Plano numerico distancia Punto medio Ecuaciones de la recta Circunferencia Parabola Elipse Hiperbola

1. Universidad Politécnica Territorial de Lara Andrés Eloy
Blanco.
Barquisimeto –Edo Lara
Venezuela
Plano Numérico.

2. Introducción
La siguiente presentación fue realizada con la finalidad de
conocer términos fundamentales para la representación de
puntos y rectas en el plano numérico, del mismo modo
surge la necesidad de exponer las diversas conicas que
componen el espacio geométrico asi como estudiar sus
ecuaciones y elementos.

3. Distancia
La distancia entre dos puntos equivale a la longitud del segmento
de recta que los une.
La distancia entre dos puntos 𝑃1 𝑋1, 𝑦1, y 𝑃2 𝑋2, 𝑦2, esta dada por:

4. Punto Medio
Punto medio de un segmento es un punto que está sobre
el segmento y se ubica a la distancia igual de los puntos
extremos.
Si M(x,y) es el punto medio del segmento de recta de
𝑃1 𝑋1, 𝑦1, a 𝑃2 𝑋2, 𝑦2, entonces

5. Ecuaciones de la recta
• Forma de los dos puntos.
Si se conocen dos puntos sobre la recta se puede saber la ecuación de
dicha recta de la siguiente manera
• Forma de punto Pendiente
Si se conoce la pendiente (m) de la recta y un punto sobre la
recta P(X1,Y1) usaremos lo siguiente para hallar la ecuación
de la recta.

6. • Forma simétrica
Si se conocen dos puntos en la recta procedemos a calcular la forma simétrica de la ecuación
la cual se igualara a 1 ya que es el factor de simetría que nunca cambiara, donde a y b
deberán ser distintos de cero.
• Forma Pendiente Intersección.
La forma pendiente-intersección de una ecuación lineal se escribe como y = mx + b, donde m será
la pendiente y b es el valor de y en la intersección en y, la cual se escribirá como (0, b).

7. • Forma General de la recta.
La forma general de una recta estará dada por Ax+By+C=0
Apartir de esto podemos despejar el valor de la variable “Y”
para así obtener la ecuación de forma pendiente
intersección
Por ejemplo: la ecuación dada será -
2x+3y-4=0 donde A=-2, B=3 y C=-4
Al despejar Y obtenemos Y=2/3x+4/3
La cual será de la forma y=mx+b
m=2/3 y b=4/3

8. Circunferencia.
Es una curva plana y cerrada donde todos sus puntos
están a igual distancia del centro.
La forma canónica o estándar
tendrá las siguientes constantes
Radio: r
Abscisa del centro: h
Ordenada del centro: K
Ecuacion = 𝑋2
+ 𝑌2
= 𝑟2
(x-h)²+(y-k)²=r²
Coordenadas del centro= C(0,0), el origen C(h,K)
Forma General=

9. Parábola.
La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano
que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una
recta fija llamada directriz.
Elementos de la parábola:
1. Foco: Es el punto fijo F.
2. Directriz: Es la recta fija d.
3. Parámetro: Es la distancia del foco a la directriz, se designa por la letra p.
4. Eje: Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.
5. Vértice: Es el punto de intersección de la parábola con su eje.
6. Radio vector: Es un segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el foco.

10. Formas conicas de la parábola
Eje paralelo al eje x
Eje paralelo al eje Y
Forma General
Ax²+Dx+Ey+F=0 eje paralelo al eje Y
Cy²+Dx+Ey+F=0 eje paralelo al eje X
Ecuaciones: x²=4py (x-h)²=4p(y-k)
y²=4px (y-h)²=4p(x-h)

11. Elipse
Se denomina elipse al conjunto de puntos del plano tales
que la suma de sus distancias a ambos focos es constante.
Eje principal horizontal
Ecuacion=
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 = 1
(𝑥−ℎ)2
𝑎²
+
𝑦−𝑘 2
𝑏2 =1

12. Eje principal Vertical
Ecuacion=
𝑥2
𝑏2 +
𝑦2
𝑎2 = 1
(𝑥−ℎ)2
𝑏²
+
𝑦−𝑘 2
𝑎2 =1
Forma General: Ax²+Cy²+Dx+Ey+F=0 AC>0

13. Hipérbola.
Se denomina hipérbola al conjunto de puntos del plano tales que el valor
absoluto de la diferencia de sus distancias a los focos es constante.
Elementos de la hipérbola
• Focos (F y F'): Puntos fijos en los que la diferencia de distancia
entre ellos
• Eje focal, principal o real: Recta que pasa por los focos.
• Eje secundario o imaginario:Mediatriz del segmento que une
los dos focos.
• Centro (O): Punto de intersección de los ejes focal y
secundario.
• Semidistancia focal (c): La mitad de la distancia entre los dos
focos F y F'. Su valor es c.
• Distancia focal (2c): Distancia del segmento que une los dos
focos F y F'. Su longitud es 2c.
• Los vértices (A y A'): Puntos de la hipérbola que cortan al eje
focal.
• Semieje real (a): Segmento que va desde el origen O hasta
cualquiera de los vértices.

14. Eje principal Horizontal
Ecuacion=
𝑥2
𝑎2 −
𝑦2
𝑏2 = 1
(𝑥−ℎ)2
𝑎²
−
𝑦−𝑘 2
𝑏2 =1
Formas cónicas de la hipérbola.

15. Eje Principal Vertical.
Ecuacion=
𝑦2
𝑎2 −
𝑥2
𝑏2 = 1
(𝑦−𝑘)2
𝑎²
−
𝑥−ℎ 2
𝑏2 =1

16. Conclusión.
En esta presentación se pudo conocer conceptos esenciales para la
representación de recta y puntos en el plano cartesiad, asi mismo se
analizaron las diferentes cónicas conocidas y su ecuación para ser
plasmada en el plano numero.
Al termino de la presentación se deben tener presentes los términos y
conocimientos acerca de la circunferencia, parábola, elipse e hipérbola
de igual manera sus elementos y ecuaciones que rigen estos lugares
Geométricos.

17. Bibliografía.
• Distancia, Punto medio, ecuacion de la recta:
*https://www.cecyt3.ipn.mx/ibiblioteca/mundodelasmatematicas/Distanci
aEntreDosPuntos.html
*Libro Cálculo Diferencial - Jorge Sáenz (2da Edición).
• Cónicas( elipse, circunferência, parábola, hiperbola):
*https://www.fisicalab.com/apartado/ecuacion-hiperbola-
general#:~:text=Elementos%20de%20la%20hip%C3%A9rbola&text=Pun
tos%20fijos%20en%20los%20que,Eje%20secundario%20o%20imaginario
.
*Libro El calculo Louis Leithold (7ma Edicion).