The document discusses various geometric concepts in the Cartesian coordinate plane, including:
- The Cartesian coordinate plane consists of perpendicular x and y axes intersecting at the origin point.
- Points in the plane are represented by ordered pairs (x, y).
- Distances between points can be calculated using the distances between their x and y coordinates.
- Circles, ellipses, hyperbolas, and parabolas can all be represented by equations involving x and y, with their key elements like foci, vertices, axes defined in terms of coordinates.
- Examples are given of finding the equations of circles, ellipses, hyperbolas, and parabolas given information about their geometric properties.
(Distancia. Punto Medio. Ecuaciones y trazado de circunferencias, Parábolas, elipses, hipérbola. Representar gráficamente las ecuaciones de las cónicas).
En esta unidad 1 se evidenciará la solución de la actividad del paso dos para profundizar y contextualizar el conocimiento con la finalidad de desarrollar las habilidades de pensamiento matemático funcional, haciendo uso del lenguaje algebraico. Aportando la comprensión de conceptos y procesos matemáticos; por medio de ejercicios matemáticos y diapositivas sobre cada una de las temáticas propuestas en cada ejercicio.
(Distancia. Punto Medio. Ecuaciones y trazado de circunferencias, Parábolas, elipses, hipérbola. Representar gráficamente las ecuaciones de las cónicas).
En esta unidad 1 se evidenciará la solución de la actividad del paso dos para profundizar y contextualizar el conocimiento con la finalidad de desarrollar las habilidades de pensamiento matemático funcional, haciendo uso del lenguaje algebraico. Aportando la comprensión de conceptos y procesos matemáticos; por medio de ejercicios matemáticos y diapositivas sobre cada una de las temáticas propuestas en cada ejercicio.
Synthetic Fiber Construction in lab .pptxPavel ( NSTU)
Synthetic fiber production is a fascinating and complex field that blends chemistry, engineering, and environmental science. By understanding these aspects, students can gain a comprehensive view of synthetic fiber production, its impact on society and the environment, and the potential for future innovations. Synthetic fibers play a crucial role in modern society, impacting various aspects of daily life, industry, and the environment. ynthetic fibers are integral to modern life, offering a range of benefits from cost-effectiveness and versatility to innovative applications and performance characteristics. While they pose environmental challenges, ongoing research and development aim to create more sustainable and eco-friendly alternatives. Understanding the importance of synthetic fibers helps in appreciating their role in the economy, industry, and daily life, while also emphasizing the need for sustainable practices and innovation.
Honest Reviews of Tim Han LMA Course Program.pptxtimhan337
Personal development courses are widely available today, with each one promising life-changing outcomes. Tim Han’s Life Mastery Achievers (LMA) Course has drawn a lot of interest. In addition to offering my frank assessment of Success Insider’s LMA Course, this piece examines the course’s effects via a variety of Tim Han LMA course reviews and Success Insider comments.
The Roman Empire A Historical Colossus.pdfkaushalkr1407
The Roman Empire, a vast and enduring power, stands as one of history's most remarkable civilizations, leaving an indelible imprint on the world. It emerged from the Roman Republic, transitioning into an imperial powerhouse under the leadership of Augustus Caesar in 27 BCE. This transformation marked the beginning of an era defined by unprecedented territorial expansion, architectural marvels, and profound cultural influence.
The empire's roots lie in the city of Rome, founded, according to legend, by Romulus in 753 BCE. Over centuries, Rome evolved from a small settlement to a formidable republic, characterized by a complex political system with elected officials and checks on power. However, internal strife, class conflicts, and military ambitions paved the way for the end of the Republic. Julius Caesar’s dictatorship and subsequent assassination in 44 BCE created a power vacuum, leading to a civil war. Octavian, later Augustus, emerged victorious, heralding the Roman Empire’s birth.
Under Augustus, the empire experienced the Pax Romana, a 200-year period of relative peace and stability. Augustus reformed the military, established efficient administrative systems, and initiated grand construction projects. The empire's borders expanded, encompassing territories from Britain to Egypt and from Spain to the Euphrates. Roman legions, renowned for their discipline and engineering prowess, secured and maintained these vast territories, building roads, fortifications, and cities that facilitated control and integration.
The Roman Empire’s society was hierarchical, with a rigid class system. At the top were the patricians, wealthy elites who held significant political power. Below them were the plebeians, free citizens with limited political influence, and the vast numbers of slaves who formed the backbone of the economy. The family unit was central, governed by the paterfamilias, the male head who held absolute authority.
Culturally, the Romans were eclectic, absorbing and adapting elements from the civilizations they encountered, particularly the Greeks. Roman art, literature, and philosophy reflected this synthesis, creating a rich cultural tapestry. Latin, the Roman language, became the lingua franca of the Western world, influencing numerous modern languages.
Roman architecture and engineering achievements were monumental. They perfected the arch, vault, and dome, constructing enduring structures like the Colosseum, Pantheon, and aqueducts. These engineering marvels not only showcased Roman ingenuity but also served practical purposes, from public entertainment to water supply.
Welcome to TechSoup New Member Orientation and Q&A (May 2024).pdfTechSoup
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The French Revolution, which began in 1789, was a period of radical social and political upheaval in France. It marked the decline of absolute monarchies, the rise of secular and democratic republics, and the eventual rise of Napoleon Bonaparte. This revolutionary period is crucial in understanding the transition from feudalism to modernity in Europe.
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June 3, 2024 Anti-Semitism Letter Sent to MIT President Kornbluth and MIT Cor...Levi Shapiro
Letter from the Congress of the United States regarding Anti-Semitism sent June 3rd to MIT President Sally Kornbluth, MIT Corp Chair, Mark Gorenberg
Dear Dr. Kornbluth and Mr. Gorenberg,
The US House of Representatives is deeply concerned by ongoing and pervasive acts of antisemitic
harassment and intimidation at the Massachusetts Institute of Technology (MIT). Failing to act decisively to ensure a safe learning environment for all students would be a grave dereliction of your responsibilities as President of MIT and Chair of the MIT Corporation.
This Congress will not stand idly by and allow an environment hostile to Jewish students to persist. The House believes that your institution is in violation of Title VI of the Civil Rights Act, and the inability or
unwillingness to rectify this violation through action requires accountability.
Postsecondary education is a unique opportunity for students to learn and have their ideas and beliefs challenged. However, universities receiving hundreds of millions of federal funds annually have denied
students that opportunity and have been hijacked to become venues for the promotion of terrorism, antisemitic harassment and intimidation, unlawful encampments, and in some cases, assaults and riots.
The House of Representatives will not countenance the use of federal funds to indoctrinate students into hateful, antisemitic, anti-American supporters of terrorism. Investigations into campus antisemitism by the Committee on Education and the Workforce and the Committee on Ways and Means have been expanded into a Congress-wide probe across all relevant jurisdictions to address this national crisis. The undersigned Committees will conduct oversight into the use of federal funds at MIT and its learning environment under authorities granted to each Committee.
• The Committee on Education and the Workforce has been investigating your institution since December 7, 2023. The Committee has broad jurisdiction over postsecondary education, including its compliance with Title VI of the Civil Rights Act, campus safety concerns over disruptions to the learning environment, and the awarding of federal student aid under the Higher Education Act.
• The Committee on Oversight and Accountability is investigating the sources of funding and other support flowing to groups espousing pro-Hamas propaganda and engaged in antisemitic harassment and intimidation of students. The Committee on Oversight and Accountability is the principal oversight committee of the US House of Representatives and has broad authority to investigate “any matter” at “any time” under House Rule X.
• The Committee on Ways and Means has been investigating several universities since November 15, 2023, when the Committee held a hearing entitled From Ivory Towers to Dark Corners: Investigating the Nexus Between Antisemitism, Tax-Exempt Universities, and Terror Financing. The Committee followed the hearing with letters to those institutions on January 10, 202
Read| The latest issue of The Challenger is here! We are thrilled to announce that our school paper has qualified for the NATIONAL SCHOOLS PRESS CONFERENCE (NSPC) 2024. Thank you for your unwavering support and trust. Dive into the stories that made us stand out!
Acetabularia Information For Class 9 .docxvaibhavrinwa19
Acetabularia acetabulum is a single-celled green alga that in its vegetative state is morphologically differentiated into a basal rhizoid and an axially elongated stalk, which bears whorls of branching hairs. The single diploid nucleus resides in the rhizoid.
CLASS 11 CBSE B.St Project AIDS TO TRADE - INSURANCE
Plano numerico o cartesiano
1. PLANO NUMÉRICO O
CARTESIANO
República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Universidad Politécnica Territorial de Lara Andrés Eloy Blanco
Barquisimeto, Estado – Lara
Profesor: Nelson Torcate
Sección: 0100
PNF: Turismo
Alumna: Gabriela Figueroa
2. PLANO NUMÉRICO
El plano cartesiano consiste en dos rectas perpendiculares
llamadas ejes que intersectan en un punto llamado origen.
La recta horizontal llamada: eje X o abscisas
La recta vertical llamada: eje Y u ordenadas
Los ejes dividen el plano en cuatro partes llamadas cuadrantes.
Los puntos en el plano cartesiano se llaman pares ordenados y
se representan por el símbolo P (x ; y )
Se divide en cuatro cuadrantes:
Cada punto en el plano cartesiano puede
representarse con un par ordenado de
números (x, y).
Para trazar un punto de un par ordenado, parte del origen,
el punto (0, 0), donde se cruza el eje de las x y el eje de las
y. La primera coordenada indica las unidades que hay
que desplazarse en x, a la izquierda o a la derecha; la
segunda indica cuántas unidades hay que subir o bajar.
3. DISTANCIA ENTRE PUNTOS
Para poder calcular la distancia entre dos puntos primeramente
debemos conocer las coordenadas de estos puntos. Tomaremos dos
puntos cualquieras para luego, a partir de estos generar un criterio
para cualquiera sea el par de puntos a los que posteriormente
calculemos la distancia.
Sean los puntos A=(x,y) y B=(w,z), dos puntos que pertenecen al
primer cuadrante del plano cartesiano. Calcular la distancia entre
ambos.
Para generar este calculo, deberemos ubicar los puntos en el plano
cartesiano de manera que al generar el segmento que subtienden los
puntos, este no sea paralelo a ningún eje coordenado. Una vez que
se ubican los puntos, se debe ubicar un tercer punto referencial al
que llamaremos C, que tendrá coordenadas C=(w,y) de manera de
este punto genere un triángulo rectángulo y siendo precisamente el
vértice del ángulo recto. Quedando precisamente un gráfico como el
que veremos a continuación.
PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
Calcularemos el punto medio del segmento AB. Para eso
utilizaremos el concepto de promedio, para calcular la distancia
intermedia entre dos longitudes debemos calcular el promedio de
estas. Si queremos saber cual es la distancia promedio entre 5 y 7,
sumamos las variables y dividimos por 2, el resultado claramente es
6. Entonces ahora para calcular una distancia media entre dos
puntos se deberá ocupar el mismo concepto. Se debe analizar por
separado cada eje coordenado y así se poder encontrar el punto
medio, según los puntos encontrados para cada eje coordenado.
4. LA CIRCUNFERENCIA
una circunferencia es el conjunto de puntos situados en el plano todos a la misma
distancia de un mismo punto central, al que llamaremos centro
ELEMENTOS BÁSICOS
Centro: punto central que está a la misma
distancia de todos los puntos pertenecientes a
la circunferencia.
Radio: pedazo de recta que une el centro
con cualquier punto perteneciente a la
circunferencia.
Cuerda: pedazo de recta que une dos
puntos cualquiera de una circunferencia.
Diámetro: mayor cuerda que une dos
puntos de una circunferencia. Hay infinitos
diámetros y todos pasan por el centro de la
circunferencia.
Recta secante: recta que corta dos puntos
cualesquiera de una circunferencia.
Recta tangente: recta que toca a la
circunferencia en un solo punto y es
perpendicular a un radio.
5. ELIPSE
La elipse es una curva cónica cerrada, plana y simétrica respecto a
sus ejes mayor y menor, perpendiculares entre sí. Es el resultado de
la sección de un cono por un plano oblicuo a su eje de simetría con
ángulo mayor que el que forma la generatriz del cono respecto al eje
de revolución.
Se define como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma
de distancias a dos fijos denominados focos es constante. AF1+AF2=
cte=2a.
Su excentricidad es siempre menor que la unidad.
La suma de distancias de un punto de la curva a los focos es
constante e igual a la magnitud del eje mayor o eje real y se
designa “2a”. Los focos están situados sobre este eje y a igual
distancia de su punto medio.
El eje menor o imaginario se designa “2b” y es normal
(perpendicular) al real, ambos se cortan en el centro de la elipse y en
sus respectivos puntos medios.
La distancia entre focos se denomina distancia focal (La distancia
focal se designa 2c).
Las rectas que unen un punto de la curva con los dos focos se
denominan radios vectores y se designan r y r’.
6. ELEMENTOS DE LA ELIPSE:
Focos: Son los puntos fijos F y F'.
Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.
Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF'.
Centro: Es el punto de intersección de los ejes.
Radios vectores: Son los segmentos que van desde un
punto de la elipse a los focos: PF y PF'.
Distancia focal: Es el segmento segmento de longitud 2c,
c es el valor de la semidistancia focal.
Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con
los ejes: A, A', B y B'.
Eje mayor: Es el segmento segmento de longitud 2a, a es
el valor del semieje mayor.
Eje menor: Es el segmento segmento de longitud 2b, b es
el valor del semieje menor.
Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje
mayor o al eje menor.
Centro de simetría: Coincide con el centro de la elipse,
que es el punto de intersección de los ejes de simetría.
7. EJEMPLOS
Hallar la ecuación de la
circunferencia r=1 C(4,2)
(𝑥 − ℎ)2
+(𝑦 − 𝑘)2
=
𝑟2
sustituimos
(𝑥 − 4)2
+(𝑦 − 2)2
= 12
Encontrar la ecuación de la elipse
cuyos focos sean
𝐹1(2,0) 𝐹2 −2,0 ; 2𝑎 = 10
Sol
(𝑥−ℎ)2
𝑎2 +
(𝑦−𝑘)2
𝑏2 = 1 note q los focos
están en el eje horizontal luego c=2 ;
a=5; b=?
𝑏2
= 𝑎2
− 𝑐2
𝑏2
= 25- 4
𝑏2
=21
b=√21
Luego la ecuacion de la elipse es:
(𝑥−0)2
52 +
(𝑦−0)2
21
= 1
𝑥2
25
+
𝑦2
21
=1
8. HIPÉRBOLA
Una hipérbola es una curva abierta de dos ramas, obtenida cortando un cono recto
mediante un plano no necesariamente paralelo al eje de simetría, y con ángulo menor
que el de la generatriz respecto del eje de revolución. En geometría analítica, una
hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano, tales que el valor absoluto de
la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia
entre los vértices, la cual es una constante positiva.
ELEMENTOS DE LA HIPÉRBOLA:
Focos: Son los puntos fijos F y F'.
Eje principal o real: Es la recta que pasa por los focos.
Eje secundario o imaginario: Es la mediatriz del
segmento FF'.
Centro: Es el punto de intersección de los ejes.
Vértices: Los puntos A y A' son los puntos de intersección
de la hipérbola con el eje focal.
Los puntos B y B' se obtienen como intersección del eje
imaginario con la circunferencia que tiene por centro uno
de los vértices y de radio c.
Radios vectores: Son los segmentos que van desde un
punto de la hipérbola a los focos: PF y PF'.
Distancia focal: Es el segmento de longitud 2c.
9. Eje mayor: Es el segmento de longitud 2a.
Eje menor: Es el segmento de longitud 2b.
Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario.
Asíntotas: Son las rectas de ecuaciones: y=-
𝑏
𝑎
𝑥, 𝑦 =
𝑏
𝑎
x
Relación entre los semiejes: 𝑐2=𝑎2+𝑏2
ECUACIONES CANÓNICAS EN COORDENADAS
CARTESIANAS
La hipérbola cuyo centro se halla en el origen de coordenadas O(0,0) es representable
mediante una de las siguientes ecuaciones denominadas de manera común como
ecuación canónica o forma normal de la ecuación de una hipérbola:
En dichas ecuaciones a, b y c, representan a los semiejes tranverso, conjugado y
focal, respectivamente. La ecuación (1) representa a las hipérbolas cuyo eje focal es
colineal al eje x y la (2) para aquellas que lo son respecto al eje y. En la primera
ecuación, los focos están en F(±c,0) y los vértices en V(±a,0). En la segunda, los focos
están en F(0,±c)y los vértices en V(±a,0). En cualquier caso, la relación entre los tres
semiejes viene dada por la igualdad:
10. Sin embargo, se debe advertir que, a diferencia del caso de la elipse, no necesariamente a>b.
Ecuaciones de una hipérbola con centro en el punto C(h,k) Como en el caso anterior,
la ecuación asume una de las siguientes formas:
La ecuación (4) corresponde a hipérbolas cuyo eje focal y mayor son paralelos al eje x, en las
cuales el vértice se halla en V(h±a,k)} y los focos en F(h±c,k). La ecuación (5) es la de las
hipérbolas cuyo eje focal y mayor son paralelos respecto al eje y en las cuales los vértices
están ubicados en V(h,k±a) y los focos en F(h,k ± c).
11. EJEMPLO
el eje de una hipérbola mide 20cm y la longitud del eje
imaginario es de 10cm. hallar la ecuación si su centro es
( 0, 0 ) = ( h , k )
Eje real 2a = 20cm a 10cm (coincide con eje x)
Eje imaginario 2b b= 5cm
La ecuación real es
(𝑥−ℎ)2
𝑎2 +
(𝑦−𝑘)2
𝑏2 =1 a>b
Luego sustituimos
(𝑥−0)2
102 +
(𝑦−0)2
52 =1
𝑥2
100
+
𝑦2
25
=1
Grafico
𝑏2
= 𝑐2
− 𝑎2
C= √𝑎2
+ 𝑏2
= √100+25
=√125
=
5
10
𝑥 = 0,5x
Distancia focal 2c = 2.5√5 = 10√5
2c = 10√5
12. PARÁBOLA
Una parábola queda definida por el conjunto de los puntos del plano que equidistan de una
recta fija y un punto fijo.
ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA
Foco: Es el punto fijo F.
Directriz: Es la recta fija D.
Parámetro: A la distancia entre el foco y la directriz de una parábola se le
llama parámetro p.
Eje: La recta perpendicular a la directriz y que pasa por el foco recibe el nombre
de eje. Es el eje de simetría de la parábola.
Vértice: Es el punto medio entre el foco y la directriz. También se puede ver
como el punto de intersección del eje con la parábola.
Radio vector: Es el segmento que une un punto cualquiera de la parábola con
el foco.