1 1 1
x y z . ax . by . cz
a b c
≤
1 1 1
(ax+by+cz)
a b c
≤
1 1 1
.2S
a b c
=
1 1 1 abc
a b c 2R
=
ab bc ca
2R
≤
2 2 2
a b c
2R
Dấu “=” xảy ra
a b c
x y z
ABC ñeàu
M truøng vôùi troïng taâm G cuûa ABC
36. (Đại học 2002 dự bị 3)
Cách 1: S =
5
1 1 1 1 1 5
x x x x 4y x.x.x.x.4y
≥
5.5
x x x x 4y
= 5
minS = 5
1 1
x 4y
x 4y
5
x y
4
x 1
1
y
4
Cách 2: S =
4 1
x 5 4x
= f(x), 0 < x <
5
4
f(x) =
2 2
4 4
x (5 4x)
; f(x) = 0
2 2
x (5 4x)
5
0 x
4
x = 1
Lập bảng xét dấu f(x), suy ra minS = 5.
Cách 3: 2 +
1 2 1
x. y.
2 x 2 y
≤
4 1
x y.
x 4y
(3)
Dấu “=” ở (3) xảy ra
2 1
x. x 2 y. y
5
x y
4
x 4y
5
x y
4
x 1
1
y
4
(3)
2
5 5 4 1
.
2 4 x 4y
4 1
x 4y
≥ 5
Vậy minS = 5.
18. Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức
Download tài liệu học tập, xem bài giảng tại : http://24hchiase.com 35
37. (Đại học 2002 dự bị 5)
Vì a ≥ 1, d ≤ 50 và c > b (c, b N) nên c ≥ b + 1 thành thử:
S =
a c
b d
≥
1 b 1
b 50
=
2
b b 50
50b
Vậy BĐT của đề ra đã được chứng minh.
Dấu “=” xảy ra
a 1
d 50
c b 1
Để tìm minS, ta đặt
2
b b 50
50b
=
b 1 1
50 b 50
và xét hàm số có biến số
liên tục x:
f(x) =
x 1 1
50 x 50
(2 ≤ x ≤ 48)
f(x) =
2
2 2
1 1 x 50
50 x 50x
; f(x) = 0
2
x 50
2 x 48
x 5 2
Bảng biến thiên:
5 2
Chuyển về biểu thức f(b) =
2
b b 50
50b
(2 ≤ b ≤ 48, b N)
Từ BBT suy ra khi b biến thiên từ 2 đến 7, f(b) giảm rồi chuyển sang tăng
khi b biến thiên từ 8 đến 48. Suy ra minf(b) = min[f(7); f(8)].
Ta có f(7) =
49 57 53
350 175
; f(8) =
64 58 61 53
400 200 175
Vậy minS =
53
175
khi
a 1
b 7
c 8
d 50
38. (Đại học 2002 dự bị 6)
Ta có diện tích tam giác: S = a b c
1 1 1
ah bh ch
2 2 2
ha =
2S
a
; hb =
2S
b
; hc =
2S
c
a b c
1 1 1 1
(a b c)
h h h 2S
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng
Download tài liệu học tập, xem bài giảng tại : http://24hchiase.com 36
a b c
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
(a b c)
a b c h h h 2S a b c
Áp dụng BĐT Côsi ta có: (a + b + c)
1 1 1
a b c
≥ 9
và vì S =
3
2
, nên ta có:
a b c
1 1 1 1 1 1 9
3
a b c h h h 3
39. (Đại học khối A 2003)
Với mọi
u,v ta có:
u v u v (*)
Đặt
1 1 1
a x; ; b y; ; c z;
x y z
Áp dụng bất đẳng thức (*), ta có:
a b c a b c a b c
Vậy P = 2 2 2
2 2 2
1 1 1
x y z
x y z
2
2 1 1 1
(x y z)
x y z
Cách 1:
Ta có: P
2
2 1 1 1
(x y z)
x y z
2
2
3 3
1
3 xyz 3
xyz
=
9
9t
t
với t = 23( xyz) 0 < t
2
x y z 1
3 9
Đặt Q(t) = 9t +
9
t
Q(t) = 9 – 2
9
t
< 0, t
1
0;
9
Q(t) giảm trên
1
0;
9
Q(t) Q
1
9
= 82. Vậy P Q(t) 82
Dấu "=" xảy ra x = y = z =
1
3
.
Cách 2: Ta có:
(x + y + z)2
+
2
1 1 1
x y z
= 81(x + y + z)2
+
2
1 1 1
x y z
– 80(x + y + z)2
18(x + y + z).
1 1 1
x y z
– 80(x + y + z)
2
162 – 80 = 82
Vậy P 82
Dấu "=" xảy ra x = y = z =
1
3
.
40. (Đại học khối A 2003 dự bị 1)
19. Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức
Download tài liệu học tập, xem bài giảng tại : http://24hchiase.com 37
Tìm max: y = sin
5
x + 3 cosx ≤ sin
4
x + 3 cosx (1)
Ta chứng minh: sin
4
x + 3 cosx ≤ 3 , x R (2)
3 (1 – cosx) – sin
4
x ≥ 0 3 (1 – cosx) – (1 – cos
2
x)
2
≥ 0
(1 – cosx). 3 – (1 – cosx)(1 + cosx)2
≥ 0 (3)
Theo BĐT Côsi ta có:
(1 – cosx)(1 + cosx)(1 + cosx) =
1
2
(2 – 2cosx)(1 + cosx)(1 + cosx) ≤
≤
3
1 4 32
3
2 3 27
Vậy BĐT (3) đúng (2) đúng y ≤ 3 , x. Dấu “=” xảy ra khi cosx = 1
x = k2. Vậy maxy = 3 .
Tìm min: Ta có y = sin5
x + 3 cosx ≥ – sin4
x + 3 cosx.
Tương tự như trên, ta được miny = – 3 , đạt được khi x = + k2.
41. (Đại học khối A 2003 dự bị 2)
(1)
(a b c)(b c a)
1
bc
2 2
(b c) a
1
bc
2bc(1 cosA)
1
bc
2 A 1
cos
2 4
2 A 3
sin
2 4
A 3
sin
2 2
(do 0 <
A
2 2
) (3)
Biến đổi vế trái của (2) như sau:
A B C 1 A B-C B+C
sin sin sin sin cos cos
2 2 2 2 2 2 2
≤
1 A A
sin 1 sin
2 2 2
=
= –
21 A A
sin sin
2 2 2
= –
2
1 A 1 1
sin
2 2 2 4
=
2
1 1 A 1
sin
8 2 2 2
Do (3) suy ra:
2
A B C 1 1 3 1
sin sin sin
2 2 2 8 2 2 2
=
1 1
(4 2 3)
8 8
=
2 3 3
8
Dấu “=” xảy ra
0
0
B-C
cos 1
A 1202
A 3 B C 30sin
2 2
42. (Đại học khối A 2005)
Với a, b > 0 ta có:
4ab (a + b)
2
1 a b
a b 4ab
1 1 1 1
a b 4 a b
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng
Download tài liệu học tập, xem bài giảng tại : http://24hchiase.com 38
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Áp dụng kết quả trên ta có:
1 1 1 1
2x+y+z 4 2x y z
1 1 1 1 1
4 2x 4 y z
=
1 1 1 1
8 x 2y 2z
(1)
Tương tự:
1 1 1 1
x 2y z 4 2y x z
1 1 1 1 1
4 2y 4 x z
=
1 1 1 1
8 y 2z 2x
(2)
1 1 1 1
x y 2z 4 2z x y
1 1 1 1 1
4 2z 4 x y
=
1 1 1 1
8 z 2x 2y
(3)
Vậy:
1 1 1 1 1 1
1
2x+y+z x 2y z x y 2z 4 x yz
= 1
Ta thấy trong các bất đẳng thức (1), (2), (3) thì dấu "=" xảy ra khi và chỉ
khi
x = y = z. Vậy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z =
3
4
.
43. (Đại học khối B 2005)
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có:
x x x x
12 15 12 15
2 .
5 4 5 4
x x
12 15
5 4
2.3
x
(1)
Tương tự ta có:
x x
12 20
5 3
2.4
x
(2)
x x
15 20
4 3
2.5
x
(3)
Cộng các bất đẳng thức (1), (2), (3), chia 2 vế của bất đẳng thức nhận
được cho 2 ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra (1), (2), (3) là các đẳng thức x = 0.
44. (Đại học khối D 2005)
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ta có:
1 + x
3
+ y
3
3 3 33
1.x .y = 3xy
3 3
1 x y 3
xy xy
(1)
Tương tự:
3 3
1 y z 3
yz yz
(2);
3 3
1 z x 3
zx zx
(3)
Mặt khác 3
3 3 3 3 3 3
3
xy yz zx xy yz zx
3 3 3
3 3
xy yz zx
(4)
20. Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức
Download tài liệu học tập, xem bài giảng tại : http://24hchiase.com 39
Cộng các bất đẳng thức (1), (2), (3), (4) ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra (1), (2), (3), (4) là các đẳng thức x = y = z = 1.
45. (Đại học khối A 2005 dự bị 1)
Ta có: 3 + 4
x
= 1 + 1 + 1 + 4
x
4 4 x
4
84x x x
3 4 2 4 2 4
Tương tự:
8y y
3 4 2 4 ;
8z z
3 4 2 4
Vậy x y z
3 4 3 4 3 4 2
8 8 8x y z
4 4 4
3 8 x y z
6 4 .4 .4
6 24 x y z
4 = 6
46. (Đại học khối A 2005 dự bị 2)
Ta có: 1 + x = 1 +
3
4
3
x x x x
4
3 3 3 3
1 +
y
x
= 1 +
3
4
3 3
y y y y
4
3x 3x 3x 3 x
1 +
9
y
= 1 +
3
4
3
3 3 3 3
4
y y y y
2
6
4
3
9 3
1 16
y y
Vậy:
2
y 9
1 x 1 1
x y
256
3 3 6
4
3 3 3 3
x y 3
. .
3 3 x y
= 256
47. (Đại học khối B 2005 dự bị 1)
Cách 1:
Ta có:
3 a 3b 1 1 1
(a 3b).1.1 (a 3b 2)
3 3
3 b 3c 1 1 1
(b 3c).1.1 (b 3c 2)
3 3
3 c 3a 1 1 1
(c 3a).1.1 (c 3a 2)
3 3
Suy ra: 3 3 3 1
a 3b b 3c c 3a 4(a b c) 6
3
1 3
4. 6
3 4
= 3
Dấu "=" xảy ra
3
a b c
4
a 3b b 3c c 3a=1
a = b = c =
1
4
Cách 2:
Đặt x = 3
a 3b x
3
= a + 3b; y = 3
b 3c y
3
= b + 3c;
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng
Download tài liệu học tập, xem bài giảng tại : http://24hchiase.com 40
z = 3
c 3a z3
= c + 3a
x3
+ y3
+ z3
= 4(a + b + c) = 4.
3
4
= 3. BĐT cần ch. minh x + y + z 3
Ta có: x
3
+ 1 + 1 3 3 3
x .1.1 = 3x; y
3
+ 1 + 1 3 33
y .1.1 = 3y;
z
3
+ 1 + 1 3 3 3
z .1.1 = 3z
9 3(x + y + z) (vì x
3
+ y
3
+ z
3
= 3)
Vậy x + y + z 3
Dấu "=" xảy ra
3 3 3
x y z 1
3
a b c
4
a 3b b 3c c 3a=1
3
a+b+c=
4
a = b = c =
1
4
48. (Đại học khối B 2005 dự bị 2)
Ta có: 0 x 1 x x
2
1
x y y x
4
1
x y y x
4
(1)
Theo BĐT Côsi ta có: 2 21 1 1
y x yx 2 yx . x y
4 4 4
1
x y y x
4
Dấu "=" xảy ra
2
2
0 y x 1 x 1
x x 1
y
1 4
yx
4
49. (Đại học khối D 2005 dự bị 2)
Ta có:
2 2
x 1 y x 1 y
2 . x
1 y 4 1 y 4
2 2
y 1 z y 1 z
2 . y
1 z 4 1 z 4
2 2
z 1 x z 1 x
2 . z
1 x 4 1 x 4
Cộng 3 bất đẳng thức trên, vế theo vế, ta có:
2 2 2
x 1 y y 1 z z 1 x
x y z
1 y 4 1 z 4 1 x 4
21. Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức
Download tài liệu học tập, xem bài giảng tại : http://24hchiase.com 41
2 2 2
x y z 3 x y z
x y z
1 y 1 z 1 x 4 4
3(x y z) 3
4 4
3 3 9 3 3
.3
4 4 4 4 2
(vì x + y + z 3 3 xyz = 3)
Vậy:
2 2 2
x y z 3
1 y 1 z 1 x 2
.
50. (Đại học khối A 2006)
Cách 1:
Từ giả thiết suy ra: 2 2
1 1 1 1 1
x y xyx y
.
Đặt
1
x
= a,
1
y
= b, ta có: a + b = a2
+ b2
– ab (1)
A = a
3
+ b
3
= (a + b)(a
2
– ab + b
2
) = (a + b)
2
Từ (1) suy ra: a + b = (a + b)2
– 3ab.
Vì ab ≤
2
a b
2
nên a + b ≥ (a + b)
2
– 23
(a b)
4
(a + b)
2
– 4(a + b) ≤ 0 0 ≤ a + b ≤ 4
Suy ra: A = (a + b)2
≤ 16
Với x = y =
1
2
thì A = 16. Vậy giá trị lớn nhất của A là 16.
Cách 2:
Đặt S = x + y, P = xy với S2
– 4P 0. Từ giả thiết S, P 0.
Ta có: SP = S
2
– 3P P =
2
S
S 3
A = 3 3
1 1
x y
=
3 3
3 3
x y
x y
=
2 2
3 3
(x y)(x y xy)
x y
=
2
3 3
(x y) xy
x y
=
2
2 2
(x y)
x y
A =
2
2
S S 3
SP
Đk: S
2
– 4P 0 S
2
–
2
4S
S 3
0 S
2
S 1
S 3 0
S 1
S 3
0 (vì S0)
S 3
S 1
(*)
Đặt h = f(S) =
S 3
S
h =
2
3
S
< 0, S thoả (*)
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng
Download tài liệu học tập, xem bài giảng tại : http://24hchiase.com 42
Từ bảng biến thiên, ta có: 0 < h 4 và h 1, S thoả (*).
Mà A = h MaxA = 16 khi x = y =
1
2
(S = 1, P =
1
4
).
Cách 3:
(x + y)xy =
2 2
y 3y
x
2 4
> 0
1 1 x y
x y xy
> 0
A = 3 3
1 1
x y
=
3 3
3 3
x y
x y
=
2
1 1
x y
1 1
A
x y
Dễ chứng minh được:
3 3 3
a b a b
2 2
(với a + b > 0)
dấu "=" xảy ra khi a = b.
Áp dụng với a =
1
x
, b =
1
y
, ta có:
333
1 11 1
x yx y
2 2
3
A A
2 2
A 16.
Dấu "=" xảy ra khi
1 1
2
x y
. Vậy Max A = 16.
Cách 4:
A =
2
2
S
P
, suy ra
2
S 3S
A
P S SP
S
2
– 4P 0 S
2
– 4
2
S SP
3
0
P
1
S1 4
3
0
P 1
S 4
(chia cho S
2
)
Nên: A =
2
2
S
P
16. Vậy Max A = 16 (khi x = y =
1
2
).
51. (Đại học khối B 2006)
Trong mpOxy, xét M(x – 1; –y), N(x + 1; y).
Do OM + ON ≥ MN nên:
2 22 2 2 2
x 1 y x 1 y 4 4y 2 1 y
22. Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức
Download tài liệu học tập, xem bài giảng tại : http://24hchiase.com 43
Do đó: A ≥ 2 2
1 y y 2 = f(y)
Với y ≤ 2 f(y) = 2 2
1 y + 2 – y f(y) =
2
2y
y 1
– 1
f(y) = 0 2y = 2
1 y
2 2
y 0
4y 1 y
y =
1
3
Do đó ta có bảng biến thiên như trên
Với y ≥ 2 f(y) ≥ 2 2
1 y ≥ 2 5 > 2 + 3 .
Vậy A ≥ 2 + 3 với mọi số thực x, y.
Khi x = 0 và y =
1
3
thì A = 2 + 3
Nên giá trị nhỏ nhất của A là 2 + 3 .