(Distancia. Punto Medio. Ecuaciones y trazado de circunferencias, Parábolas, elipses, hipérbola. Representar gráficamente las ecuaciones de las cónicas).

1. Plano numérico
Distancia, punto medio, ecuaciones y trazado de circunferencias, parábolas,
elipses, hipérbola, representación gráfica de ecuaciones de las cónicas.

2. Plano cartesiano o numérico
Recibe este nombre en honor al
matemático y filósofo René Descartes
(1596-1650). El plano cartesiano según el
filósofo es la representación gráfica
matemática donde dos líneas numeradas
se interceptan
En el plano cartesiano se pueden identificar varios elementos:
• Los ejes de coordenadas: son dos líneas numeradas que se cruzan
delimitando ángulos rectos entre sí.
• El origen: es el punto de intersección entre los dos ejes de
coordenadas.
• El eje de abscisas: es la línea horizontal de los ejes de coordenadas.
• El eje de ordenadas: es la línea vertical de los ejes de coordenadas.
Los cuadrantes del plano cartesiano: son las cuatros regiones en que
se divide el plano por causa de los ejes x y y. En el primer cuadrante, los
valores de x y y son positivos; en el segundo cuadrante, los valores de x
son negativos y los de y son positivos; en el tercer cuadrante, tanto x
como y son negativos; en el cuarto cuadrante, los valores de x son
positivos y los de y son negativos.

3. Distancia y punto medio
Distancia
 A partir de conocer la ubicación de dos puntos en
el plano cartesiano, es posible determinar la
distancia que hay entre éstos. Cuando algún
punto se encuentra en el eje de las x o en una
recta paralela a éste eje, la distancia entre los
puntos corresponde al valor absoluto de las
diferencia de sus abscisas. (x2 – x1 ).
 Ejemplo:
La distancia entre los puntos (–4, 0) y (5, 0).
Donde (-4) = x 1 ; 5 = x 2. Aplicando la fórmula es
5 – (–4) = 5 +4 = 9 unidades.
Punto medio
 En una dimensión: En una recta numérica , el
número a la mitad entre x1 y x2 es:
𝑥1+𝑥2
2
 En dos dimensiones: Suponga que se le dan dos
puntos en el plano ( x1 , y1 ) y ( x2 , y2 ), y se le
pide encontrar el punto a la mitad entre ellos. Las
coordenadas de este punto medio serán:
𝑥1+𝑥2
2
,
𝑦1+𝑦 2
2
 En tres dimensiones: En el espacio
tridimensional, el punto medio entre ( x1, y1, z1 )
y (x2, y2, z2) es:
𝑥1+𝑥2
2
,
𝑦1+𝑦 2
2
𝑧1+𝑧2+𝑧3
2

4. Ecuación y trazado de la circunferencia
Se denomina circunferencia al lugar geométrico de los puntos
del plano que equidistan de otro punto fijo denominado
centro.
En la figura se muestra una circunferencia. Observa
que cualquier punto P(x,y) de la circunferencia se
encuentra siempre situado a la misma distancia de
un punto C(a,b) denominado centro. Dicha distancia
se denomina radio r de la circunferencia.
La ecuación de una circunferencia centrada en el punto C (a,b)
y con radio r se puede escribir de la siguiente forma:
(𝒙 − 𝒂)𝟐 + (𝒚 − 𝒃)𝟐 = 𝒓

5. Parábola
En matemáticas, una parábola es el lugar
geométrico de los puntos del plano que
equidistan de un punto fijo (llamado foco) y de
una recta fija (denominada directriz). Por lo
tanto, cualquier punto de una parábola esta a la
misma distancia de su foco y de su directriz.
• Ecuación reducida de la parábola: En esta el vértice de
la parábola es el origen de coordenadas (0,0).
• Ecuación ordinaria de la parábola: Cuando el vértice de
la parábola es un punto cualquiera utilizamos la ecuación
ordinaria de la parábola, cuya expresión es:
Donde el centro o vértice de la parábola es el punto:
𝑉(𝑥0,𝑦0)
• Ecuación general de la parábola: Una parábola también
puede ser oblicua o inclinada; pues para expresar este
tipo de parábolas se usa la ecuación general de la
parábola, cuya fórmula es la siguiente:

6. Elipse
La elipse se define como una línea curva cerrada
tal que la suma de las distancias a dos puntos
fijos, F y F' , llamados focos, es constante.
se caracteriza porque la suma de las distancias
desde cualquiera de sus puntos P hasta otros
dos puntos denominados focos (F y F') es
siempre la misma.
• La ecuación de una elipse cuyo eje mayor es horizontal viene dada
por:
(𝑋−𝑥0 )2
𝑎2 +
(𝑦−𝑦0)2
𝑏2 = 1
Donde:
x0 , y0 : Coordenadas x e y del centro de la elipse
a : Semieje de abscisas
b : Semieje de ordenadas. En nuestro caso debe cumplirse que b ⩽ a.
• La ecuación de una elipse cuyo eje mayor es vertical viene dada
por:
(𝑋−𝑥0 )2
𝑏2 +
(𝑦−𝑦0)2
𝑎2 = 1
Donde:
x0 , y0 : Coordenadas x e y del centro de la elipse
a : Semieje de abscisas
b : Semieje de ordenadas. En nuestro caso debe cumplirse que b > a.

7. Hipérbola
Una hipérbola se define como el lugar geométrico
de los puntos del plano en el que la diferencia de
distancias a dos puntos fijos denominados focos, F y
F', es siempre constante.
Las líneas azules constituyen lo que se conoce como una
hipérbola. Observa sus focos F y F'. Estos puntos son muy
importantes ya que la diferencia de la distancia entre cada punto
P(x,y) y estos puntos es siempre constante.
• La ecuación de una hipérbola de eje focal horizontal viene dada
por:
(𝑥−𝑥0)2
𝑎2 −
(𝑦−𝑦0)2
𝑏2 = 1
Donde:
•x0 , y0 : Coordenadas x e y del centro de la hipérbola
•a : Semieje real
•b : Semieje imaginario
• La ecuación de una hipérbola de eje focal vertical viene dada por:
(𝑦−𝑦0)2
𝑎2 −
(𝑥−𝑥𝑥0)2
𝑏2 = 1
Donde:
•x0 , y0 : Coordenadas x e y del centro de la hipérbola
•a : Semieje real
•b : Semieje imaginario

8. ¿Qué es una cónica?
Una superficie cónica esta engendrada por el giro
de una recta g(generatriz), alrededor de otra recta
e(eje), con el cual se corta en un punto V(vértice).
g = la generatriz
e = el eje
V = el vértice
Elipse
Parábola
Circunferencia
Hipérbola

9. Referencias
bibliográficas
https://www.todamateria.com/plano-cartesiano/
https://heribertodiazblog.weebly.com/blog/distancia-entre-dos-puntos-en-el-plano-
cartesiano
https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/midpoint-
formula
https://www.fisicalab.com/apartado/ecuacion-circunferencia
https://www.geometriaanalitica.info/parabola-matematicas-definicion-ecuacion-
ejemplos-ejercicios-resueltos-elementos/
https://www.fisicalab.com/apartado/ecuacion-elipse
https://www.fisicalab.com/apartado/ecuacion-hiperbola-general
https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/analitica/conica/conicas.html