The document discusses different types of conic sections including circles, ellipses, hyperbolas, and parabolas. It provides the general equation for conic sections and the conditions to determine which type of conic section is represented based on the values of certain coefficients in the equation. It then gives the standard forms of the equations for each type of conic section and discusses some of their defining geometric properties.

1. Paso 4- Profundizar y contextualizar el conocimiento de
la Unidad 3.
Grupo: 16
Abril 22 de 2021
Presentado por:
Javier E. Valencia
Mileidys Mendez
Omer Madera
Jamer Cruzate
Ailed Araujo

2. Secciones cónicas
Una sección cónica corresponde a la intersección de un plano y
un cono recto circular doble. Por el cambio del ángulo y la
ubicación de la intersección, podemos producir diferentes tipos de
cónicas. Hay cuatro tipos
básicos: circunferencia , elipses , hipérbolas y parábolas. Ninguna
de las intersecciones pasara a través de los vértices del cono.
La ecuación general para cualquier sección cónica es:
donde A, B, C, D, E y F son constantes.
Condiciones para determinar de qué tipo de sección cónica se trata.
Si B 2 – 4 AC es menor que cero, si una cónica existe, está
puede ser un círculo o una elipse.
Si B 2 – 4 AC es igual a cero, si una cónica existe, será una
parábola.
Si B 2 – 4 AC es mayor que cero, si una cónica existe, será una
hipérbola.
Imagen. Secciones cónicas o cónicas. Recuperada de:
https://www.monografias.com/trabajos82/secciones-conicas-o-conicas/image002.png

3. FORMAS ESTÁNDAR DE LAS ECUACIONES DE
SECCIONES CÓNICAS:

4. La Hipérbola
Una hipérbola es definida como el lugar geométrico de los
puntos del plano en el que la diferencia de distancias a dos
puntos fijos denominados focos, F y F', es siempre
constante.
Imagen. La hipérbola como lugar geométrico. Recuperada de:
https://images.slideplayer.es/76/14180148/slides/slide_5.jpg
Ecuación de la hipérbola
De forma general se tienen dos tipos de hipérbolas, cuyo eje
focal se encuentra horizontal o vertical. De modo que se definen
dos tipos de ecuaciones.
Eje focal horizontal centrado en un punto P(x0,y0) cualquiera.
La ecuación de una hipérbola de eje focal horizontal viene
dada por:
(x − x0)2 a2 − (y − y0)2 b2 = 1
Donde:
 x0 , y0 : Coordenadas x e y del centro de la hipérbola
 a : Semieje real
 b : Semieje imaginario

5. Ejemplo.
La ecuación de una hipérbola de eje focal
vertical viene dada por:
(y − y0)2 a2 − (x − x0)2 b2 = 1
Donde:
 x0 , y0 : Coordenadas x e y del centro de la
hipérbola
 a : Semieje real
 b : Semieje imaginario

6. Excentricidad de la hipérbola
A partir de la semi-distancia focal y el semieje real es posible
obtener un valor numérico que nos indique lo "abierta" o "amplia"
que es una hipérbola. Este valor recibe el nombre de
excentricidad.
La excentricidad de una hipérbola es el cociente entre si
semidistancia focal y su semieje real:
e= c a
Donde:
 a : Semieje real
 c : Semidistancia focal
Este valor siempre será mayor que 1 y cuanto mayor sea su
valor más "estrecha" o "cerrada" será la hipérbola.

7. Tarea 2. En el siguiente problema debe completar cuadrados para obtener la cónica en la
forma canónica (comprobar con GeoGebra):
𝐶) 4𝑥2
− 9𝑦2
− 16𝑥 + 18𝑦 − 9 = 0
Teniendo una expresión algebraica se factoriza de modo que se puede observar la forma
canónica de la sección cónica correspondiente. Se agrupan términos y se resta 9 de
ambos lados de la ecuación.
4 𝑥2
− 4𝑥 − 9 𝑦2
− 2𝑦 = 9
A continuación, se procede a completar cuadrados en ambos paréntesis.
4 𝑥2
− 4𝑥 + 4 − 9 𝑦2
− 2𝑦 + 1 = 9 + 16 − 9
4 𝑥 − 2 2
− 9 𝑦 − 1 2
= 16 Se dividen ambos términos entre 16.
𝑥 − 2 2
4
−
𝑦 − 1 2
16/9
= 1
Se tiene que,
a= 2
b= 4/3

8. 𝐶 = 22
+
4
3
2 1∕2
𝐶 =
2
3
13
𝐶 ≈ 2,4
Al ser 𝑐 > 𝑎, se concluye
que la ecuación
corresponde a una
hipérbola, cuyo centro es,
(2,1).
Continuación…
Imagen propia. Valencia J. Ejercicio 2c. Recuperado de:
https://www.geogebra.org/classic/kjds3dcj

9. LA ELIPSE
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano
cuya suma de las distancias a los dos focos (puntos interiores
fijos F1 y F2) es constante. Es decir, para todo punto a de la
elipse, la suma de las distancias d1 y d2 es constante.
Una elipse es una curva cerrada que se obtiene como
intersección de un cono circular recto y de un plano no paralelo
a su base, el eje o algún elemento del cono.
a es estrictamente mayor que b, ya que, de otro modo, o se trata
de una circunferencia (si a = b) o de otra elipse de similar
estudio.
A continuación, a fórmula matemática de la elipse, cuyo centro
es el origen de coordenadas:
Imagen. Elipse: elementos de una elipse. Recuperada de: https://www.lifeder.com/wp-
content/uploads/2021/01/elementos-de-una-elipse-lifeder-min-1024x566.jpg

10. Ecuación de una elipse
Los puntos pertenecientes a la elipse (x, y)
son los puntos del plano que cumplen que la
suma de su distancia a los dos focos es
constante.
Existen diferentes ecuaciones de la
elipse, que veremos a continuación:
Ecuación ordinaria o canónica de la elipse
A partir de la propiedad de la elipse, que es que la suma de
la distancia de cualquier punto a los focos (los radios vectores)
es igual a 2a, en una elipse horizontal (de eje focal paralelo al
eje de las abscisas X) y el centro situado en un punto O (o1, o2):
Se llega a la ecuación
ordinaria o canónica de la
elipse:
En el caso de que la elipse, también
horizontal, esté centrada en (0, 0),
la ecuación ordinaria reducida es:

11. Ecuación general de la elipse
La ecuación general de la elipse, que en su forma extensa
es la ecuación general de las cónicas:
Para que estos coeficientes se correspondan con una
elipse, tiene que cumplirse que A y C deben ser los dos positivos
(el mismo signo).
Si los dos ejes de la elipse son paralelos a los ejes de
coordenadas, se cumple también necesariamente que:
En estos dos casos de elipse horizontal o vertical, no está
presente en la ecuación general el término Bxy:

12. Excentricidad de la elipse
La excentricidad de una elipse (e) es un valor que
determina la forma de la elipse, en el sentido de si es más
redondeada o si se aproxima a un segmento. Sea c la
semidistancia focal y a el semieje mayor:
La excentricidad puede tomar valores entre 0 y 1
(0 < e < 1). Tiende a 0 cuando la elipse tiende a
una circunferencia. En este caso el semieje menor
tiene a igualarse al mayor y los focos (F1 y F2)
tienden a confundirse con el centro de la elipse.
Cuando la excentricidad crece y tiende a 1, la elipse
se aproxima a un segmento.
Existe otra fórmula que calcula la excentricidad a partir de los
dos semiejes (a y b).

13. Tarea 3. Encontrar la ecuación canónica de una elipse cuyos
vértices son respectivamente:
C) 𝑣1 = (0; 6), 𝑣2 = (4; 6), 𝑣3 = (2; 0), 𝑣4 = (2; 12)
Eje mayor Eje menor
2a=12 2b=4
a=6 b=2
Centro (h,k)
Centro (2,6)
Hallamos el valor de c
𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
𝑐2
= 62
+ 22
𝑐2
= 36 + 4
𝑐2
= 40
𝐶 = 40
𝐶 = 6,32

14. El centro de la elipse no se halla en (0,0); además, el eje mayor
se encuentra en el eje y, la ecuación de la elipse será:
𝑦 − 𝑦0
2
𝑎2
+
𝑥 − 𝑥0
2
𝑏2
= 1
Siendo, (𝑥 − 𝑥0) los valores que le corresponden a x y y en el
centro de la elipse, tenemos la siguiente ecuación.
𝑦 − 6 2
62
+
𝑥 − 2 2
22
= 1 →
𝑦 − 6 2
36
+
𝑥 − 2 2
4
= 1
Imagen propia. Valencia J. Ejercicio 3c. Recuperado de:
https://www.geogebra.org/classic/cub6crrk
Continuación…

15. 7%
Una parábola: es el lugar geométrico de los puntos de un plano
equidistantes a una recta dada, llamada directriz, y a un punto fijo que
se denomina foco.
El lado recto. El lado recto mide 4 veces la distancia focal, Al
segmento de recta comprendido por la parábola, que pasa por el foco
y es paralelo a la directriz, se le conoce como lado recto y mide 4
veces la longitud de p.
ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA
La Directriz: es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta
un punto cualquiera de la parábola, esta debe ser igual a la distancia
de este mismo punto al Foco.
El eje focal: es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el
foco.
Vértice: Es el punto en el cual la parábola corta el eje focal.
Lado Recto: Es un segmento paralelo a la directriz, que pasa por el
foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la
parábola (A,B). La distancia entre el vértice y la directriz que es la
misma entre el vértice y el foco de una parábola recibe el nombre de
parámetro de la parábola (suele denotarse por p).
LA PARÁBOLA
Imagen. Partes de una parábola. Recuperada de:
https://sites.google.com/site/geometriaanalitica3o/_/rsrc/1472780278739/la-parabola/220px-
Partes_de_una_par%C3%A1bola.svg.png

16. Ecuaciones de la Parábola
Ecuación reducida o canónica de la
parábola
Lo que diferencia la ecuación reducida o canónica de
las otras ecuaciones parabólicas, es que el vértice de
la parábola es el origen de coordenadas, es decir, el
punto (0,0).
La forma de la ecuación reducida de la parábola
depende de si esta es horizontal o vertical. Fíjate en la
siguiente representación gráfica donde se muestran las
4 posibles variantes:

17. Ecuación ordinaria de la parábola
Acabamos de ver cómo es la ecuación de la parábola cuando su vértice o centro corresponde al origen de
coordenadas (la ecuación reducida o canónica), pero ¿cuál es la ecuación de la parábola si el vértice está
fuera del origen?
Cuando el vértice de la parábola es un punto cualquiera utilizamos la ecuación ordinaria de la
parábola, cuya expresión es:
𝒙 − 𝒙0
2
= 2𝒑 𝒚 − 𝒚0
2
Donde el centro o vértice de la parábola es el punto
𝒗 𝒙0, 𝒚0
La ecuación anterior corresponde a la parábola que está orientada de
manera vertical, o dicho con otras palabras, el eje focal de la parábola
es paralelo al eje Y.
Análogamente, para definir una parábola orientada de manera
horizontal (su eje focal es paralelo al eje X), debemos usar la siguiente
variante de la ecuación ordinaria de la parábola:
𝒚 − 𝒚0
2
= 2𝒑 𝒙 − 𝒙0
2
Donde el centro o vértice de la parábola es
el punto
𝒗 𝒙0, 𝒚0

18. Ecuación general de la parábola
Hasta ahora todas las ecuaciones de las parábolas que hemos
analizado sirven para expresar parábolas horizontales o
verticales. Pero, evidentemente, una parábola también puede
ser oblicua o inclinada.
Pues para expresar este tipo de parábolas se usa la ecuación
general de la parábola, cuya fórmula es la siguiente:
𝑨𝒙2
+ 𝑩𝒙𝒚 + 𝑪𝒚2
+ 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 0
La ecuación anterior se trata de una parábola si, y solo
si, los coeficientes 𝑨 y 𝐂 no son simultáneamente nulos
y, además, se cumple la siguiente condición:
𝑩2
− 4𝑨𝑪 = 0

19. La circunferencia es una figura geométrica cerrada
cuyos puntos están a una distancia constante r,
llamada radio, del centro (C).
La circunferencia es el perímetro del círculo.
LA CIRCUNFERENCIA
Elementos de la circunferencia
Los principales elementos de la circunferencia son:
•Centro: el centro C es el punto interior que está a una
distancia r de todos los puntos de la circunferencia
•Radio: es el segmento r que une el centro (C) de la
circunferencia con cualquiera de sus puntos.
•Diámetro: segmento D que une dos puntos de la
circunferencia y que pasa por el centro (C). Su longitud
es el doble que la del radio.
•Cuerda: es un segmento K que une dos puntos de la
circunferencia sin necesidad de pasar por el centro.

20. •Arco: es la parte de la circunferencia que queda entre
los dos extremos de una cuerda (a).
•Flecha o sagita f: es el segmento que une el punto
medio de la cuerda K con el centro del arco
comprendido (a) .
•Ángulo central: es el ángulo entre dos segmentos
que van del centro a dos puntos de la circunferencia (α)
•Punto interior: punto que está dentro de la
circunferencia (I), encontrándose a una distancia del
centro menor que r.

21. Ecuación de la circunferencia
Los puntos de la circunferencia (x,y) son aquellos que
cumplen la ecuación:
Esta ecuación reúne todos los puntos (x,y) que están a
una distancia r del centro C.
En el caso particular de la circunferencia de centro
(0,0), su ecuación viene dada por:

22. Ecuación paramétrica de la circunferencia
Los puntos (x,y) de la circunferencia también se pueden
expresar a partir de el ángulo (θ) del punto a través de la
circunferencia respecto al eje de coordenadas x, mediante
la ecuación paramétrica. El ángulo se puede
expresar radianes (θ∈[0,2π]) o grados
sexagesimales (θ∈[0º,360º]).
Es decir, la fórmula reducida de la ecuación
paramétrica es:

23. Tarea 1. Dadas las siguientes hipérbolas y elipses dar, en cada
caso, las coordenadas del centro, de los vértices, los focos, la
excentricidad y la gráfica. (Comprobar con GeoGebra)
C) 𝑥 − 4 2
+ 𝑦 − 5 2
=
7
3
La ecuación anterior por sus características no tiene
correspondencia con la hipérbola o con la elipse, más bien, se
ajusta a la ecuación canónica de la circunferencia. En tal caso
graficamos esta sección cónica en Geogebra, e identificamos su
centro y radio.
Imagen propia. Valencia J. Ejercicio 1c. Recuperado de
https://www.geogebra.org/classic/tdn4ut7d. 2021
𝑥 − ℎ 2
+ 𝑦 − 5 2
= 𝑟2
−ℎ = −4 → −1 − ℎ = −1 − 4 → ℎ = 4
−𝑘 = −5 → −1 − 𝑘 = −1 − 5 → 𝑘 = 5
ℎ = 4𝑘 = 5
𝑐 = ℎ, 𝑘 𝑐 = (4,5)
Radio.
𝑟2
=
7
3
→ 𝑟2 = 7 ∕ 3 = 1,527 → 𝑟 = 1,427

24. LA RECTA
Una recta es una sucesión infinita de puntos, situados en una misma dirección.
Una recta tiene una sola dimensión: la longitud.
Las rectas se nombran mediante dos de sus puntos o por una letra minúscula.
Dos puntos determinan una recta.
Una recta indica una dirección y dos sentidos contrarios.

25. LA RECTA
La ecuación general de la recta
Esta expresión recibe el nombre de ecuación general o implícita de la recta.
Ecuación ordinaria
La ecuación ordinaria de la recta (o ecuación
explícita) se obtiene al despejar de la ecuación general
la variable y, siempre que B sea distinta de cero. Se
denomina también forma principal u ordinaria de la
ecuación de la recta.
Cuando x = 0, entonces y = b. Por eso a b se le
llama ordenada en el origen.
Como dos puntos determinan una recta, con ellos
podemos obtener su pendiente. El valor de
la pendiente también se puede obtener a partir de
la ecuación general:

26. LA RECTA
Ecuación punto-pendiente
La ecuación punto-pendiente de la recta se plantea si se
conoce la pendiente de la recta y uno de sus puntos:
Ecuación punto-punto
Sean dos puntos conocidos de la recta A(x1, y1 y B(x2, y2.
La ecuación punto-punto de la recta deriva de la ecuación
punto-pendiente y de la expresión conocida de m:
Ecuación en forma simétrica
Cuando se conocen los puntos de corte de la recta con los ejes
de coordenadas: corte en las abscisas (a, 0) y corte con el
eje Y (0, b), sabiendo que (b) es la ordenada en el origen),
podemos escribir:
Estos puntos de corte se obtienen de
la ecuación general así:

27. LA RECTA
Rectas Paralelas
Dos rectas no verticales en un plano son paralelas si tienen:
o la misma pendiente
o distintas intersecciones en y
Cualquier par de rectas verticales en un plano son paralelas.
Dos rectas no verticales son perpendiculares si la pendiente de
una es el recíproco negativo de la pendiente de la otra. Si la
pendiente de la primera ecuación es 4, entonces la pendiente de
la segunda ecuación será -1/4 porque las rectas son
perpendiculares.
Rectas Perpendiculares

28. Tarea 4. Realice los siguientes ejercicios de Geometría Analítica:
C) Determine la ecuación de la recta perpendicular a y = -5x - 5 y que pasa por el punto (0, -5)
Identificamos la pendiente de la recta dada.
𝑦 = −5𝑥 − 5
La recta dada está escrita como 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
Con 𝑚 = −5 𝑦 𝑏 = −5
Para hallar la pendiente de la recta perpendicular, encontramos el recíproco, −5, y luego
encontramos el opuesto del recíproco, 1/5.
La pendiente de la recta perpendicular es 1/5.
Escribimos la ecuación a partir de su pendiente y un punto en la recta sustituimos 1/5. Conociendo
un punto, (0,5), reemplazamos,
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
−5 =
1
5
0 + 𝑏

29. −5 = 0 + 𝑏
−5 = 𝑏
Se escribe la ecuación usando la nueva pendiente para m y la b
encontrada.
𝑦 = 1/5𝑥 − 5
Imagen propia. Valencia J. Ejercicio 3c. Recuperado de:
https://www.geogebra.org/classic/xfsqzywr

30. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Rondón, J. (2017). Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Bogotá D.C.: Universidad Nacional
Abierta y a Distancia. Páginas 237 – 265. Recuperado de https://repository.unad.edu.co/handle/10596/11583
Ortiz Ceredo, F. J. Ortiz Ceredo, F. J. y Ortiz Ceredo, F. J. (2018). Matemáticas 3 (2a. ed.). Grupo Editorial
Patria. https://elibro-net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/40539?page=51
Real, M. (2010). Secciones Cónicas. Recuperado de https://repository.unad.edu.co/handle/10596/7690