Matematika Wajib 11A.pptx

SMA/MA Kelas XI Semester 1
Matematika
Disusun oleh:
Suparno
Disklaimer Daftar isi
Mata Pelajaran Wajib

• Powerpoint pembelajaran ini dibuat sebagai alternatif guna
membantu Bapak/Ibu Guru melaksanakan pembelajaran.
• Materi powerpoint ini mengacu pada Kompetensi Inti (KI)
dan Kompetensi Dasar (KD) Kurikulum 2013.
• Dengan berbagai alasan, materi dalam powerpoint ini
disajikan secara ringkas, hanya memuat poin-poin besar
saja.
• Dalam penggunaannya nanti, Bapak/Ibu Guru dapat
mengembangkannya sesuai kebutuhan.
• Harapan kami, dengan powerpoint ini Bapak/Ibu Guru
dapat mengembangkan pembelajaran secara kreatif dan
interaktif.
Disklaimer

DAFTAR ISI
BAB I Induksi Matematika
BAB II Program Linear
BAB III Matriks
BAB IV Transformasi Geometri
BAB V Barisan dan Deret

BAB
A. Pengantar Induksi Matematika
B. Induksi Matematika
BAGIAN BAB
I Induksi Matematika
Kembali ke daftar isi

1. Notasi Sigma
2. Sifat-Sifat Notasi Sigma
A. Pengantar Induksi Matematika
3. Nilai Suatu Notasi Sigma
4. Mengubah Batas Bawah atau Batas Atas
Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

1. Notasi Sigma
Notasi sigma (Σ) adalah cara singkat atau pelambangan dalam
menuliskan penjumlahan beruntun suku-suku barisan bilangan yang
mempunyai pola tertentu
n
k 1 2 3 n
k 1
U U U U . . . U

    


Contoh Soal

2. Sifat-Sifat Notasi Sigma

3. Nilai Suatu Notasi Sigma
Untuk menentukan nilai dari suatu notasi sigma dapat menggunakan
sifat-sifat notasi sigma atau menyatakan notasi sigma dalam bentuk
deret terlebih dahulu.

4. Mengubah Batas Bawah atau Batas Atas
Untuk mengubah batas bawah atau batas atas suatu notasi sigma dapat
menggunakan sifat notasi sigma berikut.

1. Induksi Matematika Sederhana
2. Induksi Matematika yang Diperluas
B. Induksi Matematika
3. Induksi Matematika Kuat

1. Induksi Matematika Sederhana
Langkah-Langkah Induksi:
a. Buktikan P(n) benar untuk n = 1
b. Asumsikan P(n) benar untuk n = k, lalu buktikan P(n) benar untuk
n = k + 1

Contoh Soal
Misalkan P(n) adalah sifat n3 + 2n habis dibagi 3
untuk setiap n bilangan asli.

2. Induksi Matematika yang Diperluas
a. Buktikan P(n) benar untuk n = m
b. Asumsikan P(n) benar untuk n = k dengan k ≥ m, lalu buktikan P(n)
benar untuk n = k + 1

Contoh Soal
Buktikan bahwa 2n < n! untuk setiap n ≥ 4.

3. Induksi Matematika Kuat
a. Buktikan P(n) benar untuk n = 1
b. Asumsikan P(n) benar untuk n = 1, 2, 3, · · ·, k – 1, k lalu buktikan
P(n) benar untuk n = k + 1.

BAB
A. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
B. Program Linear
BAGIAN BAB
Program Linear
II

1. Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (PtLDV)
2. Menentukan Penyelesaian PtLDV
A. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
3. Menyusun PtLDV Suatu Daerah Penyelesaian
4. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV)

1. Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (PtLDV)
Bentuk umum pertidaksamaan linear dengan dua variabel x dan y dapat
dituliskan sebagai berikut.
ax + by ≤ c
ax + by ≥ c
ax + by < c
ax + by > c
dengan a, b, c  bilangan real

Contoh Soal
Perhatikan contoh-contoh PtLDV dengan variabel x dan y berikut.
a. x – 2y > 2 e. 3y – x > 3
b. 2x – y < 4 f. 5x – y < 15
c. 3x + y ≤ 6 g. –x + 2y ≥ –4
d. x – 4y ≥ 8 h. x – y ≤ 1

2. Menentukan Penyelesaian PtLDV
Penyelesaian pertidaksamaan dua variabel merupakan himpunan
pasangan bilangan (x, y) yang memenuhi pertidaksamaan linear
tersebut. Jika digambarkan pada bidang koordinat kartesius, himpunan
pasangan bilangan (x, y) tersebut berada dalam suatu daerah yang
disebut daerah penyelesaian (DP).

Contoh Soal
Tentukan daerah penyelesaian dari:
a. 2x – 3y ≤ 6
b. 3x + 4y ≥ 12

3. Menyusun PtLDV Suatu Daerah Penyelesaian
Langkah-langkah menyusun PtLDV:
a. Menentukan persamaan garis pembatas DP.
b. Melakukan uji titik untuk menentukan tanda ketidaksamaan.

4. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV)
Setiap SPtLDV terdiri atas dua atau lebih pertidaksamaan linear dua
variabel. Daerah penyelesaian SPtLDV merupakan irisan daerah
penyelesaian PtLDV penyusun SPtLDV tersebut.

1. Model Matematika
2. Fungsi Tujuan
B. Program Linear
3. Menentukan Nilai Optimum Fungsi Tujuan

1. Model Matematika
Model matematika pada permasalahan program linear berupa
SPtdLDV. SPtdLDV tersebut dinamakan pembatas atau kendala.

Contoh Soal
Seorang distributor buah akan mendistribusikan 80 ton buah dari gudang ke
pedagang pengecer. Untuk keperluan tersebut ia menyewa dua jenis ruk.
Truk jenis I dengan kapasitas 4 ton dan truk jenis II dengan kapasitas 3 ton.
Distributor tersebut hanya dapat menyewa truk sebanyak 24 kali jalan. Jika
x menyatakan banyak truk jenis I dan y menyatakan banyak truk jenis II,
tentukan model matematika yang sesuai.

2. Fungsi Tujuan
Fungsi tujuan disebut juga fungsi sasaran atau fungsi objektif. Nilai
fungsi tujuan f(x, y) = ax + by tergantung dari nilai-nilai x dan y yang
memenuhi kendala. Nilai fungsi tujuan bisa minimum atau maksimum.
Nilai minimum atau nilai maksimum disebut juga nilai optimum atau
nilai ekstrim.

3. Menentukan Nilai Optimum Fungsi Tujuan
a. Menggunakan Metode Garis Selidik
1. Menentukan persamaan garis selidik.
2. Menggambar daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan dan
garis selidik f0.
3. Menentukan persamaan garis selidik yang sejajar dengan f0.
4. Menentukan nilai optimum fungsi tujuan f(x, y) = ax + by.
b. Menggunakan Metode Uji Titik Pojok

BAB
A. Pengertian dan Notasi Matriks
B. Operasi Matriks
BAGIAN BAB
C. Determinan dan Invers Matriks
D. Menyelesaikan Masalah Menggunakan Matriks
Matriks
III

1. Pengertian Matriks
2. Notasi dan Ordo Matriks
A. Pengertian dan Notasi Matriks
3. Macam-Macam Matriks
4. Transpos Suatu Matriks
5. Kesamaan Dua Matriks

1. Pengertian Matriks
Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan
kolom dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau persegi panjang.
Susunan bilangan-bilangan itu biasanya diletakkan dalam kurung biasa
( ) atau kurung siku [ ]. Bilangan-bilangan tersebut biasanya dinamakan
anggota atau elemen matriks.

2. Notasi dan Ordo Matriks
Matriks dinyatakan dengan huruf besar dan elemen-elemennya
dinyatakan dengan huruf kecil. Jika suatu matriks A terdiri atas m baris
dan n kolom maka m × n menyatakan ukuran atau ordo dari matriks A.

3. Macam-Macam Matriks
a. Matriks Berdasarkan Banyak Baris dan Banyak Kolom
1. Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri atas 1 baris.
2. Matriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri atas 1 kolom.
3. Matriks persegi panjang adalah matriks yang banyak barisnya
tidak sama dengan banyak kolomnya.
4. Matriks persegi adalah matriks yang mempunyai banyak baris
dan kolom sama.

b. Matriks Berdasarkan Pola Elemen-Elemen
1. Matriks nol (O) adalah matriks yang semua elemennya bernilai
0 (nol).
2. Matriks diagonal (D) adalah suatu matriks persegi dengan
elemen pada diagonal utama tidak semuanya bernilai nol tetapi
semua elemen yang lain bernilai nol.
3. Matriks identitas (I) adalah suatu matriks persegi dengan
elemen-elemen pada diagonal utama ama dengan 1 (satu) dan
elemen-elemen yang lain sama dengan nol.
4. Matriks segitiga adalah matriks persegi berordo n × n dengan
elemen-elemen matriks di bawah atau di atas diagonal utama
semuanya nol.

4. Transpos Suatu Matriks
Transpos matriks adalah perubahan posisi elemen matriks. Transpos
matriks A adalah suatu matriks baru yang terbentuk dengan menuliskan
elemen-elemen pada baris matriks A menjadi elemen-elemen pada
kolomnya. Transpos matriks A dinyatakan dengan A′ atau AT.

5. Kesamaan Dua Matriks
Matriks A = (aij) dikatakan sama dengan matriks B = (bij) jika dan
hanya jika:
a. ordo matriks A sama dengan ordo matriks B
b. setiap elemen yang seletak pada matriks A dan matriks B
mempunyai nilai yang sama, aij = bij (untuk semua nilai i dan j).
Matriks A sama dengan matriks B dilambangkan dengan A = B.

1. Penjumlahan Matriks
2. Pengurangan Matriks
B. Operasi Matriks
3. Perkalian Skalar dengan Matriks
4. Perkalian Matriks
5. Pemangkatan Matriks

1. Penjumlahan Matriks
Dua atau lebih matriks dapat dijumlahkan jika ordo matriks-matriks
tersebut sama. Penjumlahan atriks dilakukan dengan menjumlahkan
elemen-elemen yang seletak.
a b e f
A dan B
c d g h
a b e f a e b f
A B
c d g h c g d h
   
 
   
   
 
     
   
     
 
     

2. Pengurangan Matriks
Dua atau lebih matriks dapat dikurangkan jika ordo matriks-matriks
tersebut sama. Pengurangan atriks dilakukan dengan mengurangkan
elemen-elemen yang seletak.
a b e f
A dan B
c d g h
a b e f a e b f
A B
c d g h c g d h
   
 
   
   
 
     
   
     
 
     

3. Perkalian Skalar dengan Matriks
Jika A adalah sebuah matriks dan k adalah suatu bilangan real, hasil
perkalian skalar dan matriks (kA) berupa matriks baru yang diperoleh
dengan mengalikan setiap elemen matriks A dengan k.
a b
A
c d
a b ka kb
kA k
c d kc kd
 
  
 
   
 
   
   

4. Perkalian Matriks
a b e f
A dan B
c d g h
a b e f ae bg af bh
AB
c d g h ce dg cf dh
e f a b ae cf be df
BA
g h c d ag h bg dh
   
 
   
   
 
    
 
    
 
    
 
    
 
    
 
    

5. Pemangkatan Matriks
Pemangkatan matriks hanya berlaku pada matriks persegi. Misalkan
matriks A adalah matriks persegi n × n maka:
A2 = AA
A3 = AA2
A4 = AA3

1. Determinan Matriks 2 x 2
C. Determinan dan Invers Matriks
3. Invers Matriks 2 x 2
5. Persamaan Bentuk Matriks

a b
A
c d
a b
det(A) ad bc
c d
 
  
 
  

a b c
B d e f
g h i
 
 
  
 
 

1
a b
A
c d
d b
1
A
c a
det(A)

 
  
 

 
  

 

–1
a b c
A d e f
g h i
1
A Adj(A
det(A)
 
 
  
 
 


5. Persamaan Bentuk Matriks
AX = B  X = A–1B
XA = B  X = BA–1

1. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
2. Sistem Persamaan Linear dengan Tiga Variabel
D. Menyelesaikan Masalah Menggunakan Matriks

1. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
a. Menggunakan Cara Invers Matriks

b. Menggunakan Determinan (Aturan Cramer)
11 12 1 12 11 1
x y
21 22 2 22 21 2
y
x
a a b a a b
D D D
a a b a a b
D
D
x y
D D
  
 

2. Sistem Persamaan Linear dengan Tiga Variabel
a. Menggunakan Cara Invers Matriks

b. Menggunakan Determinan (Aturan Cramer)
11 12 13
21 22 23
31 32 33
1 12 13 11 1 13 11 12 1
x 2 22 23 y 21 2 23 z 21 22 2
3 32 33 31 3 33 31 32 3
y
x z
a a a
D a a a
a a a
b a a a b a a a b
D b a a D a b a D a a b
b a a a b a a a b
D
D D
x y z
D D D

  
  

BAB
A. Translasi (Pergeseran)
B. Refleksi (Pencerminan)
BAGIAN BAB
C. Rotasi (Perputaran)
D. Dilatasi (Perkalian)
E. Transformasi Matriks
Transformasi Geometri
IV

1. Bentuk Translasi
2. Komposisi Translasi
A. Translasi (Pergeseran)
3. Translasi Kurva

1. Bentuk Translasi
Translasi (pergeseran) merupakan transformasi yang memindahkan
titik dengan jarak dan arah tertentu. Pada translasi digunakan
pendekatan koordinat.

2. Komposisi Translasi

3. Translasi Kurva
Langkah-langkah menentukan persamaan kurva oleh translasi.
a. Persamaan kurva yang akan ditranslasikan memuat variabel x dan
y. Misalkan titik (x, y), terletak pada kurva.
b. Tentukan hasil translasi titik (x, y), misalkan titik (x′, y′). Anda akan
memperoleh hubungan x, x′, y, dan y′. Nyatakan x dan y sebagai
persamaan dalam x′ dan y′.
c. Substitusikan persamaan x dan persamaan y yang diperoleh pada
langkah (b) ke dalam persamaan kurva. Kurva inilah yang disebut
hasil translasi kurva.

1. Bentuk Refleksi
2. Komposisi Refleksi
B. Refleksi (Pencerminan)
3. Refleksi Kurva

1. Bentuk Refleksi
Refleksi (pencerminan) merupakan transformasi yang memindahkan
titik menurut sifat-sifat cermin.
Refleksi Titik
Semula
Hasil
Refleksi
Sumbu X (x, y) (x, –y)
Sumbu Y (x, y) (–x, y)
Garis y = x (x, y) (y, x)
Garis y = –
x
(x, y) (–x, –y)
Garis x = a (x, y) (2a – x, y)
Garis y = b (x, y) (x, 2b – y)

2. Komposisi Refleksi
Komposisi refleksi merupakan gabungan dua atau lebih proses refleksi
yang dilakukan secara berurutan.

3. Refleksi Kurva
Langkah-langkah menentukan persamaan kurva oleh refleksi.
a. Persamaan kurva yang akan direfleksikan memuat variabel x dan y.
Misalkan titik (x, y) terletak pada kurva.
b. Tentukan hasil refleksi titik (x, y) misalkan titik x′, y′). Anda akan
hasil refleksi kurva.

1. Bentuk Rotasi
2. Komposisi Rotasi
C. Rotasi (Perputaran)
3. Rotasi Kurva

1. Bentuk Rotasi
Rotasi (perputaran) merupakan putaran benda pada poros yang tetap.
Rotasi termasuk transformasi geometri. Rotasi dapat diartikan sebagai
transformasi yang memindahkan titik-titik dengan cara memutar titik-
titik tersebut sejauh α terhadap titik pusat tertentu.
a. Rotasi terhadap Titik Pusat (0, 0)

b. Rotasi terhadap Titik Pusat (m, n)

2. Komposisi Rotasi
Komposisi rotasi yang berpusat sama akan ekuivalen dengan rotasi
dengan pusat sama sebesar penjumlahan kedua sudut rotasinya.
a. Komposisi Rotasi terhadap Titik Pusat (0, 0)

b. Komposisi Rotasi terhadap Titik Pusat (m, n)

3. Rotasi Kurva
Langkah-langkah menentukan persamaan kurva oleh rotasi.
a. Persamaan kurva yang akan dirotasikan memuat variabel x dan y.
Misalkan titik (x, y) terletak pada kurva.
b. Tentukan hasil rotasi titik (x, y) misalkan titik (x′, y′). Anda akan
hasil rotasi kurva.

1. Bentuk Dilatasi
2. Komposisi Dilatasi
D. Dilatasi (Perkalian)
3. Dilatasi Kurva
4. Faktor Skala k

1. Bentuk Dilatasi
Dilatasi (perkalian) merupakan perubahan ukuran suatu benda. Dilatasi
dapat diartikan sebagai transformasi yang mengubah ukuran
(memperbesar atau memperkecil) suatu bangun geometri, tetapi tidak
mengubah bentuk bangun geometri tersebut.
a. Dilatasi terhadap Titik Pusat (0, 0)

b. Dilatasi terhadap Titik Pusat (m, n)

2. Komposisi Dilatasi
Komposisi dilatasi yang berpusat sama akan ekuivalen dengan dilatasi
dengan pusat sama sebesar perkalian kedua faktor skalanya.
a. Komposisi Dilatasi terhadap Titik Pusat (0, 0)

b. Komposisi Dilatasi terhadap Titik Pusat (m, n)

3. Dilatasi Kurva
Langkah-langkah menentukan persamaan kurva oleh dilatasi.
a. Persamaan kurva yang akan dirotasikan memuat variabel x dan y.
Misalkan bahwa titik (x, y) terletak pada kurva.
b. Tentukan hasil dilatasi titik (x, y) misalkan titik (x′, y′). Anda akan
hasil dilatasi kurva.

4. Faktor Skala k
Sifat dilatasi dapat dilihat dari nilai faktor skala k.
a. Untuk nilai k > 1 maka bangun akan diperbesar dan terletak searah
terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.
b. Untuk 0 < k < 1 maka bangun akan diperkecil dan terletak searah
terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.
c. Untuk –1 < k < 0 maka bangun akan diperkecil dan terletak
berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.
d. Untuk k < –1 maka bangun akan diperbesar dan terletak
berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.

1. Transformasi Matriks
2. Komposisi Transformasi Matriks
E. Transformasi Matriks

1. Transformasi Matriks

2. Komposisi Transformasi Matriks
a. Komposisi transformasi (T2 o T1) artinya transformasi terhadap
matriks T1 dilanjutkan transformasi terhadap matriks T2. Bentuk
(T2 o T1) bersesuaian dengan perkalian matriks:
Komposisi transformasi merupakan gabungan dua atau lebih
transformasi yang dilakukan pada suatu titik atau kurva.
1 2
2 1
a b e f
T dan T
c d g h
e f a b
T oT
g h c d
   
 
   
   
  
   
  

b. Komposisi transformasi (T1 o T2) artinya transformasi terhadap
matriks T2 dilanjutkan transformasi terhadap matriks T1. Bentuk
(T1 o T2) bersesuaian dengan perkalian matriks:
1 2
1 2
a b e f
T dan T
c d g h
a b e f
T oT
c d g h
   
 
   
   
  
   
  

BAB
A. Barisan dan Deret Aritmetika
B. Barisan dan Deret Geometri
BAGIAN BAB
C. Aplikasi Barisan dan Deret Bilangan
Barisan dan Deret
V

1. Barisan Aritmetika
2. Deret Aritmetika
A. Barisan dan Deret Aritmetika

1. Barisan Aritmetika
Barisan aritmetika disebut juga barisan hitung. Pada barisan aritmetika
ditandai dengan setiap dua suku yang berurutan memiliki beda yang
sama.
Beda:
b = U2 – U1 = U3 – U2 = U4 – U3 = . . . = Un – Un – 1
Rumus suku ke-n:
Un = a + (n – 1)b

2. Deret Aritmetika
Jika suku-suku suatu barisan aritmetika dijumlahkan maka akan
diperoleh deret aritmetika.
Rumus jumlah n suku pertama:
Suku ke-n:

1. Barisan Geometri
2. Deret Geometri
B. Barisan dan Deret Geometri
3. Deret Geometri Tak Hingga

1. Barisan Geometri
Barisan geometri disebut juga barisan ukur. Pada barisan geometri
ditandai dengan setiap dua suku yang berurutan memiliki rasio yang
sama.
Rumus suku ke-n:
Un = arn – 1
Rasio:

2. Deret Geometri
Jika suku-suku suatu barisan geometri dijumlahkan maka akan
diperoleh deret geometri.
Suku ke-n:
Rumus jumlah n suku pertama:

3. Deret Geometri Tak Hingga
Barisan geometri yang mempunyai banyak suku tak hingga disebut
barisan geometri tak hingga.
Rumus jumlah deret geometri tak hingga:
a
S
1 r
 


1. Pertumbuhan
2. Peluruhan
C. Aplikasi Barisan dan Deret Bilangan
3. Bunga Majemuk
4. Anuitas

1. Pertumbuhan
Kaidah barisan dan deret dapat digunakan untuk memudahkan
penyelesaian perhitungan pertumbuhan. Pada bahasan ini,
pertumbuhan yang dimaksud adalah pertumbuhan eksponensial, yaitu
pertumbuhan menurut deret ukur (geometri). Pertumbuhan selalu
bertambah dengan suatu persentase yang tetap dalam jangka waktu
tertentu.
Secara umum, pertumbuhan setelah t tahun:

2. Peluruhan
Kaidah barisan dan deret juga dapat digunakan untuk memudahkan
penyelesaian perhitungan peluruhan. Peluruhan yang dimaksud adalah
peluruhan eksponensial, yaitu peluruhan menurut deret ukur
(geometri). Peluruhan selalu berkurang dengan suatu persentase yang
tetap dalam jangka waktu tertentu.
Secara umum, peluruhan setelah t tahun:

3. Bunga Majemuk
Bunga majemuk adalah bunga yang dihitung atas jumlah pinjaman
pokok ditambah bunga yang diperoleh sebelumnya. Uang yang
dibungakan dengan bunga majemuk akan bertambah sebagaimana
pertumbuhan.
Nilai uang setelah t periode dirumuskan:

4. Anuitas
Anuitas adalah suatu pembayaran atau penerimaan uang setiap jangka
waktu tertentu dalam jumlah sama atau tetap. Jangka waktu tertentu
tersebut dinamakan periode. Pembayaran secara anuitas dilakukan
setiap akhir periode.
Nilai anuitas A dari suatu pinjaman M dengan suku bunga i%
dirumuskan dengan:

Terima Kasih

Matematika Wajib 11A.pptx

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to Matematika Wajib 11A.pptx

Similar to Matematika Wajib 11A.pptx (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Matematika Wajib 11A.pptx