Dokumen tersebut membahas tentang sistem bilangan bulat, termasuk definisi, sifat-sifat, dan contoh-contoh operasi bilangan bulat seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Secara khusus, dibahas tentang tertutupnya sistem bilangan bulat terhadap operasi-operasi tersebut.

1. SISTEM BILANGAN
1. SISTEM BILANGAN BULAT
Definisi 1 :
Jika n bilangan bulat, maka n + (-n) = (-n) + n = 0.
(-n) disebut lawan (invers penjumlahan dari) n, dan 0 disebut elemen
identitas terhadap penjumlahan.
Definisi 2 :
Sistem Bilangan Bulat terdiri atas himpunan B = {…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}
dengan operasi Biner penjumlahan (+) dan perkalian (x). a, b dan c
bilangan-bilangan bulat sembarang, system mempunyai sifat-sifat sebagai
berikut :
1) Sifat Tertutup terhadap Penjumlahan
Terdapatlah dengan tunggal (a+b) dalam B.
2) Sifat Tertutup terhadap Perkalian
Terdapatlah dengan tunggal (axb) dalam B.
3) Sifat Komutatif Penjumlahan : a + b = b + a
4) Sifat Komutatif Perkalian : a x b = b x a
5) Sifat Assosiatif Penjumlahan : ( a+b) + c = a + ( b+c )
6) Sifat Assosiatif Perkalian : ( axb) x c = a x ( bxc )
7) Sifat Distributif Kiri Perkalian terhadap Penjumlahan
a x ( b+c ) = ( axb ) + ( axc )

2. 8) Sifat Distributif Kanan Perkalian terhadap Penjumlahan
( a+b ) x c = ( axc ) + ( bxc )
9) a,terdapat dengan tunggal elemen 0 dalam B sehingga a + 0 = 0 + a = a
0 disebut elemen identitas penjumlahan.
10) a, terdapat dengan tunggal elemen 1 dalam B sehingga ax1 = 1x a = a
1 disebut elemen identitas perkalian.
A. Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Bulat
Contoh :
Bagaimanakah penjumlahan dua bilangan bulat yang satu positif dan lainnya
negatif? Misalkan a dan b bilangan - bilangan cacah dengan a < b, maka
bagaimanakah a+(-b) ?
Menurut definisi Urutan Bilangan Cacah, a < b berarti ada bilangan asli c
sedemikian hingga a + c = b, dan menurut definisi Pengurangan Bilangan
Cacah, a + c = b sama artinya dengan b – a = c.
a+(-b) = a + (-(a + c))
= a + ((-a) + (-c)) Penjumlahan dua bil bulat negatif
= (a+(-a)) + (-c) Sifat Asosiatif Penjumlahan
= 0 + (-c) Invers Penjumlahan
= (-c) karena c = b - a, maka :
a+(-b) = - (b-a)
Jadi,
jika a dan b bilangan-bilangan bulat positif dengan a < b, maka :
a + (-b) = -( b-a )

3. Definisi 3 :
Jika a, b dan k bilangan-bilangan bulat, maka a – b = k bila dan hanya bila
a = b + k. Pengurangan bilangan bulat bersifat tertutup.
Untuk menunjukkan bahwa pengurangan bilangan-bilangan bulat memiliki
sifat tertutup, maka harus ditunjukkan bahwa untuk setiap a dan b bilangan-
bilangan bulat selalu ada tunggal bilangan bulat (a-b). Berarti, ada bilangan
bulat k sedemikian sehingga a – b = k.
Menurut definisi Pengurangan, a – b = k bhb a = b + k
a + (-b) = ( b+k ) + (-b) Sifat penjumlahan pada kesamaan
= ( k+b ) + (-b) Sifat komutatif penjumlahan
= k + (b + (-b)) Sifat asosiatif penjumlahan
= k + 0 Invers penjumlahan
a + (-b) = k
k = a + (-b) ini menunjukkan bahwa ada bilangan bulat k sedemikian hingga
a – b = k.
Dengan demikian, terbuktilah bahwa :
“Pengurangan bilangan-bilangan bulat memiliki sifat tertutup.”
Jadi, a – b = k = a + (-b)
CONTOH :
(1). Buktikan bahwa a – ( - b ) = a + b
Bukti :
Harus dibuktikan bahwa a – ( -b) = a + b

4. a – ( -b) = a + b dipandang sebagai kalimat pengurangan dengan a
sebagai terkurangi, (-b) sebagai pengurang dan (a+b) sebagai hasil
pengurangan. Sehingga hal ini sama artinya dengan membuktikan bahwa
(a+b) + (-b) = a.
(a+b) + (-b) = a + (b + (-b)) Sifat asosiatif penjumlahan
= a + 0 Invers penjumlahan
= a
Terbuktilah bahwa a – ( - b ) = a + b
(2) Buktikan bahwa a – ( b – c ) = ( a + c ) – b
Bukti :
Harus dibuktikan bahwa a – ( b – c ) = ( a + c ) – b
Merupakan suatu pengurangan dengan a sebagai terkurang, (b-c) sebagai
pengurang dan {( a + c ) – b } sebagai hasil pengurangan. Hal tersebut sama
artinya dengan membuktikan bahwa :
{( a + c ) – b } + ( b-c ) = a
{( a + c ) – b } + ( b-c ) = {( a + c ) + (-b)} + (b+(-c)) def. pengurangan
= a + c + {(-b) + b + (-c)} sifat asosiatif
= a + c +{(-c) + b + (-b)} sifat komutatif
= a+(c+(-c)) + (b+(-b)) sifat asosiatif
= a + 0 + 0 invers penjumlahan
= a
Terbukti bahwa a – ( b – c ) = ( a + c ) – b

5. B. Perkalian dan Pembagian Bilangan-bilangan Bulat
Dasarnya adalah Sifat Konselasi dari Penjumlahan, yaitu :
Jika a, b dan c bilangan-bilangan bulat dan a + c = b + c, maka a = b.
Bukti :
a + c = b + c
(a+c) + (-c) = (b+c) + (-c) sifat penjumlahan pd kesamaan
a + (c+(-c)) = b + (c+(-c)) sifat asosiatif penjumlahan
a + 0 = b + 0 invers penjumlahan
a = b
Terbukti
Definisi 4 :
Jika a, b dan c bilangan-bilangan bulat dengan b ≠ 0, maka a : b = c bila dan
hanya bila a = bc.
Hasil bagi bilangan-bilangan bulat ( a : b) ada (yaitu suatu bilangan bulat)
bhb a kelipatan dari b. Sehingga untuk setiap bilangan bulat a dan b, hasil
bagi (a:b) tidak selalu ada ( merupakan bilangan bulat ). Oleh karena itu,
pembagian bilangan-bilangan bulat tidak mempunyai sifat Tertutup.
Berdasar definisi 4, maka,
1) – (ab) : a = (-b)
2) – (ab) : b = (-a)
3) – (ab) : (-a) = b
4) – (ab) : (-b) = a
5) ab : (-a) = (-b)
6) ab : (-b) = (-a)

6. Dapat diturunkan rumus-rumus definisi pembagian bilangan bulat, sbb:
1) ((-a) : b) x (b) = (-a) 5) ((-a) : (-b)) x b = a
2) (a : (-b)) x b = (-a) 6) ((-a) : (-b)) x (-b) = (-a)
3) ((-a) : b) x (-b) = a
4) (a : (-b)) x (-b) = a
CONTOH :
(1) Buktikan bahwa (-a)(b + (-c)) = ac – ab
Bukti :
(-a)(b + (-c)) = (-a)(b) + (-a)(-c) Sifat distributif perkalian
= (-(ab)) + ac
= ac + (-(ab)) = ac - ab
Terbukti
(2) Buktikan bahwa ((-a) : b) : (-c) = (a : c) : b
Bukti :
((-a) : b) : (-c) = (a : c) : b dipandang sebagai suatu pembagian dengan
(a:c) sebagai terbagi , b sebagai pembagi dan {((-a) : b)) : (-c)} sebagai
hasil pembagian. Hal ini sama artinya dengan membuktikan bahwa :
{((-a) : b)) : (-c)} x b = a : c atau
[{((-a) : b)) : (-c)} x b] x c = a
Sehingga,
[{((-a) : b)) : (-c)} x b] x c = [{((-a) : b)) : (-c)}] x (bxc) Sif. Asosiatif
= [{((-a) : b)) : (-c)}] x (cxb) Sif. Komutatif
= [{((-a) : b)) : (-c)} x c] xb Sif. Asosiatif

7. = -((-a) : (b)) x b Perkalian Bil Bulat
= -(-a) Def.Pembagian
= a
(3) Buktikan bahwa (-ac) : (-bc) = a : b
Bukti :
(-ac) : (-bc) = a : b dipandang sebagai suatu pembagian dengan (-ac)
sebagai terbagi , (-bc) sebagai pembagi dan (a : b) sebagai hasil
pembagian. Hal ini sama artinya dengan membuktikan bahwa :
(a:b) x (-bc) = (-ac)
(a:b) x (-bc) = (a:b) x (bx(-c)) Perkalian Bil Bulat
= {((a:b) x b) x (-c)} Sif. Asosiatif
= a x (-c) Def. Pembagian
= (-ac) Perkalian Bil Bulat
Terbukti
3. Urutan Bilangan Bulat
Definisi 4 :
Jika a dan b bilangan-bilangan bulat, “a lebih kecil dari” (dinyatakan dengan
a< b) bhb ada bilangan bulat positif c sedemikian hingga a + c = b.
Definisi 5 :
Jika a dan b bilangan-bilangan bulat, a lebih besar dari b (dinyatakan dengan
a>b) bhb b<a.
Sifat 1 :
Jika a, b, dan c bilangan-bilangan bulat, maka a < b bhb a+c < b+c
Bukti :
(i) Dibuktikan jika a < b maka a+c < b+c

8. a<b berarti ada bilangan bulat positif k sedemikian hingga :
a + k = b Def. “Lebih kecil dari”
(a+k) +c = b+c Sif. Penjumlahan
a+ (k+c) = b+c Sif. Asosiatif
a+ (c+k) = b+c Sif. Komutatif
(a+c) +k = b+c Sif. Asosiatif
a+c < b+c Def. “Lebih kecil dari”
(ii) Dibuktikan, jika a+c < b+c maka a < b
a+c < b+c berarti ada bil bulat positif p sedemikian hingga :
(a+c) + p = b + c Def. “Lebih kecil dari”
a+ (c + p) = b + c Sif. Asosiatif
a+ (p + c) = b + c Sif. Komutatif
(a+ p) + c = b + c Sif. Asosiatif
{(a+ p) + c} + (-c) = (b+c) + (-c) Sif. Penjumlahan
(a+p)+(c+(-c)) = b + (c+(-c)) Sif. Asosiatif
(a+p) + 0 = b + 0 Invers Penjumlahan
a + p = b
a < b Def. “Lebih kecil dari”
Dari (i) dan (ii) terbuktilah bahwa :
a < b bhb a+c < b+c
Terbukti
Sifat 2 :
Jika a dan b bilangan-bilangan bulat dan c bilangan bulat positif serta a<b
maka axc < bxc.
Sifat 3 :

9. Jika a dan b bilangan-bilangan bulat dan c bilangan bulat positif serta
axc<bxc maka a < b.
Buktikanlah sifat-sifat ini sebagai latihan!
CONTOH :
Jika a dan b bilangan-bilangan bulat dan c bilangan bulat negative serta a<b
maka axc > bxc.
Bukti :
Berdasarkan def. “Lebih kecil dari”,
a < b berarti terdapatlah k anggota Himp Bil Bulat Positif sedemikian hingga
a + k = b.
(a+k) x c = bxc Sif. Perkalian
(axc) + (kxc) = bxc Sif. Distributif Perkalian thd Penjumlahan
{(axc) + (kxc)}+(-(kxc)) = (bxc)+(-(kxc)) Sif. Penjumlahan
(axc)+ {(kxc)+(-(kxc))} = (bxc)+(-(kxc)) Sif. Asosiatif
(axc) + 0 = (bxc)+(-(kxc)) Invers Penjumlahan
(axc) = (bxc)+(-(kxc)) (-(kxc)) adl bil Bul Pos krn c bil Bulat negatif
axc > bxc Def “Lebih kecil dari”
Terbukti
LATIHAN :
1. Buktikan bahwa (a-b) –(- c) = (a+c)- b
2. Buktikan bahwa a – b = (a-c) – (b-c)
3. Buktikan bahwa (p : (-q)) : (-r) = p : (qxr)
4. Buktikan bahwa (-c)(a:b) = (-a) : (b:c)
5. Buktikan bahwa jika a, b,c dan d bilangan-bilangan bulat dengan a>b dan
c<d maka a+d > b+c.

10. JAWAB :
1. Buktikan bahwa ( a – b ) – ( - c ) = ( a + c ) – b
Bukti :
Harus dibuktikan bahwa ( a – b ) – ( - c ) = ( a + c ) – b
( a – b ) – ( - c ) = ( a + (- b )) + (-(-c)) def. pengurangan bil. Bulat
= ( a + (- b )) + c
= a + ((- b ) + c) sifat asosiatif penjumlahan
= a + (c + (- b )) sifat komutatif penjumlahan
= ( a + c ) + (- b ) sifat asosiatif penjumlahan
= ( a + c ) – b def. pengurangan bil. Bulat
Terbukti bahwa ( a – b ) – ( - c ) = ( a + c ) – b
2. Buktikan bahwa a – b = ( a – c ) – ( b – c )
Bukti :
Cara 1
a – b = a + (-b)
= (a + (-b)) + 0
= (a + (-b)) + (c + (-c))
= a + (-b) + c + (-c)
= (a + (-c)) + ((-b) + c)
= ( a - c ) – (-((-b) + c ))
= ( a – c ) – ( b + (-c))
= ( a – c ) – ( b – c )
Cara 2
( a – c ) – ( b – c ) = ( a+ (-c)) + (-(b + (-c)))
= ( a+ (-c)) + ((-b) + (-(-c)))
= ( a+ (-c)) + ((-b) + c)
= a + (-c) + (-b) + c

11. = ( a + (-b)) + ((-c)+c )
= ( a + (-b)) + 0
= a + (-b)
= a – b
Terbukti.
( Beri alasan pd setiap langkah pembuktian tsb dengan suatu sifat atau definisi
yang sesuai )
3. Buktikan bahwa (p : (-q)) : (-r) = p : (qxr)
Bukti :
(p : (-q)) : (-r) = p : (qxr)
dipandang sebagai suatu pembagian dengan p sebagai terbagi , (qxr) sebagai
pembagi dan {(p : (-q)) : (-r)} sebagai hasil pembagian. Hal ini sama artinya
dengan membuktikan bahwa :
{(p : (-q)) : (-r)} x (qxr) = p
Sehingga,
{(p : (-q)) : (-r)} x (qxr) = {(p : (-q)) : (-r)} x (rxq) Sif. Komutatif
= [{(p : (-q)) : (-r)} x r ] x q Sif. Asosiatif
= (-(p : (-q))) x q Def. Pembagian
= - ((p : (-q))) x q Perkalian Bil Bulat
= - (-p) Def.Pembagian
= p
Terbukti
4. Buktikan bahwa (-c)(a:b) = (-a) : (b:c)
Bukti :

12. (-c)(a:b) = (-a) : (b:c) dipandang sebagai suatu pembagian dengan (-a) sebagai
terbagi , (b : c) sebagai pembagi dan {(-c) x (a:b)} sebagai hasil pembagian.
Hal ini sama artinya dengan membuktikan bahwa :
{(-c) x (a:b)} x (b : c) = (-a)
{(-c) x (a:b)} x (b : c) = {(a:b) x (-c)} x (b : c) Sif. Komutatif Perkalian
= (a:b) x {(-c) x (b : c)} Sif. Asosiatif Perkalian
= (a : b) x (-b) Def. Pembagian
= - a
Terbukti
5. Buktikan bahwa jika a, b,c dan d bilangan-bilangan bulat dengan a>b dan c<d
maka a+d > b+c.
Bukti :
a, b, c dan d adalah Bilangan-bilangan Bulat
a > b bhb b < a
b < a berarti ada bil. Bulat Positif m sehingga b + m = a ……. (i)
c < d berarti ada bil. Bulat Positif n sehingga c + n = d ………(ii)
Berdasar kesamaan (i) dan (ii) diperoleh :
( b + m) + (c + n) = a + d
b + m + c + n = a + d
b + c + m + n = a + d
( b + c) + (m + n) = a + d
b + c < a + d
a + d > b + c
Terbukti

13. 2. Sistem Bilangan Komplek
Bilangan Komplek adalah bilangan-bilangan yang dapat dinyatakan dengan
( a + bi ), di mana a dan b adalah bilangan-bilangan real dan i = √ . Secara
geometris dapat digambarkan pada bidang koordinat yang disebut bidang
komplek.
Bidang Komplek :
Pada Bidang Komplek, ( a + bi ) ditunjukkan dengan suatu titik P yang
mempunyai koordinat x (absis) adalah a dan koordinat y (ordinat) adalah b.
Sumbu-x disebut sumbu real, dan sumbu-y disebut sumbu imaginer. | ⃗⃗⃗⃗⃗ | = r
disebut modulus atau amplitudo.
Sudut Ө yang merupakan sudut antara ⃗⃗⃗⃗⃗ dan sumbu-x positif disebut
argumen dari bilangan komplek ( a + bi ).
Bilangan Komplek ( a + bi ) mempunyai modulus dan argument yang dapat
ditentukan sebagai berikut :
r = | ⃗⃗⃗⃗⃗ | = | a + bi | = √
tan Ө = dan Ө = arctan
y (Im Axis)
b P
r
Ө x (Real Axis)
0 a
Image of Complex Field

14. Oleh karena :
= cos Ө , berarti bahwa a = r cos Ө
= sin Ө , berarti bahwa b = r sin Ө.
Kita peroleh :
a + bi = r cos Ө + (r sin Ө) i = r ( cos Ө + i sin Ө )
Definisi :
1. Dua bilangan komplek ( a+bi ) dan ( c+di ) dikatakan sama jika a = c dan
b = d
2. Sekawan (conjugate) komplek dari bilangan komplek z = ( a+bi ) adalah
̅ ( a-bi ).
LATIHAN :
1. Dari bilangan komplek ( 1 – i √ ) ,
a. Tentukan modulus r
b. Tentukan argumen Ө
c. Tuliskan dalam bentuk Polar
2. Jika z1 = 2 + 3i dan z2 = - 4 - 2i ,
Tentukan dan gambarkan :
a. z1 + z2
b. z1 - z2
3. Buktikan bahwa :
z1 + z2 = z1 + z2 , z1 = a + bi dan z2 = c + di
4. If z1 = 2 + √ , z2 = 3 + √ dan z3 = - 6 - √
Tentukan dan gambarkan :

15. a. z1 + z2
b. z1 + z2 + z3
c. z1 - z2 + z3
5. Jika z1 = √ + i dan z2 = (-1) + i
a. Nyatakan z1 dan z2 dalam bentuk Polar
b. Nyatakan (z1 x z2) dalam bentuk Polar
c. Gambarkan z1, z2 dan (z1 x z2) pada bidang Komplek atau bidang
Argand.
6. Buktikan bahwa :
a. (z1 / z2 ) = z1 / z2 , nyatakan z1 dan z2 dalam bentuk Polar.
b. z1 x z2 = z1 x z2 , nyatakan z1 dan z2 dalam bentuk Polar.
Perkalian Bilangan Komplek
1) Jika z1 = a + bi dan z2 = c + di (Bentuk Standard), maka :
z1 x z2 = (a + bi) x (c + di)
= ac + adi + bci + bdi2
, ingat bahwa i2
= -1
= ac + i (ad+bc) + bd. (-1)
= ac – bd + i (ad+bc)
2) Jika z1 = r1 cis dan z2 = r2 cis (Bentuk Polar)
z1 x z2 = r1 cis . r2 cis
= r1 r2 cis . cis
= r1 r2 . (cos + i sin ) (cos + i sin )
= r1 r2 (cos . cos +i sin . cos +i cos . sin +i2
sin . sin )
= r1 r2 (cos . cos +i (sin . cos + cos . sin ) - sin . sin )
= r1 r2 {(cos . cos - sin . sin )+i (sin . cos +cos . sin )}
= r1 r2 { cos ( ) + i sin ( )}

16. = r1 r2 cis ( )
3) Jika z = ( a+bi ) dan Complex Conjugate dari z adalah ̅ ( a-bi ), maka:
z . ̅ = ( a+bi ) ( a-bi )
= a2
– abi + abi – b2
i2
= a2
– b2
i2
= a2
– b2
.(-1)
= a2
+ b2
= | |
Pembagian Bilangan Komplek
Jika z1 dan z2 adalah bilangan-bilangan komplek dalam bentuk Polar, dengan
z2 maka :
=
= .
( )
= .
( ) ( )
= { cos ( - ) + i sin ( - ) }
= . cis ( - )
Dalil De ‘Moivre :
Untuk n a bilangan bulat positif berlaku :
* ( )+ ( )…………Buktikan !