Gaya hukum newton

1. Kaidah pencacahan & peluang

2. Adaptif
Hal.: 2 PELUANG
❖ Standar Kompetensi
Memecahkan masalah dengan konsep teori peluang
❖ Kompetensi Dasar
Mendiskripsikan kaidah pencacahan, permutasi dan
kombinasi
❖ Indikator
Kaidah pencacahan, permutasi, dan kombinasi
digunakan dalam menentukan banyaknya cara
menyelesaikan suatu masalah
Kaidah pencacahan & peluang

3. Adaptif
Hal.: 3 PELUANG
❖Kaidah pencacahan
1. Aturan pengisian tempat yang tersedia
Contoh:
Pada lomba lari 100 meter, empat anak
lolos ke putaran akhir, yaitu A(Adi),
B(Banu), C (Candra), dan D(Dodi).
Pada perlombaan tersebut disediakan
dua hadiah. Ada berapakah susunan
pemenang yang mungkin muncul pada
akhir pertandingan?
Kaidah Pencacahan & peluang

4. Adaptif
Hal.: 4 PELUANG
❖ Jawab:
Pemenang pertama dan kedua yang mungkin muncul,
dapat kita susun yaitu:
AB, AC, AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,dan DC.
Proses menentukan banyaknya susunan pemenang secara
umum mengikuti aturan sebagai berikut:
Langkah 1:
Ada 4 peserta lomba yang semuanya bisa keluar sebagai
juara pertama.
Langkah 2:
Satu orang sudah masuk garis akhir, masih ada 3 peserta
lomba yang bisa menduduki juara kedua.
4 x 3 = 12
Jadi seluruhnya ada susunan pemenang yang
mungkin terjadi
Kaidah pencacahan & peluang

5. Adaptif
Hal.: 5 PELUANG
❖
Amalia memiliki 4 buah kemeja, 2 buah celana
panjang dan 3 sepatu. Ada berpa cara ia dapat
berpakaian lengkap?
Jawab:
Kemeja yang dapat dipilih Amalia ada 4 cara, celana
panjang 2 cara dan sepatu 3 cara.
Jadi, ada cara Amalia dapat berpakaian lengkap
4 x 2 x 3 = 24
n 2
Kaidah pencacahan & peluang

6. Adaptif
Hal.: 6 PELUANG
❖
Jika terdapat buah tempat yang tersedia dengan:
n1 = banyaknya cara untuk mengisi tempat pertama.
n2 = banyaknya cara mengisi tempat kedua, setelah
tempat pertama terisi.
n3 = banyaknya cara mengisi tempat ketiga, setelah
tempat pertama dan kedua terisi, dan
nk = banyaknya cara mengisi tempat ke – k, setelah
tempat-tempat sebelumnya terisi.
Maka banyaknya cara untuk mengisi k tempat yang tersedia
adalah
Aturan ini yang dimaksud sebagai aturan pengisian tempat
yang tersedia atau kaidah
perkalian.
n1 x n2 x n3 x … x nk.
Dari uraian tersebut dapat kita peroleh suatu kesimpulan :
Kaidah pencacahan & peluang

7. Adaptif
Hal.: 7 PELUANG
❖Definisi dan Notasi faktorial
Definisi:
Hasil perkalian semua bilangan bulat positip dari
satu sampai dengan n disebut n faktorial, dan diberi
notasi n!.
1 x 2x 3 x … x (n-1) x n,
n x ( n-1) x (n-2) x … x 2 x 1
dengan 1! = 1
Jadi n! =
n! =
0! = 1
dan
atau
Kaidah pencacahan & peluang

8. Adaptif
Hal.: 8 PELUANG
Masalah
Misalkan diadakan undian untuk memperebutkan 2 hadiah (hadiah I dan II).
Jika yang memperebutkan hadiah itu ada 3 orang (A, B, dan C), ada berapa
cara kedua macam hadiah itu dapat diberikan kepada para pemenang?.
Jawab:
Menurut Prinsip Perkalian
= 3×2
→ 1
1
2
3 

)!
2
3
(
!
3
−
→
n
r
P
)!
r
n
(
!
n
−
=
3
2
P
3
2
P
Obyek
Eksp.
A
B
C
Cara Eksp.
Diundi untuk
memperebutkan 2 hadiah
A
B
C
B
C
A
C
A
B
(B,A) = permutasi ke-3 = p3
(A,B) = permutasi ke-1 = p1
(A,C) = permutasi ke-2 = p2
(C,A) = permutasi ke-5 = p5
(C,B) = permutasi ke-6 = p6
(B,C) = permutasi ke-4 = p4
...
...
...
...
...
...
S, n(S) =
3 cara
2 cara
3
2
P
Banyaknya cara: n(S) = = 3×2 = 6 =
=
Masalah peluang

9. Adaptif
Hal.: 9 PELUANG
Ada berapa cara untuk membuat susunan huruf yang berbeda dari kata
“MAMA”?.
MMAA
MAMA
AMMA
AMAM
AAMM
MAAM
Ada 6 cara
Jika salah satu anggota diberi indeks
M1 A1 M2 A2
M2 A2 M1 A1
M1 A2 M2 A1
M2 A1 M1 A2
cabang)
4
memuat
anggota
6
dari
anggota
masing
-
(masing
4
berlainan)
huruf
4
dari
huruf
4
permutasi
(banyaknya
4!
=
)
A
dan
A
dari
(permutasi
2!
)
M
dan
M
dari
(permutasi
2!
4!
2
1
2
1  =
2!
!
2
!
4
Selanjutnya perhatikan bahwa
=
6 =
cabang
memuat
indeks
diberi
setelah
anggota
dari
g
sin
ma
g
sin
Ma
huruf
banyaknya
sesuai
indekas
diberi
A
dan
M
setelah
permutasi
Seluruh
4
6
−
Permutasi Dengan Beberapa Unsur Sama
Jawab
Masalah peluang

10. Adaptif
Hal.: 10 PELUANG
Berapa banyak cara untuk membuat susunan huruf dari kata “KAKAKKU”?
Jawab
!
1
!.
2
!.
4
!
7
=
2
4
7
1
C −
−
7
4
C × ×
4
7
2
C −
1!
2!
!
4
!
7
1!
2!
!
4
2).(1)
.
(3
.
4)
.
5
.
6
.
7
(
=
=
7
)
1
,
2
,
4
(
P
Secara umum, dengan n1
= + n2 + + nk
n
. Banyaknya cara mengambil 2 huruf A dari (7 – 4) huruf sisanya ada ,
dan banyaknya cara mengambil 1 huruf A dari (7 – 4 – 2) huruf sisanya ada .
Maka menurut prinsip perkalian banyaknya cara untuk membuat susunan huruf
dari kata KAKAKKU ada:
7
4
C 4
7
2
C −
2
4
7
1
C −
−
Karena ada 4K, 2A, dan 1U, maka banyaknya cara =
!
n
...
!
n
.
!
n
!
n
k
2
1
=
n
)
n
,
...
,
n
,
n
( k
2
1
P
Permutasi Dengan Beberapa Unsur Sama
7
)
1
,
2
,
4
(
P = = 105 cara
Secara matematika formal, banyaknya cara mengambil 4 huruf K dari 7 huruf ada
Masalah peluang

11. Adaptif
Hal.: 11 PELUANG
Permutasi Siklis
A
C B
C
B A
B
A C
Secara umum banyaknya
permutasi siklis dari n obyek =
n
siklis
P
Misalkan 3 orang anak A, B, dan C diminta naik ke permainan roda putar
Dari 3 tempat duduk pada permainan roda putar itu sebenarnya hanya ada 2
saja yang berbeda susunannya, yakni ABC dan ACB. Sehingga hanya ada 2
permutasi siklis.
Maka berarti ketiga permutasi siklis tsb sama, yakni ABC = CAB = BCA. Untuk
melihat kesamaannya perhatikan bahwa:
CAB.CAB = BCA.BCA = ABC (Pandanglah A sebagai titik awal).
Secara umum banyaknya permutasi siklis dari n obyek = = (n – 1)!
Masalah peluang

12. Adaptif
Hal.: 12 PELUANG
❖ Permutasi berulang
❖ Jika kita inin menyusun kata yang terdiri 2 huruf,
yang dipilih dari huruf A, D, I, serta kata yang
terbentuk boleh mengandung huruf yang sama,
maka kita akan mendapatkan kata:
AA, AD, AI, DD, DA, DI, II, IA, ID.
Jadi, banyaknya permutasi dua huruf yang diambil
dari 3 huruf dengan huruf- huruf itu boleh berulang
ada 9 cara.
Masalah peluang

13. Adaptif
Hal.: 13 PELUANG
❖ Secara umum:
Banyaknya permutasi r unsur yang diambil dari n
unsur yang tersedia (dengan tiap unsur yang
tersedia boleh ditulis berulang) adalah sebagai
berikut:
dengan r
P (berulang) =nr n

Masalah peluang

14. Adaptif
Hal.: 19 PELUANG
Peluang Kejadian
❖ Percobaan, Ruang Sampel, Peluang suatu
kejadian
)
A
(
fr
lim
n 
→
Kombinatorik
Adalah teknik menghitung banyaknya anggota ruang sampel
dengan :
1.Cara mendatar
2.Membuat tabel
3.Membuat diagram pohon
Peluang adalah nilai frekuensi relatif munculnya suatu
peristiwa dalam suatu eksperimen jika banyaknya percobaan
tak terhingga.
P(A)=

15. Adaptif
Hal.: 20 PELUANG
Peluang Kejadian
Eksperimen (Percobaan Acak)
❖ Ada Obyek Eksperimen
❖ Ada Cara Eksperimen
❖ Ada Hasil-hasil Yang Mungkin (Titik-titik Sampel)
Obyek
Eksp.
Cara Eksp.
Hasil-hasil
Yang Mungkin
s1
s2
s3
s4
s5
S
S = Ruang Sampel = { s1 , s2 , s3 , . . . , s5 }
= Himpunan semua hasil yang mungkin
dalam eksperimen itu
s1 , s2 , s3 , . . . , s5 masing-masing
disebut titik sampel
s2
S
s1
s3 s4 s5

16. Adaptif
Hal.: 21 PELUANG
Peluang Kejadian
sn
S
A
s3
s2
s1
sm
S = Ruang Sampel
= Himpunan semua hasil yang mungkin terjadi
dalam eksperimen itu
= {s1 , s2 , s3 , . . . , sm , . . . , sn}
A = Suatu peristiwa dalam ruang sampel S
= {s1 , s2 , s3 , . . . , sm}
Prinsip Penjumlahan
P(A) = P({s1}) + P({s2}) + P({s3}) + . . . + P({sm})
= jumlah peluang masing-masing titik sampel
yang ada di dalamnya

17. Adaptif
Hal.: 22 PELUANG
Peluang Kejadian
Peluang Berdasar Pengambilan Sampel
❖ Pengambilan Sekaligus → Kombinasi
Pengulangan obyek eksp. tidak
dimungkinkan dan urutan tak
diperhatikan (tak punya makna)
❖ Pengambilan Satu Demi Satu
1. Tanpa Pengembalian → Permutasi
Pengulangan obyek eksp. tidak
dimungkinkan dan urutan
diperhatikan (punya makna)
2. Dengan Pengembalian → Bukan Permutasi dan
Bukan Kombinasi

18. Adaptif
Hal.: 23 PELUANG
Peluang Kejadian
Banyaknya
Eksp.
Frek.
Munculnya
s1 =
s2 s3
300 kali
3.000 kali
15.000 kali
30.000 kali
banyak kali
92
1.012
4.989
10.012
Fr (s1) ≈
105
991
5.007
9.984
Fr (s2) ≈
93
997
5.004
10.004
Fr (s3) ≈
3
1
3
1
1. Pengambilan Sekaligus
Hasil-hasil yang
mungkin
Obyek Eksp
Cara Ekp.
1 2 3
Eksp1: ambil acak
2 bola sekaligus
… s1
… s2
… s3
1 2
1 3
2 3
S
A
Ambil acak 2 bola sekaligus.
Hasil-hasil yang mungkin?
3
1
A
S
s2
s1 s3
P({s1}) = P({s2}) = P({s3}) =
Maka S berdistribusi seragam
3
1
S = {s1, s2 , s3 } = Ruang sampel hasil eksperimen
A = Peristiwa terambilnya jumlah kedua nomor bola ganjil
= {s1, s3 } , n(A) = 2.
n(S) = = 3 .
3
2
C
P(A) =
)
S
(
n
)
A
(
n
3
2

19. Adaptif
Hal.: 24 PELUANG
Peluang Kejadian
2. Pengambilan Satu demi Satu Tanpa Pengembalian
Obyek Eksp
Cara Ekp.
1 2 3
Eksp 2 : ambil acak
2 bola 1 – 1 tanpa pengembalian
Ambil acak 2 bola 1 – 1 tanpa pengemb.
Hasil-hasil yang mungkin?
1
2
3
2
3
1
3
1
2
1 2 … s1
…
1 3 … s2
…
2 1 … s3
…
2 3 … s4
…
3 1 … s5
…
3 2 … s6
…
S
A
3 cara
2 cara
Hasil-hasil
yang mungkin
A
S
s6
s5
s4
s2
s1
s3
P({s1}) = P({s2}) = … = P({s6}) =
Maka S berdistribusi seragam.
6
1
S = {s1, s2 , s3 , . . . ,s6 } = Ruang sampel hasil eksperimen
A = peristiwa terambilnya jumlah kedua nomor bola ganjil
= {s1, s3, s4 , s6 }
P(A) = = = .
n(S) = = =
)
S
(
n
)
A
(
n
6
4
3
2
3 × 2 6.
.
eksp
obyek
dari
obyek
P
3
2

20. Adaptif
Hal.: 25 PELUANG
Peluang Kejadian
3. Pengambilan 1 – 1 Dengan Pengembalian
Eksp2:ambil acak
2 bola 1-1 dengan pengemb.
Ambil acak 2 bola 1-1 dengan
pengembalian. Hasil-hasil yang mungkin?
I
Hasil-hasil yang
mungkin
S
II A
2
3
1 2 3
1
1 … s1
1 1
…
2 … s2
1 2
…
3 … s3
1 3
…
1 … s7
3 1
…
2 … s8
3 2
…
3 … s9
3 3
…
3 cara
3 cara
A
S
s7
s2
s6
s3
s4
s8
s1
s5
s9
S = {s1, s2 , s3, ... , s9} = Ruang sampel hasil eksperimen.
n(S) = 3 × 3 = 9
A = peristiwa terambilnya jumlah kedua nomor bola ganjil.
= {s2, s4, s6 , s8 }
P(A) = = .
)
S
(
n
)
A
(
n
9
4
P({s1}) = P({s2}) = … = P({s9}) =
Maka S berdistribusi seragam.
9
1

21. Adaptif
Hal.: 26 PELUANG
Peluang Kejadian
Frekuensi Harapan
Frekuensi Harapan suatu kejadian adalah hasil kali peluang
kejadian tersebut dengan banyaknya percobaan.
Fr(A) = P(A) . n dengan, Fr(A) = frekuensi harapan kejadian A
P (A) = peluang kejadian A
n = banyaknya percobaan
Contoh:
Peluang seorang anak terkena penyakit polio adalah 0,01, dari 8000
anak. Berapa kira- kira yang terjangkit penyakit polio?
Jawab:
P(kenapolio) = 0,01, n= 8000
Fr(A) = P(kena polio) . n = 0,01 x 8000 = 80
Jadi, dari 8000 anak diperkirakan ada 80 anak yang terkena penyakit
polio

22. Adaptif
Hal.: 27 PELUANG
Kejadian Majemuk
)
(
1
)
(
1
)
(
'
'
A
P
A
P
n
a
n
a
n
n
n
a
n
A
P
−
=
−
=
−
=
−
=
A’
S
A
Jika A mempunyai a elemen, dan S
mempunyai n elemen maka A’ mempunyai
n-a elemen. Maka P(A’) adalah peluang
tidak terjadinya A.
Kejadian bukan A dari himpunan S ditulis
dengan simbol A’ (atau Ac) disebut
komplemen dari A.
1. Komplemen

23. Adaptif
Hal.: 28 PELUANG
Kejadian Majemuk
2.Dua Kejadian Saling Lepas
.1
.4
A
.2
.5
.7
.3
.11
B
.6
.8
.9
.10
.12
S
Maka A = {2, 3, 5, 7, 11} dan B = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
Sehingga
S={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
A={kejadian mendapatkan bilangan
prima}
B={kejadian mendapatkan sedikitnya
bilangan 5}
Jika kita melihat hubungan antara , P(A) dan P(B), terdapat
irisan antara A dan B, yaitu {5, 7, 11} dan juga diperoleh
6
5
12
10
B)
(A
P =
=


24. Adaptif
Hal.: 29 PELUANG
Kejadian Majemuk
)
( B
A
P 
12
3
)
( =
 B
A
P dan
)
(
)
(
)
(
)
(
12
3
12
8
12
5
12
3
8
5
12
10
)
(
B
A
P
B
P
A
P
B
A
P
B
A
P

−
+
=




−
+
=
−
+
=
=

Jika suatu kejadian A dan B tidak bersekutu, dalam hal ini
=Ø, maka kita katakan dua kejadian tersebut adalah saling lepas. Untuk
kejadian saling lepas (saling asing)
)
(
)
(
)
( B
P
A
P
B
A
P +
=

Maka = P(Ø) = 0
)
( B
A 
Jika A dan B kejadian yang saling lepas maka

25. Adaptif
Hal.: 30 PELUANG
Contoh Soal :
1. Sebuah dadu dilemparkan satu kali,
Jika A = {kejadian muncul mata dadu lebih dari 2}, tentukan
P(A’) ?
Jawab :
Sebuah dadu dilemparkan satu kali, maka ruang sampelnya adalah:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Jika A = {kejadian muncul mata dadu lebih dari 2} = {3, 4, 5, 6}
Maka P(A) = 4/6 = 2/3
P(A’) = 1 – 4/6 = 2/6 = 1/3
2. Pada pengambilan 1 kartu secara acak dari 1 set kartu bridge,
berapa peluang mendapatkan kartu As atau King?
Kejadian Majemuk

26. Adaptif
Hal.: 31 PELUANG
Dua Kejadian Saling Bebas
Sekeping uang logam dan sebuah dadu dilempar sekali. Kejadian
munculnya sisi angka pada uang logam dan kejadian munculnya mata
3 pada dadu adalah dua kejadian yang tidak saling mempengaruhi.
Peluang dua kejadian A dan B yang yang saling bebas adalah:
P (A B) = P (A) . P(B)
Contoh :
Misal A = kejadian muncul mata dadu 3 pada pelemparan pertama,
maka :
n(A) = 1, sehingga P(A) =
Misal B = kejadian muncul mata dadu 5 pada pelemparan kedua,
maka:
n(B) = 1, sehingga P(B) =
Peluang A dan B: P( A B) = P(A) . P(B) =
6
1
)
(
)
(
=
S
n
A
n
6
1
)
(
)
(
=
S
n
B
n


36
1
6
1
.
6
1
=

27. Adaptif
Hal.: 33 PELUANG
SEKIAN
TERIMA KASIH
SAMPAI JUMPA LAGI