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ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y
GEOMETRÍA ANALITICA
Profundizar y contextualizar el conocimiento de la Unidad 3.
Paso 4
Marleny Parra Romero
Nidia Mayerly Carvajal Rocha
Samuel David Rojas Baquero
Grupo: 29
Universidad Nacional Abierta y a Distancia (UNAD)
07 Mayo de 2021
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y
GEOMETRÍA ANALITICA
Cónicas
Hipérbola y elipse
¿Qué es una hipérbola?
La Hipérbola es un conjunto de puntos en el plano (x, y) cuya diferencia a dos puntos
fijos llamados focos es constante.
¿Cuáles son sus parámetros?
Centro: C (h, k). Equidistante a los vértices
Vértices V y V’ Donde las curvas se dividen en dos partes iguales.
Focos: F y F’: Los puntos fijos.
Eje Transverso: Una recta que para por los vértices y por los focos.
Eje Conjugado: En una recta perpendicular al eje transverso y para por el centro.
Asíntotas: Dos rectas que paran por el centro delimitan las curvas de la hipérbola.
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y
GEOMETRÍA ANALITICA
• Grafica parámetros de la hipérbola
CÓNICA EN FORMA CANÓNICA
La ecuación canónica o segmentaria de la recta, es la expresión algebraica
de la recta que se determina conociendo a los valores dónde la recta corta
a cada uno de los ejes coordenados.
El valor donde la recta corta al eje X le llamaremos a, y el valor donde la
recta corta al eje Y le llamaremos b, generando los dos puntos en el plano
cartesiano (a, 0) y (0, b) respectivamente.
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y
GEOMETRÍA ANALITICA
Ecuación canónica
• a es la abscisa en el origen de la recta.
• b es la ordenada en el origen de la recta.
• El independiente de la general NO debe ser cero, significa que la forma
canónica de la recta NO describe a las rectas que pasan por el origen, ya
que ahí a=b=0
• Si A o B de la ecuación general son cero, significa que la recta es horizontal
o vertical respectivamente, lo que lleva a que a o b de la ecuación canónica
no existen, entonces tampoco hay forma de la ecuación canónica para este
caso.
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y
GEOMETRÍA ANALITICA
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y
GEOMETRÍA ANALITICA
Ecuación canónica: (con eje mayor x) y
( eje mayor en y)
Una Hipérbola con centro en (h, k) y eje transverso paralelo al eje x, tiene como
ecuación:
Una Hipérbola con centro en (h, k) y eje transverso paralelo al eje y, tiene como
ecuación:
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y
GEOMETRÍA ANALITICA
Formulario de la hipérbola
para resolver ejercicios
Ejemplo, resolución de ejercicios Hiperbólicos
hipérbola con centro en el Origen
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y
GEOMETRÍA ANALITICA
Hipérbola con centro fuera del Origen
Determine los parámetros de una hipérbola que tiene como ecuación:
Solución:
De la ecuación: 𝑎2
= 9 ⟹⟹ 𝑎 = 3 y 𝑏2
= 4 ⟹⟹ 𝑏 = 2
Como el valor mayor esta sobre la variable x, el eje transverso esta sobre x.
Par obtener “c”, podemos hacer uso de la siguiente condición:
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y
GEOMETRÍA ANALITICA
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y
GEOMETRÍA ANALITICA
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GEOMETRÍA ANALITICA
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ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y
GEOMETRÍA ANALITICA
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y
GEOMETRÍA ANALITICA
Elipse
¿Qué es una Elipse?
La elipse es un conjunto de puntos (x, y) en el plano cartesiano, tal que la suma de sus
distancias a dos puntos fijos llamados focos, es constante.
¿Cuáles son sus parámetros?
Centro: C (h, k)
Vértices mayores: V y V’
Vértices menores: u y u’
Focos: f y f’
Eje mayor: 2a (Distancia V V ‘)
Eje menor: 2b (Distancia u u ‘)
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y
GEOMETRÍA ANALITICA
Ecuación canónica: (con eje mayor x) y
( eje mayor en y)
Al igual que en la circunferencia, en la elipse la situación es similar. El centro es (h, k)
que se obtiene cuando el centro que estaba en el origen se desplazo h unidades en x y k
unidades en y, conlleva a ecuaciones canónicas ajustadas, las cuales son más generales.
La ecuación canónica de una elipse con centro en (h, k) y eje mayor paralelo al
eje x es:
De la misma manera, la ecuación canónica de una elipse con centro en (h, k) y eje
mayor paralelo al eje y es:
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y
GEOMETRÍA ANALITICA
Ejemplo, resolución de ejercicios Elipse
• Dada la elipse de ecuación:
𝑥−6 2
36
+
𝑦−4 2
16
= 1 , hallar su centro, semiejes, vértices y
focos.
Solución
Dado que tenemos la ecuación en su forma canónica, tenemos que el centro es
𝐶 = 6; 4
Para hallar los semiejes, tenemos que: 𝑎2
= 36 ⇒⇒ 𝑎 = 6 y 𝑏2
= 16 ⇒⇒ 𝑏 = 4
Como el mayor valor esta sobre x entonces este sería el semieje mayor y (y) el
semieje menor
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y
GEOMETRÍA ANALITICA
Ahora, notemos que dado que a representa el semieje mayor, y este divide a la
expresión 𝑥 − 6 2
entonces el eje mayor de la elipse es paralelo al eje de las
abscisas, esto indica que los vértices están a unidades a la derecha y a unidades a la
izquierda del centro, así, los vértices son: 𝑉1 = 0; 4 y 𝑉2 = 12; 4 .
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y
GEOMETRÍA ANALITICA
Por último, encontremos los focos. Tenemos que la mitad de la distancia focal (la
distancia del centro de la elipse a cualquier de sus focos) se denota por y cumple
que , dicho esto, tenemos que
.
Así, tenemos que y los focos son y .
.
Bosquejo de la gráfica
Ejemplo, resolución de ejercicios Elipse
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y
GEOMETRÍA ANALITICA
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y
GEOMETRÍA ANALITICA
Resolución de Problemas – Geometría Analítica
“La geometría analítica es una fuerte herramienta matemática para resolver
problemas de las diversas áreas del conocimiento”. (Rondón, J. 2017)
Lineamientos a seguir:
1. Leer detenidamente el problema propuesto, para así comprender que
nos está solicitando hallar.
2. Establecer que figura se adapta al problema a partir de los datos
encontrados en el problema y los que se deben hallar.
3. Conforme a los datos obtenidos, identificar y aplicar la ecuación que se
ajuste para dar solución problema.
4. Hallar la solución a las preguntas planteadas en el problema.
A continuación un ejemplo de lo mencionado anteriormente:
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y
GEOMETRÍA ANALITICA
1. Leer detenidamente el problema: Nos dice que el planeta Mercurio se
mueve en forma elíptica alrededor del sol con una excentricidad y su eje
mayor. Así que debemos hallar la distancia máxima entre estos.
2. Establecer la figura que se adapta al problema: En el problema nos dice
que es una forma elíptica.
3. Identificar y aplicar la ecuación que se ajuste para dar solución problema:
Conforme a los datos de la excentricidad=0,206 y el eje mayor es de 0,774
Unidades Astronómicas. Siendo así, tenemos que:
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y
GEOMETRÍA ANALITICA
4. Hallar la solución a las preguntas planteadas en el problema.
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y
GEOMETRÍA ANALITICA
Referencias Bibliográficas
Rondón, J. (2017). Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Bogotá D.C.: Universidad
Nacional Abierta y a Distancia. Páginas 237 – 265. Recuperado
de https://repository.unad.edu.co/handle/10596/11583
Ortiz Ceredo, F. J. Ortiz Ceredo, F. J. y Ortiz Ceredo, F. J. (2018). Matemáticas 3 (2a. ed.).
Grupo Editorial Patria. https://elibro-
net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/40539?page=51
Real, M. (2010). Secciones Cónicas. Recuperado
de https://repository.unad.edu.co/handle/10596/7690
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y
GEOMETRÍA ANALITICA
GRACIAS POR SU
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  • 1. ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALITICA Profundizar y contextualizar el conocimiento de la Unidad 3. Paso 4 Marleny Parra Romero Nidia Mayerly Carvajal Rocha Samuel David Rojas Baquero Grupo: 29 Universidad Nacional Abierta y a Distancia (UNAD) 07 Mayo de 2021
  • 2. ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALITICA Cónicas Hipérbola y elipse ¿Qué es una hipérbola? La Hipérbola es un conjunto de puntos en el plano (x, y) cuya diferencia a dos puntos fijos llamados focos es constante. ¿Cuáles son sus parámetros? Centro: C (h, k). Equidistante a los vértices Vértices V y V’ Donde las curvas se dividen en dos partes iguales. Focos: F y F’: Los puntos fijos. Eje Transverso: Una recta que para por los vértices y por los focos. Eje Conjugado: En una recta perpendicular al eje transverso y para por el centro. Asíntotas: Dos rectas que paran por el centro delimitan las curvas de la hipérbola.
  • 3. ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALITICA • Grafica parámetros de la hipérbola
  • 4. CÓNICA EN FORMA CANÓNICA La ecuación canónica o segmentaria de la recta, es la expresión algebraica de la recta que se determina conociendo a los valores dónde la recta corta a cada uno de los ejes coordenados. El valor donde la recta corta al eje X le llamaremos a, y el valor donde la recta corta al eje Y le llamaremos b, generando los dos puntos en el plano cartesiano (a, 0) y (0, b) respectivamente. ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALITICA
  • 5. Ecuación canónica • a es la abscisa en el origen de la recta. • b es la ordenada en el origen de la recta. • El independiente de la general NO debe ser cero, significa que la forma canónica de la recta NO describe a las rectas que pasan por el origen, ya que ahí a=b=0 • Si A o B de la ecuación general son cero, significa que la recta es horizontal o vertical respectivamente, lo que lleva a que a o b de la ecuación canónica no existen, entonces tampoco hay forma de la ecuación canónica para este caso. ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALITICA
  • 6. ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALITICA Ecuación canónica: (con eje mayor x) y ( eje mayor en y) Una Hipérbola con centro en (h, k) y eje transverso paralelo al eje x, tiene como ecuación: Una Hipérbola con centro en (h, k) y eje transverso paralelo al eje y, tiene como ecuación:
  • 7. ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALITICA Formulario de la hipérbola para resolver ejercicios
  • 8. Ejemplo, resolución de ejercicios Hiperbólicos hipérbola con centro en el Origen ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALITICA
  • 9. Hipérbola con centro fuera del Origen Determine los parámetros de una hipérbola que tiene como ecuación: Solución: De la ecuación: 𝑎2 = 9 ⟹⟹ 𝑎 = 3 y 𝑏2 = 4 ⟹⟹ 𝑏 = 2 Como el valor mayor esta sobre la variable x, el eje transverso esta sobre x. Par obtener “c”, podemos hacer uso de la siguiente condición: ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALITICA
  • 15. Elipse ¿Qué es una Elipse? La elipse es un conjunto de puntos (x, y) en el plano cartesiano, tal que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos, es constante. ¿Cuáles son sus parámetros? Centro: C (h, k) Vértices mayores: V y V’ Vértices menores: u y u’ Focos: f y f’ Eje mayor: 2a (Distancia V V ‘) Eje menor: 2b (Distancia u u ‘) ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALITICA
  • 16. Ecuación canónica: (con eje mayor x) y ( eje mayor en y) Al igual que en la circunferencia, en la elipse la situación es similar. El centro es (h, k) que se obtiene cuando el centro que estaba en el origen se desplazo h unidades en x y k unidades en y, conlleva a ecuaciones canónicas ajustadas, las cuales son más generales. La ecuación canónica de una elipse con centro en (h, k) y eje mayor paralelo al eje x es: De la misma manera, la ecuación canónica de una elipse con centro en (h, k) y eje mayor paralelo al eje y es: ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALITICA
  • 17. Ejemplo, resolución de ejercicios Elipse • Dada la elipse de ecuación: 𝑥−6 2 36 + 𝑦−4 2 16 = 1 , hallar su centro, semiejes, vértices y focos. Solución Dado que tenemos la ecuación en su forma canónica, tenemos que el centro es 𝐶 = 6; 4 Para hallar los semiejes, tenemos que: 𝑎2 = 36 ⇒⇒ 𝑎 = 6 y 𝑏2 = 16 ⇒⇒ 𝑏 = 4 Como el mayor valor esta sobre x entonces este sería el semieje mayor y (y) el semieje menor ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALITICA Ahora, notemos que dado que a representa el semieje mayor, y este divide a la expresión 𝑥 − 6 2 entonces el eje mayor de la elipse es paralelo al eje de las abscisas, esto indica que los vértices están a unidades a la derecha y a unidades a la izquierda del centro, así, los vértices son: 𝑉1 = 0; 4 y 𝑉2 = 12; 4 .
  • 18. ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALITICA Por último, encontremos los focos. Tenemos que la mitad de la distancia focal (la distancia del centro de la elipse a cualquier de sus focos) se denota por y cumple que , dicho esto, tenemos que . Así, tenemos que y los focos son y . . Bosquejo de la gráfica
  • 19. Ejemplo, resolución de ejercicios Elipse ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALITICA
  • 21. Resolución de Problemas – Geometría Analítica “La geometría analítica es una fuerte herramienta matemática para resolver problemas de las diversas áreas del conocimiento”. (Rondón, J. 2017) Lineamientos a seguir: 1. Leer detenidamente el problema propuesto, para así comprender que nos está solicitando hallar. 2. Establecer que figura se adapta al problema a partir de los datos encontrados en el problema y los que se deben hallar. 3. Conforme a los datos obtenidos, identificar y aplicar la ecuación que se ajuste para dar solución problema. 4. Hallar la solución a las preguntas planteadas en el problema. A continuación un ejemplo de lo mencionado anteriormente: ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALITICA
  • 22. 1. Leer detenidamente el problema: Nos dice que el planeta Mercurio se mueve en forma elíptica alrededor del sol con una excentricidad y su eje mayor. Así que debemos hallar la distancia máxima entre estos. 2. Establecer la figura que se adapta al problema: En el problema nos dice que es una forma elíptica. 3. Identificar y aplicar la ecuación que se ajuste para dar solución problema: Conforme a los datos de la excentricidad=0,206 y el eje mayor es de 0,774 Unidades Astronómicas. Siendo así, tenemos que: ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALITICA
  • 23. 4. Hallar la solución a las preguntas planteadas en el problema. ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALITICA
  • 24. Referencias Bibliográficas Rondón, J. (2017). Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Bogotá D.C.: Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Páginas 237 – 265. Recuperado de https://repository.unad.edu.co/handle/10596/11583 Ortiz Ceredo, F. J. Ortiz Ceredo, F. J. y Ortiz Ceredo, F. J. (2018). Matemáticas 3 (2a. ed.). Grupo Editorial Patria. https://elibro- net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/40539?page=51 Real, M. (2010). Secciones Cónicas. Recuperado de https://repository.unad.edu.co/handle/10596/7690 ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALITICA
  • 25. GRACIAS POR SU ATENCIÓN ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALITICA