1. Unitat didàctica 6:
La proporcionalitat geomètrica
Departament de matemàtiques
Nivell: 2n ESO

2. Per a què serveix la proporcionalitat?
A)Ens permet dibuixar una cosa “igual” a un altre però
més gran o més petita:
• Plànols d’edificis
• Plànols de ciutats
• Plànols de taller
• Mapes de països
• Maquetes
B) Ens permet mesurar indirectament distàncies a punts
als que no s’hi pot arribar, o superfícies de terreny
molt grans mitjançant figures proporcionals :
• Alçada d’un edifici
• Amplada d’un riu
• Superfície d’un terreny

3. Per a què serveix la proporcionalitat?
Plànols d’edificis

4. Per a què serveix la proporcionalitat?
• Plànols de ciutats
Plànol Tarragona 1958. Amb
Plànol Tarragona 1687. Sense
escala: permet mesurar i calcular
escala: No permet mesurar
distàncies

5. Per a què serveix la proporcionalitat?
Plànols de taller: Permeten dissenyar i fabricar peces mecàniques

6. Per a què serveix la proporcionalitat?
Maquetes d’edificis, objectes, terreny, vehicles, etc.

7. Per a què serveix la proporcionalitat?
- Calcular l’alçada de edificis, arbres, torres, etc.

8. Per a què serveix la proporcionalitat?
- Càlcul de la superfície d’un terreny.

9. Objectius didàctics I
1.- Distingir entre una proporció
aritmètica i una de geomètrica.
2.- Saber dibuixar segments
proporcionals a uns altres amb una
raó de proporcionalitat
determinada. Construir figures
semblants a partir d’una de donada.
3.- Conèixer i aplicar el teorema de
Tales per calcular longituds de
segments d’una figura.

10. Objectius didàctics II
4.- Representar fraccions sobre la
recta numèrica.
5.- Calcular la raó de semblança de
figures semblants.
6.- Relacionar la raó d’àrees i la de
perímetres amb la raó de
semblança.
7.- Realitzar càlculs mitjançant
escales, tant en mapes com en
plànols.

11. Criteris d’avaluació I
1.- Saber dibuixar segments proporcionals amb una
determinada raó de proporcionalitat i esbrinar aquesta raó a
partir de la representació dels segments.
2.- Donada una proporció entre segments i conegudes les
longituds de tres d’aquests, saber calcular la longitud del
quart.
3.- Saber dividir un segment en dues parts per que formin una
raó determinada i saber dividir un segment en parts iguals.
Saber representar fraccions sobre la recta numèrica.
4.- Saber posar dos triangles o dos polígons en general en
posició de Tales per determinar si són semblants o no.

12. Criteris d’avaluació II
5.- Saber resoldre problemes geomètrics on les incògnites es
poden calcular aplicant el teorema de Tales. Relacionar
l’àrea i el perímetre de dues figures semblants amb la raó
de semblança, sabent calcular l’àrea i el perímetre d’una de
les figures a partir de les dades de l’altra.
6.- Comprendre bé el concepte d’ escala i saber-ho relacionar
amb la raó de semblança. Entendre que l’escala no té
unitats.
7.- Saber calcular les distàncies reals representades en un
mapa o en un plànol coneixent l’escala i representar a
escala alguns exemples senzills.

13. Criteris de qualificació
• Treball obligatori + Actitud + Llibreta = 20 %
– Treball: “Anem a mesurar l’alçada de l’edifici de
l’institut”
Actitud: Puntualitat, deures, comportament, etc.
– Llibreta
• Prova escrita de la unitat = 80%

14. Índex de continguts de la unitat
1.- Segments proporcionals
2.- Teorema de Tales
3.- Divisió d’un segment en parts iguals
4.- Semblança de triangles
5.- Criteris de semblança de triangles
6.- Polígons semblants
7.- Perímetre i àrea de dues figures semblants
8.- Escales

15. Índex de continguts de la unitat
1.- Segments proporcionals
2.- Teorema de Tales
3.- Divisió d’un segment en parts iguals
4.- Semblança de triangles
5.- Criteris de semblança de triangles
6.- Polígons semblants
7.- Perímetre i àrea de dues figures semblants
8.- Escales

16. Segments proporcionals
• Recorda els conceptes: termes d’una proporció,
termes extrems, termes mitjans, quart proporcional.
• En aquesta unitat veurem el concepte de raó i
proporció des d’un punt de vista geomètric:
– La raó entre dos segments és el quocient entre els
nombres que indiquen les seves longituds, expressades en
la mateixa unitat.
– Dos segments son proporcionals a uns altres dos quan la
raó entre els dos primers és igual a la raó entre els altres
dos. La igualtat entre dos raons forma una proporció.

17. Les proporcions notables
Durant la historia els arquitectes, artistes i dissenyadors han utilitzat
diferents estils, establint certes normes que els ajudessin a crear les
seves obres.
Moltes d’aquestes normes es basen en seguir diferents raons
geomètriques:
1+ 5
a) Raó auria ⇒ φ = = 1,6180...
2
b) Arrel de 2 ⇒ 2 = 1,4142...
c) Raó de plata ⇒ 1 + 2 = 2,4142...
d) Arrel de 3 ⇒ 3 = 1,7320...
1
e) Raó cordovesa ⇒ = 1,3065...
2− 2
f) Pi (perímetre entre diàmetre) ⇒ π = 3,1415....

18. La proporció àuria
La proporció àuria es produeix quan es divideix un
segment de manera que la raó entre la part gran i la
petita és la mateixa que la raó entre el total i la part gran
a+b a
= =φ
a b
1+ 5
φ= = 1,6180...
2

19. La raó àuria i l’arquitectura
La raó àuria es troba en moltes
obres antigues: la gran piràmide
de Keops (2500 aC, El Cairo), el
Partenon d’Atenes (432 aC ,
Atenes), porta del sol de
Tiwanaku (1500 aC., Lac
Titicaca, Bolívia), la catedral de
Notre Dame (1345, París), etc.
També la trobem a edificis més
moderns com a l’edifici de les
Nacions Unides (1950, NY), o
Piràmide de Keops AB/AC = Phi el Museu Guggenheim (1959,
NY).

20. La raó àuria i l’arquitectura
La raó àuria es troba en edificis antics i moderns
Partenon d’ Atenes (432 aC, Fideas )
Edifici de la ONU a New York
(1950, Le Corbusier)

21. La raó àuria i el disseny
La raó àuria es troba en el disseny de molts objectes, tant
actuals com a clàssics.
Reproductor de música i video Ipod
Àmfora jònica (VI aC)
DNI electrònic

22. La raó àuria i l’art
En totes les èpoques molts artistes s’han vist atrets per les
formes amb proporció àuria.
Venus de Milo (autor La Gioconda (Leonardo “Muchacha en la
desconegut, aprox. 100 aC) da Vinci, 1506) Ventana” (Dalí, 1925)

23. Arrel quadrada de dos 2
L’ arrel de dos representa la relació entre la diagonal i el
costat d’un quadrat
2 = 1,414...

24. Construcció d’un rectangle
amb raó 2
Aquí pots veure com es pot construir fàcilment un rectangle
que tingui com raó entre els seu costats arrel de dos. Només
tens que fer que el costat gran tingui la mateixa longitud que
la diagonal del quadrat format amb el costat petit.

25. La sèrie DIN-A i 2
Un rectangle de proporcions arrel
de dos, permet fàcilment obtenir
un altre rectangle amb la meitat
de superfície però mantenint les
proporcions, només necessites fer
el costat gran la meitat de llarg.
Això ha servit per a definir la sèrie
DIN-A a partir d’un rectangle
original A0 amb 1 m2 de
superfície.

26. Índex de continguts de la unitat
1.- Segments proporcionals
2.- Teorema de Tales
3.- Divisió d’un segment en parts iguals
4.- Semblança de triangles
5.- Criteris de semblança de triangles
6.- Polígons semblants
7.- Perímetre i àrea de dues figures semblants
8.- Escales

27. Tales de Mileto
Tales de Milet es pot considerar el primer pensador de la història (això no vol dir que ningú
pensés abans). Es va plantejar preguntes com per exemple: Què és pensar?, Quina relació
existeix entre el que penso i el que és? De què està feta la natura? Tales va viure als voltants
de 620 ac i va ser un dels Set Savis de Grècia. No va estudiar molt els nombres però sí les
figures geomètriques: cercles, rectes, triangles, com per exemple va considerar per primera
vegada l’angle com a element va afirmar que a cada triangle li correspon un cercle (tot
triangle es pot ficar dins d’una circumferència)
- va ser el primer en afirmar que “Tota recta que passa pel centre d’un cercle, el divideix en
dues parts iguals” (Ara és fàcil afirmar-ho, no?)
La seva principal aportació ales Matemàtiques va ser el Teorema de Tales. Va mesurar
l’alçada de la piràmide de Keops, mesurant l’ombra que projectava i comparant-la amb la
seva pròpia ombra. Tan fàcil i genial com pensar: “En el moment del dia en que la meva
ombra coincideixi amb la meva alçada, la altura de la piràmide coincidirà amb la seva
ombra. Només caldrà mesurar la ombra que es projecta i tindrem la altura de la piràmide”
Genial, no?
(Extret del llibre “El teorema del loro” de Guedj, D.”)

28. Teorema de Tales
• Teorema de Tales: Els segments determinats per un
conjunt de rectes paral·leles sobre dues rectes secants
són proporcionals
Recorda :
a c a b d c
= ↔ = ↔ =
b d c d b a
a c a c a+c
= → = =
b d b d b+d
PA PB PC PD PE
= = = = =k
PA' PB' PC ' PD' PE '

29. Índex de continguts de la unitat
1.- Segments proporcionals
2.- Teorema de Tales
3.- Divisió d’un segment en parts iguals
4.- Semblança de triangles
5.- Criteris de semblança de triangles
6.- Polígons semblants
7.- Perímetre i àrea de dues figures semblants
8.- Escales

30. Divisió d’un segment en parts iguals
Pots dividir un segment en parts iguals gràcies al Teorema de Tales.
Per exemple per dividir el segment AB en cinc parts iguals fes el següent:
– Utilitza una semirecta qualsevol d’origen A, i situa cinc segments iguals de
qualsevol longitud
– Uneix l’extrem de l’últim segment (punt T) amb l’extrem de AB (punt B)
– Traça paral·leles al segment TB que tallin a AB i trobaràs els punts F, E, D, C que
divideixen a AB en cinc parts exactament iguals.
AP PQ QR RS ST
= = = =
AC CD DE EF FB

31. Índex de continguts de la unitat
1.- Segments proporcionals
2.- Teorema de Tales
3.- Divisió d’un segment en parts iguals
4.- Semblança de triangles
5.- Criteris de semblança de triangles
6.- Polígons semblants
7.- Perímetre i àrea de dues figures semblants
8.- Escales

32. Triangles semblants
• Es diu que dos figures són
semblants si tenen la mateixa
forma i diferent grandària.
• En figures semblants els • La raó constant k que hi ha
elements que es corresponen entre .dos costats homòlegs
s’anomènen homòlegs. de dos triangles semblants
s’anomena raó de
semblança.
a’
a a ' b'
= =k
a b
b’ b

33. Índex de continguts de la unitat
1.- Segments proporcionals
2.- Teorema de Tales
3.- Divisió d’un segment en parts iguals
4.- Semblança de triangles
5.- Criteris de semblança de triangles
6.- Polígons semblants
7.- Perímetre i àrea de dues figures semblants
8.- Escales

34. Criteris de semblança de triangles
• Dos triangles són semblants
si tenen dos angles iguals
• Dos triangles són
semblants si tenen els • Dos triangles són semblants
costats proporcionals si tenen dos parells de
costats proporcionals i igual
l’angle que determinen.

35. Índex de continguts de la unitat
1.- Segments proporcionals
2.- Teorema de Tales
3.- Divisió d’un segment en parts iguals
4.- Semblança de triangles
5.- Criteris de semblança de triangles
6.- Polígons semblants
7.- Perímetre i àrea de dues figures semblants
8.- Escales

36. Polígons semblants
• Dos polígons amb el mateix nombre de costats són
semblants si tenen els angles iguals i els costats
homòlegs proporcionals.
AB BC AC
= = =k
A' B' B' C ' A' C '
AD CD AC
= = =k
A' D' C ' D' A' C '
AB BC AD CD
= = =
A' B' B' C ' A' D ' C ' D'

37. Índex de continguts de la unitat
1.- Segments proporcionals
2.- Teorema de Tales
3.- Divisió d’un segment en parts iguals
4.- Semblança de triangles
5.- Criteris de semblança de triangles
6.- Polígons semblants
7.- Perímetre i àrea de dues figures semblants
8.- Escales

38. Perímetre i àrea de dos rectangles
• La raó dels perímetres dels dos rectangles coincideix
amb la raó de semblança.
• La raó de les àrees dels dos rectangles és igual al
quadrat de la raó de semblança.
a b
= =k
a ' b'
P 2(a + b) 2( ka'+ kb' ) 2k (a '+b' )
= = = =k
P' 2(a '+b' ) 2(a '+b' ) 2( a '+b' )
S a ⋅ b (ka' )(kb' ) k 2 (a ' b' )
= = = = k2
S ' a ' b' a ' b' a ' b'

39. Perímetre i àrea de dos
circumferències
• La raó dels perímetres dels dos circumferències
coincideix amb la raó dels seus radis.
• La raó de les àrees dels dos rectangles és igual al
quadrat de la raó dels seus radis.
r
=k
r'
P 2 ⋅π ⋅ r
= =k
P' 2 ⋅ π ⋅ r '
S π ⋅ r 2 π ⋅ (kr ' ) 2 π ⋅ k 2 r '2
= = = = k2
S ' π ⋅ r '2 π ⋅ r '2 π ⋅ r '2

40. Índex de continguts de la unitat
1.- Segments proporcionals
2.- Teorema de Tales
3.- Divisió d’un segment en parts iguals
4.- Semblança de triangles
5.- Criteris de semblança de triangles
6.- Polígons semblants
7.- Perímetre i àrea de dues figures semblants
8.- Escales

41. Escales
• L’escala és la raó de semblança entre un dibuix (un mapa, o un
plànol) i la realitat que aquest dibuix representa
E = 1:35 E = 1:50