Materi turunan berarah dan kemiringan bidang

1. Bab 5
Turunan berarah dan
kemiringan bidang

2. TURUNAN BERARAH
DAN KEMIRINGAN
BIDANG
1. DefinisiTurunanBerarah
2. Hubungan
TurunanBerarah dan
Gradien
3. Teorema TurunanBerarah
4. Definisi
Laju Perubahan
Maksimum
5. Teorema
LajuPerubahanMaksimum
6. KetinggianKurvadan
Gradien
7. Teorema
KetinggianKurvadan
Gradien
NEXT

4.  Hubungan Turunan Berarah dan Gradien
Gradiennya dinyatakan dengan ∇𝑓 𝑝
(dibaca: del 𝑓 pada 𝑝).
∇𝑓 𝑝 = 𝑓𝑥 𝑝 + 𝑓𝑦 𝑝 𝑗

5. Teorema
Misalkan 𝑓 terdeferensiasikan di 𝑝, maka 𝑓 mempunyai
turunan berarah di 𝑝 dalam arah vektor satuan 𝑢 = 𝑢1 𝑖 +
𝑢2 𝑗 dan
𝐷 𝑢 𝑓 𝑝 = 𝑢. ∇𝑓 𝑝
Yakni,
𝐷 𝑢 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑢1 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 + 𝑢2 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦

6.  Laju Perubahan Maksimum
Suatu fungsi 𝑓 di suatu titik 𝑝, akan berubah paling cepat
pada arah dimana 𝐷 𝑢 𝑓 𝑝 adalah yang terbesar. Kita
dapat menuliskan
𝐷 𝑢 𝑓 𝑝 = 𝑢. ∇𝑓 𝑝 = 𝑢 ∇𝑓 𝑝 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑢 ∇𝑓 𝑝
Dengan 𝜃 sudut antara 𝑢 dan ∇𝑓 𝑝 . Jadi, 𝐷 𝑢 𝑓 𝑝
maksimum ketika 𝜃 = 0 dan minimum ketika 𝜃 =
𝜋
2
.

7.  Teorema
Suatu fungsi bertambah secara paling cepat di 𝑝 pada arah
gradien (dengan laju ∇𝑓 𝑝 ) dan berkurang secara
paling cepat pada arah berlawanan ( dengan laju -
∇𝑓 𝑝 ).

8.  Ketinggian Kurva dan Gradien
Ketinggian kurva permukaan 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 adalah proyeksi
ke bidang −𝑥𝑦 dari kurva-kurva perpotongan permukaan
dengan bidang-bidang 𝑧 = 𝑘 yang sejajar bidang −𝑥𝑦.
NEXT

9. Misalkan ketinggian kurva dari 𝑓 𝑥, 𝑦 adalah 𝐿 yang
melalui titik 𝑃 𝑥0, 𝑦0 yang dipilih sebarang dari daerah
asal 𝑓 dan vektor satuan 𝑢 yang menyinggung 𝐿 di P. Nilai
𝑓 sama pada semua titik pada ketinggian kurva 𝐿, maka
turunan berarahnya 𝐷 𝑢 𝑓 𝑥0, 𝑦0 yang berupa laju
perubahan 𝑓 𝑥, 𝑦 pada arah 𝑢 adalah nol ketika 𝑢
menyinggung L. Sehingga dapat kita nyatakan 0 =
𝐷 𝑢 𝑓 𝑥0, 𝑦0 = ∇𝑓 𝑥0, 𝑦0 . 𝑢 , dan dapat disimpulkan
bahwa ∇𝑓 tegak lurus dengan 𝑢.
BACK

10.  Teorema
Gradien dari 𝑓 di titik 𝑝 adalah tegak lurus terhadap
ketinggian kurva 𝑓 yang melalui 𝑃.