1. Podstawy statystyki dla
psychologów
Testowanie hipotez pomiędzy dwiema
niezależnymi grupami
Zajęcia 11
Karol Wolski

2. Dwie grupy
• W psychologii często interesuje nas odpowiedź na
pytanie czy średnie różnią się wtedy gdy
mierzymy jakąś zmienną w dwóch różnych
warunkach
– Np. czy pacjenci poddani terapii różnią się od grupy z
placebo
• Próby niezależne – próby uzyskane w taki sposób,
że wybór elementów do jednej z nich, w żaden
sposób nie oddziałuje na wybór elementów do
drugiej grupy

3. Przykład
• Testujemy sposób na poprawę rozumienia tekstu
przez dzieci dyslektyczne
– Zastosowanie neutralnego koloru powłoki daje
rezultat średnio 56,7% rozumienia tekstu
– Przy niebieskim kolorze średnia ta wynosi 75%
• Interesuje nas czy w grupie niebieskiej średnia
jest wyższa
• Musimy pamiętać, że z powodu losowego doboru
do prób średnie te, nawet w przypadku braku
różnicy nie będę identyczne, a czy ta różnica ma
znaczenie?

4. Przykład
• Podobnie jak przy testowaniu hipotez i jednej
średniej formułujemy hipotezy
• H0 : 𝜇 𝑋 − 𝜇 𝑌 = 0
– Nasze pytanie dotyczy więc różnić populacyjnych,
z których pobrane zostały nasze dwie próby
– Hipoteza zerowa wskazuje nam na brak różnic
pomiędzy dwiema warunkami w populacji

5. Przykład
• Hipoteza alternatywna
• HA : 𝜇 𝑋 − 𝜇 𝑌 ≠ 0
• Oczywiście możemy postawić również
hipotezy kierunkowe:
– HA : 𝜇 𝑋 − 𝜇 𝑌 > 0
– HA : 𝜇 𝑋 − 𝜇 𝑌 < 0
• Logika dalszych działań będzie podobne jak w
przypadku testowania hipotez o jednej
średniej, ale…

6. Losowy rozkład różnic między średnimi
z próby
• W przypadku hipotez o jednej średniej
mówiliśmy o losowym rozkładzie średniej z
próby, teraz interesuje nas nie to jak
rozkładają się średnie, ale jak rozkładają się ich
różnice
• Losowy rozkład różnic między średnimi z próby
opisuje wszystkie możliwe różnice między
średnimi, które mogłyby się pojawić gdyby
hipoteza zerowa była prawdziwa

7. Losowy rozkład różnic między średnimi
z próby
• Losowy rozkład różnic między średnimi z próby –
teoretyczny rozkład częstości względnych
wartości 𝑋 − 𝑌, które mogłyby się pojawić przez
przypadek w nieskończonej liczbie prób o
określonej liczebności wylosowanych z populacji
XiY
• Rozkład ten tworzony jest podobnie jak losowy
rozkład średniej z próby, tyle, ze tutaj losujemy
dwie próby z dwóch populacji i interesuje nas
różnica średnich pomiędzy nimi

8. Losowy rozkład różnic między średnimi
z próby
• Średnia losowego rozkładu różnic między
średnimi jest równa 0:
𝜇 𝑋−𝑌 = 0
Wtedy gdy
𝜇𝑋− 𝜇𝑌 =0
Czyli kiedy hipoteza zerowa jest prawdziwa
• Idą dalej tym tropem średnia losowego rozkładu
różnic między średnimi jest równa różnicy
średnich z dwóch populacji (por. poprzednie
zajęcia)
𝜇 𝑋−𝑌 = 𝜇 𝑋 − 𝜇 𝑌

9. Losowy rozkład różnic między średnimi
z próby
• Oczywiście alternatywną interpretacją tego
rozkładu jest potraktowanie go jako
teoretycznego rozkładu wszystkich możliwych
wartości różnić między średnimi jakie mogą
pojawić się podczas losowania wszystkich
możliwych prób.

10. Losowy rozkład różnic między średnimi
z próby - przykład

11. Losowy rozkład różnic między średnimi
z próby - przykład

12. Losowy rozkład różnic między średnimi
z próby - przykład

13. Losowy rozkład różnic między średnimi
z próby - przykład

14. Losowy rozkład różnic między średnimi
z próby - przykład
• Jeżeli rozkłady średniej z próby dla populacji X
i Y są w przybliżeniu normalne, to rozkład
różnic pomiędzy parami losowo wybranych
średnich również będzie zbliżony do
normalnego
• A jak nie to i tak będzie -> centralne
twierdzenie graniczne

15. Losowy rozkład różnic między średnimi
z próby - właściwości
• Czym będzie SD takiego rozkładu?
• Będziemy je nazywać błędem standardowym
różnicy między dwiema średnimi i oznaczać
symbolem: 𝜎 𝑋−𝑌
𝜎 𝑋−𝑌 = 𝜎 2 + 𝜎 2
X Y
• W tym momencie wracamy do znanego nam
problemu skąd mamy wziąć wartości wariancji
populacyjnych? …. Tak, tak, musimy je
oszacować…

16. Oszacowanie wartości 𝜎 𝑋−𝑌
• Oszacowanie błędu standardowego różnicy
między dwiema średnimi
• 𝑠 𝑋−𝑌 = 𝑠 2 + 𝑠 2
X Y
• Albo (przy założeniu homogeniczności
wariancji)
𝑆𝑆 𝑋 +𝑆𝑆 𝑌 1 1
– 𝑠 𝑋−𝑌 = ( + )
𝑛 𝑋 −1 + 𝑛 𝑌 −1 𝑛𝑋 𝑛𝑌

17. Statystyka t
• Wartość t przy testowaniu hipotezy pomiędzy
dwiema średnimi
𝑋−𝑌 −(𝜇 𝑋 −𝜇 𝑌 )ℎ𝑖𝑝
• 𝑡=
𝑠 𝑋−𝑌
• A gdzie jest df?
• 𝑑𝑓 = (𝑛 𝑋 −1) + (𝑛 𝑌 − 1)

19. Założenia
• Każda próba jest wybrana losowo z populacji
przez nie reprezentowanych
• Dwie próby losowe muszą zostać wybrane
niezależnie
• Próby są losowane zgodnie ze schematem
losowania zwrotnego (w psychologii
przeważnie niespełnione)
• Rozkład wartości 𝑋 − 𝑌 zgodny z rozkładem
normalnym

20. A na koniec… losowy dobór do próby a
losowe przydzielanie do prób
• W większości sytuacji, w których grupy są
utworzone poprzez przydzielanie losowe,
zastosowanie modelu doboru losowego
doprowadzi do tych samych wniosków
statystycznych, które uzyskalibyśmy przy użyciu
właściwego modelu
• Jednak uzyskane wnioski statystyczne nie mogą
być uogólnione na populację i stosują się jedynie
do badanych prób
• Pytanie na koniec: Wniosek statystyczny a
wniosek badawczy? Czym się różnią?