1. LA SECCIÓ ÀURIA i
LA REGLA DE RUFFINI
Projecte de Matemàtiques
Aina Llorach Rodríguez
Cristina Pueyo Prenafeta
Maig 2011
4t B

2. ÍNDEX
1. Secció Àuria
2. Història sobre la Secció Àuria
3. La Regla de Ruffini
4. Paolo Ruffini

3. 1.La Secció Àuria
La secció àuria és la relació que guarden dos segments a i b si entre el total i el
segment major hi ha la mateixa relació que entre el segment major i el segment
menor, o, si el tot és al segment major igual que el major és al segment menor.
Anomenant a al segment (o nombre) major i b al menor, la formulació
matemàtica de la definició es pot escriure com:
D’aquí s’obté el nombre d’or que és el nom donat en matemàtiques al quocient
(número irracional) entre un segment menor i un segment major, que és el
mateix que dividir un segment major entre una totalitat.
Si apliquem la proporció àuria obtenim la següent equació:
X=
El quocient d'aquestes dues quantitats resulta ser un número irracional conegut
com a nombre auri o nombre d'or, i designat habitualment per la lletra
grega φ (fi) en honor a Fídies, escultor i arquitecte grec del Partenó, o menys
freqüentment amb τ (tau):

4. Les formes definides amb la raó àuria han estat molt sovint
considerades estèticament agradables en la cultura d'occident, de manera que
la proporció divina s'ha usat freqüentment al llarg de la Història en l'art i
el disseny. Òbviament, també s'ha usat la inversa de la raó àuria Φ-1.
2.Història sobre la Secció Àuria
La secció àuria va ser descoberta en l’Antiga Grècia, el van obtenir els grecs al
trobar la relació entre la diagonal d’un pentàgon i el costat. El nombre d’or va
ser molt utilitzat durant el Renaixement, en les arts plàstiques i en
l’arquitectura. Era considerat la proporció perfecta entre els costats d’un
rectangle i fou la clau per algunes construccions de l’Antiga Grècia que es
basaven en la geometria.
La relació àuria també existeix al “pentaculo”, un símbol pagà, que més tard va
ser utilitzat per l’Església Catòlica per a representar a la Verge Maria; així com a
l’Home de Vitruvio de Leonardo Da Vinci. Famós dibuix realitzat el 1490 que
representa una figura masculina nua en dues posicions sobre impreses de
braços i cames, i dins un cercle i un quadrat. Es tracta d’un estudi de les
proporcions del cos humà masculí, realitzat per l’arquitecte de l’antiga Roma
Viruvio, nom que dona títol al dibuix.
D’altra banda, el nombre d’or s’ha aplicat a altres construccions com a la
piràmide de Keops, a temples de l’antiga Grècia, a l’Alhambra, en pintura (Dalí,
Botticelli...) i, fins i tot en música (compositors com Bela Bartok o Olivier
Messiaen van utilitzar la sèrie matemàtica de Fibonacci, basada en el nombre
d’or, per a la duració de les notes d’algunes obres), i en la naturalesa.

5. 3. La regla de Ruffini
Aquest mètode de Ruffini va ser descrit l’any 1808 on ens permet dividir un
polinomi entre un binomi de la forma (x - a) (sent a un número real).
A continuació hi ha els passos que s’han de fer per tal d’utilitzar aquest mètode.
P (x) = 3x + 4x + 2x – 7x + 5
Q(x) = x – 2
1. Primerament has d’agafar els coeficients del polinomi donat i col·locar-los
ordenats un al costat de l’altre. Després has d’escriure el nombre r a la
cantonada de baix a l’esquerra, donant forma a una creu amb una extremitat
allargada.
2. Després has de copiar el coeficient de més a l’esquerra i escriure’l sota la
línia, just a la mateixa altura.

6. 3. A continuació has de multiplicar el nombre de sota la línia per el nombre r, i el
seu resultat, escriure’l una posició a la dreta però damunt la línia.
4. Seguidament has de sumar el producte de la primera muliplicació pel següent
coeficient, i el seu resultat escriure’l sota la línia. Així ho hauràs de fer tantes
vegades com coeficients hi hagin, fins obtenir un residu.
Els valors de sota la línia seran els coeficients del polinomi resultat de dividir
entre (x - a). El grau del polinomi será sempre un menys del del coeficient. I com
a divisió, tindrem un residu, l’últim nombre (en aquest cas 79).
El procés és fàcil, però en dos certs punts donats, hi ha un petit problema que
cal solucionar-lo de la següent manera:

7. Problema 1; quan el binomi és (x + a) (a qualsevol nombre real). Aquest
fet passa perquè és un nombre negatiu i passa que (x -(- a)) es transforma
en (x + a). En aquest cas, el nombre r es canvia de signe, éssent així
negatiu. Després només cal fer les operacions anomenades
anteriorment.
Problema 2; quan en els coeficients hi falta alguna x elevada per ordre.
En aquest cas s’hi posa un 0 en el seu lloc. Sempre s’ha de tenir en
compte aquest fet, els nombres han d’estar ordenats, i en el cas que en
falti un, s’hi posarà un 0.
La Regla de Ruffini es justifica basant-se en una multiplicació encaixada, que
justament és la que minimitza les operacions necessàries a l’hora de calcular el
valor numèric d’un polinomi. Podem concloure que aquesta regla es justifica, a
més, amb el Teorema del Residu, que diu que si substituim la x pel nombre a en
la Regla de Ruffini i seguidament fem les operacions segons digui el polinomi,
ens hauria de donar el residu.
Comprovem-ho amb el polinomi anterior.
P(2) = 3·2 + 4·2 + 2·2 – 7·2 + 5 = 3·16 + 4·8 + 2·4 – 14 + 5 = 48 + 32 + 8 – 9 = 79
4. Paolo Ruffini
Paolo Ruffini va nèixer el 22 de setembre del 1765 a Valentano, Itàlia. Va
graduar-se en filosofía, medicina i matemàtiques. Al 1787 va ser nomenat
profesor a la Universitat de Módena. Més tard, es va negar a jurar lleialtat al
càrrec proposat per Napoleó quan va fundar la República Cisalpina. Per aquest
motiu li va ser prohibit l’educació, temps que va aprofitar per dedicar-se a la
pràctica de medicina i l’investigació de la resolució de l’equació de cinquè grau
per radicals. Després va ser readmès i va ocupar el càrrec de rector en la
Universitat. Durant la seva vida va escriure un gran nombre de llibres. Entre les
seves aportacions matemàtiques podem destacar la Regla de Ruffini. Paolo
Ruffini va morir el 10 de maig de 1822 a Mòdena, després de patir el tifus
durant més de cinc anys.