1. Κβαντικός υπολογισμός Θεωρία Υπολογισμού Γαβράς Βύρων Αριστοτέλειο Πανέπιστημιο Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Μάϊος 2011

2. Ιστορία Στις αρχές της δεκαετίας του ’80, είχε παρατηρηθεί από μερικούς επιστήμονες φυσικούς, ένας από τους οποίους ήταν και ο μεγάλος νομπελίστας φυσικός Richard Feynman, ότι υπάρχουν φυσικά φαινόμενα που εξελίσσονται με τρόπο που ήταν αδύνατον να προσομοιωθούν από τους κλασσικούς υπολογιστές γρήγορα. Πιο συγκεκριμένα, είχε παρατηρηθεί ότι μερικές φυσικές διαδικασίες σε κβαντικό επίπεδο, ήταν αδύνατον να προσομοιωθούν από τους κλασσικούς υπολογιστές σε χρόνο καλύτερο από εκθετικό στο μέγεθος του κβαντικού συστήματος. Συνεπώς, διαφαινόταν η πιθανότητα ότι κάποιες διαδικασίες που γίνονται σε κβαντικό επίπεδο, θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν για να αναπαραστήσουν δύσκολους κλασσικούς υπολογισμούς.

3. Κβαντικός Υπολογιστής Κβαντικός υπολογιστής ονομάζεται οποιαδήποτε υπολογιστική συσκευή, που κάνει χρήση χαρακτηριστικών κβαντομηχανικών ιδιοτήτων, όπως η αρχή της υπέρθεσης και της διεμπλοκής καταστάσεων για να πραγματοποιεί επεξεργασία δεδομένων. Μια συσκευή δηλαδή που χρησιμοποιεί τους ασυνήθιστους και συχνά παράδοξους για την κοινή λογική νόμους της κβαντομηχανικής, (οι οποίοι ρυθμίζουν τον μικροσκοπικό ατομικό κόσμο) για να εκτελεί υπολογισμούς με νέους και μερικές φορές πολύ σημαντικούς τρόπους.

4. Βασικές αρχές της κβαντικής Υπέρθεση: Ιδιότητα που έχουν τα κβαντικά συστήματα να βρίσκονται, όταν δεν υπόκεινται σε παρατήρηση ή μέτρηση σε δύο διαφορετικές φάσεις (καταστάσεις) ταυτόχρονα. Διεμπλοκή: Όταν δύο ή περισσότερα σωματίδια αλληλεπιδρούν το ένα με το άλλο, δεν είναι πλέον δυνατόν να περιγραφούν χωριστά. Συμπεριφέρονται ως μία ενιαία οντότητα ακόμα και αν στη συνέχεια χωριστούν από μεγάλες αποστάσεις.

5. Βασικές αρχές της κβαντικής (2) Το κύμα που συνδέεται με ένα ηλεκτρόνιο, παραδείγματος χάριν, διαδίδεται μέσα στο χώρο κατά μήκος όλων των πιθανών τροχιών του. Το σωματίδιο λέμε ότι είναι σε μία κατάσταση υπέρθεσης (superposition) όλων αυτών των πιθανών τροχιών-θέσεων. Εντούτοις, όποτε μετράμε τη θέση ενός σωματιδίου την βρίσκουμε σε ένα συγκεκριμένο σημείο. Αυτό είναι ένα από τα εκπληκτικά χαρακτηριστικά γνωρίσματα της κβαντικής φυσικής, και αποτελεί τον πυρήνα της κβαντικής φύσης του κόσμου.

6. Βασικές αρχές της κβαντικής (2) (A) Δυαδικότητα κύματος-σωματιδίου στο πείραμα δύο σχισμών. Ένα ηλεκτρόνιο ταξιδεύει προς έναν τοίχο που έχει δύο μικρές σχισμές. Το κύμα που συνδέεται με το ηλεκτρόνιο ενεργεί όπως ένα χαλίκι που ρίχνεται σε μια λίμνη. Διαδίδεται έξω και περνά και μέσω των δύο σχισμών. Η εικόνα συμβολής που προκύπτει καθορίζει την πιθανότητα να παρατηρήσουμε σε κάποιο σημείο της οθόνης το ηλεκτρόνιο (B) Τα ηλεκτρόνια στο πείραμα των δύο σχισμών ανιχνεύονται ως ενιαία σωματίδια (δηλ. σημεία) στην οθόνη σε μια απροσδιόριστη θέση (αριστερή εικόνα). Με την πάροδο του χρόνου όμως εμφανίζονται τα φαινόμενα συμβολής (δεξιά εικόνα).

7. Qubits Το κβαντικό bit, ή συνηθέστερα qubit, είναι η στοιχειώδης μονάδα κβαντικής πληροφορίας. Ένα qubit δεν είναι ανάλογο ενός bit γιατί ένα qubit μπορεί να αντιπροσωπεύσει ένα εκθετικό πλήθος καταστάσεων αντίθετα με ένα bit που μπορεί να αντιπροσωπεύσει μόνο δυο. Για παράδειγμα ένα qubitμπορεί να είναι ένα ηλεκτρόνιο ή ένα φωτόνιο. Τα qubitsέχουν την μοναδική κβαντική ιδιότητα της υπέρθεσης. Δηλαδή ένα qubit, μπορεί να βρίσκεται συγχρόνως και στην κατάσταση |1> και στην κατάσταση |0>.

8. Qubits (2) Ας σημειωθεί ότι ένα qubit δεν είναι ισοδύναμο με ένα κλασικό bit που έχει πιθανότητες, έστω p1, p2, να είναι 0 ή 1 αντίστοιχα, ακόμη και εάν οι πιθανότητες αυτές είναι ίσες με τις αντίστοιχες του qubit να μετρηθεί στις καταστάσεις |1> και|0>. Η διαφορά είναι λεπτή και έγκειται στο γεγονός ότι η κβαντική υπέρθεση του qubit κωδικοποιεί, εκτός από τις πιθανότητες, και μια σχετική φάση μεταξύ των δύο καταστάσεων, επιτρέποντας την εμφάνιση φαινομένων συμβολής των δύο καταστάσεων.

9. Qubits (3) Οι δύο καταστάσεις που αποτελούν τη βάση του qubit μπορούν να αντιστοιχιστούν με τις προβολές του σπιν ενός σωματιδίου με σπιν-1/2, όπως π.χ. το ηλεκτρόνιο. Ως κατάσταση |1> ορίζουμε την κατάσταση όπου το σπιν του ηλεκτρονίου είναι "πάνω" και ως κατάσταση |0> , ορίζουμε την κατάσταση όπου το σπιν του ηλεκτρονίου είναι "κάτω". Συνοπτικά, θα μπορούσαμε να γράψουμε ότι όπου: . Οι πιθανότητες κάθε κατάστασης δεν δίνονται από τους συντελεστές, αλλά από τα τετράγωνα των συντελεστών που ορίζουν την συγκεκριμένη διαμόρφωση του qubit. Ακριβέστερα, από το τετράγωνο των μέτρων των συντελεστών, καθώς οι συντελεστές είναι μιγαδικοί αριθμοί.

10. Χρησιμότητα κβαντικών υπολογιστών Υπάρχουν ήδη αρκετά παραδείγματα προβλημάτων, όπως η εύρεση των πρώτων παραγόντων πολύ μεγάλων αριθμών, τα οποία πιστεύεται ότι είναι εξαιρετικά δύσκολο να λυθούν με την χρήση συμβατικών αλγορίθμων, και τα οποία μπορούν δυνητικά να λυθούν πολύ ταχύτερα σ' ένα κβαντικό υπολογιστή. Για παράδειγμα, υπάρχει ένας κβαντικός αλγόριθμος που επιτρέπει την εύρεση των πρώτων παραγόντων ενός τεράστιου αριθμού. Το 1994, ο Peter Shor παρουσίασε έναν κβαντικό αλγόριθμο ο οποίος μπορούσε να παραγοντοποιήσει μεγάλους αριθμούς γρήγορα, εκμεταλλευόμενος υπολογισμούς που αναπαρίστανται από τη δράση ενός κατάλληλα προετοιμασμένου κβαντικού συστήματος. Το ότι η δυσκολία του προβλήματος της παραγοντοποίησης βρίσκεται στη βάση πάρα πολλών κρυπτογραφικών συστημάτων (όπως είναι το περίφημο σχήμα RSA), πρόσδωσε στον αλγόριθμο αυτό ακόμη μεγαλύτερη σημασία.

11. Η κβαντική κατάσταση υπέρθεσης επιτρέπει σε ένα qubitνα καταχωρήσει το 0 και το 1 ταυτόχρονα . Δύο qubits μπορούν να καταχωρήσουν όλους τους 4 δυαδικούς αριθμούς 00 ..01 ..10 και 11 ταυτόχρονα. Τρία qubits καταχωρούν τους 8 δυαδικούς αριθμούς 000 ..001 ..010 ..011 ..100 ..101 ..110 και 111 ταυτόχρονα. Ο πίνακας δείχνει ότι 300 qubits μπορούν να καταχωρήσουν περισσότερους από 1090 αριθμούς ταυτόχρονα. Ο αριθμός αυτός είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό των ατόμων που υπάρχουν στο ορατό σύμπαν. Το γεγονός αυτό δείχνει την δύναμη των κβαντικών υπολογιστών: ακριβώς 300 φωτόνια μπορούν να καταχωρήσουν περισσότερους αριθμούς από όσα άτομα υπάρχουν στον κόσμο, και οι υπολογισμοί μπορούν να εκτελεσθούν ταυτόχρονα σε κάθε ένας από αυτούς τους αριθμούς! Πίνακας 1

12. Κβαντικοί υπολογιστές Στην κλασική φυσική η θέση της μπάλας, που κινείται πάνω σε ένα σταθερό οριζόντιο καλώδιο (όπως αυτό που φαίνεται στην προσομοίωση), μπορεί να περιγραφεί πλήρως με δυο αριθμούς: τη θέση και τη ταχύτητα της μπίλιας.

13. Κβαντικοί υπολογιστές (2) Σε έναν κβαντικό υπολογιστή, οι διακόπτες του επεξεργαστή μπορούν να πάρουν τιμές όχι μόνο "on" και "off" - όπως στους κλασικούς υπολογιστές - αλλά ένα άπειρο αριθμό άλλων τιμών. Μέρη (εξαρτήματα) ενός κβαντικού υπολογιστή μπορούν να συμβάλλουν, αυτό όμως δεν μπορεί να συμβεί με τα εξαρτήματα ενός κλασικού υπολογιστή. Εξαιτίας της διεμπλοκής τα περιπλεγμένα σωματίδια επιτρέπουν μια τεράστια μείωση του υλικού που απαιτείται για να εφαρμοστούν οι κβαντικοί αλγόριθμοι.

14. Τι γίνεται με τις κλάσεις πολυπλοκότητας στους κβαντικούς υπολογιστές;

15. Τι γίνεται με τις κλάσεις πολυπλοκότητας στους κβαντικούς υπολογιστές; BPP (Bounded Error Probabilistic Polynomial Time) : Περιλαμβάνει τα προβλήματα τα οποία είναι αποτελεσματικά επιλύσιμα στον φυσικό κόσμο, δεδομένου ότι οι νόμοι της κλασσικής φυσικής είναι αληθείς. BQP (Bounded Error Quantum Polynomial Time) Είναι η λογική συνέχεια της παραπάνω κλάσης πολυπλοκότητας αλλά περιλαμβάνει τα προβλήματα που είναι αποτελεσματικά επιλύσιμα στον φυσικό κόσμο, δεδομένου ότι τον διέπουν οι νόμοι της κβαντικής φυσικής. Είναι υποσύνολο της κλάσης PSPACE και

16. Προβλήματα κβαντικών υπολογιστών Υπάρχουν αρκετοί παράγοντες που στέκονται εμπόδιο στο δρόμο της ανάπτυξης των κβαντικών υπολογιστών, αλλά πιθανόν ο πιο σημαντικός είναι η κατάρρευση της συμφασικότητας των κυματοσυναρτήσεων που αποτελούν την υπέρθεση. Μια μέτρηση προκαλεί κατάρρευση της κυματοσυνάρτησης και καταστρέφει τη χρησιμότητα της κβαντικής υπέρθεσης. Όταν όμως και το περιβάλλον αλληλεπιδρά με ένα qubit, αυτή η αλληλεπίδραση αποτελεί έμμεση μέτρηση της κατάστασης. Aν λοιπόν το περιβάλλον προκαλεί κατάρρευση της υπέρθεσης μεταξύ των διαφόρων βημάτων του κβαντικού υπολογισμού, το αποτέλεσμα δεν θα είναι το επιθυμητό και θα καταστρέψει τον υπολογισμό. Για να αποφύγουν αυτό το πρόβλημα, οι φυσικοί προσπαθούν να βρουν συστήματα που να έχουν την ελάχιστη αλληλεπίδραση με το περιβάλλον και να αναπτύξουν αλγορίθμους που να ελαττώνουν τα σφάλματα που προκαλεί η κατάρρευση της συμφασικότητας. Οι αλγόριθμοι αυτοί θα μπορέσουν μετά να εισαχθούν σε άλλους αλγόριθμους και να τους κάνουν πιο ανθεκτικούς στην κατάρρευση. Παρά την προσπάθεια αυτή, δεν είναι ακόμη ξεκάθαρο αν η αποικοδόμηση της υπέρθεσης κάνει τον κβαντικό υπολογισμό εκ θεμελίων αδύνατο ή απλά δυσκολεύει την επίτευξή του.

17. Κβαντικός vsΚλασσικός Υπολογιστής Ο κβαντικός υπολογιστής δεν είναι σε θέση να λύσει πιο δύσκολα προβλήματα από έναν κλασικό υπολογιστή αλλά μπορεί να δώσει λύση πολύ πιο γρήγορα . Θεωρητικά μια Turing Machine μπορεί να προσομοιώσει έναν κβαντικό υπολογιστή εφόσον της δοθεί απεριόριστος χρόνος και μνήμη (κάτι το οποίο ίσως να είναι ανέφικτο). Μάλιστα μπορεί η ΤΜ να προσομοιώσει τον κβαντικό υπολογιστή έτσι ώστε να μην μπορεί να λύσει το πρόβλημα του τερματισμού. Προς το παρόν το πεδίο είναι ανοικτό και έχει πολύ έρευνα μπροστά

18. Ευχαριστώ για την προσοχή σας 