中華民國 高中物理教材 Part 2 ：位能與力學能守恆 無習題版本

1. 8-17功與動能 Work and Energy
8.4 位能 Potential Energy
學習目標
閱讀完這節，你應該能夠…
1. 區分保守力與非保守力。
2. 理解系統受保守力作功，其值與系統移動路徑無關
3. 計算並應用地球表面附近物體的重力位能和彈簧
系統的彈性位能
❑ 位能(Potential Energy)
1.意義：在交互作用力場中，系統因 相對位置的改變 或 形狀
的變化 而儲存的能量
2.性質
◼ 位能屬於相互作用系統共有，並非屬於其中之一，若任何一
個消失，則位能亦消失。
◼ 位能為 純量 ，但因零位能位置的選擇，而有正負之分。
◼ 位能與 質心運動的狀態 無關。
3.種類
◼ 抵抗重力將物體抬到高處，物體具有的能量，稱為 重力位
能
◼ 被拉長或壓縮的彈簧，其內部累積的能量稱為 彈簧位能
◼ 電荷在靜電場中的能量，稱為 電位能 (高三課程)
◼ 化學燃料、食物的化學能(分子間的位能)
❑ 保守力(Conservative Force)
1.常見的保守力： 重力 、 彈簧彈力 、 庫侖靜電力 、
天然磁力 1
2.定義：(一般物理叢書有兩種定義)
◼ 施力在質點上，使質點在兩點之間運動。所作的功，只與兩
點位置有關，與質點經過的路徑無關，此力稱為保守力。
◼ 力沿任意完整封閉路徑所作的功為 0，此力稱為保守力。
說明：
重力作功
1
高三下冊會學到因電流(電荷移動)而產生的磁力(稱為洛仁茲 力,音譯)，並不
符合保守力的定義。
圖 8-9 保守力做功，與路徑
無關。

2. 8-18 位能 Potential Energy
彈力作功
保守力作功與位能： W U= −
❑ 非保守力(NonConservative Force)
1.常見的非保守力： 摩擦力 、 空氣阻力
2.定義：一力對於在兩點運動直點所作的功，與質點經過的路徑
有關，此力稱為非保守力
說明：
S
vi
S
vf
S
vi
S
vf
F
x
m
m
x=0
x

3. 8-19功與動能 Work and Energy
❑ 地表附近的重力位能(Gravitational Potential Energy)
1. 重力位能(Ug)：物體在重力場中的任意位置而擁有的能量。(簡
易型態)
2. 公式： Ug
= mgh ，以地面為 零位能面
說明：
使物體上升，此時重力對物體作 負功 ，物體以 位能 儲
存能量
3. 結論：
◼ 物體運動的趨勢是 減少其位能 ，當位能不再有變化的時
後，物體就達到平衡狀態
◼ 兩點的位能差只與 高度差 有關，與位移或路徑無關。
❑ 彈性位能(Elastic Potential Energy)
1.彈性位能(Us)：型變量的函數
◼ 當彈簧的伸縮量為 x 時，其彈簧恢復力對物體所做的功即
為彈簧的彈性位能
US
=
1
2
kx2
k：彈力常數
說明：彈簧拉長時，恢復力對系統作負功，
2.性質
◼ 不論伸長或壓縮，彈性位能恆為 正值 。伸長或壓縮量越
大，彈力位能越大
◼ 彈簧處於原長時之彈力位能必為 零 ，但當處於平衡點的
狀態，彈力位能不一定為零。
說明：
圖 8-10
地表附近的重力位能
圖 8-11 彈性位能 關係圖
Us
x
原長
受力平衡點

4. 8-20 位能 Potential Energy
例題11：【基礎題】重力位能
如圖所示：有一質量為 2 公克之球，繫於一長為 10 公分之繩索
一端，繩之另一端則掛於天花板上，某人將此球拉高至與天花板
成 30角時鬆手。試問此球向下擺至最低點時，重力位能減少多
少？（設 g=10m/s2
）
答：210-2
J
類題：一砲彈質量 100kg 以 500m/s 的初速，45° 的仰角自地面發
射。在最高點時，砲彈的位能為多少？(g＝10m/s2
)答：6.25106
J
例題12：【基礎題】彈力位能
一輕彈簧的自然長度為 30 cm。今將此彈簧沿鉛直方向懸掛，上
端固定，下端繫一質量 1 kg 的重物。當彈簧達成平衡時，彈簧的
長度變為 40 cm，試求彈簧的力常數和所儲存的彈性位能。( g =
9.8 m/s2
)
答：98 N/m ， 0.49 J
類題：一垂直懸掛的彈簧，當在底端掛 10 kg 的物體時，其長度
為 1 m，若把物體換成 20kg，則彈簧長度變為 1.25 m，則彈之彈
力常數_____，彈簧增加之位能為_____焦耳。答：392 N/m, 36.75
類題：某輕質彈簧被拉長 x0 時，彈力位能為 U；今將此彈簧壓
縮
x0
2
時，彈力位能為多少？
範例 演練
30
10 ㎝

5. 8-21功與動能 Work and Energy
8.5 力學能守恆定律
學習目標
閱讀完這節，你應該能夠…
1. 理解動能與位能合稱力學能
2. 解釋力學能守恆定律
3. 應用力學能定律處理相關力學問題
❑ 力學能守恆 Conservation Law of Mechanical Energy
1.力學能(Mechanical Energy)：只探討動力學的情況，能量僅有兩
種形式 位能 、 動能
2.定義：沒有摩擦力、阻力或其他外力不做功，僅保守力作功，
則系統的動能與位能可以互換，而總值不變
說明：
系統受諸多外力作用，因此產生位移。
合力做功=保守力做功+非保守力做功
ext nc cW K W W K=   + = 
保守力對物體做功=物體位能變化的負值
cW U= −
➔ nc ncW U K W U K −  =   =  + 
因此物體的外力為保守力時候，則
0 0ncW U K=  +  = ➔ 0 0ncW U K=  +  =
f i f iU U U K K K = −  = − ➔
( ) ( ) 0f i f iU U K K− + − =
U K + =
❑ 力學能守恆的應用範例（均假設無空氣阻力及無非保守力做
功）
圖 8-12 中世紀的投石車。

6. 8-22 力學能守恆定律
1.均勻重力場下物體的運動
◼ 拋體運動：物體以初速度 v0，仰角 θ 拋出，可達到最大高度
H
◼ 鉛直圓週運動
1.單擺質量 m，擺長 L，自擺角 θ 釋放(詳見範例)
2.雲霄飛車的鉛直圓週軌道(詳見範例)
例題13：【基礎題】力學能守恆定律在拋體運動的應用
將一物自地面以初速 v，53° 仰角斜向拋出，則當物體之速度與
水平方向成 37° 角時，物體距地面之高度為何？(不計阻力)
提示：拋體運動-水平方向維持等速度運動
解：
答：7v2
/32g
類題：自地面以 vo 的速度斜向拋出一物體，當達到最高點時，速
度為 v，則物體上升至最大高度一半時，重力加速度為 g，速度
大小為若干？ 答：
v0
2
+ v2
2
例題14：力學能守恆在單擺運動的應用【日大】
範例 演練
R
Hv0
θ

7. 8-23功與動能 Work and Energy
一質量為 m 之質點附在一質量可略去之長桿一端。該長桿能以其
另一端為軸在一垂直面上無摩擦地自由旋轉。若長桿最初靜止於
與鉛垂線成 60角之位置（如圖），則放下後質點落到最低點時
長桿之張力為：
答：4mg
※類題：在牆上 O 點懸掛一單擺，擺長 L，今在 O 點下方
2L
3
處
釘一釘，將擺球引至一側使擺線與鉛直線成 60 度角，開始放
開。當擺球擺至另外一側，所餘
1
3
L的懸線與鉛直線成 60 度角時
其速率為多少？答：
2
3
gL
例題15：鉛直圓週運動與力學能守恆
不計摩擦力，質量 m 物體自 A 發射經由半徑 r 圓形內側上滑，若
通過最高點恰巧落回 A 點，重力加速度為 g。
(1)物體自 D 至 A 點共歷時若干？
(2)物體行至 D 點時的速率？
(3)物體自 A 點射出之速率？
(4)物體在 D 點時之正向力？
解：
A B
C
D
r
3r
A
B
C
P

60
60
O
m
60

8. 8-24 力學能守恆定律
答：(1)2
r
g
(2)
3
2
gr (3)
5
2
gr (4)
5
4
mg
※類題：質量為 m 之質點沿一軌道滑下並進入軌道的圓形部
分，如右圖所示，設圓形軌道部分半徑為 R，所有摩擦力均可
忽略不計，質點的起始高度為 5R/2，則在質點到達 A 點之瞬
間，軌道對質點的作用力為何？答：
3
2
mg
例題16：動量守恆與力學能守恆
如右圖所示，在水平地面上有一滑車，質量為 M，滑車上有一弧
形軌道，高度為 H，軌道底端成水平。有一質量為 m 的物體，從
軌道頂端沿著軌道自由下滑。設摩擦力均不計，則當物體 m 滑離
軌道底端之瞬間，滑車的速率最值為_____。
解：
答： m
2gH
M(M + m)
R
A
30

R
2
5
H
M
m

9. 8-25功與動能 Work and Energy
2. 物體受彈力作用的運動
將力常數 k 之彈簧水平放置，一端繫在牆上一端繫一質量 m
物體，施力拉長 R 後放手使物體在無摩擦的平面來回滑動
說明：僅保受力(彈力)做功，系統力學能守恆。
各位置上的能量
左端點 平衡點 右端點 任意位置
位移
彈力
量值
動能
彈性
位能
力學
能
例題17：【基礎題】力學能守恆在水平彈簧運動的應用
彈力常數 K，接觸面光滑，連接質量 m 的物體。使物體 m 作振幅
R 的 S.H.M.，當位能與動能之比為 1:2 時 (1) m 的加速度為？ (2)m
的速率為? (3)所受合力為?。
解：
答：
KR
3m
、
2K
3m
R、
1
3
KR
類題：力常數為 k 之彈簧置於一水平光滑平面上，一端固定，另
一端連結一質量 m 的木塊作簡諧運動。當(1)木塊離平衡點的位
移為最大位移 R 的
2
3
時，其動能為最大動能的__(1)__倍。(2)木
塊在平衡時之速率 v0＝__(2)__。答案：(1)
5
9
；(2)
k
m
R
−R Rxo
範例 演練

10. 8-26 力學能守恆定律
例題18：力學能守恆與動量守恆
如圖所示，一彈簧槍內有一質量 m 的活塞固定於力常數 k 的輕
彈簧之頂端，子彈質量 M 將彈簧壓縮 d，當子彈裝妥時用板機將
它扣住，若不計摩擦力，則
(1)子彈射出時的速率﹖
(2)從扣板機到子彈離開活塞歷時多久﹖
(3)彈簧將多少位能交給彈丸﹖
(4)子彈射出後活塞做 S.H.M 的振幅為何
(5)活塞做 S.H.M 最大加速度為何?
類題：如圖，彈簧常數 k，A、B 兩物質量皆為 m，A 繫在彈簧上
而 B 緊靠 A，今施力將彈簧壓短 xo 後釋放，求：(1)彈簧恢復至
原長時，A、B 的速率各為何？ (2)彈簧的最大形變為若干？ 這
時 A、B 的速率各為何？(3) B 物和 A 物的接觸時間為若干？ (4)
彈簧將多少位能交給 B？ (5) B 射出後 A 作 S.H.M 的振幅為何？
答：(1)皆為 xo
k
2m
(2)
2xo
2
，0，xo
k
2m
(3)
p
2
2m
k
(4)
1
4
kxo
2
(5)
2xo
2
BA
x0

11. 8-27功與動能 Work and Energy
❑力學能守恒定律的缺陷
1. 限用 保守力 僅能討論 動能 與 位能 之間轉換關係
2. 在實際情況下，能量的轉換
◼不可能侷限於 位能 、 動能 兩種
◼不可能僅有 保守力 作用，可能會有 非保守力
例題19：能量守恆定律
一物體的質量為 m，沿斜面以速率 v 上滑，當滑回原處時，其速率
變為
v
4
。已知上滑的最大距離為 d，則物體在斜面上滑動時所受到
的摩擦力為何？
解：
答：
15
64
×
mv2
d
類題：一物質量 m 沿斜面以速率 v 上滑，當滑回原處時速率變
為v/2，上滑最大距離 s ，則摩擦力大小為若干﹖ 答：3mv2
/16s
範例 演練