4. Да разгледаме картонен модел на
прав конус
Точка М – връх на конуса М
Кръгът – основа на
конуса
Отсечки като АМ или ВМ
–
образуващи А В
О
АО=ВО радиус на
основата
МО височина на конуса
5. Да разгледаме картонен модел на
конус
Ако го разрежем по
окръжността на
основата и развием,ще
получим развивка на
конуса
Фигурата АВМ се нарича
конична повърхнина
АМ=АВ=l образувателна
Дължината на дъгата АВ
е равна на дължината
на основата 2πr
Конус е тяло,което има
конична повърхнина и
1 кръг
6. Прав кръгов конус се получава при
пълно завъртане на правоъгълен
триъгълник около един от катетите му
Катета,около който се върти е
височина на конуса
хипотенузата е
образувателна
Другият катет е
радиус на основата
7. Лице на повърхнина на конус
Нека да
допълним
коничната l
повърхнина до l
цял кръг. х0
8. Лице на повърхнина на конус
Този кръг има за
радиус
образувателната на
конуса l и обиколка l
2πl.На всеки сектор l
с ъгъл 10 отговаря
дъга с дължина
2πl/3600
Тогава на сектор с
ъгъл от х0-отговаря
дъга 2πlх0/3600
2πlх0/3600 =2πr→
х0=3600r/l
9. Лице на повърхнина на конус
Лицето на конуса съвпада с лицето на
кръговия сектор
Sконус =Sкр.сектор
π l2
На всеки кр.сектор с ъгъл 10,отговаря лице 360
π l2
На всеки кр.сектор с ъгъл х0,отговаря лице x
360
10. Лице на повърхнина на конус
За да намерим лицето на сектора заместваме х
с израза: r
x = 360
l
Получаваме:
πl 2 .x =
πl.l . r .360
.
π
= .r .l
360 360 l
За лице на околна повърхнина на конус
получихме формулата:
S = π .r.l
11. Лице на повърхнина на конус
За да намерим пълната повърхнина
е достатъчно да прибавим лицето
на основата В=πr2
И така
S1= S + B = π.r.l + π.r2
S = π.r.l
12. Намерете в градуси ъгъла х
между двете образуващи на
коничната повърхнина,ако:
a) r=3cm l=10cm
r 3
x = .360 = .360 = 3.36 = 108 0
l 10
b) r=4cm l=9cm
r 4
x = .360 = .360 = 4.40 = 160 0
l 9
13. Намерете лицето на околната повърхнина и
лицето на повърхнината на конус с радиус
7см и образуваща 11см
Дадено: Решение:
Конус S=π.r.l
r=7 S= π.7.11=77 π
l=11 S=77π cm2
S=?
S1=? S1=S+B ,
B= πr2π.7.7=49π
14. Намерете образуващата на конус с
диаметър12 см и лице на
повърхнина 96πсм2
Дадено: конус І Търси
се:образуващата
d=12 CM, І l=?
S1= 96π см2 І
Решение:
d=12 → r= 12:2=6CM → B= πr2π.6.6=36πсм2
S1=S+B → S=S1-B= 96π - 36π= 60π см2
S=π.r.l → 60π = π.6.l → l=10 CM
15. Намерете лицето на повърхнина на конус с
дължина на основата 14π см и образуваща
12см
Дадено: Решение:
Конус S=π.r.l r=?
C=2πr →14 π=2πr → r =7CM
С=14π S= π.7.12=84 π
l=12 S=84π cm2
S1=? S1=S+B ,
B= πr2π.7.7=49π
S1=84π+ π49=133π
16. Правоъгълен триъгълник ,с катети АС=3см,ВС=4см и
височина към хипотенузата СО=2,4см,е завъртян
около хипотенузата.Намерете повърхнината на
полученото тяло.
Ще се получат 2 конуса с
B
обща основа с радиус r=
l1=4 СО=2,4см
Търсената повърхнина е
сбор от околните
О повърхнини на двата
C
конуса: S=S1+S2
2,4 2,4
l2=3 S=πrl1+πrl2=
=π.2,4.4+ π.2,4.3
A S= π.2,4.(3+4)=
=π.2,4.7=168π
17. Правоъгълен трапец е завъртян около
малката основа.По данните от чертежа(в
см) намерете повърхнината на полученото
тяло.
Получава се цилиндър с
радиус 3 и височина
5
10, с издълбан в него
конус с радиус 3 и
10 образуваща 5.
6 Sтяло=Sцилиндър+Sконус+В
Sтяло=2.π.3.10+πл3.5+π.32
3 Sтяло= 84 π см2
18. Обем на конус
Обемът на конус се намира по формулата
1
V = .B.h
3
B =r 2
π
Където r е радиуса на основата,
h е височината на конуса, B е
лицето на основата
19. Намерете обема на прав кръгов
конус с радиус 5 см и височина 9
см.
Дадено: конус r= 3см h= 9см
Да се намери: обемът V на конуса
Решение:
1
V = .B.h
3
B =π r =π.5.5 = 25π
2
1
V = 25π.9 = 75π см
/ 3 3
/
31
20. Правоъгълен триъгълник ,с катети
АС=3см,ВС=4см и хипотенузата 5см.
Намерете обема на полученото тяло, ако е
завъртян около хипотенузата
Дадено: 2 конуса с обща 3
основа h1
с r= височината към 5
хипотенузата,
4 h2
h1+h2= 5
l1=3 и l2=4
Да се намери:
обемът V на тялото
21. Решение:
от чертежа се вижда,че hc= r
тогава r =?
използваме формулата за лице на триъгълник
c.hc a.b 5.hc 3.4 3.4
= ⇒ = ⇒ hc = = 2,4
2 2 2 2 5
⇒ получаваме, че r = 2,4
Vтяло = V1 + V2
1 1 1
Vтяло = Bh1 + Bh2 = B ( h1 + h2 )
3 3 3
1
Vтяло = 2,4 2 π .5 = 9,6π см 3
3
22. Съд с форма на конус събира
4710литра.Намерете височината
на съда,ако радиуса е 1,5 метра.
Дадено: конус
V=4710л=4710 дм3 ,r =1,5м=15 дм
Да се намери: височината h
Решение: Ще работим в дм, защото
1л=1дм3
1
V = Bh
3
1 1
V = r.r.π .h ⇒ 4710 = .15.15.3,14.h
3 3
4710 = 235,5.h
h = 20дм = 2 м
23. Попълнете таблицата за конус с
радиус r ,лице на основата В,
височина h и обем V
r см B см2 h см V см3
3 5
5 75π
36π 96π
49π 12
24. Решение
r см B см2 h см V см3
3 9π 5 15π
5 25π 9 75π
6 36π 8 96π
7 49π 12 196π
