3. Zakres zmienności a korelacja
• ������������������ = ������������ ������ − ������������ - standardowy błąd
oszacowania czyli… zmienność wyników Y
skupionych wokół linii regresji
– Bo ������������������ jest rodzajem SD
• Po przekształceniu z tego wzoru możemy
wyliczyć r
������������������ ������
– ������ = ������ −
������������ ������
4. Zakres zmienności a korelacja
• Wartość współczynnika korelacji zależeć
������������������
będzie od stosunku a nie tylko od wartości
������������
błędu pomiaru
• Aby określić wielkość ������������������ musimy odnieść ją
do odchylenia standardowego Y
6. Zakres zmienności a korelacja
• ������������������ ������ = ������
������
• ������������������ = ������
������
• ������������������ = ������
– Ta wartość nie ulegnie zmianie ponieważ
zakładamy, że mamy do czynienia z
homoskedastycznością
8. Zakres zmienności a korelacja
• Wartość r zależy zarówno od stopnia
zmienności charakteryzującej każdą ze
zmiennych, jak i od siły związku między nimi
• Jeśli pozostałe warunki pozostaną niezmienne,
wraz z ograniczeniem zmienności X i/lub Y
obniżeniu ulegnie współczynnik korelacji tych
dwóch zmiennych
10. Korelacja w rozkładach nieciągłych
• Niezależnie czy nieciągłość dotyczy zmiennej X
czy Y, czy też obu zmiennych jednocześnie,
zazwyczaj współczynnik korelacji będzie
wyższy niż w przypadku rozkładu ciągłego
11. Równanie regresji I
• Y=bX + a
• a- wyraz wolny
– Określa punkt, w którym linia regresji przecina oś
Y
• b- współczynnik nachylenia
– Określa o ile wzrośnie/zmaleje wartość Y kiedy X
wzrośnie o jedną jednostkę
������������������������������������ ������������ ������������������ ������
– ������ =
������������������������������������ ������������ ������������������ ������
13. Równanie regresji I
b a=0
• ������′������ = ������������������ + ������
• Interpretacja r dla danych standaryzowanych
– Określa o ile jednostek wzrośnie Y przy zmianie X o
jedną jednostkę, wtedy gdy dane są
wystandaryzowane czyli
– O ile SD zmieni się Y jeśli X zmieni się o 1SD
14. Równanie regresji I
b a
′ ������������ ������������
• ������ = ������ ������ − ������ ������ + ������
������������ ������������
• b- współczynnik regresji
– Określa o ile przeciętnie wzrośnie Y kiedy X zmieni
się o jedną jednostkę
16. Równanie regresji II
• Regresja do średniej – kiedy korelacja między
zmiennymi jest <1, to im bardziej ekstremalny
wynik na jednej zmiennej, tym bardziej
prawdopodobne, że jest on związany z
wynikiem mniej ekstremalnym na drugiej
zmiennej
• Na podstawie ������′������ = ������������������ + ������ wiemy, że im wyższa
wartość r tym mniejsza regresja do średniej
17. Regresja do średniej
• Kiedy osoby badane zostaną wybrane z
powodu ekstremalnej lokalizacji wyników w
danej zmiennej, to ich wyniki w innej
zmiennej, skorelowanej z pierwszą wprost
proporcjonalnie, będą prawdopodobnie
również wysokie, ale będę mniej ekstremalne
18. Interpretacja r – współczynnik
determinacji
• Całkowitą wariancję Y można potraktować
jako sumę dwóch wariancji
– Związaną ze zmienną X
– Niezwiązaną ze zmienną X
Odchylenia wyników
������ − ������ = ������ − ������ ′ + (������ ′ − ������)
20. Interpretacja r – współczynnik
determinacji
• ������ − ������ - przekształcone na wariancję mierzy całkowitą
wariancję Y, 2 jak robiliśmy to na samym początku
tak
������ 2 = ������−������
������
• ������ − ������ ′ - przekształcone na wariancję mierzy
wariancję Y niezależną od X, czyli jest nasz błąd
(������−������′)������
oszacowania S������������������ =
������
• (������ ′ − ������) – przekształcona na wariancję mierzy
wariancję Y zależną od zmiennej X
������ (������′−������)������
– ������������′ =
������
21. Interpretacja r – współczynnik
determinacji
• Wiemy zatem, że
• ������ 2 = S������������������ + ������������′������
• Dobrym sposobem na zrozumienie siły
związku pomiędzy X i Y będzie poznanie
proporcji
������������′������
– czyli stosunku wariancji zależnej od X do
������������������
całości wariacji Y
22. Interpretacja r – współczynnik
determinacji
• Jeśli ������ 2 = S������������������ + ������������′������ to
• ������������′������ = ������������′������ − S������������������
������������′������
• I jeśli
������������������
• To po kilku przekształceniach…
������������′������
• = ������������ - współczynniki determinacji
������������������
23. Interpretacja r – współczynnik
determinacji
• ������ 2 = ������ 2 + ������ 2
• ������ 2 - współczynnik indeterminacji, wskazuje
nam jaki odsetek Y nie zależy od X, jest równy
1 − ������ 2