The document discusses key concepts in Cartesian geometry including: - The Cartesian plane is defined by two perpendicular number lines, one horizontal and one vertical, intersecting at the origin point. - Distances between two points on the plane can be calculated using their x and y coordinates in the distance formula. - Common shapes that can be analyzed using Cartesian geometry are circles, parabolas, ellipses, hyperbolas, which are defined by specific equations involving distances from focal points. - Examples are given of the equations used to define and plot these geometric shapes on the Cartesian plane.

1. Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior
Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco
Barquisimeto, Edo Lara
• Alumno: Orianna Gutierrez
• CI: 28.256.766
• Trayecto Inicial
• Sección: CO0404-1

2. Se conoce como plano numérico, plano
cartesiano, coordenadas cartesianas o
sistema cartesiano, a dos rectas numéricas
perpendiculares, una horizontal y otra
vertical, que se cortan en un punto llamado
origen o punto cero.
La finalidad del plano cartesiano es describir
la posición o ubicación de un punto en el
plano, la cual está representada por el
sistema de coordenadas.
El plano cartesiano también sirve para
analizar matemáticamente figuras
geométricas como la parábola, la hipérbole,
la línea, la circunferencia y la elipse, las
cuales forman parte de la geometría
analítica.
PLANO NUMERICO

3. DISTANCIA
Dadas las coordenadas de dos puntos, P1 y
P2, se deduce la fórmula de distancia entre
estos dos puntos. La demostración usa el
teorema de Pitágoras. Un ejemplo muestra
cómo usar la fórmula para determinar la
distancia entre dos puntos dadas sus
coordenadas La distancia entre dos puntos
P1 y P2 del plano la denotaremos por
d(P1,P2 ). La fórmula de la distancia usa las
coordenadas de los puntos.
Fórmula de distancia entre dos
puntos en el plano cartesiano

4. PUNTO MEDIO
Punto medio en matemática, es
el punto que se encuentra a la misma
distancia de otros dos puntos
cualquiera o extremos de un
segmento.
Más generalmente punto
equidistante en matemática, es
el punto que se encuentra a la misma
distancia de dos elementos
geométricos, ya sean puntos,
segmentos, rectas, etc.

5. ECUACIONES Y TRAZADOS DE
CIRCUNFERENCIAS
Así:
(𝑥 − ℎ)2+(𝑦 − 𝑘)2= 𝑟2
Desarrollando
𝑥2
− 2𝑥ℎ + ℎ2
+ 𝑦2
− 2𝑦𝑘 + 𝑘2
= 𝑟2
𝑥2 − 2𝑥ℎ + ℎ2 + 𝑦2 − 2𝑦𝑘 + 𝑘2 − 𝑟2 = 0
Si hacemos:
𝐷 = −2ℎ
𝐸 = −2𝑘
𝐹 = ℎ2+𝑘2= 𝑟2
Reemplazando en la anterior ecuación se obtiene
𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
A la que se le llama Ecuación General de la Circunferencia
Es el conjunto de todos los puntos sobre un plano “a” que
son equidistantes de un punto fijo sobre el plano. Al punto
fijo se le llama centro y a la distancia de cualquier punto de
ella al centro se llama radio.
Es decir:
Circunferencia = 𝑃 ∈ 𝑎 / 𝑃𝐶 = 𝑟
De donde se tiene que:
𝑃𝐶 = 𝑟 ⇔ 𝑟 = (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2

6. ECUACIONES Y TRAZADOS DE
CIRCUNFERENCIAS
Ahora si en esta ecuación completamos cuadrados se
tiene:
𝑥2 + 𝑑𝑋 + (
𝐷
2
)2 + 𝑦2 + 𝐸𝑦 + (
𝐸
2
)2 − (
𝐷
2
)2 − (
𝐸
2
)2 + 𝐹
= 0
(𝑋 +
𝐷
2
)2
+ (𝑦 +
𝐸
2
)2
=
𝐷2
4
+
𝐸2
4
− 𝐹
(𝑋 +
𝐷
2
)2
+ (𝑦 +
𝐸
2
)2
=
𝐷2
+ 𝐸2
− 4𝐹
4
Aquí
𝐶 = ℎ, 𝑘 = −
𝐷
2
, −
𝐸
2
𝑟2
=
𝐷2 + 𝐸2 − 4𝐹
4
⇒ 𝑟 =
1
2
𝐷2 + 𝐸2 − 4𝐹
Ahora analizando la cantidad subradical, 𝐷2 + 𝐸2 − 4𝐹,
tiene:
1. Si 𝐷2
+ 𝐸2
− 4𝐹 < 0 ⇒ 𝑟 < 0 , no existe la
circunferencia; es imaginaria.
2. Si 𝐷2
+ 𝐸2
− 4𝐹 = 0 ⇒ 𝑟 = 0, la circunferencia se
convierte en un punto.
3. Si 𝐷2
+ 𝐸2
− 4𝐹 > 0 ⇒ 𝑟 > 0 , la circunferencia
existe y es real.

7. PARABOLAS
En el Plano Cartesiano una
parábola puede tener su vértice en
cualquier par de coordenadas y
puede estar orientada hacia arriba,
hacia abajo o hacia la izquierda o
la derecha
Pues bien, una parábola es una
forma geométrica.
Esta forma geométrica,
la parábola, expresada como
una ecuación , cuenta con una
serie de elementos o parámetros
que son básicos para su
descripción, y son:
• Vértice (V) : Punto de la parábola que coincide con
el eje focal (llamado también eje de simetría ).
• Eje focal (o de simetría) (ef) : Línea recta que
divide simétricamente a la parábola en dos brazos y
pasa por el vértice.
• Foco (F) : Punto fijo de referencia, que no
pertenece a la parábola y que se ubica en el eje
focal al interior de los brazos de la misma y a
una distancia p del vértice.
• Directriz (d) : Línea recta perpendicular al eje
focal que se ubica a una distancia p del vértice y fuera
de los brazos de la parábola.
• Distancia focal (p) : Parámetro que indica la
magnitud de la distancia entre vértice y foco , así
como entre vértice y directriz (ambas distancias son
iguales).
• Cuerda : Segmento de recta que une dos puntos
cualesquiera, pertenecientes a la parábola.
• Cuerda focal : Cuerda que pasa por el foco.
• Lado recto (LR) : Cuerda focal que es
perpendicular al eje focal.

8. ELIPSES
Se llama elipse al lugar geométrico de un plano,
cuya suma de distancias a dos puntos fijos
llamados focos es constante
Según la definición , si Fy F’ son los puntos fijos en
el plano , llamados focos de la elipse , y P es un
punto cualquiera de la elipse , la suma de las
distancias PF’y Pf es constante , Si designamos por
2ª ala cantidad constante , es decir : PF’ +PF =2ª Con
a>O la recta que une los focos es el eje de simetría
de la elipse . si P’ es el simétrico de P respecto ala
recta FF’ , este será la mediatriz del segmento pp’ y
se verifican las siguientes igualdades .P’F’= PF’ Y
P’F de donde P’F’ =P’f=2a

9. HIPERBOLA
Las líneas azules constituyen lo que se conoce como
una hipérbola. Observa sus focos F y F'. Estos puntos
son muy importantes ya que la diferencia de la
distancia entre cada punto P(x,y) y estos puntos es
siempre constante.
Por tanto, debes tener en cuenta que para cualquier
punto de la hipérbola siempre se cumple que:
|d(P,F)−d(P,F')|=2⋅a
Donde d(P,F) y d(P,F') es la distancia de un punto
genérico P de la hipérbola al foco F y al
foco F' respectivamente. Y donde 2a es una constante
Una hipérbola se define
como el lugar
geométrico de los puntos
del plano en el que la
diferencia de distancias a
dos puntos fijos
denominados focos, F y
F', es siempre constante.

10. ECUACIONES DE LAS CONICAS

11. BIBLIOGRAFIAS
• https://www.significados.com/plano-
cartesiano/#:~:text=Se%20conoce%20como%20plano%20cartesiano,llamado%20origen%20o%20punto%20c
ero.
• http://www.matematicatuya.com/GRAFICAecuaciones/S1a.html
• https://es.wikipedia.org/wiki/Punto_medio#:~:text=Punto%20medio%20en%20matem%C3%A1tica%2C%20
es,%2C%20segmentos%2C%20rectas%2C%20etc.
• https://www.sectormatematica.cl/media/diferenciado/LA%20CIRCUNFERENCIA%20EN%20EL%20PLANO%20
CARTESIANO.pdf
• https://www.profesorenlinea.cl/matematica/Ecuacion_parabola.html
• https://sites.google.com/site/fm20132grupo5/contenidos/tema-17-plano-cartesiano---
elipse#:~:text=Es%20el%20lugar%20geom%C3%A9trico%20de,F1%20y%20F2%20es%20constante.
• https://cormat.wordpress.com/2010/11/07/elipse/
• https://www.fisicalab.com/apartado/ecuacion-hiperbola-
general#:~:text=Una%20hiperbola%20se%20define%20como,F'%2C%20es%20siempre%20constante.&text=
Las%20l%C3%ADneas%20azules%20constituyen%20lo%20que%20se%20conoce%20como%20una%20hip%C
3%A9rbola.
• http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Conicas/marco_conicas.htm