PPT MATEMATIKA PEMINATAN KELAS XII KURIKULUM 2013

SMA/MA Kelas XII Peminatan
Matematika
Oleh:
Ahyu Forestri, S. Pd
SMA N 4 JAYAPURA
PAPUA
Disklaimer Daftar Isi

Disklaimer
• Powerpoint pembelajaran ini dibuat sebagai alternatif guna membantu Bapak/Ibu Guru
melaksanakan pembelajaran.
• Materi powerpoint ini mengacu pada Kompetensi Inti (KI) dan Kompetensi Dasar (KD)
Kurikulum 2013.
• Dengan berbagai alasan, materi dalam powerpoint ini disajikan secara ringkas, hanya
memuat poin-poin besar saja.
• Dalam penggunaannya nanti, Bapak/Ibu Guru dapat mengembangkannya sesuai
kebutuhan.
• Harapan kami, dengan powerpoint ini Bapak/Ibu Guru dapat mengembangkan
pembelajaran secara kreatif dan interaktif.
Disklaimer

BAB I Limit Fungsi
Daftar Isi
BAB II Turunan Fungsi Trigonometri
BAB III Distribusi Peluang Binomial, Distribusi Normal, dan Uji
Hipotesis

Limit FungsiI
A. Limit Fungsi Trigonometri
di Suatu Titik
B. Limit di Ketakhinggaan
Kembali ke daftar

Kembali ke awal
bab
Kembali ke daftar isi
1. Konsep Limit Fungsi Trigonometri
2. Sifat-Sifat Limit Fungsi
3. Teorema Limit Apit
4. Cara Menentukan Nilai Limit
Fungsi Trigonometri
A. Limit Fungsi Trigonometri di Suatu Titik

1. Konsep Limit Fungsi Trigonometri
Kembali ke subbabKembali ke daftar isi
Limit fungsi trigonometri memuat fungsi trigonometri
sebagai fungsi yang dikenai operasi limit.
Contoh:

Definisi Limit
Misalkan f sebuah fungsi f: R → R serta L dan c anggota
himpunan bilangan real.
a. Limit fungsi trigonometri f(x) untuk x mendekati c ada jika
dan hanya jika nilai f(x) mendekati L untuk semua x
mendekati c.
b. Limit fungsi trigonometri f mempunyai sifat:
atau limit kiri sama dengan limit kanan.
Kembali ke subbab

Perhatikan grafik berikut.
Dari grafik fungsi terlihat untuk nilai-nilai x mendekati
dari kiri atau kanan nilai fungsi mendekati 1 sehingga:
π
2
ππ π xx x 22 2
lim sin x lim sin x 1 maka lim sin x 1 
 
  
Kembali ke subbab

Contoh Soal
x 0
sin 2x
Tentukan nilai lim .
x
Kembali ke subbab

2. Sifat-Sifat Limit Fungsi
Kembali ke daftar isi Kembali ke subbab

3. Teorema Limit Apit
Misalkan f(x), g(x), dan
h(x) merupakan fungsi-fungsi
yang terdefinisi pada interval
[a, b] kecuali mungkin di x = c
dan memenuhi hubungan f(x)
< g(x) < h(x).
Kembali ke subbab

4. Cara Menentukan Nilai Limit Fungsi Trigonometri
Ada beberapa cara untuk menentukan nilai limit fungsi
trigonometri yaitu dengan cara substitusi langsung,
memfaktorkan, dan menggunakan sifat limit fungsi trigonometri.
a. Cara substitusi langsung.
b. Cara memfaktorkan.
c. Cara menggunakan sifat limit fungsi trigonometri.
Kembali ke subbab

a. Cara Substitusi Langsung

b. Cara Memfaktorkan
Dengan cara substitusi langsung kadang diperoleh nilai
limit berupa nilai tak tentu
Faktor pembuat penyebut bernilai nol dieliminasi dengan cara
memfaktorkan.
Kembali ke subbab

Contoh Soal
Tentukan nilai 2π
x
2
1 sin x
lim
cos x

Nilai limit berupa nilai tak tentu. Bentuk fungsi diubah
agar faktor pembuat nol dapat dieliminasi.
Kembali ke subbab

C. Cara Menggunakan Sifat Limit Fungsi Trigonometri
Sifat-sifat limit fungsi trigonometri dapat digunakan
untuk menentukan nilai limit fungsi. Caranya, fungsi
trigonometri diubah sehingga memuat bentuk :
agar sifat-sifat limit fungsi trigonometri dapat digunakan.
Kembali ke subbab

Contoh Soal
Tentukan nilai
Bentuk fungsi diubah agar sifat limit fungsi
trigonometri
dapat digunakan.
2x 0
2sin x tan x
lim
x

Kembali ke subbab

Contoh Soal
Tentukan nilai
x 0
3x sin 2x
lim
4x tan 3x


Kembali ke subbab

Kembali ke awalKembali ke daftar isi
1. Ketakhinggaan dan Limit
2. Limit di Ketakhinggaan
3. Sifat-Sifat Limit di Ketakhinggaan
4. Menentukan Limit Fungsi di
Ketakhinggaan
B. Limit di Ketakhinggaan

1. Ketakhinggaan dan Limit
Kembali ke subbabKembali ke daftar isi
a. Ketakhinggaan
Dalam Matematika terdapat simbol ∞ dibaca tak hingga
untuk menyatakan suatu bilangan yang sangat besar.
Sebaliknya, ada simbol –∞ dibaca negatif tak hingga untuk
menyatakan suatu bilangan yang sangat kecil.
b. Limit Tak Hingga
Suatu fungsi mungkin mempunyai nilai limit
tertentu. Namun, terkadang suatu fungsi tidak
mempunyai nilai tertentu. Salah satunya adalah limit
yang hasilnya tak hingga.

a. Ketakhinggaan
Dalam Matematika terdapat simbol ∞ dibaca tak hingga
untuk menyatakan suatu bilangan yang sangat besar.
Sebaliknya, ada simbol –∞ dibaca negatif tak hingga untuk
menyatakan suatu bilangan yang sangat kecil.
b. Limit Tak Hingga
Suatu fungsi mungkin mempunyai nilai limit
tertentu. Namun, terkadang suatu fungsi tidak
mempunyai nilai tertentu. Salah satunya adalah limit
yang hasilnya tak hingga.
Kembali ke subbab

2. Limit di Ketakhinggaan
Perhatikan tabel nilai f(x) = untuk nilai-nilai x yang makin
membesar berikut.
1
x
x
1
lim 0
x 

Dari tabel terlihat untuk nilai-nilai
x yang makin membesar tanpa batas
(x → ∞ ), nilai f(x) makin mendekati
0. Dapat dinyatakan:
Kembali ke subbab

Definisi
Misalkan f adalah suatu fungsi yang terdefinisi pada setiap
nilai pada selang (c, ∞) atau (–∞, c).
artinya jika untuk nilai x yang membesar tanpa
batas maka berlaku f(x) dekat dengan L.
artinya jika untuk nilai x yang mengecil tanpa
batas maka berlaku f(x) dekat dengan L.
x
lim f(x) L
 

x
lim f(x) L
 

Kembali ke subbab

3. Sifat-Sifat Limit di Ketakhinggaan

4. Menentukan Limit Fungsi di Ketakhinggaan
Cara menentukan limit fungsi diketakhinggan tergantung
dari fungsi yang dicari nilai limitnya.
a. Limit Fungsi Polinomial di Ketakhinggaan
b. Limit Fungsi Rasional di Ketakhinggaan
c. Limit Fungsi Irasional di Ketakhinggaan
Kembali ke subbab

a. Limit Fungsi Polinomial di Ketakhinggaan
Langkah-langkah menentukan nilai limit fungsi polinomial
sebagai berikut.
a. Tentukan variabel berpangkat tertinggi pada fungsi
polinomial tersebut.
b. Faktorkan fungsi polinomial dengan mengeluarkan variabel
berpangkat tertinggi.
c. Gunakan sifat-sifat limit di tak hingga untuk menentukan nilai
limit fungsi polinomial tersebut.
Kembali ke subbab

Contoh Soal
Tentukan nilai
Jawaban:
7 4
x
lim (5x x +9)
 

Kembali ke subbab

Contoh Soal
Untuk mengerjakan limit menuju tak hingga fungsi
polinomial, Anda cukup memperhatikan variabel dengan
pangkat tertinggi saja. Kemudian, tentukan nilai limit dari suku
dengan variabel berpangkat tertinggi tersebut.
Jawaban:
Kembali ke subbab

b. Limit Fungsi Rasional di Ketakhinggaan
Langkah-langkah menentukan nilai limit fungsi rasional
sebagai berikut.
1) Tentukan variabel berpangkat tertinggi pada penyebut
fungsi rasional tersebut.
2) Bagilah pembilang dan penyebut pada fungsi rasional
dengan variabel berpangkat tertinggi tersebut.
3) Gunakan sifat-sifat limit di ketakhinggaan untuk menentukan
nilai limit fungsi rasional tersebut.
Kembali ke subbab

Contoh Soal
Tentukan nilai
Kembali ke subbab

c. Limit Fungsi Irasional di Ketakhinggaan
Langkah-langkah menentukan nilai limit fungsi irasional
sebagai berikut.
1) Tentukan bentuk sekawan dari fungsi irasional tersebut.
2) Kalikan fungsi irasional dengan bentuk sekawannya.
3) Tentukan variabel berpangkat tertinggi dari fungsi baru dari
hasil kali tersebut.
4) Bagilah pembilang dan penyebut pada fungsi baru dengan
variabel berpangkat tertinggi tersebut.
5) Gunakan sifat-sifat limit di ketakhinggaan untuk menentukan
nilai limit fungsi tersebut.
Kembali ke subbab

Contoh Soal
Tentukan nilai
Jawaban:
Kembali ke subbab

Turunan Fungsi TrigonometriII
A. Konsep Turunan Fungsi Trigonometri
B. Penggunaan Turunan Fungsi
Trigonometri
Kembali ke daftar

1. Turunan Fungsi
Trigonometri
2. Sifat-Sifat Turunan Fungsi
3. Aturan Rantai
4. Turunan Kedua Fungsi
A. Konsep Turunan Fungsi Trigonometri

1. Turunan Fungsi Trigonometri
Turunan merupakan bentuk khusus dari limit. Turunan
fungsi f terhadap x dinyatakan sebagai
Misalkan terdapat fungsi f(x) = sin x. Turunan f terhadap x :
Kembali ke subbab

Rumus turunan fungsi trigonometri sebagai berikut.
Kembali ke subbab

2. Sifat-Sifat Turunan Fungsi
a. Turunan y = k · u adalah
b. Turunan y = u ± v adalah
c. Turunan y = uv adalah
d. Turunan y = un adalah
e. Turunan y = adalahu
v
Kembali ke subbab

Contoh Soal
Tentukan turunan pertama fungsi
g(x) = cos2 (x + 5) + sin 3x.
Kembali ke subbab

Jawaban:
Kembali ke subbab

3. Aturan Rantai
Misalkan y = f(u(x)).
Fungsi tersebut juga dapat ditulis y = (f ◦ u)(x). Misalkan fungsi
f dan fungsi u mempunyai turunan.
Aturan rantai turunan f terhadap u:
Kembali ke subbab

Contoh Soal
1. Tentukan turunan pertama fungsi y = sin5 2x.
2.
Kembali ke subbab

Jawaban:
1.
Kembali ke subbab

Jawaban:
2.
Kembali ke subbab

4. Turunan Kedua Fungsi
Lingkaran adalah tempat
kedudukan titik-titik yang berjarak
sama terhadap sebuah titik
tertentu.
Sebuah titik tertentu tersebut
disebut pusat lingkaran dan jarak
yang sama itu dinamakan jari-jari
lingkaran(radius).
Kembali ke subbab

Contoh Soal

1. Pengertian Titik Stasioner
2. Selang Kemonotonan Fungsi
Trigonometri
3. Nilai Maksimum, Nilai Minimum,
dan Titik Belok Fungsi
Trigonometri
4. Garis Singgung Fungsi
Trigonometri
5. Selang Kecekungan Fungsi
Trigonometri
B. Penggunaan Turunan Fungsi Trigonometri
Kembali ke awal

1. Pengertian Titik Stasioner
Titik stasioner atau
titik ktritis suatu fungsi
adalah titik di mana
fungsi “berhenti” naik
atau turun. Pada titik
stasioner turunan
pertama bernilai nol.
Kembali ke subbab

2. Selang Kemonotonan Fungsi Trigonometri
Dengan turunan pertama fungsi f, akan diketahui apakah
fungsi f naik atau turun di interval [a, b].
a. Jika f′(x) > 0, fungsi f dikatakan naik.
b. Jika f′(x) < 0, fungsi f dikatakan turun.
c. Jika f′(x) = 0, dikatakan fungsi f tidak naik dan tidak turun.
Kembali ke subbab

3. Nilai Maksimum Nilai Minimum dan Titik Belok
Fungsi Trigonometri
Titik stasioner a dapat menyebabkan f(a) menjadi nilai
maksimum fungsi, menjadi nilai minimum fungsi, atau menjadi
titik belok fungsi. Nilai maksimum, minimum, atau titik belok
tersebut dapat diperiksa menggunakan uji turunan pertama dan
kedua.
Kembali ke subbab

Uji Turunan Pertama
Perhatikan gambar di samping.
Titik x = a adalah titik stasioner f(x) sehingga
f′(a) = 0.
1) Dari gambar diketahui f′(x) > 0 untuk x < a
dan f′(x) < 0 untuk x > a.
Titik (a, f(a)) disebut titik balik maksimum.
Nilai f(a) disebut nilai maksimum f(x).
2) Dari gambar diketahui f′(x) < 0 untuk x < a
dan f′(x) > 0 untuk x > a.
Titik (a, f(a)) disebut titik balik minimum.
Nilai f(a) disebut nilai minimum f(x).
Kembali ke subbab

3) Dari gambar diketahui f′(x) < 0 untuk x < a dan f′(x) < 0
untuk x > a. Titik (a, f(a)) disebut titik belok.
4) Dari gambar diketahui f′(x) > 0 untuk x < a dan f′(x) > 0
untuk x > a. Titik (a, f(a)) disebut titik belok.
Kembali ke subbab

Uji Turunan Kedua
Titik x = a adalah titik stasioner f(x) sehingga f′(a) = 0.
1) Jika f′′(a) < 0, titik (a, f(a)) disebut titik balik maksimum.
Nilai f(a) disebut nilai maksimum f(x).
2) Jika f′′(a) > 0, titik (a, f(a)) disebut titik balik minimum.
Nilai f(a) disebut nilai minimum f(x).
3) Jika f′(x) < 0 untuk x < a dan f′′(a) = 0, titik (a, f(a)) disebut
titik belok turun.
4) Jika f′(x) > 0 untuk x < a dan f′′(a) = 0, titik (a, f(a)) disebut
titik belok naik.
Kembali ke subbab

Nilai Maksimum dan Minimum
Misalkan daerah asal fungsi f dibatasi menjadi [a, b].
Nilai maksimum atau minimum fungsi di interval [a, b] disebut
nilai maksimum atau minimum relatif. Artinya, jika interval
fungsi f diperluas, mungkin saja ada nilai lain yang
menyebabkan nilai f lebih besar atau lebih kecil.
Nilai maksimum atau minimum global fungsi f dapat terletak di
ujung interval, di titik stasioner, atau di titik singular.
Titik singular adalah titik yang menyebabkan fungsi f tidak
mempunyai turunan.
Kembali ke subbab

4. Garis Singgung Fungsi Trigonometri
Langkah-langkah menentukan persamaan garis singgung
fungsi trigonometri sebagai berikut.
a. Tentukan nilai f di titik x = a. Caranya, substitusikan x = a ke
dalam f(x) sehingga diketahui nilai f(a). Diperoleh titik
singgung (a, f(a)).
b. Tentukan turunan pertama fungsi f yaitu f′(x).
Kemudian, tentukan kemiringan garis singgung di titik (a,
f(a)) yaitu m = f′(a).
c. Persamaan garis singgung:
y – f(a) = m(x – a).
Kembali ke subbab

5. Selang Kecekungan Fungsi
Trigonometri
Misalkan f(x) mempunyai
turunan pada interval [a, b].
a. Jika f’(x) naik pada interval [a,
b], grafik fungsi f cekung ke
atas. Sebaliknya, jika f’(x) turun
pada interval [a, b], grafik fungsi
f cekung ke bawah.
b. Jika ditinjau dari turunan kedua, grafik fungsi f cekung
ke atas saat f′′(x) > 0. Grafik fungsi f cekung ke bawah
saat f′′(x) < 0.
Kembali ke subbab

Distribusi Peluang Binomial Distribusi
Normal dan Uji HipotesisIII
A. Distribusi Binomial
B. Distribusi Normal
C. Uji Hipotesis
Kembali ke daftar

1. Konsep Variabel Acak
2. Distribusi Peluang Variabel
Acak Diskrit
3. Fungsi Distribusi Kumulatif
Variabel Acak Diskrit
4. Variabel Acak Binomial dan
Distribusi Binomial
A. Distribusi Binomial

1. Konsep Variabel Acak
Variabel acak adalah variabel yang nilainya ditentukan dalam
ruang sampel suatu percobaan disebut. Variabel acak dinyatakan
dengan huruf besar, misalnya X, Y, dan Z, sedangkan nilai variabel
acak dinyatakan dengan huruf kecil, misalnya x, y, dan z.
Kembali ke subbab

Pada percobaan menggelindingkan bola sebanyak 4 kali
kesempatan untuk menjatuhkan sepuluh pin diperoleh ruang
sampel
S = {BBBB, BBBT, BBTB, BBTT, BTBB, BTBT, BTTB, BTTT, TBBB,
TBBT, TBTB, TBTT, TTBB, TTBT, TTTB, TTTT}.
Misalkan X adalah banyak strike pada percobaan
menggelindingkan bola dalam 4 kali kesempatan, maka nilai X yang
mungkin adalah 0, 1, 2, 3, atau 4.
Nilai X = 0 jika terjadi TTTT.
Nilai X = 1 jika terjadi BTTT, TBTT, TTBT, dan TTTB.
Nilai X = 2 jika terjadi BBTT, BTBT, BTTB, TBBT, TBTB, dan TTBB.
Nilai X = 3 jika terjadi BBBT, BBTB, BTBB, dan TBBB.
Nilai X = 4 jika terjadi BBBB.
Kembali ke subbab

2. Distribusi Peluang Variabel Acak Diskrit
Misalkan X adalah suatu variabel acak diskrit yang bernilai x1,
x2, x3,", xn dan f(xi) merupakan peluang nilai-nilai variabel acak X
dengan i = 1, 2, 3, 4, ", n maka f(xi) memenuhi dua sifat berikut.
Kembali ke subbab

Misalkan X adalah banyak strike pada percobaan
menggelindingkan bola dalam 4 kali kesempatan dan titik sampel.
Kembali ke subbab

Menggunakan cara yang sama, diperoleh hasil pada tabel
berikut.
Kembali ke subbab

Contoh Soal
Dua dadu dilemparkan sekali. Jika Y menyatakan
pasangan kedua mata dadu yang terlihat berjumlah ganjil
setelah dadu berhenti berguling, tentukan fungsi distribusi
peluang variabel acak Y.
Kembali ke subbab

Jawaban:
Banyak anggota ruang sampel percobaan sebagai berikut.
Variabel Y menyatakan pasangan kedua mata dadu yang
terlihat berjumlah ganjil sehingga nilai-nilai y adalah
y = 3, 5, 7, 9, 11
Kembali ke subbab

Tabel dari y, ni, dan f(y) sebagai berikut.
Fungsi distribusi peluang variabel acak Y sebagai berikut.
Kembali ke subbab

3. Fungsi Distribusi Kumulatif Variabel Acak Diskrit
Peluang variabel acak X yang kurang dari atau sama dengan
suatu nilai x, ditulis dengan F(x) = P(X ≤ x).
Nilai F(x) dinamakan fungsi distribusi kumulatif variabel acak X.
Misalkan x = c merupakan salah satu nilai variabel acak X yang
memiliki peluang f(x) maka nilai F(c) dinyatakan dengan:
Nilai-nilai peluang kumulatif variabel acak X yang
menyatakan banyak strike pada percobaan menggelindingkan
bola dalam 4 kali kesempatan sebagai berikut.
Kembali ke subbab

Contoh Soal
Dua kotak masing-masing berisi 3 bola berwarna
merah dan 3 bola berwarna putih. Bola merah bernomor 1
sampai dengan 3. Bola putih bernomor 5 sampai dengan 7.
Dari setiap kotak diambil satu bola secara bersamaan.
Tentukan fungsi distribusi kumulatif jumlah kedua nomor
bola yang terambil.
Kembali ke subbab

Jawaban:
Variabel X menyatakan jumlah pasangan nomor bola
sehingga nilai-nilai x adalah x = 6, 7, 8, 9, 10.
Tabel dari y, ni, dan f(y) sebagai berikut.
Kembali ke subbab

Tabel distribusi peluang jumlah kedua nomor bola yang
terambil sebagai berikut.
Kembali ke subbab

4. Variabel Acak Binomial dan Distribusi Binomial
a. Variabel Acak Binomial
Variabel acak binomial adalah variabel acak yang nilai-
nilainya ditentukan oleh hasil percobaan binomial.
b. Distribusi Binomial
Jika peluang nilai-nilai variabel acak binomial disajikan
dalam bentuk tabel atau grafik, diperoleh distribusi peluang
variabel acak binomial.
Peluang suatu nilai variabel acak binomial dinamakan peluang
binomial. Secara umum persamaan peluang x kejadian yang
diharapkan dari n percobaan binomial dinyatakan:
Kembali ke subbab

Peluang suatu nilai variabel acak binomial dinamakan
peluang binomial. Secara umum persamaan peluang x kejadian
yang diharapkan dari n percobaan binomial dinyatakan:
Keterangan:
Variabel acak X yang peluangnya berdistribusi binomial
dilambangkan X ~ BIN(n, p);
nCx disebut koefisien binomial, nCx =
x adalah banyak kejadian yang diharapkan, nilai x = 0, 1, 2, ", n;
p adalah peluang kejadian yang diharapkan;
q adalah peluang kejadian yang tidak diharapkan, nilai q = 1– p.
Kembali ke subbab

1. Distribusi Peluang Variabel Acak
Kontinu
Variabel Acak Kontinu
3. Fungsi Distribusi Peluang Variabel
Acak Berdistribusi Normal
Peluang Variabel Acak
Berdistribusi Normal
Peluang Variabel Acak
Berdistribusi Normal Baku
6. Peluang Variabel Acak
B. Distribusi Normal
Kembali ke awal

1. Distribusi Peluang Variabel Acak Kontinu
Variabel acak kontinu memiliki nilai berupa bilangan real
sehingga nilai-nilai variabel acak kontinu X dinyatakan dalam
bentuk interval a < X < b atau batas-batas lain.
Peluang variabel acak kontinu pada interval a < X < b diwakili
oleh daerah yang diarsir berikut.
Kembali ke subbab

Misalkan f(x) merupakan fungsi kepadatan peluang acak,
f(x) memiliki sifat-sifat sebagai berikut.
a. 0 ≤ f(x) ≤ 1 untuk setiap x.
b. Luas daerah di bawah kurva f(x) sama dengan 1.
c. Peluang variabel acak X pada interval a ≤ X ≤ b sama dengan
luas daerah di bawah kurva f(x) yang dibatasi oleh garis x = a
dan x = b.
Peluang variabel acak X pada interval a ≤ X ≤ b dinyatakan:
Kembali ke subbab

2. Fungsi Distribusi Kumulatif Variabel Acak Kontinu
Misalkan X adalah variabel acak kontinu dan f(x) yang
terdefinisi pada interval a ≤ X ≤ b merupakan fungsi peluang
variabel acak X, maka fungsi distribusi kumulatif dari variabel
acak X didefinisikan sebagai:
Kembali ke subbab

Fungsi distribusi kumulatif variabel acak X pada interval
a ≤ X ≤ b memiliki sifat-sifat berikut.
a. Nilai F(a) = 0 dan nilai F(b) = 1.
b. Untuk a ≤ x1 < x2 ≤ b diperoleh:
1) nilai F(x1) ≤ F(x2);
2) nilai P(x1 ≤ X ≤ x2) = P(X ≤ x2) – P(X ≤ x1) = F(x2) – F(x1).
c. 0 ≤ F(x) ≤ 1 untuk setiap x.
d.
Kembali ke subbab

3. Fungsi Distribusi Peluang Variabel Acak
Variabel acak X yang memiliki peluang berdistribusi normal
dengan rata-rata μ dan simpangan baku σ dilambangkan X ~ N(μ,
σ).
Fungsi distribusi peluang variabel acak X ~ N(μ, σ)
didefinisikan sebagai berikut.
Kembali ke subbab

Sifat-sifat distribusi normal sebagai berikut.
a. Kurva selalu di atas sumbu X
dan simetris terhadap garis x =
μ.
b. Median dan modusnya sama
dengan nilai rata-rata μ.
c. Untuk x → ±∞, kurva mendekati sumbu X sehingga kurva
memiliki asimtot sumbu X atau y = 0.
d. Luas daerah di bawah kurva sama dengan 1.
e. Peluang variabel acak X ~ N(μ, σ) pada interval a < X < b
dinyatakan dengan
Kembali ke subbab

4. Fungsi Distribusi Kumulatif Peluang Variabel Acak

Contoh Soal
Diketahui variabel acak X ~ N(50, 10).
Jika P(X < k) = 18%, tentukan nilai k.
Kembali ke subbab

Diketahui variabel acak X ~ N(50, 10) sehingga
μ = 50 dan σ = 10.
Langkah 1: Menentukan nilai P(X < k).
P(X < k) = 18% = 0,18
Langkah 2: Menentukan letak luas daerah 0,18 di bawah kurva
normal baku pada interval X < k.
Langkah 3: Mengubah P(X< k) menjadi P(Z < z).
Dari gambar diperoleh:
Kembali ke subbab

Langkah 4: Menentukan nilai z menggunakan tabel distribusi Z
Dari tabel terlihat luas daerah 0,18 terletak di
antara 0,1814 dan 0,1788.
P(Z < –0,91) = 0,1814 dan P(Z < –0,92) = 0,1788
0,18 lebih dekat ke bilangan 0,1788 daripada
0,1814 sehingga dipilih nilai z = –0,92.
Kembali ke subbab

5. Fungsi Distribusi Kumulatif Peluang Variabel Acak
Berdistribusi Normal Baku
Fungsi distribusi peluang variabel acak Z ~ N(0, 1)
didefinisikan sebagai:
Fungsi distribusi
kumulatif variabel acak Z ~
N(0, 1) didefinisikan sebagai:
Kembali ke subbab

6. Peluang Variabel Acak
a. Peluang Variabel Acak Z ~ N(0,
1)
Peluang variabel acak Z ~ N(0,
1) sama dengan luas daerah di
bawah kurva normal baku.
Peluang variabel acak Z ~ N(0, 1)
pada interval a < Z < b dinyatakan:
Peluang variabel acak Z ~ N(0, 1) dapat kita tentukan
menggunakan bantuan tabel distribusi Z (tabel distribusi
normal baku).
Kembali ke subbab

b. Peluang Variabel Acak X ~ N(μ, σ)
Peluang variabel acak X ~ N(μ, σ) sama dengan luas daerah
di bawah kurva normal N(μ, σ). Luas daerah di bawah kurva
normal N(μ, σ) dapat ditentukan dengan cara
mentransformasikan variabel acak X ~ N(μ, σ) menjadi
variabel acak X ~ N(0, 1) menggunakan rumus berikut.
Kembali ke subbab

Contoh Soal
Berat badan 1.000 siswa di suatu SMA berdistribusi
normal dengan rata-rata 54 kg dan simpangan baku 8 kg.
Berapa banyak siswa yang memiliki berat badan lebih dari 66
kg?
Kembali ke subbab

Jawaban:
Misalkan X menyatakan berat badan siswa dalam kg, μ = 54
dan σ = 8.
Data berat badan siswa berdistribusi normal X ~ N(54, 8).
a. Misalkan:
P(X > 66 = peluang siswa memiliki berat badan lebih dari 66
kg k = banyak siswa yang memiliki berat badan lebih dari 66
kg
k = P(X > 66) × 1.000
Langkah 1: Mengubah P(X > 66) menjadi P(Z > z).
Langkah 2: Menentukan nilai P(Z > 1,5).
P(Z > 1,5) = 1 – P(Z < 1,5)
Perhatikan nilai P(Z < 1,5) dalam tabel distribusi Z
Kembali ke subbab

P(Z > 1,5) = 1 – P(Z < 1,5)
= 1 – 0,9332 = 0,0668
Langkah 3: Menentukan nilai k.
k = P(X > 66) × 1.000
= P(Z > 1,5) × 1.000 = 0,0668 × 1.000 = 66,8 ≈ 67
Jadi, siswa yang memiliki berat badan lebih dari 66 kg
sebanyak 67 orang.
Kembali ke subbab

1. Uji Hipotesis
2. Langkah-Langkah Uji
Hipotesis
C. Uji Hipotesis
Kembali ke awal

1. Uji Hipotesis
Dalam menyelidiki suatu permasalahan terlebih dahulu kita
membuat dugaan sebelum menyelidiki dugaan tersebut.
Dugaan penyelidikan dalam Matematika dinamakan hipotesis.
Penyelidikan tentang dugaan tersebut benar atau salah
dinamakan uji hipotesis.
Kembali ke subbab

2. Langkah-Langkah Uji Hipotesis
Uji hipotesis suatu permasalahan dapat dilakukan dengan
langkah-langkah berikut.
Langkah 1: Merumuskan hipotesis nol (H0) dan hipotesis
alternatif (H1).
Langkah 2: Memilih statistik uji dan menghitung nilai statistik
uji.
Langkah 3: Menentukan tingkat signifikansi α.
Langkah 4: Menentukan daerah kritis.
Langkah 5: Menentukan keputusan uji dan membuat
kesimpulan.
Kembali ke subbab

a. Merumuskan hipotesis nol (H0) dan hipotesis alternatif (H1).
Hipotesis nol (H0) adalah hipotesis atau pernyataan yang
diangggap benar dan akan diuji kebenarannya.
Hipotesis alternatif (H1) adalah lawan dari hipotesis nol (H0).
Rumusan hipotesis nol (H0) dan hipotesis alternatif (H1).
1) Merumuskan hipotesis yang mengandung pengertian sama.
Kembali ke subbab

2) Merumuskan hipotesis yang mengandung pengertian
maksimum.
3) Merumuskan hipotesis yang mengandung pengertian
minimum .
Kembali ke subbab

b. Memilih statistik uji dan menghitung nilai statistik uji.
1) Jika ukuran sampel yang di uji n ≥ 30, statistik uji yang
digunakan z adalah
2) Jika ukuran sampel yang di uji n < 30, statistik uji yang
digunakan t adalah
t berdistribusi student dengan derajat bebas df = n – 1.
Keterangan:
– x adalah rata-rata sampel σ atau s adalah simpangan baku.
μ0 adalah rata-rata populasi yang diuji. n adalah banyak sampel yang diuji
Kembali ke subbab

b. Menentukan tingkat signifikansi α.
Taraf signifikansi atau derajat kepercayaan merupakan
nilai batas toleransi peluang salah dalam menolak H0 atau batas
maksimal kesalahan menolak H0.
Taraf signifikansi yang paling sering digunakan sebesar 1%, 5%
dan 10%. Taraf signifikansi α = 5 % artinya kira-kira 5 dari 100
kesimpulan/pengujian menolak hipotesis yg
seharusnya diterima. Dengan kata lain, kira-kira 95% percaya
bahwa kesimpulan yang di buat benar.
Kembali ke subbab

d. Menentukan daerah kritis.
Daerah kritis (DK) merupakan daerah penolakan H0. Daerah
kritis ditentukan berdasarkan rumusan H1 dan tingkat signifikansi
α yang dipilih.
1) Jika H1 : μ ≠ μ0, daerah kritis berada di ujung kanan dan ujung
kiri kurva. Uji ini dinamakan uji dua pihak. Luas setiap daerah
kritis sama dengan .
α
2
Kembali ke subbab

2) Jika H1 : μ > μ0, daerah kritis berada di ujung kanan kurva. Uji ini
dinamakan uji satu pihak kanan. Luas daerah kritis sama dengan
α.
Daerah kritis (DK):
a. untuk distribusi Z adalah H0 ditolak jika nilai z > zα dan
b. untuk distribusi t adalah H0 ditolak jika nilai t > tα.
Daerah penerimaan (DP):
a. untuk distribusi Z adalah H0 diterima jika nilai z < zα dan
b. untuk distribusi t adalah H0 diterima jika nilai t < tα.
Kembali ke subbab

3) Jika H1 : μ < μ0, daerah kritis berada di ujung kiri kurva. Uji ini
dinamakan uji satu pihak kiri. Luas daerah kritis sama dengan
α.
Daerah kritis (DK):
a. untuk distribusi Z adalah H0 ditolak jikanilai z < –zα;
b. untuk distribusi t adalah H0 ditolak jikanilai t < –tα.
Daerah penerimaan (DP):
a. untuk distribusi Z adalah H0 di terima jika nilaiz > –zα;
b. untuk distribusi t adalah H0 di terima jika nilai t > –tα.
Kembali ke subbab

e. Menentukan keputusan uji dan membuat kesimpulan
Keputusan uji diambil berdasarkan letak nilai statistik uji
pada daerah kritis. Jika nilai statistik uji di dalam daerah kritis, H0
ditolak. Sebaliknya, jika nilai statistik uji di luar daerah kritis maka
H0 diterima.
Kesalahan yang dapat terjadi dalam mengambil
keputusan.
1. Menolak H0 yang benar, disebut kesalahan tipe I atau
kesalahan α atau tingkat signifikansi α.
2. Menerima H0yang salah, disebut kesalahan tipe II atau
kesalahan β.
Kembali ke subbab

Contoh Soal
Pabrik ban X menyatakan bahwa rata-rata pemakaian
jarak tempuh ban A adalah 20.000 km. Untuk menguji
pernyataan tersebut maka diuji sebanyak 16 sampel acak ban
A dan setelah diuji diperoleh rata-rata pemakaian jarak
tempuh 19.802 km dan simpangan baku 88 km. Ujilah
pernyataan pabrik ban X tersebut dengan tingkat signifikansi
α = 1% .
Kembali ke subbab

Jawaban:
Langkah-langkah uji hipotesis sebagai berikut.
Langkah 1: Merumuskan H0 dan hipotesis alternatif H1
H0 : μ = 20.000
H1 : μ ≠ 20.000
Langkah 2: Memilih dan menghitung nilai statistik uji.
banyak sampel n = 16 sehingga menggunakan
Langkah 3: Menentukan tingkat signifikansi α.
Tingkat signifikansi α = 1% = 0,01
Kembali ke subbab

Langkah 4: Menentukan daerah kritis
μ ≠ 20.000 sehingga daerah kritis berada di
kedua ujung kurva
Luas daerah kritis setiap ujung kurva:
Daerah kritis t < –t0,005atau t > t0,005
Kembali ke subbab

n = 16 sehingga derajat bebas df = n – 1 = 16 – 1 = 15
Perhatikan df = 15 dan a = 1% dua arah pada tabel distribusi t
berikut.
Dari tabel diperoleh nilai t0,005 = 2,947 sehingga
daerah kritis t < –2,947 atau t > 2,947
Kembali ke subbab

Langkah 5: Menentukan keputusan uji dan membuat
kesimpulan.
t = –9 memenuhi t < –2,947 maka t = –9 di dalam
daerah kritis sehingga keputusannya H0 ditolak.
H0 ditolak sehingga H1 diterima.
Kesimpulan dari uji hipotesis adalah rata-rata
pemakaian ban A tidak sama dengan 20.000 km.
Jadi, pernyataan pabrik ban X salah.
Kembali ke subbab

Contoh Soal
Seorang pengusaha ingin mencari sebuah mesin yang
mampu merakit sebuah perangkat elektronik paling lama 50
menit. Pengusaha mendapat informasi bahwa mesin A dapat
merakit sebuah perangkat elektronik rata-rata paling lama
50 menit. Untuk memutuskan menggunakan mesin A atau
tidak, mesin A diuji sebanyak 36 kali. Dalam uji coba tersebut
mesin A mampu merakit sebuah perangkat elektronik rata-
rata 48,5 menit dengan simpangan baku 1,2 menit. Selidiki
apakah pengusaha tersebut akan menggunakan mesin A?
Gunakan taraf signifikansi 2%.
Kembali ke subbab

Jawaban:
Langkah 1: H0 : μ ≤ 50
H1 : μ > 50
Langkah 2: Banyak sampel n = 36 > 30 sehingga menggunakan
statistik uji
Langkah 3: Tingkat signifikansi α = 2% = 0,02
Kembali ke subbab

Langkah 4:
H1 : μ < 50 sehingga daerah kritis berada di ujung kiri kurva.
Luas daerah kritis:
LDK = α = 0,02
Daerah kritis z < –z0,02.
Dari tabel diperoleh
P(Z < –2,05) = 0,0202 dan
P(Z < –2,06) = 0,0197.
0,02 lebih dekat ke bilangan
0,0202 sehingga nilai z = –
2,05.
Dengan demikian, diperoleh
daerah kritis z < –2,05.
Kembali ke subbab

Langkah 5: Diperoleh z = –7,5 dan nilai z memenuhi z < –2,05
maka z = –7,5 di dalam daerah kritis sehingga
keputusannya H0 ditolak.
H0 ditolak sehingga H1 diterima.
Kesimpulan dari uji hipotesis adalah rata-rata
waktu perakitan sebuah perangkat elektronik
oleh mesin A lebih dari 50 menit.
Oleh karena mesin A dapat merakit sebuah
perangkat elektronik rata-rata lebih dari 50
menit maka pengusaha tidak akan menggunakan
mesin A .
Kembali ke subbab

PPT MATEMATIKA PEMINATAN KELAS XII KURIKULUM 2013

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to PPT MATEMATIKA PEMINATAN KELAS XII KURIKULUM 2013

Similar to PPT MATEMATIKA PEMINATAN KELAS XII KURIKULUM 2013 (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

PPT MATEMATIKA PEMINATAN KELAS XII KURIKULUM 2013