3. Задача 1. Даден е равнобедрен триъгълник АВС с основа АВ = а и
бедра АС = ВС = b. Да се намери лицето на триъгълника и височината
към бедрото.
Решение:
От СC1 – височина и медиана → АC1 = ВC1 =
От ∆АСC1 – правоъгълен съгласно теоремата
на Питагор →
2
1
2
1
2
ССАСАС +=
От тук и
2
1
22
1 АСАССС −=
Следователно или
222
4
1
abha −=
b
ah
hbhah
CCABSAABCS
a
bba =⇒=
⇒=⇒= 11 .
2
1
.
2
1
ha
hb
a
b
а
2
1
22
4
1
abhа −= 22
4
1
2
1
abaS −=
b
aba
hb
2
4 22
−
=
4. Задача 2. Намерете височината и лицето на равностранен триъгълник
със страна а cm.
Задача 3. В равнобедрен триъгълник височината към основата е 10 cm, а
височината към бедрото му е 12 cm. Намерете дължините на страните
му.
Задача 4. В окръжност е вписан равнобедрен триъгълник с бедро 10 cm и
основа 12 cm. Намерете радиусите на вписаната и на описаната
окръжност.
5.
6. Задача 5. Даден е равнобедрен трапец АВСD с основи АВ = а, СD = b и
бедра ВС = АD = с. Да се намери лицето на трапеца.
Решение:
DD1 = СС1 = h са височини в трапеца.
h
ba
S
2
+
= Следователно достатъчно
е да изразим височината h чрез а, b и с.
Но АВСD е равнобедрен и следователно
∆АDD1 ∆ВСС1 и D1С1СD – правоъгълник,
то
≅
)(
2
1
11 baBCAD −==
От теоремата на Питагор получаваме:
222
)(
4
1
bach −−=
22
)(
4
1
bach −−=или
22
)(
4
1
22
bac
bа
h
ba
S −−
+
=
+
=
7. Задача 6. Лицето на равнобедрен трапец е 200 сm², а основите му са 40
сm и 10 сm. Намерете височината и бедрото на трапеца.
Задача 7. Равнобедрен трапец с основи 32 сm и 18 сm е описан около
окръжност. Намерете радиуса на окръжността.
Задача 8. Докажете, че диаматъра на окръжност, вписана в
равнобедрен трапец е средногеометричен на основите на трапеца.
10. Задача 3. В равнобедрен триъгълник височината към основата е 10 cm, а
височината към бедрото му е 12 cm. Намерете дължините на страните
му.
10cm
12cm
a = 2x
x
b = y
y
x² + 10² = y² (1)
1210 ba =
20.x = 12.y 5.x = 3.y (2)
22
100
35
ух
ух
=+
=
Отг. a =15 cm; b = 12,5 cm.
11. Задача 4. В окръжност е вписан равнобедрен триъгълник с бедро 10 cm и
основа 12 cm. Намерете радиусите на вписаната и на описаната
окръжност.
r
Отг. r = 3 cm; R = 6,25 cm.
12. Задача 6. Лицето на равнобедрен трапец е 200 сm², а основите му
са 40 сm и 10 сm. Намерете височината и бедрото на трапеца.
h
ba
S
2
+
=
222
)(
4
1
cbаh =−+
Отг. h = 8 cm; c = 17 cm.
13. Задача 7. Равнобедрен трапец с основи 32 сm и 18 сm е описан около
окръжност. Намерете радиуса на окръжността.
h = 2R
a + b = 2c
a
b
c
h
Отг. R = 12 cm.
14. Задача 8. Докажете, че диаматъра на окръжност, вписана в
равнобедрен трапец е средногеометричен на основите на трапеца.
h = 2R = d
a + b = 2c
Отг. d ² = a.b
