2. Kí hiệu
O
Q
Hoặc
(O, )
Q
Trong mặt phẳng cho điểm O cố định và góc lượng giác
không đổi. Phép biến hình biến điểm O thành điểm O,
biến điểm M ≠ O thành điểm M’ sao cho: OM = OM’ và
(OM, OM’) = được gọi là phép quay tâm O góc quay .
Định nghĩa
A B
CD
O
Ví dụ: Với hình vuông ABCD, ta nhận thấy:
o o
(A,90 ) (D,90 )
Q (B) ;Q (C)
o o
(O,90 ) (O,90 )
Q (A) ;Q (B)
o o
(O,180 ) (O,180 )
Q (A) ;Q (B)
D A
D A
C D
3. O
90
O
QO
90
O
Q
Phép quay là một phép dời hình.
Định lý
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho phép quay tâm O, góc
quay biến điểm M(x;y) trở thành điểm M’(x’;y’) sao
cho: x’ = xcos - ysin
y’ = xsin + ycos
biểu thức tọa độ
ĐẶC
BIỆT
x’ = -y
y’ = x
x’= y
y’= -x
4. Cho điểm M(4;3), N(1;2). Tìm ảnh M’, N’ của M, N qua
phép quay tâm O(0;0) với góc quay = 90o
Ví dụ 1
Giải
o
(O,90 )
M' Q (M) o
(O,90 )
N' Q (N)
Ta có:
xM’ = -yM
yM’ = xM
⇔
xM’ = -3
yM’ = 4
⇔
Vậy M’(-3;4)
xN’ = -yN
yN’ = xN
⇔
xN’ = -2
yN’ = 1
⇔
Vậy N’(-2;1)
5. Cho điểm M(4;3), N(1;2). Tìm ảnh M’, N’ của M, N qua
phép quay tâm O(0;0) với góc quay = -90o
Ví dụ 2
Giải
o
(O, 90 )
M' Q (M)
o
(O, 90 )
N' Q (N)
Ta có:
xM’ = yM
yM’ = -xM
⇔
xM’ = 3
yM’ = -4
⇔
Vậy M’(3;-4)
xN’ = yN
yN’ = -xN
⇔
xN’ = 2
yN’ = -1
⇔
Vậy N’(2;-1)
6. Ví dụ 3
Cho đường tròn (C): x2 + y2 + 8x – 6y + 24 = 0. Lập
phương trình đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua o
(O,90 )
Q
Giải Ta có:
(C): x2 + y2 + 8x – 6y + 24 = 0 ⇔ (x + 4)2 + (y – 3)2 = 1
Vậy bán kính đường tròn (C’) là: R’ = 1.
. Vậy pt (C’): (x + 3)2 + (y + 4)2 = 1
o
(O,90 )
Do I' Q (I); Trong đó I(-4; 3), I’(x’; y’).
x’ = -3
y’ = -4
Nên suy ra:
7. Phép đối xứng qua điểm O là một phép biến hình biến
điểm M thành điểm M’ đối xứng với M qua O, nghĩa là:
OM + OM’ = 0
Định nghĩa
Trong hệ tọa độ Oxy, cho điểm I(a; b). Nếu phép đối
xứng tâm ĐI biến điểm M(x; y) thành điểm M’(x’; y’) thì:
x’ = 2a - x
y’ = 2b - y
biểu thức tọa độ
Phép đối xứng qua O, được ký hiệu là: ĐO
ĐẶC
BIỆ
ĐO:
x’ = - x
y’ = - y
8. Xác định phương trình đường thẳng d’ đối xứng với
đường thẳng (d): x – 2y + 2 = 0 qua điểm I(1; 1).
Ví dụ 1
Giải Mo
M’
d
.I
d’
Giả sử M’= ĐI(Mo), ta có:
Mo(xo; yo)∊ d ⇒ M’(x’; y’) ∊ d’
I là trung điểm của đoạn MM’.
⇒ ⇔
xo – 2yo + 2 = 0
x’ = 2 – xo
y’ = 2 – yo
xo – 2yo + 2 = 0
xo = x’ + 2
yo = y’ + 2
⇔ x’ – 2y’ = 0.
Vậy, ta được (d’): x – 2y = 0
9. Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 4x – 2y + 3 = 0. Lập pt
đường tròn (C’) đối xứng với (C) qua E(1;2)
Ví dụ 2
Giải
Ta có: x2 + y2 – 4x – 2y + 3 = 0 ⇔ (x – 2)2 + (y – 1)2 = 2
Nếu M’= ĐE(Mo), thì: Mo(xo; yo)∊ (C) ⇒ M’(x’; y’) ∊ (C’)
và E là trung điểm của đoạn MM’.
⇒
(xo – 2)2 + (yo – 1)2 = 2
x’ = 2 – xo
y’ = 4 – yo
⇔
(xo – 2)2 + (yo – 1)2 = 2
xo = 2 – x’
yo = 4 – y’
⇔ (-x’)2 – (3 – y’)2 = 2. Vậy pt (C’): (x)2 – (y – 3)2 = 2
